河南南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 河南南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题（含解析） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 335.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-09 00:00:00 | ||
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文档简介
2026 年春期高二年级开学考试数学
考试范围: 统计案例, 数列 考试时间: 120 分钟
一、单选题： 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 数列 的前 4 项依次是 20,11,2,-7, 的一个通项公式是 ( )
A. B. C. D.
2. 在利用 统计量来判断两个变量 与 之间是否有关系时,下列说法正确的是( )
A. 越大,“ 与 有关系”的可信程度越小
B. 越小,“ 与 有关系”的可信程度越小
C. 越接近于 0,“ 与 没有关系”的可信程度越小
D. 越大，“ 与 没有关系”的可信程度越大
3. 已知等差数列 的前 3 项分别为 ，则此数列的通项为( )
A. B. C. D.
4. 某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表:
广告费用 万元 1.8 2.2 3 5
销售额 万元 7 14 16
根据上表数据得到 与 的回归直线方程为 ,则 的值 ( )
A. 3 B. 5.5 C. 4 D. 6.5
5. 等比数列 中,首项为 ,公比为 ,则下列条件中,是 一定为递减数列的条件是
A. B.
C. 或 D.
6. 已知数列 ，通项公式为 ，那么 的最小值是( ).
A. B. C. D.
7. 某超市去年的销售额为 万元,计划在今后 10 年内每年比上一年增加 10%. 从今年起 10 年内这家超市的总销售额为( )万元.
A. B. C. D.
8. 观察下图, 并阅读图形下面的文字, 像这样 10 条直线相交, 交点的个数最多是( )
4条直线相交最多有6个交点
2条直线相交
最多有1个交点
3条直线相交
最多有3个交点
A. 40 个 B. 45 个 C. 50 个 D. 55 个
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项 中, 有多个选项是符合题目要求的, 全部选对的得 6 分, 部分选的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知等比数列 的前 项和为 ,公比为 ,若 , 则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
10. 2024 年全民健身运动的主题“全民健身与奥运同行”，为了满足群众健身需求，某健身房近几年陆续购买了几台 型跑步机,该型号跑步机已投入使用的时间 (单位:年) 与当年所需要支出的维修费用 (单位:千元) 有如下统计资料:
2 3 4 5 6
2.2 3.8 5.5 6.5 7
根据表中的数据可得到线性回归方程为: ,则 ( )
A. 与 的样本相关系数
B.
C. 当 每增加一个单位时, 平均增加 1.23 个单位
D. 该型跑步机已投入使用的时间为 10 年时, 当年所需要支出的维修费用一定是 12.38 万元
11. 设 是等差数列, 是其前 项的和,且 则下列结论正确的是 ( )
A. B. C. D. 与 均为 的最
大值
三、填空题:本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 一凸 边形 ,且 ,各内角的度数成等差数列,公差是 ,最小内角 ,则边数 _____.
13. 已知数列 ， ， ， 是等比数列，则实数 的取值范围是_____.
14. 汽车轮胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素, 汽车行驶会导致轮胎面磨损. 某实验室通过实验测得行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据,建立了如下回归模型 ,通过实验数据分析与计算得到如下结论: ① ; ② ，令 ， ，则回归方程应为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演 算步骤.
15. 已知数列 是等差数列,其中 .
(1)求数列 的通项公式.
(2)数列 从哪一项开始小于 0 .
(3)求数列 前 项和的最大值，并求出对应 的值.
16. 近年来，因使用手机过久、工作压力大等因素导致不少人出现了睡眠问题. 某媒体为了了解出现睡眠问题者的年龄分布，调查了 200 名成年人的睡眠时间，得到如下列联表:
90 后 非 90 后 合计
23:00 前入睡 30 80
23:00 后入睡
合计 100 200
(1)完成列联表，根据小概率值 的独立性检验，分析能否认为“23 : 00 前入睡”与“是 90 后”有关联
(2)随着出现睡眠问题人群的增加，及社会对睡眠健康重视程度的加深，有助提高睡眠质量的产品受到消费者推崇,记 2020 ~2024 年的年份代码 依次为 1,2,3,4,5,下表为 2020~2023年中国睡眠经济市场规模及 2024 年中国睡眠经济市场规模(单位:千亿元)预测,
年份代码 1 2 3 4 5
市场规模 3.8 4.2 4.5 5.0 5.3
根据上表数据求 关于 的回归方程.
参考公式: ,其中 . 回归方程 , 其中 .
参考数据: .
17. 已知数列 中 ，且满足 . 设 .
(1)证明数列 是等比数列；
(2)求数列 的前 项和 .
18. 某抗洪指挥部接到预报, 24 小时后有一洪峰到达, 为确保安全, 指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用 20 台同型号翻斗车, 平均每辆车工作 24 小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔 20 分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集 25 辆车，那么在 24 小时内能否构筑成第二道防线
19. 设等差数列 的公差为 ,前 项和为 ,等比数列 的公比为 . 已知 ,
(1)求数列 的通项公式；
(2)当 时,记 ，求数列 的前 项和 .
1. B
由已知可看出数列 为等差数列,首项为 20,公差为-9,
由等差数列的通项公式可得 .
故选: B
2. B
根据独立性检验的思想, 知观测值越小, 变量有关系的可信程度越小, 故只有 B 正确.
故选: B.
3.
因为 为等差数列,
则 ,解得 ,
可知等差数列 的前 3 项分别为-1,1,3,即首项为 -1,公差为 2,
所以此数列的通项为 .
故选: B.
4. A
依题意,得 , 所以 ,解得 .
5. C
等比数列 是递减数列, ,
即 ,
或 .
故选: .
6. B
,
数列 是首项为 -9,公差为 2 的等差数列,
,
前 项和 取到最小值时, ,
故选: B
7. D
设今后 10 年每年的销售额为 ,
因为超市去年的销售额为 万元,计划在今后 10 年内每年比上一年增加 10% .
所以今年的销售额为 ,今后第 年与第年的关系为 ,
所以今后 10 年每年的销售 额构成等比数列,
公比为 1.1,首项为 .
所以今年起 10 年内这家超市的总销售额为
故从今年起 10 年内这家超市的总销售额为万元 .
故选: D
8. B
由题设,对于 条直线交点最多有 个,则 10 条直线交点的个数最多是 个.
故选: B
9. AD
因为 ,所以 ,所以 .
因为 ,所以 ,所以 ,故 A 正确;
又 ，所以 ，所以 ，
所以 ,故 错误;
所以 ,故 D 正确.
10.
,所以样本中心点为 ,
A 选项,由表中数据可得 随着 增大而增大, 与 正相关,所以相关系数 正确; B 选项,将样本中心点 代入回归方程 ,可得 ,故 B 正确;
C 选项, 由线性回归方程可得 C 正确;
D 选项, 根据回归分析的概念, 跑步机投入使用的时间为 10 年时, 所需要支出的维修费用大概是 千元,故 D 错误.
11. ABD
根据题意,设等差数列 的公差为 ,
因为 ,可得 ,
对于 中,由 ,所以 正确;
对于 中,由 ,所以 正确;
对于 中,由 ,所以 ,所以 不正确;
对于 中,由 ,可得数列 为递减数列,且 ,所以 ,
所以 和 均为 的最大值,所以 正确.
故选: ABD.
12. 8
由题意可得: ,
整理得 ,解得 或 ,
当 时,该多边形最大角为 ,符合题意;
当 时,该多边形最大角为 ,不符合题意;
所以 .
故答案为: 8
13. 且
因为数列 是等比数列,
则数列中 ,
因为 成等比数列,
所以 且 ,故答案为 且 .
14. .
因为回归模型为 ,
因为 ,可得 ,
两边同时取对数,可得 ,
令 ,此时 ,
又因为 ,所以 ,即 ,
所以 .
故答案为: .
15. (1)
(2)从第 5 项开始小于 0
(3)76,4
(1)由题意数列 的通项公式为
(2)由(1)可知 ，
令 ,解得 ,
因为 ,所以数列 从第 5 项开始小于 0 .
(3)由(1)可知 ，
所以其前 项和为 ,
而二次函数 的对称轴为 ,和它最接近的整数为 4,
因此当 时,数列 前 项和有最大值 .
16.
(1)2×2 列联表如下:
90 后 非 90 后 合计
23:00 前入睡 30 50 80
23:00 后入睡 70 50 120
合计 100 100 200
零假设 : “23:00 前入睡”与“是 90 后”无关联，
因为 ,
根据小概率值 的独立性检验,我们推断 不成立,
即认为 “ 23 :00 前入睡”与 “是 90 后”有关联，此推断犯错误的概率不超过 0.01 .
(2)由 的取值依次为1,2,3,4,5，
得 ,
所以 ,
所以 ,
所以 关于 的回归方程为 .
17. (1) ,由 ,得 ,
设 ,则有 ,又 ,
所以数列 是以 2 为首项,3 为公比的等比数列;
(2)由(1)可知 ， 数列 的前 项和 .
18. 在 24 小时内能构筑成第二道防线.
设 25 辆车按到达的先后顺序排列,所能工作的时间为 ,
由题意可知, 为等差数列,其中 ,
由等差数列求和公式得: ,
所以在 24 小时内能构筑成第二道防线.
19.解: (1) 设 ,由题意可得 ,
解得 ,或 ,
当 时, ;
当 ;
(2)当 时，由(1)知 ，
,
,
,
,
考试范围: 统计案例, 数列 考试时间: 120 分钟
一、单选题： 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 数列 的前 4 项依次是 20,11,2,-7, 的一个通项公式是 ( )
A. B. C. D.
2. 在利用 统计量来判断两个变量 与 之间是否有关系时,下列说法正确的是( )
A. 越大,“ 与 有关系”的可信程度越小
B. 越小,“ 与 有关系”的可信程度越小
C. 越接近于 0,“ 与 没有关系”的可信程度越小
D. 越大，“ 与 没有关系”的可信程度越大
3. 已知等差数列 的前 3 项分别为 ，则此数列的通项为( )
A. B. C. D.
4. 某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表:
广告费用 万元 1.8 2.2 3 5
销售额 万元 7 14 16
根据上表数据得到 与 的回归直线方程为 ,则 的值 ( )
A. 3 B. 5.5 C. 4 D. 6.5
5. 等比数列 中,首项为 ,公比为 ,则下列条件中,是 一定为递减数列的条件是
A. B.
C. 或 D.
6. 已知数列 ，通项公式为 ，那么 的最小值是( ).
A. B. C. D.
7. 某超市去年的销售额为 万元,计划在今后 10 年内每年比上一年增加 10%. 从今年起 10 年内这家超市的总销售额为( )万元.
A. B. C. D.
8. 观察下图, 并阅读图形下面的文字, 像这样 10 条直线相交, 交点的个数最多是( )
4条直线相交最多有6个交点
2条直线相交
最多有1个交点
3条直线相交
最多有3个交点
A. 40 个 B. 45 个 C. 50 个 D. 55 个
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项 中, 有多个选项是符合题目要求的, 全部选对的得 6 分, 部分选的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知等比数列 的前 项和为 ,公比为 ,若 , 则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
10. 2024 年全民健身运动的主题“全民健身与奥运同行”，为了满足群众健身需求，某健身房近几年陆续购买了几台 型跑步机,该型号跑步机已投入使用的时间 (单位:年) 与当年所需要支出的维修费用 (单位:千元) 有如下统计资料:
2 3 4 5 6
2.2 3.8 5.5 6.5 7
根据表中的数据可得到线性回归方程为: ,则 ( )
A. 与 的样本相关系数
B.
C. 当 每增加一个单位时, 平均增加 1.23 个单位
D. 该型跑步机已投入使用的时间为 10 年时, 当年所需要支出的维修费用一定是 12.38 万元
11. 设 是等差数列, 是其前 项的和,且 则下列结论正确的是 ( )
A. B. C. D. 与 均为 的最
大值
三、填空题:本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 一凸 边形 ,且 ,各内角的度数成等差数列,公差是 ,最小内角 ,则边数 _____.
13. 已知数列 ， ， ， 是等比数列，则实数 的取值范围是_____.
14. 汽车轮胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素, 汽车行驶会导致轮胎面磨损. 某实验室通过实验测得行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据,建立了如下回归模型 ,通过实验数据分析与计算得到如下结论: ① ; ② ，令 ， ，则回归方程应为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演 算步骤.
15. 已知数列 是等差数列,其中 .
(1)求数列 的通项公式.
(2)数列 从哪一项开始小于 0 .
(3)求数列 前 项和的最大值，并求出对应 的值.
16. 近年来，因使用手机过久、工作压力大等因素导致不少人出现了睡眠问题. 某媒体为了了解出现睡眠问题者的年龄分布，调查了 200 名成年人的睡眠时间，得到如下列联表:
90 后 非 90 后 合计
23:00 前入睡 30 80
23:00 后入睡
合计 100 200
(1)完成列联表，根据小概率值 的独立性检验，分析能否认为“23 : 00 前入睡”与“是 90 后”有关联
(2)随着出现睡眠问题人群的增加，及社会对睡眠健康重视程度的加深，有助提高睡眠质量的产品受到消费者推崇,记 2020 ~2024 年的年份代码 依次为 1,2,3,4,5,下表为 2020~2023年中国睡眠经济市场规模及 2024 年中国睡眠经济市场规模(单位:千亿元)预测,
年份代码 1 2 3 4 5
市场规模 3.8 4.2 4.5 5.0 5.3
根据上表数据求 关于 的回归方程.
参考公式: ,其中 . 回归方程 , 其中 .
参考数据: .
17. 已知数列 中 ，且满足 . 设 .
(1)证明数列 是等比数列；
(2)求数列 的前 项和 .
18. 某抗洪指挥部接到预报, 24 小时后有一洪峰到达, 为确保安全, 指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用 20 台同型号翻斗车, 平均每辆车工作 24 小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔 20 分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集 25 辆车，那么在 24 小时内能否构筑成第二道防线
19. 设等差数列 的公差为 ,前 项和为 ,等比数列 的公比为 . 已知 ,
(1)求数列 的通项公式；
(2)当 时,记 ，求数列 的前 项和 .
1. B
由已知可看出数列 为等差数列,首项为 20,公差为-9,
由等差数列的通项公式可得 .
故选: B
2. B
根据独立性检验的思想, 知观测值越小, 变量有关系的可信程度越小, 故只有 B 正确.
故选: B.
3.
因为 为等差数列,
则 ,解得 ,
可知等差数列 的前 3 项分别为-1,1,3,即首项为 -1,公差为 2,
所以此数列的通项为 .
故选: B.
4. A
依题意,得 , 所以 ,解得 .
5. C
等比数列 是递减数列, ,
即 ,
或 .
故选: .
6. B
,
数列 是首项为 -9,公差为 2 的等差数列,
,
前 项和 取到最小值时, ,
故选: B
7. D
设今后 10 年每年的销售额为 ,
因为超市去年的销售额为 万元,计划在今后 10 年内每年比上一年增加 10% .
所以今年的销售额为 ,今后第 年与第年的关系为 ,
所以今后 10 年每年的销售 额构成等比数列,
公比为 1.1,首项为 .
所以今年起 10 年内这家超市的总销售额为
故从今年起 10 年内这家超市的总销售额为万元 .
故选: D
8. B
由题设,对于 条直线交点最多有 个,则 10 条直线交点的个数最多是 个.
故选: B
9. AD
因为 ,所以 ,所以 .
因为 ,所以 ,所以 ,故 A 正确;
又 ，所以 ，所以 ，
所以 ,故 错误;
所以 ,故 D 正确.
10.
,所以样本中心点为 ,
A 选项,由表中数据可得 随着 增大而增大, 与 正相关,所以相关系数 正确; B 选项,将样本中心点 代入回归方程 ,可得 ,故 B 正确;
C 选项, 由线性回归方程可得 C 正确;
D 选项, 根据回归分析的概念, 跑步机投入使用的时间为 10 年时, 所需要支出的维修费用大概是 千元,故 D 错误.
11. ABD
根据题意,设等差数列 的公差为 ,
因为 ,可得 ,
对于 中,由 ,所以 正确;
对于 中,由 ,所以 正确;
对于 中,由 ,所以 ,所以 不正确;
对于 中,由 ,可得数列 为递减数列,且 ,所以 ,
所以 和 均为 的最大值,所以 正确.
故选: ABD.
12. 8
由题意可得: ,
整理得 ,解得 或 ,
当 时,该多边形最大角为 ,符合题意;
当 时,该多边形最大角为 ,不符合题意;
所以 .
故答案为: 8
13. 且
因为数列 是等比数列,
则数列中 ,
因为 成等比数列,
所以 且 ,故答案为 且 .
14. .
因为回归模型为 ,
因为 ,可得 ,
两边同时取对数,可得 ,
令 ,此时 ,
又因为 ,所以 ,即 ,
所以 .
故答案为: .
15. (1)
(2)从第 5 项开始小于 0
(3)76,4
(1)由题意数列 的通项公式为
(2)由(1)可知 ，
令 ,解得 ,
因为 ,所以数列 从第 5 项开始小于 0 .
(3)由(1)可知 ，
所以其前 项和为 ,
而二次函数 的对称轴为 ,和它最接近的整数为 4,
因此当 时,数列 前 项和有最大值 .
16.
(1)2×2 列联表如下:
90 后 非 90 后 合计
23:00 前入睡 30 50 80
23:00 后入睡 70 50 120
合计 100 100 200
零假设 : “23:00 前入睡”与“是 90 后”无关联，
因为 ,
根据小概率值 的独立性检验,我们推断 不成立,
即认为 “ 23 :00 前入睡”与 “是 90 后”有关联，此推断犯错误的概率不超过 0.01 .
(2)由 的取值依次为1,2,3,4,5，
得 ,
所以 ,
所以 ,
所以 关于 的回归方程为 .
17. (1) ,由 ,得 ,
设 ,则有 ,又 ,
所以数列 是以 2 为首项,3 为公比的等比数列;
(2)由(1)可知 ， 数列 的前 项和 .
18. 在 24 小时内能构筑成第二道防线.
设 25 辆车按到达的先后顺序排列,所能工作的时间为 ,
由题意可知, 为等差数列,其中 ,
由等差数列求和公式得: ,
所以在 24 小时内能构筑成第二道防线.
19.解: (1) 设 ,由题意可得 ,
解得 ,或 ,
当 时, ;
当 ;
(2)当 时，由(1)知 ，
,
,
,
,
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