河南省信阳市浉河区信阳高级中学2025-2026学年高一下学期3月测试题（一）数学试题（含解析）

河南省信阳高级中学新校(贤岭校区)、老校(北湖校区) 2025-2026 学年高一下期
03 月测试 (一)
数学试题
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，集合 ，则 ( )
A. B.
C. D.
2. 若函数 的定义域是 ,则函数 的定义域是( )
A. B. C. D.
3. 下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A. B.
C. D.
4. 我国著名数学家华罗庚先生曾说:“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好， 隔离分家万事休. ”在数学学习和研究中, 常用函数的图象来研究函数性质, 也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征,函数 的大致图象是 ( )
A.
B.
C.
D.
5. 若关于 的不等式 的解集是 ,则关于 的不等式 的解集是( )
A. B.
C. D.
6. 若 ，则 ( )
A. B. C. D.
7. 已知函数 为 的零点， 为 图象的对称轴,且 在 上不单调,则 的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 若 ,则 的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项 中, 有多个选项是符合题目要求的, 全部选对的得 6 分, 部分选的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的有( )
A. 命题“ ”的否定是 “ ”
B. 若正数 满足 ,则 的最小值是
C. 函数 的单调递增区间为
D. 若 ,则 为第一象限角
10. 已知函数 的部分图象如图所示,则( )
A.
B.
C. 直线 是 图象的一条对称轴
D. 在 上的图象与直线 恰有 11 个交点
11. 已知函数 是定义在 上的非常数函数,满足 , ，且 为奇函数，则( ).
A. 为奇函数 B. 为偶函数
C. D.
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若 ，则 _____.
13. 如图,圆 与 轴的正半轴的交点为 ,点 在圆 上,且点 位于第一象限,点 的坐标为 . 若 ，则 的值为_____.
14. 已知定义在 上的函数 是偶函数,当 时, ,
若关于 的方程 ,有且仅有 6 个不同实数根,则实数 的取值范围是_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演 算步骤.
15. (1)计算: ；
(2)已知 ，求 的值；
(3)若 为锐角， 为钝角，求 的值.
16. 已知函数 .
(1)求 的定义域；
(2)若 .
(i) 求 在区间 上的最小值;
(ii) 求 在区间 的单调递减区间.
17. 已知函数 .
(1)求 的值；
(2)判断并证明 的奇偶性；
(3)设函数 . 若对任意的 ，存在 ，使得 成立,求实数 的取值范围.
18. 如图,有一块矩形铁皮 ,其中 米, 米,其中, 是一个大于等于 4 的常数. 阴影部分 是一个半径为 3 米的扇形. 设这个扇形已经锈蚀不能使用,但其余部分均完好. 工人师傅想在未被锈蚀的部分截下一块其边落在 与 上的矩形铁皮 , 使点 在弧 上. 设 ,矩形 的面积为 平方米.
(1)求这块铁皮的可用部分的面积；
(2)求S关于 的函数表达式；
(3)当 时，求 的最值，并求出当 取得最值时，所对应的 的值.
19. 我们将满足下列条件的函数 称为“ 伴随函数”:存在一个正常数 ，对于任意的
都有 且 .
(1)是否存在正常数 ，使得 是 “ 伴随函数” 若存在，请求出一个 的值；若不是, 请说明理由;
(2) 已知 是 “ 伴随函数”，且当 时， .
(i) 求当 时, 的解析式;
(ii) 若 为方程 在 上的根,求 的值.
1. B
因为 ,
而 ,所以 .
故选: B.
2. D
由 解得 ,又 ,得 .
故选: D.
3. D
对于 ,函数 的定义域为 ,函数 的定义域为 ,故 错误;
对于 ,函数 的定义域为 ,函数 的定义域为 , 故 B 错误;
对于 ,函数 的定义域为 ,函数 的定义域为 ,故 错误;
对于 ,函数 的定义域为 ,函数 的定义域为 ,且 , 故 D 正确.
4. B
由 ,得 ,解得 ,
函数 的定义域为 ,
,
函数 是奇函数,图象关于原点对称,故排除 CD;
,故排除 A,从而 B 正确.
故选: B.
5. B
因为关于 的不等式 的解集是 ,
所以 的两根是 -1 或 2,由韦达定理可得: ,
所以 可转化为 ,解得 或 .
所以原不等式的解集为 ,
故选: B.
6.
由于 ,
所以
,
故选: B
7. B
设函数 的最小正周期为 ,
因为 为 的零点, 为 图象的对称轴,
所以 ,即 ,
所以 .
因为 ,所以 在 上不单调,
当 时,由 为 的零点可得 ,
因为 ,所以 .
因为 在 上不单调,所以 的最小值为 2 .
故选: B.
8. C
, 因为 ,所以 .
作单位圆 ,与 轴非负半轴交于点 的终边与单位圆的交点为 ,过点 作 轴的垂线,垂足为 ,则 ;
过 作 轴的垂线交 的终边于点 ,则 .
易知, . 所以 .
所以 ,所以 ,即 ,所以 .
且 .
因为 , 所以 .
故选: C.
9. AC
对于 ,命题“ ”的否定是“ ”,故正确;
对于 ,由 得 ,
则 ,
当且仅当 等号成立,错误,
对于 ,由 可得: ,
又当 时, 单调递减,
同时 单调递减,
故函数 的单调递增区间为 ,正确,
对于 ,由 ,
得 或 ,
当 此时 为第一象限角,
当 此时 为第三象限角,
综上 为第一象限角或第三象限角,错误;
故选: AC
10. ACD
选项 A: 由图象可知, ,所以 .
当 时, ,即 ,
所以 ,即 .
又 ,所以 . A 正确.
选项 B: 由 A 知, .
因为 在 上单调递减, ,所以 ,
即 . B 错误.
选项 C: 令 ,则 .
所以 的对称轴为 .
当 时, 正确.
选项 D: 令 ,则 .
所以 或 .
在 上, 时有 1 个解, 时各有 2 个解,共 11 个解.D 正确.
故选: ACD.
11. BCD
函数 是定义在 上的非常数函数,
由于 为奇函数,故 ,
即 ,即 ,
由于 ,用 代换 可得 ,
结合 得: ,即 ,
结合 得 ,
即 ,故 ,
即 4 为函数 的周期,故 ,故 为偶函数,
由于 是定义在 上的非常数函数,故 不是奇函数,故 错误, 正确;
由于 ,故 ,即 ,
故 ,
故 ,故 正确;
由 得 ,
而 为偶函数且 ,故 ,
则 ,
因为 ,所以
故 正确,
故选: BCD
12. 0 或
由已知可得, ,
所以, ,
整理可得, ,解得 或 .
当 时, ;
当 时, .
综上所述, 或 .
故答案为: 0 或 .
13.
圆 的半径为 1 .
又 为等边三角形, ,
所以 的终边为 ,
由三角函数的定义可得, .
故答案为:
14.
作出 时函数的图象,再根据函数为偶函数得到 上的函数图象:
令 ,方程 化为 , 由题意得方程 有 2 个不相等的实数根 ,且 , 有以下两种情况符合题意:
① 当 时， ，故 ，
② 当 时， ，故 ，
综上可知实数 的取值范围是 .
故答案为: .
15. (1)π +2 (2)-1 (3)
(1)原式
;
(2)因为 ， 所以 .
(3)若 ，又 ，所以 ，则
又 ,则 ,所以 ,
又 ,所以 ,
所以
又 ,所以 .
16. (1) .
(2) (i) 2; (ii) .
(1) 由题意得 ,则 ,
则 的定义域为 .
(2) (i)
,
因为 ,即 ,解得 ,
则 ,
因为 ,则 ,则 .
(ii) 令 ,解得 ,
令 ,则 ,又因为 ,
则 在区间 的单调递减区间为 .
17.(1) 由题,将 代入得 .
(2) 为偶函数.
证明: 由题可知, 定义域为
所以 .
所以， 为偶函数.
(3)由题， ，
令 ,则 在 上单调递增,根据对数函数的性质可知 在 上单调递增,
故 单调递增,
又 在 上单调递增, 在 上单调递增,
所以,当 时, ,
因为对任意的 ,存在 ,使得 ,
所以 对于 恒成立,即 恒成立.
设 ,则 ,
,当且仅当 ,即 时,等号成立.
所以 .
18.
(2)
(3)最小值是 或
(1) 解: 根据题意,矩形的面积为 ,阴影部分的面积为 , 所以可用部分的面积为
(2)解:过 作 ，垂足为 ，
由 ,且圆的半径为 3,可得 ,
所以 ,
所以矩形 的面积 .
(3)解:由(2)知:矩形 的面积 ，
故
,
因为 ,
又因为 ,可得 ,所以 ,
则当 时,矩形 的面积 取得最小值 ,即 ,
此时 ,所以 ,
解得 或
所以 的最小值是 ,当 取得最小值时,所对应的 的值是 或 .
19. (1) 存在正常数 ,使得 是 “ 伴随函数”.
因为 ,所以 ,
因为 ,所以 ,
所以存在一个 的值为 .
(2)(i) 由 ，得 ，
所以 是周期为 的函数.
由 ,得 ,所以 为 的一条对称轴,
当 时, ,所以
所以当 .
(ii) 易知 在 上的图象如图所示,
根据周期性结合图象,
当 时， ；
当 ,或 ,或 时, ;
当 时， ；
当 或 时, .