河南省信阳市浉河区信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高一下学期开学数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 河南省信阳市浉河区信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高一下学期开学数学试题（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 518.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-09 00:00:00 | ||
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文档简介
河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026 学年高一下期 03 月测试 (一) 数学试题
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 ,则正确的是 ( )
A. B. C. D.
2. 设 ,则 “ ” 是 “ ” 的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 下列不等关系正确的是( )
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ，则 D. 若 ,则
4. 函数 的图像大致为( )
A.
B.
C.
D.
5. 已知函数 的值域为 ,则实数 的取值范围是 ( )
A.
B. C.
D.
6. 假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步 2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步 1%. 那么，大约需要经过( )天，甲的“日能力值”是乙的 20 倍(参考数据: ， ， )
A. 23 B. 100 C. 150 D. 232
7. 已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数 ,对任意的 恒有 ,且在区间 上有且只有一个 使得 ,则 的值可以是( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项 中, 有多个选项是符合题目要求的, 全部选对的得 6 分, 部分选的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列四个命题中，说法不正确的是( )
A. 空间任意两个单位向量必相等
B. 对于非零向量 ,由 ,则
C. 是 共线的充分不必要条件
D. 若向量 满足 ，则
10. 下列说法正确的是( )
A. 若 终边上一点的坐标为 ，则
B. 若角 为锐角,则 为钝角
C. 若圆心角为 的扇形的弧长为 ,则该扇形的面积为
D. 若 ，且 ，则
11. 已知函数 则下列说法正确的是( )
A. 函数 有 3 个零点
B. 关于 的方程 有 个不同的解
C. 对于实数 ,不等式 恒成立
D. 在区间 内,函数 的图象与 轴围成的图形的面积为
三、填空题:本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知 ， ， ，夹角 _____.
13. 函数 的最小值为_____.
14. 给出定义: 若 (其中 为整数),则 叫做离实数 最近的整数,记作 ,即 . 已知 .
(1) _____；
(2)若方程 恰有 5 个实数根，则实数 的取值范围是_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演 算步骤.
15. 已知集合 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的取值范围.
16. 在一座历史悠久、文化绚烂的古城中，有一家声名远扬的传统工艺工厂，此手工艺品蕴含着丰富的文化内涵，制作工艺精细复杂，该厂近期接到一份制作传统手工艺品的重要订单. 已知生产该手工艺品的固定成本为 8 万元.每生产 万件,额外投入成本 万元，且 这款手工艺品在市场上广受欢迎,出厂单价统一为 15 元. 但由于市场需求和工艺限制, 预估市场需求量最多为 20 万件.问题:
(1)当工厂生产 4 万件时，求工厂的利润(利润=销售收入-总成本).
(2)要使工厂利润最大，应生产多少万件？并求出最大利润.
17. 某同学用 “五点法” 画函数 在某一个周期内的图象时, 列表并填入了部分数据, 如下表:
0
0 2 -2 0
(1)请将表数据补充完整，并直接写出函数 的解析式；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象.当 时，求函数 的值域;
(3)设函数 的图象与直线 在区间 上的两个交点的横坐标分别为 、 ,求 .
18. 已知函数
(1)计算 ， 的值；
(2)判断函数 在 上的单调性，并根据定义证明你的判断；
(3)函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是 为奇函数,依据上述结论,证明: 的图象成中心对称图形,并求其对称中心.
19. 已知函数 .
(1)证明函数 为偶函数；
( 2 )设函数 ，若函数 在定义域上有且仅有一个零点，求实数 的值;
(3)若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
1. B
由 ,可知集合 是由所有奇数除以 4 的商构成的集合, 而 ,可知集合 是由所有整数除以 4 的商构成的集合, 显然 .
故选: B
2. B
将不等式 可化为 ,解得 或 ;
所以可得 “ ” 可以推出 “ ”,即充分性成立;
而“ ” 时也可能“ ”,推不出 “ ”,因此必要性不成立;
所以 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件.
故选: B
3. D
若 ,即 ,则 , A 错误;
若 时,则 , B 错误;
若 ,则 ,则 , 错误;
若 ,则 ,即 , D 正确.
故选: D
4. B
由题意可知: 函数 的定义域为 ,关于原点对称, 且 ,所以函数 为奇函数,故 AC 错误; 又因为当 时,则 ,可知 ,
此时 的符号性与 的符号性一致,故 错误;
故选: B.
5. B
当 时, ,
的值域为 ,即 ,
时, ,
,解得 ,又因为 ,所以 ,
实数 的取值范围是 .
故选: B.
6. B
令甲和乙刚开始的“日能力值”为 1, 天后,甲、乙的“日能力值”分别
依题意, ,即 ,两边取对数得 ,
因此 ,
所以大约需要经过 100 天, 甲的“日能力值”是乙的 20 倍.
故选: B
7. A
根据复合函数的单调性,要满足题意,则 在 单调递减,且 在 恒成立;
故可得: ,解得 ,故 的取值范围为 .
故选: A.
8. D
依题意得, ,
解得 ,且 ①,
当 时, ,
又 在区间 上有且只有一个 使得 ,
故 ,
解得 ②,
联立①②，解得 .
故选: D.
9. ABD
选项 A: 单位向量的模长均为 1 , 但方向任意,而相等向量需要模长和方向都相同, 因此空间任意两个单位向量不一定相等, 错误.
选项 B: 因为 为非零向量,所以 可化为 ,故 ,无法推出 错误.
选项 C: 若 ,则 ,即 , 所以 ,说明 反向共线;
当 共线时,① 同向时, ,② 反向时,
所以 不一定等于 . 因此 是 共线的充分不必要条件, C 正确.
选项 D: 向量是既有大小又有方向的量, 不能直接比较大小, 故 D 错误.
故选: ABD.
10. ACD
A，由 终边上的点 ，知 ，对；
B,由锐角 ,则 也是锐角,错;
C,设扇形半径为 ,根据弧长公式有弧长 ,则 ,
所以扇形面积为 ,对;
D,由题设 ,则 ,
又 ，则 ，结合 ，可得 ，
所以 ,对.
故选: ACD
11. ACD
当 时, ,当 时, ,
当 时,则 ,
当 时,则 ,
当 时,则 ,
当 时,则 ,
依次类推, 可得函数的解析式, 作出函数的大致图象如图所示,
对于 ,由 ,得 ,
令 ,由图象可知 与 的图象只有 3 个交点,
所以函数 有 3 个零点,所以 正确,
对于 ,当 时, ,即 ,由图象可知 与 的图象只有 3 个交点,
所以关于 的方程 有 3 个不同的解,而当 时, ,所以 错误, 对于 ,对于实数 ,不等式 恒成立,即 恒成立,
由图可知函数 的图象的每一个上顶点都在曲线 上,所以 恒成立,所以 C 正确,
对于 ,当 时,则 ,此时函数 的图象与 轴围成的图形的面积为
当 时,则 ,此时函数 的图象与 轴围成的图形的面积为 ,
当 时,则 ,此时函数 的图象与 轴围成的图形的面积为
当 时,函数 的图象与 轴围成的图形的面积为 ,所以 D 正确,
故选: ACD
由 ,
则 ,
解得 ,
又 ,所以 ,
故答案为: .
13.
,
当 时,等号成立,所以函数 的最小值为 .
14.
因为 ,
所以 ,
所以 ;
画出 的图象,
要使方程 恰有 5 个实数根,
结合图像可知, 解得 .
故答案为:
15. ;
(2) .
(1) 因为 ,
所以 ,
所以 .
( 2 )对于 ，
因为其对应的方程的判别式 ,所以 .
又 图象的对称轴为 ,且 ,
即只需 的图象与 轴的两个交点的横坐标均位于区间 内,
如图,
所以只需 ,解得 ,即 的取值范围是 .
16. (1)36 万元；
(2)9 万件，72 万元；
(1)设利润为 万元，
当工厂生产 4 万件时, ,
则工厂利润为: 万元；
(2)当 时， ，
当 时， ；
当 时, ,
,
当且仅当 ,即 时,等号成立, ,
综上: 要使工厂利润最大, 应生产 9 万件, 最大利润 72 万元.
17. (1)
0
0 2 0 -2 0
(2) ;
(3)
(1)
0
0 2 0 -2 0
由题意及表可知, ,
,
,解得 ,
.
(2)由题可得 ，
当 时, ,则 ,
函数 的值域为 .
(3)函数 的图象与直线 在区间 上的两个交点的横坐标分别为 ,
因为 ,所以直线 是 的一个对称轴,而区间 的区间长度为一个周期.
所以两个交点关于直线 对称
所以 ,且 ,代入得,
18.(1) .
(2)函数 在 上单调递减. 证明如下:
由条件 . 任取 ,且 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,即 ,故函数 在 上单调递减.
(3)证明:设 ，则 .
因为函数 定义域为 ,且
所以 为奇函数,图象关于原点对称,故 的图象关于点 成中心对称图形.
19. (1) 在 中, ,解得 或 , 又 , 为偶函数.
(2)由题意及(1)得， 或 ，
:函数 在定义域上有且仅有一个零点，
即 在定义域内有唯一解,
为偶函数, ,即 ,
当 ,解得 ,零点为 ,
检验: 当 时, 的定义域为 , 符合题意.
当 时， 的定义域为 ，符合题意;
当 ,由题意得 ,解得 ,
此时 无意义;
综上所述: .
(3) ,
由 在 上恒成立,得 在 上恒成立,
整理得 ,
令 ,则 ,不等式变形为 ,
解得 ,
要使不等式对任意 恒成立,则 ,
令 ,
因为 ,又对勾函数 在 上单调递增,
所以 在 上单调递减,又 在 上单调递增,
所以 ,
所以实数 的取值范围为 .
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 ,则正确的是 ( )
A. B. C. D.
2. 设 ,则 “ ” 是 “ ” 的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 下列不等关系正确的是( )
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ，则 D. 若 ,则
4. 函数 的图像大致为( )
A.
B.
C.
D.
5. 已知函数 的值域为 ,则实数 的取值范围是 ( )
A.
B. C.
D.
6. 假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步 2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步 1%. 那么，大约需要经过( )天，甲的“日能力值”是乙的 20 倍(参考数据: ， ， )
A. 23 B. 100 C. 150 D. 232
7. 已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数 ,对任意的 恒有 ,且在区间 上有且只有一个 使得 ,则 的值可以是( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项 中, 有多个选项是符合题目要求的, 全部选对的得 6 分, 部分选的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列四个命题中，说法不正确的是( )
A. 空间任意两个单位向量必相等
B. 对于非零向量 ,由 ,则
C. 是 共线的充分不必要条件
D. 若向量 满足 ，则
10. 下列说法正确的是( )
A. 若 终边上一点的坐标为 ，则
B. 若角 为锐角,则 为钝角
C. 若圆心角为 的扇形的弧长为 ,则该扇形的面积为
D. 若 ，且 ，则
11. 已知函数 则下列说法正确的是( )
A. 函数 有 3 个零点
B. 关于 的方程 有 个不同的解
C. 对于实数 ,不等式 恒成立
D. 在区间 内,函数 的图象与 轴围成的图形的面积为
三、填空题:本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知 ， ， ，夹角 _____.
13. 函数 的最小值为_____.
14. 给出定义: 若 (其中 为整数),则 叫做离实数 最近的整数,记作 ,即 . 已知 .
(1) _____；
(2)若方程 恰有 5 个实数根，则实数 的取值范围是_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演 算步骤.
15. 已知集合 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的取值范围.
16. 在一座历史悠久、文化绚烂的古城中，有一家声名远扬的传统工艺工厂，此手工艺品蕴含着丰富的文化内涵，制作工艺精细复杂，该厂近期接到一份制作传统手工艺品的重要订单. 已知生产该手工艺品的固定成本为 8 万元.每生产 万件,额外投入成本 万元，且 这款手工艺品在市场上广受欢迎,出厂单价统一为 15 元. 但由于市场需求和工艺限制, 预估市场需求量最多为 20 万件.问题:
(1)当工厂生产 4 万件时，求工厂的利润(利润=销售收入-总成本).
(2)要使工厂利润最大，应生产多少万件？并求出最大利润.
17. 某同学用 “五点法” 画函数 在某一个周期内的图象时, 列表并填入了部分数据, 如下表:
0
0 2 -2 0
(1)请将表数据补充完整，并直接写出函数 的解析式；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象.当 时，求函数 的值域;
(3)设函数 的图象与直线 在区间 上的两个交点的横坐标分别为 、 ,求 .
18. 已知函数
(1)计算 ， 的值；
(2)判断函数 在 上的单调性，并根据定义证明你的判断；
(3)函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是 为奇函数,依据上述结论,证明: 的图象成中心对称图形,并求其对称中心.
19. 已知函数 .
(1)证明函数 为偶函数；
( 2 )设函数 ，若函数 在定义域上有且仅有一个零点，求实数 的值;
(3)若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
1. B
由 ,可知集合 是由所有奇数除以 4 的商构成的集合, 而 ,可知集合 是由所有整数除以 4 的商构成的集合, 显然 .
故选: B
2. B
将不等式 可化为 ,解得 或 ;
所以可得 “ ” 可以推出 “ ”,即充分性成立;
而“ ” 时也可能“ ”,推不出 “ ”,因此必要性不成立;
所以 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件.
故选: B
3. D
若 ,即 ,则 , A 错误;
若 时,则 , B 错误;
若 ,则 ,则 , 错误;
若 ,则 ,即 , D 正确.
故选: D
4. B
由题意可知: 函数 的定义域为 ,关于原点对称, 且 ,所以函数 为奇函数,故 AC 错误; 又因为当 时,则 ,可知 ,
此时 的符号性与 的符号性一致,故 错误;
故选: B.
5. B
当 时, ,
的值域为 ,即 ,
时, ,
,解得 ,又因为 ,所以 ,
实数 的取值范围是 .
故选: B.
6. B
令甲和乙刚开始的“日能力值”为 1, 天后,甲、乙的“日能力值”分别
依题意, ,即 ,两边取对数得 ,
因此 ,
所以大约需要经过 100 天, 甲的“日能力值”是乙的 20 倍.
故选: B
7. A
根据复合函数的单调性,要满足题意,则 在 单调递减,且 在 恒成立;
故可得: ,解得 ,故 的取值范围为 .
故选: A.
8. D
依题意得, ,
解得 ,且 ①,
当 时, ,
又 在区间 上有且只有一个 使得 ,
故 ,
解得 ②,
联立①②，解得 .
故选: D.
9. ABD
选项 A: 单位向量的模长均为 1 , 但方向任意,而相等向量需要模长和方向都相同, 因此空间任意两个单位向量不一定相等, 错误.
选项 B: 因为 为非零向量,所以 可化为 ,故 ,无法推出 错误.
选项 C: 若 ,则 ,即 , 所以 ,说明 反向共线;
当 共线时,① 同向时, ,② 反向时,
所以 不一定等于 . 因此 是 共线的充分不必要条件, C 正确.
选项 D: 向量是既有大小又有方向的量, 不能直接比较大小, 故 D 错误.
故选: ABD.
10. ACD
A，由 终边上的点 ，知 ，对；
B,由锐角 ,则 也是锐角,错;
C,设扇形半径为 ,根据弧长公式有弧长 ,则 ,
所以扇形面积为 ,对;
D,由题设 ,则 ,
又 ，则 ，结合 ，可得 ，
所以 ,对.
故选: ACD
11. ACD
当 时, ,当 时, ,
当 时,则 ,
当 时,则 ,
当 时,则 ,
当 时,则 ,
依次类推, 可得函数的解析式, 作出函数的大致图象如图所示,
对于 ,由 ,得 ,
令 ,由图象可知 与 的图象只有 3 个交点,
所以函数 有 3 个零点,所以 正确,
对于 ,当 时, ,即 ,由图象可知 与 的图象只有 3 个交点,
所以关于 的方程 有 3 个不同的解,而当 时, ,所以 错误, 对于 ,对于实数 ,不等式 恒成立,即 恒成立,
由图可知函数 的图象的每一个上顶点都在曲线 上,所以 恒成立,所以 C 正确,
对于 ,当 时,则 ,此时函数 的图象与 轴围成的图形的面积为
当 时,则 ,此时函数 的图象与 轴围成的图形的面积为 ,
当 时,则 ,此时函数 的图象与 轴围成的图形的面积为
当 时,函数 的图象与 轴围成的图形的面积为 ,所以 D 正确,
故选: ACD
由 ,
则 ,
解得 ,
又 ,所以 ,
故答案为: .
13.
,
当 时,等号成立,所以函数 的最小值为 .
14.
因为 ,
所以 ,
所以 ;
画出 的图象,
要使方程 恰有 5 个实数根,
结合图像可知, 解得 .
故答案为:
15. ;
(2) .
(1) 因为 ,
所以 ,
所以 .
( 2 )对于 ，
因为其对应的方程的判别式 ,所以 .
又 图象的对称轴为 ,且 ,
即只需 的图象与 轴的两个交点的横坐标均位于区间 内,
如图,
所以只需 ,解得 ,即 的取值范围是 .
16. (1)36 万元；
(2)9 万件，72 万元；
(1)设利润为 万元，
当工厂生产 4 万件时, ,
则工厂利润为: 万元；
(2)当 时， ，
当 时， ；
当 时, ,
,
当且仅当 ,即 时,等号成立, ,
综上: 要使工厂利润最大, 应生产 9 万件, 最大利润 72 万元.
17. (1)
0
0 2 0 -2 0
(2) ;
(3)
(1)
0
0 2 0 -2 0
由题意及表可知, ,
,
,解得 ,
.
(2)由题可得 ，
当 时, ,则 ,
函数 的值域为 .
(3)函数 的图象与直线 在区间 上的两个交点的横坐标分别为 ,
因为 ,所以直线 是 的一个对称轴,而区间 的区间长度为一个周期.
所以两个交点关于直线 对称
所以 ,且 ,代入得,
18.(1) .
(2)函数 在 上单调递减. 证明如下:
由条件 . 任取 ,且 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,即 ,故函数 在 上单调递减.
(3)证明:设 ，则 .
因为函数 定义域为 ,且
所以 为奇函数,图象关于原点对称,故 的图象关于点 成中心对称图形.
19. (1) 在 中, ,解得 或 , 又 , 为偶函数.
(2)由题意及(1)得， 或 ，
:函数 在定义域上有且仅有一个零点，
即 在定义域内有唯一解,
为偶函数, ,即 ,
当 ,解得 ,零点为 ,
检验: 当 时, 的定义域为 , 符合题意.
当 时， 的定义域为 ，符合题意;
当 ,由题意得 ,解得 ,
此时 无意义;
综上所述: .
(3) ,
由 在 上恒成立,得 在 上恒成立,
整理得 ,
令 ,则 ,不等式变形为 ,
解得 ,
要使不等式对任意 恒成立,则 ,
令 ,
因为 ,又对勾函数 在 上单调递增,
所以 在 上单调递减,又 在 上单调递增,
所以 ,
所以实数 的取值范围为 .
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