河南驻马店市汝南县第一高级中学2025-2026学年高二下学期开学摸底数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 河南驻马店市汝南县第一高级中学2025-2026学年高二下学期开学摸底数学试题（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 574.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-09 00:00:00 | ||
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文档简介
汝南一高 2024 级高二下期开学摸底考试 数学试题
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选 项中, 只有一个选项是符合题目要求的.
1. 抛物线 的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
2. 已知 ,给出 4 个表达式,其中能作为数列: 的通项公式的是 ( ) .
①
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
3. 若随机变量 ，且 ，则 等于( )
A. 0.6 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.3
4. 已知圆 和两点 ,若圆 上存在点 , 使得 ,则 的最大值与最小值之和为( )
A. 12 B. 11 C. 10 D. 9
5. 抛物线 的焦点为 ,点 为抛物线上一点,且 不在直线 上,则 周长的最小值为
A. 4 B. 5 C. D.
6. 某体育用品仓库中有 12 个同款篮球, 其中一等品有 8 个, 二等品有 4 个.现从中不放回地随机抽取 5 个篮球进行质量检测,记抽到的一等品的个数为 ,则当 取得最大值时， ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7. 特岗教师是中央实施的一项对中西部地区农村义务教育的特殊政策. 某教育行政部门为本地两所农村小学招聘了 6 名特岗教师，其中体育教师 2 名，数学教师 4 名.按每所学校 1 名体育教师，2 名数学教师进行分配，则不同的分配方案有( )
A. 24 B. 14 C. 12 D. 8
8. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,过 作斜率为 的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 两点,若 ,则双曲线的离心率为 ( )
A. 2 B. C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 设椭圆 的左右焦点为 是 上的动点,则下列结论正确的是( ) A. 离心率
B. 面积的最大值为 1
C. 以线段 为直径的圆与直线 相切
D. 的最小值为 0
10. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形， 平面 ， 为 的中点,则 ( )
B. 异面直线 与 所成角的余弦值为
C.
D. 点 到平面 的距离为
11. 甲、乙两人开展乒乓球对抗赛，约定对抗赛最多进行 3 场，先累计获胜两场者赢得本次对抗赛. 每场比赛仅分胜负,无平局,甲每场获胜的概率为 ,乙每场获胜的概率为 ,且各场比赛结果相互独立. 下列说法正确的是 ( )
A. 本次对抗赛恰好进行 2 场就结束的概率为
B. 甲最终赢得本次对抗赛的概率为
C. 若事件 为“对抗赛恰好进行 2 场结束”,事件 为“甲赢得对抗赛”,则事件 与事件 是相互独立事件
D. 本次对抗赛恰好进行 3 场结束且甲赢得本次对抗赛的概率为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 某同学每天随机选择坐公交或骑车上学, 若第一天坐公交, 第二天坐公交的概率为 0.6 ; 若第一天骑车，第二天坐公交的概率为 0.3 . 则该同学第二天坐公交上学的概率为_____.
13. 的展开式中所有有理项的系数之和为_____.
14. 已知椭圆 ,过点 的直线 与椭圆 交于 两点 (点 位于 轴上方),若 ,则直线 的斜率 的值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知圆 .
(1)若直线 与圆 相交于 两点，求 ；
(2)自点 发出的光线射到 轴上，被 轴反射，其反射光线恰好经过圆心 ，求入射光线所在的直线方程.
16. 已知 为坐标系原点,过抛物线 的焦点 的直线与抛物线交于
两点.
(1) 求 的值.
(2)若 ，求 的面积与 的面积的比值.
17. 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 道题, 按照题目要求独立完成. 规定: 至少正确完成其中 2 道题便可通过面试. 已知 6 道备选题中应聘者甲有 4 道题能正确完成,2 道题不能完成; 应聘者乙每题正确完成的概率都是 , 且两位应聘者每题正确完成与否互不影响.
(1)求甲正确完成面试题数 的分布列及其期望；
(2)求乙正确完成面试题数 的分布列及其方差；
(3)试问:甲和乙谁通过面试的可能性更大？并说明理由.
18. 如图所示,在四棱锥 中，底面 是菱形， ， 与 交于点 ， 底面 ， 为 的中点，
(1)求证: 平面 ；
(2)求 与平面 所成角的正弦值.
(3)线段 上是否存在一点 ，使 平面 若存在求出 的值，若不存在，请说明理由.
19. 已知椭圆 过点 ,且离心率 ,过点 的直线 与 交于 两点,直线 与直线 分别交于点 .
(1)求 的方程.
(2)记直线 的斜率分别为 ，证明: 为定值.
(3)是否存在实数 ，使得 (S 表示面积)恒成立？若存在，请求出 的值；
若不存在, 请说明理由.
1. B
由抛物线的标准方程 ,
得 ,所以 ,
故焦点坐标为 .
2. A
原数列为 ,即奇数项为 0,偶数项为 1,逐项分析如下:
对于①， 为奇数时 ， 为偶数时 ，完全符合数列规律，①正确；
对于②，当 为奇数时， ， .
当 为偶数时, ,符合规律,②正确；
对于③，由三角函数诱导公式，对任意整数 ， ，因此 ，和②完全等价, 符合规律, ③正确；
对于④， 时， 时， ，得到数列为 ，显然不符合要求，④错误，故①②③正确.
3. A
由于随机变量 ,则 ,
因此, .
故选: A.
4. C
设圆 的半径为 ,原点为圆心, 为半径的圆的半径为 ,
要圆 上存在点 ,使得 ,
则以原点为圆心, 为半径的圆与圆 存在交点.
作出图象如图所示,
当 取最小时,两圆外切,
此时 ,
即 ,
当 取最大时,两圆内切,
此时 ,
即 .
则 的最大值与最小值之和为 10 .
故选: C.
5. C
由抛物线为 可得焦点坐标 ,准线方程为: ,
由题可知求 周长的最小值,即求 的最小值,
设点 在准线上的射影为点 ,则根据抛物线的定义,可知 ,
因此求 的最小值即求 的最小值,
根据平面几何知识,当 三点共线时, 最小,
所以
又因为 ,
所以 周长的最小值为 ,
故答案选 C
6. B
由题意, 的可能值为1,2,3,4,5,则 ,
所以 ,
所以当 取得最大值时 .
7. C
先把 4 名数学教师平分为 2 组,有 种方法,
再把 2 名体育教师分别放入这两组，有 种方法，
最后把这两组教师分配到两所农村小学,共有 种方法.
故选: C.
8. D
解: 如图,取 中点 ,连结 ,
,
设 ,
又 ， ，
,
,
由勾股定理,知 ,即
解得 ,
,
,即 ,化简得 ,
离心率 .
故选: .
9. BCD
对于 : 由椭圆 可知, ,
所以左、右焦点分别为 ,离心率 ,故选项 错误;
对于 ,当 点与椭圆的上下顶点重合时, 面积的最大,
所以 面积的最大值为 ,故选项 正确;
对于 : 以线段 为直径的圆的圆心 ,半径为 1,由圆心 到直线 的距离 ,
所以以线段 为直径的圆与直线 相切,故选项 正确;
对于 : 设 ,
,则 的最小值为 0,故选项 D 正确.
故选: BCD
10. ACD
A 选项, 根据向量的加减法法则,
,故 A 选项正确;
选项,建立空间直角坐标系,以 为原点,分别以 所在直线为 轴,
则 ,
,
设异面直线 与 所成角为 ,根据向量点积公式
,故 B 选项错误;
选项,由 选项中坐标可知 ,所以 ,故 选项正确;
D 选项，设平面 的法向量为 ，
则 ,解得 ,令 ,则 ,所以 ,
,根据点到平面的距离公式 ,故 D 选项正确.
故选: ACD.
11. ABD
对于 ,对抗赛恰好两场结束,需满足“甲或乙连续赢两场”,则概率为 ，故 A 正确；
对于 ,甲赢得对抗赛,包含两种情况: 一种是两场结束后甲获胜,概率为 ,
另一种是甲在前两场比赛输了一场,第 3 场比赛胜,则概率为 ,概率之和为 ,故 与 正确;
对于 ,不满足独立条件,故 错误.
故选: ABD.
12. 0.45
设事件 表示第一天坐公交,事件 表示第一天骑车,事件 表示第二天坐公交, 则第一天坐公交和骑车的概率均为 ,
在第一天坐公交的条件下,第二天坐公交的概率为 ,
在第一天骑车的条件下,第二天坐公交的概率为 ,
所以, 根据全概率公式, 第二天坐公交概率为:
故答案为:0.45 .
13. 29
由二项式知,其展开式通项为 , 所以,当 时对应项为有理项,故所有有理项的系数之和为 .
14.
依题意,点 位于 轴上方且 ,则直线 的斜率存在且不为 0,
设 ,则 ,
则可得 ,设直线 方程为 ,
联立直线与椭圆 可得 ,显然 ,
,
,解得 ,则直线 的斜率为 .
故答案为: .
15.
(2)
(1)圆 化成标准方程为 ，圆心 ， 半径 ,
直线 ,即 ,
圆心到直线 的距离为 ,
则 .
(2)圆心 关于 轴的对称点 ，
又入射光线经过点 ,故入射光线的斜率为 ,
由点斜式得 ,即 ,
故入射光线所在的直线方程为 .
16. (1)-12
(2)4
(1) 由抛物线 ,可得 ,即 ,焦点 ,
设过 的直线方程为 ,联立抛物线方程 ,
得 ,
由韦达定理得: .
因为 ,且 ,
故 ,
所以代入得 .
(2)根据题意得抛物线准线为 ，因此 ，解得 ， 代入抛物线方程得 ,即 .
由 (1) 的韦达定理 ,得 ,
与 共底 ,则 .
17. (1)甲正确完成试题数 的可能取值为1,2,3,
所以甲正确完成面试题数 的分布列为:
1 2 3
1 5 3 5 1 5
(2)乙正确完成面试题数 的可能取值为: 0，1，2，3
所以乙正确完成面试题数 的分布列为:
0 1 2 3
2 9 4 9
所以 , .
(3)因为 ，
所以 ,所以甲通过面试的可能性大.
18. (1)连接 ,底面 是菱形，
是 的中点， 为 的中点，
所以 ,
平面 平面 ,
所以 平面 .
(2)因为底面 是菱形，
所以 ,
又 底面 ,
以 所在直线为 轴,以 所在直线为 轴,过点 作 的平行线作为 轴建立空间直角坐标系 .
,三角形 为正三角形,
设 ,则 ,
设面 的法向量为 ,
,则 ,
令 ,得 ,
,设 与平面 所成角为 ,
(3)线段 上存在一点 ，使 平面
设 ,
,得 ,
,
平面 ,
,解得 ,
所以 ,
19.(1) 因为 过点 ,且离心率 ,
所以 ,且 ,
即 解得 ,
所以 的方程为 .
(2)
如图,
显然直线 的斜率存在,设直线 .
联立得 ,消去 并整理,得 ,
所以 ,得 .
设 ,则 . (*)
因为 ,且 时, ,所以直线 与 相切,
由椭圆的对称性可知, .
,
将 代入，得 为定值.
(3)设存在实数 ，使得 恒成立. 由 ,得 ,由 得 .
由(2)可知 ，
所以点 到直线 的距离相等,
所以 ,即 .
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选 项中, 只有一个选项是符合题目要求的.
1. 抛物线 的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
2. 已知 ,给出 4 个表达式,其中能作为数列: 的通项公式的是 ( ) .
①
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
3. 若随机变量 ，且 ，则 等于( )
A. 0.6 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.3
4. 已知圆 和两点 ,若圆 上存在点 , 使得 ,则 的最大值与最小值之和为( )
A. 12 B. 11 C. 10 D. 9
5. 抛物线 的焦点为 ,点 为抛物线上一点,且 不在直线 上,则 周长的最小值为
A. 4 B. 5 C. D.
6. 某体育用品仓库中有 12 个同款篮球, 其中一等品有 8 个, 二等品有 4 个.现从中不放回地随机抽取 5 个篮球进行质量检测,记抽到的一等品的个数为 ,则当 取得最大值时， ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7. 特岗教师是中央实施的一项对中西部地区农村义务教育的特殊政策. 某教育行政部门为本地两所农村小学招聘了 6 名特岗教师，其中体育教师 2 名，数学教师 4 名.按每所学校 1 名体育教师，2 名数学教师进行分配，则不同的分配方案有( )
A. 24 B. 14 C. 12 D. 8
8. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,过 作斜率为 的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 两点,若 ,则双曲线的离心率为 ( )
A. 2 B. C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 设椭圆 的左右焦点为 是 上的动点,则下列结论正确的是( ) A. 离心率
B. 面积的最大值为 1
C. 以线段 为直径的圆与直线 相切
D. 的最小值为 0
10. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形， 平面 ， 为 的中点,则 ( )
B. 异面直线 与 所成角的余弦值为
C.
D. 点 到平面 的距离为
11. 甲、乙两人开展乒乓球对抗赛，约定对抗赛最多进行 3 场，先累计获胜两场者赢得本次对抗赛. 每场比赛仅分胜负,无平局,甲每场获胜的概率为 ,乙每场获胜的概率为 ,且各场比赛结果相互独立. 下列说法正确的是 ( )
A. 本次对抗赛恰好进行 2 场就结束的概率为
B. 甲最终赢得本次对抗赛的概率为
C. 若事件 为“对抗赛恰好进行 2 场结束”,事件 为“甲赢得对抗赛”,则事件 与事件 是相互独立事件
D. 本次对抗赛恰好进行 3 场结束且甲赢得本次对抗赛的概率为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 某同学每天随机选择坐公交或骑车上学, 若第一天坐公交, 第二天坐公交的概率为 0.6 ; 若第一天骑车，第二天坐公交的概率为 0.3 . 则该同学第二天坐公交上学的概率为_____.
13. 的展开式中所有有理项的系数之和为_____.
14. 已知椭圆 ,过点 的直线 与椭圆 交于 两点 (点 位于 轴上方),若 ,则直线 的斜率 的值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知圆 .
(1)若直线 与圆 相交于 两点，求 ；
(2)自点 发出的光线射到 轴上，被 轴反射，其反射光线恰好经过圆心 ，求入射光线所在的直线方程.
16. 已知 为坐标系原点,过抛物线 的焦点 的直线与抛物线交于
两点.
(1) 求 的值.
(2)若 ，求 的面积与 的面积的比值.
17. 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 道题, 按照题目要求独立完成. 规定: 至少正确完成其中 2 道题便可通过面试. 已知 6 道备选题中应聘者甲有 4 道题能正确完成,2 道题不能完成; 应聘者乙每题正确完成的概率都是 , 且两位应聘者每题正确完成与否互不影响.
(1)求甲正确完成面试题数 的分布列及其期望；
(2)求乙正确完成面试题数 的分布列及其方差；
(3)试问:甲和乙谁通过面试的可能性更大？并说明理由.
18. 如图所示,在四棱锥 中，底面 是菱形， ， 与 交于点 ， 底面 ， 为 的中点，
(1)求证: 平面 ；
(2)求 与平面 所成角的正弦值.
(3)线段 上是否存在一点 ，使 平面 若存在求出 的值，若不存在，请说明理由.
19. 已知椭圆 过点 ,且离心率 ,过点 的直线 与 交于 两点,直线 与直线 分别交于点 .
(1)求 的方程.
(2)记直线 的斜率分别为 ，证明: 为定值.
(3)是否存在实数 ，使得 (S 表示面积)恒成立？若存在，请求出 的值；
若不存在, 请说明理由.
1. B
由抛物线的标准方程 ,
得 ,所以 ,
故焦点坐标为 .
2. A
原数列为 ,即奇数项为 0,偶数项为 1,逐项分析如下:
对于①， 为奇数时 ， 为偶数时 ，完全符合数列规律，①正确；
对于②，当 为奇数时， ， .
当 为偶数时, ,符合规律,②正确；
对于③，由三角函数诱导公式，对任意整数 ， ，因此 ，和②完全等价, 符合规律, ③正确；
对于④， 时， 时， ，得到数列为 ，显然不符合要求，④错误，故①②③正确.
3. A
由于随机变量 ,则 ,
因此, .
故选: A.
4. C
设圆 的半径为 ,原点为圆心, 为半径的圆的半径为 ,
要圆 上存在点 ,使得 ,
则以原点为圆心, 为半径的圆与圆 存在交点.
作出图象如图所示,
当 取最小时,两圆外切,
此时 ,
即 ,
当 取最大时,两圆内切,
此时 ,
即 .
则 的最大值与最小值之和为 10 .
故选: C.
5. C
由抛物线为 可得焦点坐标 ,准线方程为: ,
由题可知求 周长的最小值,即求 的最小值,
设点 在准线上的射影为点 ,则根据抛物线的定义,可知 ,
因此求 的最小值即求 的最小值,
根据平面几何知识,当 三点共线时, 最小,
所以
又因为 ,
所以 周长的最小值为 ,
故答案选 C
6. B
由题意, 的可能值为1,2,3,4,5,则 ,
所以 ,
所以当 取得最大值时 .
7. C
先把 4 名数学教师平分为 2 组,有 种方法,
再把 2 名体育教师分别放入这两组，有 种方法，
最后把这两组教师分配到两所农村小学,共有 种方法.
故选: C.
8. D
解: 如图,取 中点 ,连结 ,
,
设 ,
又 ， ，
,
,
由勾股定理,知 ,即
解得 ,
,
,即 ,化简得 ,
离心率 .
故选: .
9. BCD
对于 : 由椭圆 可知, ,
所以左、右焦点分别为 ,离心率 ,故选项 错误;
对于 ,当 点与椭圆的上下顶点重合时, 面积的最大,
所以 面积的最大值为 ,故选项 正确;
对于 : 以线段 为直径的圆的圆心 ,半径为 1,由圆心 到直线 的距离 ,
所以以线段 为直径的圆与直线 相切,故选项 正确;
对于 : 设 ,
,则 的最小值为 0,故选项 D 正确.
故选: BCD
10. ACD
A 选项, 根据向量的加减法法则,
,故 A 选项正确;
选项,建立空间直角坐标系,以 为原点,分别以 所在直线为 轴,
则 ,
,
设异面直线 与 所成角为 ,根据向量点积公式
,故 B 选项错误;
选项,由 选项中坐标可知 ,所以 ,故 选项正确;
D 选项，设平面 的法向量为 ，
则 ,解得 ,令 ,则 ,所以 ,
,根据点到平面的距离公式 ,故 D 选项正确.
故选: ACD.
11. ABD
对于 ,对抗赛恰好两场结束,需满足“甲或乙连续赢两场”,则概率为 ，故 A 正确；
对于 ,甲赢得对抗赛,包含两种情况: 一种是两场结束后甲获胜,概率为 ,
另一种是甲在前两场比赛输了一场,第 3 场比赛胜,则概率为 ,概率之和为 ,故 与 正确;
对于 ,不满足独立条件,故 错误.
故选: ABD.
12. 0.45
设事件 表示第一天坐公交,事件 表示第一天骑车,事件 表示第二天坐公交, 则第一天坐公交和骑车的概率均为 ,
在第一天坐公交的条件下,第二天坐公交的概率为 ,
在第一天骑车的条件下,第二天坐公交的概率为 ,
所以, 根据全概率公式, 第二天坐公交概率为:
故答案为:0.45 .
13. 29
由二项式知,其展开式通项为 , 所以,当 时对应项为有理项,故所有有理项的系数之和为 .
14.
依题意,点 位于 轴上方且 ,则直线 的斜率存在且不为 0,
设 ,则 ,
则可得 ,设直线 方程为 ,
联立直线与椭圆 可得 ,显然 ,
,
,解得 ,则直线 的斜率为 .
故答案为: .
15.
(2)
(1)圆 化成标准方程为 ，圆心 ， 半径 ,
直线 ,即 ,
圆心到直线 的距离为 ,
则 .
(2)圆心 关于 轴的对称点 ，
又入射光线经过点 ,故入射光线的斜率为 ,
由点斜式得 ,即 ,
故入射光线所在的直线方程为 .
16. (1)-12
(2)4
(1) 由抛物线 ,可得 ,即 ,焦点 ,
设过 的直线方程为 ,联立抛物线方程 ,
得 ,
由韦达定理得: .
因为 ,且 ,
故 ,
所以代入得 .
(2)根据题意得抛物线准线为 ，因此 ，解得 ， 代入抛物线方程得 ,即 .
由 (1) 的韦达定理 ,得 ,
与 共底 ,则 .
17. (1)甲正确完成试题数 的可能取值为1,2,3,
所以甲正确完成面试题数 的分布列为:
1 2 3
1 5 3 5 1 5
(2)乙正确完成面试题数 的可能取值为: 0，1，2，3
所以乙正确完成面试题数 的分布列为:
0 1 2 3
2 9 4 9
所以 , .
(3)因为 ，
所以 ,所以甲通过面试的可能性大.
18. (1)连接 ,底面 是菱形，
是 的中点， 为 的中点，
所以 ,
平面 平面 ,
所以 平面 .
(2)因为底面 是菱形，
所以 ,
又 底面 ,
以 所在直线为 轴,以 所在直线为 轴,过点 作 的平行线作为 轴建立空间直角坐标系 .
,三角形 为正三角形,
设 ,则 ,
设面 的法向量为 ,
,则 ,
令 ,得 ,
,设 与平面 所成角为 ,
(3)线段 上存在一点 ，使 平面
设 ,
,得 ,
,
平面 ,
,解得 ,
所以 ,
19.(1) 因为 过点 ,且离心率 ,
所以 ,且 ,
即 解得 ,
所以 的方程为 .
(2)
如图,
显然直线 的斜率存在,设直线 .
联立得 ,消去 并整理,得 ,
所以 ,得 .
设 ,则 . (*)
因为 ,且 时, ,所以直线 与 相切,
由椭圆的对称性可知, .
,
将 代入，得 为定值.
(3)设存在实数 ，使得 恒成立. 由 ,得 ,由 得 .
由(2)可知 ，
所以点 到直线 的距离相等,
所以 ,即 .
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