河南省信阳市浉河区信阳高级中学新校（贤岭校区）2025-2026学年高二下学期开学数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 河南省信阳市浉河区信阳高级中学新校（贤岭校区）2025-2026学年高二下学期开学数学试题（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 604.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-09 00:00:00 | ||
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文档简介
河南省信阳高级中学新校(贤岭校区) 2025-2026 学年高二下期 03 月测试 (一)
数学试题
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集 ，则 等于( )
A. B.
C. D. 或
2. 已知 是虚数单位，复数 在复平面内对应的坐标为 ，则复数 的虚部为( )
A. 1 B. 2
C. D.
3. 正三棱柱 中， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
4. 中国戏曲中人物角色的行当分类, 可以有生、旦、净、末、丑五大行当. 现有 3 名男生和 2 名女生，每人要扮演某戏曲中的一个角色，五个行当均有人扮演，且生行、净行由男生扮演, 旦行由女生扮演, 则不同的人物角色扮演方式共有 ( )
A. 6 种 B. 12 种 C. 24 种 D. 48 种
5. 已知圆 ，直线 . 若圆 上恰有 3 个点到直线 的距离等于 ，则 的值为( )
A. B. 0
C. D.
6. 某 AI 公司每天维护 1000 个训练任务节点,每星期一有 两种数据更新方案可选. 统计显示,凡是在星期一选择 方案来维护训练任务节点,下星期一有 会改用 方案; 而选择 方案来维护训练任务节点,下星期一有 会改用 方案. 用 分别表示在第 个星期的星期一选择 方案和选择 方案来维护训练任务节点的个数,则 与 的关系可以表示为( )
A. B.
C. D.
7. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 为双曲线右支上一点, 的内切圆圆心为 ,连接 并延长交 轴于点 ,若 ,则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D. 4
8. 关于 的方程 有两个不同的解,则实数 的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项 中, 有多个选项是符合题目要求的, 全部选对的得 6 分, 部分选的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列命题中，正确的有( )
A. “ ” 是 “ ”的必要不充分条件
B. 若 ,则
C. 若实数 满足 ,则 的最小值为
D.
10. 如图,已知点 是棱长为 的正方体 表面上一动点,则下列结论正确的有( )
A. 当点 在线段 上时，
B. 当点 在线段 上时， 平面
C. 当点 在面 上时,三棱锥 外接球的表面积的最大值为
D. 当点 在面 上时,若 ，则点 的轨迹长度为
11. Sigmoid 函数 是一个在生物学中常见的 型函数,也称为 型生长曲线, 常被用作神经网络的激活函数. 记 为 Sigmoid 函数的导函数,则( )
A. B. Sigmoid 函数是单调减函数
C. 函数 的最大值是 D.
三、填空题:本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围为_____.
13. 已知定义在 上的函数 ,满足 ,且 ,则不等式 的解集为_____
14. 已知正 边形 内接于单位圆 ,且满足 的顶点 共有 个,若正三角形 的顶点 在圆 上,则 的最大值为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演 算步骤.
15. 已知等差数列 的前 项和为 ,且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前 项和为 ，求证: .
16. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 . (1)求 ；
(2)在 边上存在一点 ，使得 ，连接 ，若 的面积为 ， 的平分线交 于 点,求 的值.
17. 如图①，在平面内，正方形 的边 ， 分别为两等腰直角 ， 的腰. 将 分别沿 ， 折起，使 ， 两点重合，记为点 ，得到一个四棱锥 ，点 ， 分别是线段 ， 的中点，如图②.
图①
图②
(1)求证: 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成的角的正弦值；
(3)若 平面 ，求 的值.
18. 已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为 .
(1)求 的标准方程；
(2)P 为 上一点且在第一象限，点 ， ，延长 ， 分别交椭圆 于 两点.
(i) 若 ,求直线 的斜率;
(ii) 连接 ,记 的面积为 的面积为 ,求 的最大值.
19. 已知函数 .
(1)当 时，求曲线 过点 的切线方程；
(2)若函数 有 2 个极值点 ，且 .
(i) 求实数 的取值范围;
(ii) 求证: .
1. A
因为 或 ,所以 .
故选: A
2. B
因为复数 在复平面内对应的坐标为 ,所以 ,
所以 ,
所以复数 的虚部为 2 .
3. D
在正三棱柱 - 中,以 为原点,在平面 中,过 作 的垂线为 轴,
为 轴, 为 轴,建立空间直角坐标系,
，不妨取
则 ,
设异面直线 与 所成角为 ,
则 ,
异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故选: D.
4. C
由题意,生行、净行由男生扮演,则从 3 名男生中选 2 人,再全排列,有 种扮演方式;
旦行由女生扮演，则从 2 名女生中选 1 人，有 种扮演方式；
剩下的 2 人有 种扮演方式,
故共有 (种) 不同的人物角色扮演方式.
故选:
5. C
由圆 ,可得圆心 ,半径为
要使得圆 上恰有 3 个点到直线 的距离等于 ,
则满足圆心 到直线 的距离为 ，
即 ,可得 ,解得 .
故选: C.
6. A
总维护节点数: .
选 方案的节点,下一周有 换 ,即 保留 .
选 方案的节点,下一周有 换 ,即 .
因此,第 个星期一选 方案的节点数: .
所以 .
故选: A.
7. C
因为 ,
所以 为线段 的靠近 的三等分点,
又因为 ,
即 .
所以 ,
解得 ,
所以 ,
又因为 的内切圆圆心为 ，
所以 平分 ,
又因为 三点共线,
由角平分线定理可得 ,
所以 ,
由双曲线的定义可得 ,
所以 ,
设 ,
则有 ,
即 ,
解得 ,
又因为 ,
即 ,
所以 ,
即 ,
解得 ,
设圆 与 分别相切于点 ,
设 ,
由内切圆的性质可知 ,
所以 ,
又因为 ,
所以 ,
解得 ,
所以 ,
即 ,
所以 ,
整理得: ,
即 ,
解得 或 ,
当 时, ,
此时点 与双曲线的右顶点重合,不满足题意;
当 时, ,满足条件,
所以 ,
所以双曲线的离心率 .
故选: C.
8. D
方程 可转化为 ,则 ,
所以 ,
设 ,则方程转化为 ,
又 恒成立,所以 在 上为增函数,
所以 ,即 ,
令 ,所以 ,则 可得 ,
当 时, ,函数 在 上单调递增,
当 时, ,函数 在 上单调递减,
所以 ,
又 时, 时, ,
若方程 有两个不同的解,则实数 的取值范围为 .
故选: D.
9. BD
对于 ,当 时, ,此时 ,
所以 “ ” 是 “ ” 的不充分条件;
当 时, ,此时 ,
所以 “ ” 是 “ ” 的不必要条件.
综上,“ ”是 “ ” 的既不充分也不必要条件,故 错误;
对于 ,因为 ,
又 ,所以 ,即 成立,故 正确;
对于 ,因为 ,所以 ,
当且仅当 且 ,即 时等号成立,
所以 的最小值为 4,故 错误;
对于 ,因为 在 单调递减,所以 ;
因为 在 上单调递减,所以 ;
因为 在 上单调递增,所以 . 所以 ,故 正确.
故选: BD.
10. ABD
如图:
连接 ,则 ,
又 为正方体，所以 平面 ,
平面 ,所以 ,
因为 平面 ,且 ,所以 平面 .
平面 ,所以 .
同理可得 平面 ,
所以 平面 .
同理可得: 平面 ，所以平面 平面 .
对 A: 当点 在线段 上时, 平面 ,
又 平面 ，所以 ，故 A 正确；
对 B: 当点 在线段 上时， 平面 ，
又平面 平面 ,所以 平面,故 B 正确;
对 : 当点 与点 (或 ) 重合时,
三棱锥 的外接球即为正方体 的外接球.
设半径为 ,则 .
此时三棱锥 的外接球的表面积为: ,故 错误;
对 D: 当点 在面 上时,如图:
设 ,则 ,由 ,
所以 点轨迹是平面 中,以 为圆心,以 2 为半径的圆弧,
与 的交点 ,与 的交点 .
所以 .
由余弦定理, ,所以 .
所以点 轨迹的长度为: ,故 正确.
故选: ABD
11. ACD
由函数 得 .
对于 ,故 正确;
对于 ,则 Sigmoid 函数是增函数,故 错误;
对于 ,当且仅当 ,即 时取等号, 故 C 正确;
对于 ,因为 ,
所以 , D 正确.
故选: ACD.
12.
函数 在 上单调递增,由函数 在 上单调递增,
得函数 在 上单调递增,且 恒成立,
因此 ,解得 ,所以实数 的取值范围为 .
故答案为:
13.
设 ,
则 ,
由已知当 时, ,
即 ,又 ,
所以 ,
所以 在 上单调递减,
又 ,所以 ,
由 ,则 ,
因为 ,所以 ,
即 ,
又因为 在 上单调递减,
所以 ,
所以不等式的解集为 ,
故答案为: .
14. 24
由题知正 边形顶点为 ,设 和 夹角为 ,
由题意可得,满足 的顶点 仅 3 个,
不等式两边平方可得 ,
因为正 边形 ( 为偶数)内接于单位圆 ，
所以 ,且 ,
所以 ,则 ,故 ,
故满足条件的顶点只能为 这三个,
所以有 ,解得 ,又 为偶数,故 ;
下面求 的最大值.
如图,由正三角形 中,取 中点 ,连接 ,
则 ,故 三点共线,设 ,
则 ,
所以 ,当 时,等号取到,
故 ,且当 时, 取到最大值 24 .
故答案为: 24 .
15. (1)在等差数列 中, ,则 .
又 ,所以该等差数列公差 . 故 .
所以 , 故数列 的通项公式为 .
(2)因为 ，所以 ， 则 化简得 . 因为 ,所以 ,故 .
16.
(2)
(1)因为 ，由 可得 ，
即 ,由正弦定理得
代入上式得 ，
因为 ,所以 ,即 ,
解得 ,因为 ,所以 ,所以 .
(2)由 ， ，则 ， ，
因为 ,所以 ,
又 ,所以 ,
即 ,解得 ,又 ,所以 ,
因为 是角平分线,由角平分线定理得: .
17.
(1)如图 1，设 的中点为 ，连接 ， ，
图 1
分别为 的中点，
,
又 ,
且 ,
四边形 为平行四边形.
.
又 平面 平面 ,
平面 .
(2)如图 2，因为 为等边三角形， 为线段 的中点，
所以 ,
又 平面 ,
所以 面 ，过 作直线 .
以 为 轴建立空间直角坐标系 ,如图所示.
图 2
不妨设 ,则
.
设平面 的法向量为 ,
则 ,
令 ,则 .
则
设直线 与平面 所成的角为 ,
则 ,
直线 与平面 所成的角的正弦值为 ;
(3)设点 ， 到平面 的距离分别为 ，
,
,
的值 .
18.
(2) (i) (ii)
(1)因为椭圆 的离心率为 ，短轴长为 .
即 ,又 ,解得 .
椭圆 的方程为
(2)设 ，
因为直线 经过 和 ,不妨设直线 的方程: .
联立直线 与椭圆 方程 ,消元整理得:
又 在椭圆 上， ，代入上式，整理得:
由韦达定理得: ，即 .
(i) 且 . ,代入上式解得: ,即 .
又 ,所以可得: ,即 .
又直线 经过 ,直线 的方程为 .
联立直线 和椭圆 方程,解得 ,即 .
所以直线 的斜率 .
(ii) 由 (i) 可得 ,代入直线 方程得 ,
所以 ,同理可得 .
的面积 .
的面积 .
,当且仅当 “ ,即 “ ”时“=”成立.
所以 有最大值 .
19. (1) 当 时, ,
设切点为 ,
函数在 处的切线方程为 ,
将点 代入切线方程得 ,
,解得 或 1,
曲线 在点 处的切线为 ,在点 处的切线为 ;
(2)(i) ，
有 2 个极值点, 方程 有 2 根 ,
令 ,
在 上, 单调递增,在 上, 单调递减,
当 时, ,当 时, ,
,当 时, ,
的取值范围是 ;
(ii) ,
令 ,
则 ,且 ,
,
令 ,则 ,
;
要证 ,即证 ,
即证 时, ,
令 ,则 ,
当 时, 单调递增, ,
时, ,不等式得证.
数学试题
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集 ，则 等于( )
A. B.
C. D. 或
2. 已知 是虚数单位，复数 在复平面内对应的坐标为 ，则复数 的虚部为( )
A. 1 B. 2
C. D.
3. 正三棱柱 中， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
4. 中国戏曲中人物角色的行当分类, 可以有生、旦、净、末、丑五大行当. 现有 3 名男生和 2 名女生，每人要扮演某戏曲中的一个角色，五个行当均有人扮演，且生行、净行由男生扮演, 旦行由女生扮演, 则不同的人物角色扮演方式共有 ( )
A. 6 种 B. 12 种 C. 24 种 D. 48 种
5. 已知圆 ，直线 . 若圆 上恰有 3 个点到直线 的距离等于 ，则 的值为( )
A. B. 0
C. D.
6. 某 AI 公司每天维护 1000 个训练任务节点,每星期一有 两种数据更新方案可选. 统计显示,凡是在星期一选择 方案来维护训练任务节点,下星期一有 会改用 方案; 而选择 方案来维护训练任务节点,下星期一有 会改用 方案. 用 分别表示在第 个星期的星期一选择 方案和选择 方案来维护训练任务节点的个数,则 与 的关系可以表示为( )
A. B.
C. D.
7. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 为双曲线右支上一点, 的内切圆圆心为 ,连接 并延长交 轴于点 ,若 ,则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D. 4
8. 关于 的方程 有两个不同的解,则实数 的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项 中, 有多个选项是符合题目要求的, 全部选对的得 6 分, 部分选的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列命题中，正确的有( )
A. “ ” 是 “ ”的必要不充分条件
B. 若 ,则
C. 若实数 满足 ,则 的最小值为
D.
10. 如图,已知点 是棱长为 的正方体 表面上一动点,则下列结论正确的有( )
A. 当点 在线段 上时，
B. 当点 在线段 上时， 平面
C. 当点 在面 上时,三棱锥 外接球的表面积的最大值为
D. 当点 在面 上时,若 ，则点 的轨迹长度为
11. Sigmoid 函数 是一个在生物学中常见的 型函数,也称为 型生长曲线, 常被用作神经网络的激活函数. 记 为 Sigmoid 函数的导函数,则( )
A. B. Sigmoid 函数是单调减函数
C. 函数 的最大值是 D.
三、填空题:本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围为_____.
13. 已知定义在 上的函数 ,满足 ,且 ,则不等式 的解集为_____
14. 已知正 边形 内接于单位圆 ,且满足 的顶点 共有 个,若正三角形 的顶点 在圆 上,则 的最大值为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演 算步骤.
15. 已知等差数列 的前 项和为 ,且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前 项和为 ，求证: .
16. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 . (1)求 ；
(2)在 边上存在一点 ，使得 ，连接 ，若 的面积为 ， 的平分线交 于 点,求 的值.
17. 如图①，在平面内，正方形 的边 ， 分别为两等腰直角 ， 的腰. 将 分别沿 ， 折起，使 ， 两点重合，记为点 ，得到一个四棱锥 ，点 ， 分别是线段 ， 的中点，如图②.
图①
图②
(1)求证: 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成的角的正弦值；
(3)若 平面 ，求 的值.
18. 已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为 .
(1)求 的标准方程；
(2)P 为 上一点且在第一象限，点 ， ，延长 ， 分别交椭圆 于 两点.
(i) 若 ,求直线 的斜率;
(ii) 连接 ,记 的面积为 的面积为 ,求 的最大值.
19. 已知函数 .
(1)当 时，求曲线 过点 的切线方程；
(2)若函数 有 2 个极值点 ，且 .
(i) 求实数 的取值范围;
(ii) 求证: .
1. A
因为 或 ,所以 .
故选: A
2. B
因为复数 在复平面内对应的坐标为 ,所以 ,
所以 ,
所以复数 的虚部为 2 .
3. D
在正三棱柱 - 中,以 为原点,在平面 中,过 作 的垂线为 轴,
为 轴, 为 轴,建立空间直角坐标系,
，不妨取
则 ,
设异面直线 与 所成角为 ,
则 ,
异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故选: D.
4. C
由题意,生行、净行由男生扮演,则从 3 名男生中选 2 人,再全排列,有 种扮演方式;
旦行由女生扮演，则从 2 名女生中选 1 人，有 种扮演方式；
剩下的 2 人有 种扮演方式,
故共有 (种) 不同的人物角色扮演方式.
故选:
5. C
由圆 ,可得圆心 ,半径为
要使得圆 上恰有 3 个点到直线 的距离等于 ,
则满足圆心 到直线 的距离为 ，
即 ,可得 ,解得 .
故选: C.
6. A
总维护节点数: .
选 方案的节点,下一周有 换 ,即 保留 .
选 方案的节点,下一周有 换 ,即 .
因此,第 个星期一选 方案的节点数: .
所以 .
故选: A.
7. C
因为 ,
所以 为线段 的靠近 的三等分点,
又因为 ,
即 .
所以 ,
解得 ,
所以 ,
又因为 的内切圆圆心为 ，
所以 平分 ,
又因为 三点共线,
由角平分线定理可得 ,
所以 ,
由双曲线的定义可得 ,
所以 ,
设 ,
则有 ,
即 ,
解得 ,
又因为 ,
即 ,
所以 ,
即 ,
解得 ,
设圆 与 分别相切于点 ,
设 ,
由内切圆的性质可知 ,
所以 ,
又因为 ,
所以 ,
解得 ,
所以 ,
即 ,
所以 ,
整理得: ,
即 ,
解得 或 ,
当 时, ,
此时点 与双曲线的右顶点重合,不满足题意;
当 时, ,满足条件,
所以 ,
所以双曲线的离心率 .
故选: C.
8. D
方程 可转化为 ,则 ,
所以 ,
设 ,则方程转化为 ,
又 恒成立,所以 在 上为增函数,
所以 ,即 ,
令 ,所以 ,则 可得 ,
当 时, ,函数 在 上单调递增,
当 时, ,函数 在 上单调递减,
所以 ,
又 时, 时, ,
若方程 有两个不同的解,则实数 的取值范围为 .
故选: D.
9. BD
对于 ,当 时, ,此时 ,
所以 “ ” 是 “ ” 的不充分条件;
当 时, ,此时 ,
所以 “ ” 是 “ ” 的不必要条件.
综上,“ ”是 “ ” 的既不充分也不必要条件,故 错误;
对于 ,因为 ,
又 ,所以 ,即 成立,故 正确;
对于 ,因为 ,所以 ,
当且仅当 且 ,即 时等号成立,
所以 的最小值为 4,故 错误;
对于 ,因为 在 单调递减,所以 ;
因为 在 上单调递减,所以 ;
因为 在 上单调递增,所以 . 所以 ,故 正确.
故选: BD.
10. ABD
如图:
连接 ,则 ,
又 为正方体，所以 平面 ,
平面 ,所以 ,
因为 平面 ,且 ,所以 平面 .
平面 ,所以 .
同理可得 平面 ,
所以 平面 .
同理可得: 平面 ，所以平面 平面 .
对 A: 当点 在线段 上时, 平面 ,
又 平面 ，所以 ，故 A 正确；
对 B: 当点 在线段 上时， 平面 ，
又平面 平面 ,所以 平面,故 B 正确;
对 : 当点 与点 (或 ) 重合时,
三棱锥 的外接球即为正方体 的外接球.
设半径为 ,则 .
此时三棱锥 的外接球的表面积为: ,故 错误;
对 D: 当点 在面 上时,如图:
设 ,则 ,由 ,
所以 点轨迹是平面 中,以 为圆心,以 2 为半径的圆弧,
与 的交点 ,与 的交点 .
所以 .
由余弦定理, ,所以 .
所以点 轨迹的长度为: ,故 正确.
故选: ABD
11. ACD
由函数 得 .
对于 ,故 正确;
对于 ,则 Sigmoid 函数是增函数,故 错误;
对于 ,当且仅当 ,即 时取等号, 故 C 正确;
对于 ,因为 ,
所以 , D 正确.
故选: ACD.
12.
函数 在 上单调递增,由函数 在 上单调递增,
得函数 在 上单调递增,且 恒成立,
因此 ,解得 ,所以实数 的取值范围为 .
故答案为:
13.
设 ,
则 ,
由已知当 时, ,
即 ,又 ,
所以 ,
所以 在 上单调递减,
又 ,所以 ,
由 ,则 ,
因为 ,所以 ,
即 ,
又因为 在 上单调递减,
所以 ,
所以不等式的解集为 ,
故答案为: .
14. 24
由题知正 边形顶点为 ,设 和 夹角为 ,
由题意可得,满足 的顶点 仅 3 个,
不等式两边平方可得 ,
因为正 边形 ( 为偶数)内接于单位圆 ，
所以 ,且 ,
所以 ,则 ,故 ,
故满足条件的顶点只能为 这三个,
所以有 ,解得 ,又 为偶数,故 ;
下面求 的最大值.
如图,由正三角形 中,取 中点 ,连接 ,
则 ,故 三点共线,设 ,
则 ,
所以 ,当 时,等号取到,
故 ,且当 时, 取到最大值 24 .
故答案为: 24 .
15. (1)在等差数列 中, ,则 .
又 ,所以该等差数列公差 . 故 .
所以 , 故数列 的通项公式为 .
(2)因为 ，所以 ， 则 化简得 . 因为 ,所以 ,故 .
16.
(2)
(1)因为 ，由 可得 ，
即 ,由正弦定理得
代入上式得 ，
因为 ,所以 ,即 ,
解得 ,因为 ,所以 ,所以 .
(2)由 ， ，则 ， ，
因为 ,所以 ,
又 ,所以 ,
即 ,解得 ,又 ,所以 ,
因为 是角平分线,由角平分线定理得: .
17.
(1)如图 1，设 的中点为 ，连接 ， ，
图 1
分别为 的中点，
,
又 ,
且 ,
四边形 为平行四边形.
.
又 平面 平面 ,
平面 .
(2)如图 2，因为 为等边三角形， 为线段 的中点，
所以 ,
又 平面 ,
所以 面 ，过 作直线 .
以 为 轴建立空间直角坐标系 ,如图所示.
图 2
不妨设 ,则
.
设平面 的法向量为 ,
则 ,
令 ,则 .
则
设直线 与平面 所成的角为 ,
则 ,
直线 与平面 所成的角的正弦值为 ;
(3)设点 ， 到平面 的距离分别为 ，
,
,
的值 .
18.
(2) (i) (ii)
(1)因为椭圆 的离心率为 ，短轴长为 .
即 ,又 ,解得 .
椭圆 的方程为
(2)设 ，
因为直线 经过 和 ,不妨设直线 的方程: .
联立直线 与椭圆 方程 ,消元整理得:
又 在椭圆 上， ，代入上式，整理得:
由韦达定理得: ，即 .
(i) 且 . ,代入上式解得: ,即 .
又 ,所以可得: ,即 .
又直线 经过 ,直线 的方程为 .
联立直线 和椭圆 方程,解得 ,即 .
所以直线 的斜率 .
(ii) 由 (i) 可得 ,代入直线 方程得 ,
所以 ,同理可得 .
的面积 .
的面积 .
,当且仅当 “ ,即 “ ”时“=”成立.
所以 有最大值 .
19. (1) 当 时, ,
设切点为 ,
函数在 处的切线方程为 ,
将点 代入切线方程得 ,
,解得 或 1,
曲线 在点 处的切线为 ,在点 处的切线为 ;
(2)(i) ，
有 2 个极值点, 方程 有 2 根 ,
令 ,
在 上, 单调递增,在 上, 单调递减,
当 时, ,当 时, ,
,当 时, ,
的取值范围是 ;
(ii) ,
令 ,
则 ,且 ,
,
令 ,则 ,
;
要证 ,即证 ,
即证 时, ,
令 ,则 ,
当 时, 单调递增, ,
时, ,不等式得证.
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