河南省南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题（含解析）

2026 年春期高一年级开学考试 数学学科
一、单选题: (每小题 5 分, 共 40 分)
1. 下列与 角终边相同的角为( )
A. B. C. 410° D. -300°
2. 的值是( )
A. B. C. D.
3. 已知角 的终边经过点 ,则
A. B. C. 7 D.
4. 下列三角函数值的符号判断错误的是( )
A. B.
C. D.
5. 角 对应的弧度制大小和终边所在象限分别是( )
A. ,第一象限 B. ,第一象限
C. ,第二象限 D. ,第二象限
6. 下列关于 的大小关系正确的是( )
A. B.
C. D.
7. 将函数 的图象上各点向右平移 个单位长度,再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的 4 倍，则所得到的图象的函数解析式是( ).
A. B.
C. D.
8. 已知某扇形的周长为10cm(圆心角小于周角)，面积为 ，则该扇形圆心角的弧度数为( )
A. rad 或 8rad B. 2rad 或 8rad C. 8rad D.
二、多选题: (每小题 6 分, 共 18 分)
9. 下列说法中正确的是( )
A. 终边在 轴上的角的集合是
B. 函数 的最小正周期是
C. 函数 在 上是减函数
D. 在同一直角坐标系中,函数 的图象和函数 的图象有一个公共点
10. 下列结论正确的有( )
A.
B. 已知角 的终边在 上,则
C. 终边落在直线 上的角的集合是
D. 已知点 在第四象限,则角 终边在第二象限
11. 函数 的部分图象如图所示,则下列说法正确的有( )
A.
B. 函数 的对称中心为
C. 把 的图象先向左移 ,再把所有点的横坐标变为原来的 ,可以得到 的图象
D. 函数 在 的最小值为
三、填空题:(每小题 5 分，共 15 分)
12. 时针走了 ，则分针转过的角是_____.
13. 函数 的单调递减区间为_____
14. 若角 的终边经过点 ,则 的值是_____.
四、解答题:(共 77 分)
15. (1) 化简 ;
(2)在平面直角坐标系中，以 轴的非负半轴为角的始边，如果角 的终边与单位圆交于点 ,角 的终边所在射线经过点
① 求 的值；
② 求 .
16. 求下列函数的定义域:
(1) ;
(2) ;
(3)
17. 某港口的水深 (单位: ) 是时间 的函数,下面是该港口的水深数据:
0 3 6 9 12 15 18 21 24
10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10
一般情况下,船舶航行时船底与海底的距离不小于 时就是安全的.
(1)若有以下几个函数模型: ,你认为哪个模型可以更好地刻画 与 之间的对应关系 请你求出该拟合模型的函数解析式;
(2)如果船的吃水深度(船底与水面的距离)为 ，那么该船在什么时间段能够安全进港？ 若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？
18. 设函数
(1)求函数 的最小正周期和对称轴方程；
(2)求函数 的单调递增区间；
(3)求函数 在区间 上的最小值和最大值.
19. 设 图象的一条对称轴是直线
(1)求 值；
( 2 )写出函数 的振幅、周期和初相，并说明函数 的图象可以由正弦曲线 经过怎样的变换得到；
(3)用 “五点作图法” 画出函数 在区间 上的图象.
1. B
与 角终边相同的角为 ,
当 时, 是,不存在整数 ,使得 为 中值, 不是.
故选: B
2. D
故选: D
3. C
由三角函数的定义可知 ,所以 .
故选 C
4. C
165°是第二象限角,因此 ,故 A 正确;
是第四象限角,因此 ,故 正确;
是第二象限角,因此 ,故 错误;
是第四象限角,因此 ,故 正确.
故选:
5.
因为 ,且 ,
因为 为第二象限角,故 为第二象限角,
故选: D.
6. D
因 ,
而函数 在 上单调递增,则 ,故 , 又 ,故 .
7. A
将函数 的图象上各点向右平移 个单位长度,得到函数 即 的图象,
再把函数 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半,就得到函数 的图象,
然后再把函数 的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 4 倍,就得到函数 的图象.
故选: A.
8. D
设扇形的半径为 ,弧长为 ,则 ,故 或者 , 若 ,则圆心角的弧度数为 ,不合题意,故舍; 若 ,则圆心角的弧度数为 ,符合题意;
故选: D
9. BD
对于 选项,终边在 轴上的角的集合是 选项错误; 对于 选项,函数 的最小正周期为 选项正确; 对于 选项,函数 在 上是增函数, 选项错误; 对于 选项,当 时,如下图所示:
设锐角 的终边与单位圆 的交点为 ,过点 作 轴,垂足为点 ,
设单位圆与 轴的交点为点 ,则 ,
由图可知,当 时, ,当 时, ,
所以,当 时, ,
由于函数 与函数 均为奇函数,当 时, .
作出函数 的图象和函数 的图象如下图所示:
由图象可知,函数 的图象和函数 有且只有一个交点 选项正确.
故选: BD.
10. BD
对于 ,故 错误; 对于 角 的终边在直线 上,
,故 B 正确;
对于 终边落在射线 上的角的集合为 ,
终边落在射线 上的角的集合为
终边落在直线 上的角的集合为 ,故 错误;
对于 点 在第四象限, ,则角 终边在第二象限, 故 D 正确.
故选: BD.
11. ABC
设函数 的最小正周期为 ,观察图象可得
,所以 ,又
所以 正确;
因为 ,所以 ,故
又 ,所以 ,
所以 ,所以 ,
所以 ,
令 ,可得 ,
所以函数 的对称中心为 , B 正确, 把 的图象先向左移 ,可以得到 的图象,
把 的图象上的所有点的横坐标变为原来的 ,可以得到 的图象, 正确;
由 可得, ,所以 ,又 ,
所以 ,
所以函数 在 的最小值为 错误;
故选: ABC.
12.
因为时针走了 ,所以分针也走了 ,
注意到分针每分钟转的角度为 (因为分针是顺时针旋转,所以对应的是负角), 所以时针走了 ,则分针转过的角是 .
故答案为: .
13.
因为 ,
要求函数 的单调递减区间,即求函数 的单调递增区间.
由 可得 ,
即函数 的单调递减区间为 .
14.
因为角 的终边经过点 ,
当 时,由三角函数的定义可得 ,
,此时, ;
当 时,由三角函数的定义可得 ,
,此时, .
综上所述， .
故答案为: .
15. (1)2 (2)① ; ② .
(1)
(2)① 点到原点 的距离 ，依题意 ，
因角 的终边所在射线经过点 ,则 ,所以 .
②
.
16. (1) .
(2)
(3)
(1) 要使函数 有意义,需使 ,
所以 且 ,
故 的定义域为 .
(2)因为 ，即 ，得 ，
所以函数 的定义域是 .
(3)要使函数 有意义，需使 ， 由 ,可得 ; 由 ,可得 ,解得 .
综上可得函数 的定义域为 .
17. (1) 函数 可以更好地刻画 与 之间的对应关系, ; (2)在 1:00 至 5:00 或 13:00 至 17:00 能安全进港，最多不能超过 16 个小时.
(1) 函数 可以更好地刻画 与 之间的对应关系,
根据数据可得: ,
又 ,
.
(2)由题意，要满足题意，需 ，
即 ,
,解得 ,
当 时, ; 当 时, ;
或 ,
所以,该船在 至 或 至 能安全进港,
若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过 16 个小时.
18.
(2) .
(3)最小值为 -1 , 最大值为 .
(1) 由 的最小正周期 ,
由 ,可得 ,
则 的对称轴为 ,
(2)由 ，可得 ，
则 的单调递增区间为 .
(3)由 可得 ，
因为正弦函数在 上单调递增,在 上单调递减,
所以当 时,即 ,函数 取得最小值 ;
当 时,即 ,函数 取得最大值 .
故函数 在区间 上的最小值为 -1,最大值为 .
19.
( 2 )函数 的振幅为 1，周期为 ，初相为 ；
① 把 图象上所有点向右平移 个单位,得到函数 的图象;
② 把函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图象.
(3).
(1)因为直线 是函数 的一条对称轴,
所以 ,则 ,解得 ,
又 ,所以 .
( 2 )由 知，函数 的振幅为 1，周期为 ，初相为 ； 要得到函数 的图象,可以把正弦曲线 进行如下变换:
① 把 图象上所有点向右平移 个单位,得到函数 的图象;
② 把函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图象.
(3)由 可知，列表如下:
0
0
-1 0 1 0
故函数 在区间 上的图象如下: