7.2.2 平行线的判定 提高题训练（含解析）

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7下平行线的判定 提高题训练
一．解答题（共10小题）
1．如图1，M为射线BA上一点，∠ABC＝α，∠AMN＝β（α＞β），根据以上条件解答下列问题．
（1）若α＝120°，β＝45°，∠CBD＝75°，求证：BD∥MN．
（2）如图2，点E在BC上，过点E作PQ∥MN．求∠BEQ的度数．（用含α和β的代数式表示）
（3）在（2）的条件下，过点E作射线EF⊥BC，若α＝105°，β＝45°，直接写出∠FEP的度数．
2．如图1，点A，O，B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒4°的速度转动，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒6°的速度转动，直线MN保持不动，如图2，设转动时间为t（0≤t≤60，单位：秒）
（1）当t＝3时，求∠AOB的度数；
（2）在转动过程中，当∠AOB第二次达到80°时，求t的值；
（3）在转动过程中是否存在这样的t，使得射线OB与射线OA垂直？如果存在，请求出t的值：如果不存在，请说明理由．
3．如图，已知点B、C在线段AD的异侧，连接AB、CD，点E、F分别是线段AB、CD上的点，连接CE、BF，分别与AD交于点G，H，且∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠AGE+∠AHF＝180°，求证：∠B＝∠C；
（3）在（2）的条件下，若，求∠AHB的度数．
4．如图，在三角形ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H，∠1＝∠B，∠2+∠3＝180°．
（1）求证：EH∥AD；
（2）若∠DGC＝58°，且∠H﹣∠4＝10°，求∠H的度数．
5．已知：如图①，点E在AB上，且CE平分ACD，∠1＝∠2．求证：AB∥CD．
（探究）已知：如图②，点E在AB上，且CE平分∠ACD，AB∥CD求证：∠1＝∠2．
（应用）如图③，BE平分∠DBC，点A是BD上一点，过点A作AE∥BC交BE于点E，∠ABC：∠BAE＝4：5，直接写出∠E的度数．
6．如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1＝∠2．
（1）请判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）若BC平分∠ABD，∠D＝112°，求∠C的度数．
7．【课题学行线的“等角转化”．
如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数．
解：过点A作ED∥BC，
∴∠B＝　 　 ，∠C＝　 　 ，
又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°．
∴∠B+∠BAC+∠C＝　 　 ．
【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程．
【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】（2）如图2，已知AB∥CD，BE、CE交于点E，∠BEC＝80°，求∠B ∠C的度数．
（3）如图3，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，请直接写出∠B，∠D，∠BPD之间的关系．
8．如图，直线CD、EF交于点O，AO⊥BO，且∠1+∠2＝90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若OB平分∠DOE，∠2：∠3＝2：5，求∠AOF的度数．
9．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°，试说明：∠GDC＝∠B．请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由．
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴∠ADB＝∠EFB＝90° （　 　 ），
∴EF∥AD（　 　 ），
∴　 　 +∠2＝180°（　 　 ）．
又∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠1＝∠3（　 　 ），
∴AB∥　 　 （　 　 ），
∴∠GDC＝∠B（　 　 ）．
10．【课题学行线的“等角转化”．
【问题解决】（1）阅读并补全推理过程．
如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数．
解：过点A作ED∥BC，
∴∠B＝　 　 ，∠C＝　 　 ，
又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°．
∴∠B+∠BAC+∠C＝　 　 ．
【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】（2）如图2，已知AB∥CD，BE、CE交于点E，∠BEC＝80°，求∠B﹣∠C的度数．
（3）如图3，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，请直接写出∠B，∠D，∠BPD之间的关系．
7下平行线的判定 提高题训练
一．解答题（共10小题）
1．如图1，M为射线BA上一点，∠ABC＝α，∠AMN＝β（α＞β），根据以上条件解答下列问题．
（1）若α＝120°，β＝45°，∠CBD＝75°，求证：BD∥MN．
（2）如图2，点E在BC上，过点E作PQ∥MN．求∠BEQ的度数．（用含α和β的代数式表示）
（3）在（2）的条件下，过点E作射线EF⊥BC，若α＝105°，β＝45°，直接写出∠FEP的度数．
【分析】（1）根据题意，结合图形，得到∠AMN＝∠DBA＝45°，从而得到BD∥MN；
（2）结合图形，利用三角形的外角等于不相邻的两个内角和的性质，得到结果；
（3）分类讨论，结合图形，利用三角形内角和等于180°，结合直角，得到结果．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝α＝120°，∠CBD＝75°，
∴∠DBA＝∠ABC﹣∠CBD＝45°，
∵∠AMN＝β＝45°，
∴∠AMN＝∠DBA，
∴BD∥MN；
（2）解：延长QP和AB相交于P，如图2，
∵PQ∥MN，
∴∠QPB＝∠NMA＝β，
∵∠ABC＝α，
∴∠CBP＝180°﹣α，
∴∠BEQ＝∠CBP+∠QPB＝180°﹣α+β；
（3）解：①如图3，EF⊥BC，
∵∠ABC＝α＝105°，
∴∠CBP＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°，
∵PQ∥MN，
∴∠AMN＝∠QPB＝β＝45°，
∴∠BEP＝180°﹣∠CBP﹣∠QPB＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∵∠FEB＝90°，
∴∠FEP＝90°﹣∠BEP＝90°﹣60°＝30°；
②如图4，
由①知∠CBP＝180°﹣α＝75°，∠QPB＝β＝45°，
∴∠BEP＝60°，
∵∠FEB＝90°，
∴∠FEP＝90°+60°＝150°，
综上所述，∠FEP的度数为30°或150°．
2．如图1，点A，O，B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒4°的速度转动，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒6°的速度转动，直线MN保持不动，如图2，设转动时间为t（0≤t≤60，单位：秒）
（1）当t＝3时，求∠AOB的度数；
（2）在转动过程中，当∠AOB第二次达到80°时，求t的值；
（3）在转动过程中是否存在这样的t，使得射线OB与射线OA垂直？如果存在，请求出t的值：如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据∠AOB＝180°﹣∠AOM﹣∠BON计算即可．
（2）构建方程求解即可．
（3）分两种情形，分别构建方程求解即可．
【解答】解：（1）当t＝3时，∠AOB＝180°﹣4°×3﹣6°×3＝150°．
（2）依题意，得：4t+6t＝180+80，
解得 t＝26，
答：当∠AOB第二次达到80°时，t的值为26秒．
（3）当0≤t≤18时，180﹣4t﹣6t＝90，
解得t＝9，
当18≤t≤60时，4t+6t＝180+90或4t+6t＝180+270，
解得t＝27或t＝45．
答：在旋转过程中存在这样的t，使得射线OB与射线OA垂直，t的值为9秒、27秒或45秒．
3．如图，已知点B、C在线段AD的异侧，连接AB、CD，点E、F分别是线段AB、CD上的点，连接CE、BF，分别与AD交于点G，H，且∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠AGE+∠AHF＝180°，求证：∠B＝∠C；
（3）在（2）的条件下，若，求∠AHB的度数．
【分析】（1）只需要证明∠AEG＝∠C即可证明AB∥CD；
（2）先证明∠HGE＝∠AHF得到BF∥CE则∠B＝∠AEG，再由∠AEG＝∠C即可证明∠B＝∠C；
（3）根据平行线的性质得到∠BFC+∠C＝180°，∠AHB＝∠DGC，再结合已知条件求出∠C的度数即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC，∠AGE＝∠DGC，
∴∠AEG＝∠C，
∴AB∥CD；
（2）证明：∵∠AGE+∠HGE＝180°，∠AGE+∠AHF＝180°，
∴∠HGE＝∠AHF，
∴BF∥CE，
∴∠B＝∠AEG，
又∵∠AEG＝∠C，
∴∠B＝∠C；
（3）解：由（2）得BF∥CE，
∴∠BFC+∠C＝180°，∠AHB＝∠DGC，
又∵，
∴，
∴∠C＝70°，
∴∠AHB＝∠DGC＝∠C＝70°．
4．如图，在三角形ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H，∠1＝∠B，∠2+∠3＝180°．
（1）求证：EH∥AD；
（2）若∠DGC＝58°，且∠H﹣∠4＝10°，求∠H的度数．
【分析】（1）由∠1＝∠B得AB∥GD，即得∠2＝∠BAD，进而可得∠BAD+∠3＝180°，即可求证；
（2）由平行线的性质可得∠2＝∠H，即得∠H＝∠BAD，即可得∠BAC＝∠BAD+∠4＝∠H+∠4＝58°，进而由∠H﹣∠4＝10°可得∠4＝24°，据此即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠B，
∴AB∥GD（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠BAD（两直线平行，内错角相等），
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠BAD+∠3＝180°，
∴EH∥AD；
（2）解：∵EH∥AD，
∴∠2＝∠H（两直线平行，同位角相等），
∵∠2＝∠BAD，
∴∠H＝∠BAD，（等量代换）
∴∠BAC＝∠BAD+∠4＝∠H+∠4＝58°，
∵∠H﹣∠4＝10°，
∴2∠4+10°＝58°，
∴∠4＝24°，
∴∠H＝34°．
5．已知：如图①，点E在AB上，且CE平分ACD，∠1＝∠2．求证：AB∥CD．
（探究）已知：如图②，点E在AB上，且CE平分∠ACD，AB∥CD求证：∠1＝∠2．
（应用）如图③，BE平分∠DBC，点A是BD上一点，过点A作AE∥BC交BE于点E，∠ABC：∠BAE＝4：5，直接写出∠E的度数．
【分析】【探究】由角平分线的定义得∠2＝∠DCE，再由平行线的性质得∠A＝∠DCE，即可得出结论；
【应用】由角平分线的定义得∠ABE＝∠CBE，再由平行线的性质得∠ABC+∠BAE＝180°，∠E＝∠CBE，然后求出∠ABC＝80°，则∠CBE＝40°，即可求解．
【解答】【探究】证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠2＝∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠DCE，
∴∠1＝∠2；
【应用】解：∵BE平分∠DBC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵AE∥BC，
∴∠ABC+∠BAE＝180°，∠E＝∠CBE，
∵∠ABC：∠BAE＝4：5，
∴∠ABC＝80°，
∴∠CBE＝40°，
∴∠E＝∠CBE＝40°．
6．如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1＝∠2．
（1）请判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）若BC平分∠ABD，∠D＝112°，求∠C的度数．
【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可进行证明；
（2）根据BC平分∠ABD，∠D＝112°，即可求∠C的度数．
【解答】解：（1）AB∥CD，理由如下：
∵FG∥AE，
∴∠FGC＝∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠FGC，
∴AB∥CD；
（2）∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠D＝180°，
∵∠D＝112°，
∴∠ABD＝180°﹣112°＝68°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC∠ABD＝34°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠ABC＝34°．
所以∠C的度数为34°．
7．【课题学行线的“等角转化”．
如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数．
解：过点A作ED∥BC，
∴∠B＝　∠EAB ，∠C＝　∠DAC ，
又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°．
∴∠B+∠BAC+∠C＝　180°　 ．
【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程．
【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】（2）如图2，已知AB∥CD，BE、CE交于点E，∠BEC＝80°，求∠B ∠C的度数．
（3）如图3，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，请直接写出∠B，∠D，∠BPD之间的关系．
【分析】（1）过点A作ED∥BC，从而利用平行线的性质可得∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，再根据平角定义可得∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，然后利用等量代换可得∠B+∠BAC+∠C＝180°，即可解答；
（2）过点E作EF∥AB，从而利用平行线的性质可得∠BEF＝180°﹣∠B，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得EF∥CD，然后利用平行线的性质可得∠FEC＝∠C，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答；
（3）过点P作PE∥CD，从而利用平行线的性质可得∠D＝∠DPE，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得AB∥PE，然后利用平行线的性质可得∠B＝∠BPE，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）过点A作ED∥BC，
∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，
又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°，
故答案为：∠EAB；∠DAC；180°；
（2）过点E作EF∥AB，
∴∠B+∠BEF＝180°，
∴∠BEF＝180°﹣∠B，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FEC＝∠C，
∵∠BEC＝80°，
∴∠BEF+∠FEC＝80°，
∴180°﹣∠B+∠C＝80°，
∴∠B﹣∠C＝100°；
（3）∠BPD＝∠B﹣∠D，
理由：过点P作PE∥CD，
∴∠D＝∠DPE，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE，
∴∠B＝∠BPE，
∵∠BPD＝∠BPE﹣∠DPE，
∴∠BPD＝∠B﹣∠D．
8．如图，直线CD、EF交于点O，AO⊥BO，且∠1+∠2＝90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若OB平分∠DOE，∠2：∠3＝2：5，求∠AOF的度数．
【分析】（1）首先根据题意可得∠AOB＝90°，进而可知∠AOC+∠2＝90°，结合∠1+∠2＝90°可证明∠AOC＝∠1，然后根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论；
（2）根据平分线的定义可得∠EOB＝∠2，设∠2＝∠EOB＝2x，则∠3＝5x，结合∠EOB+∠2+∠3＝180°可得关于x的一元一次方程，解得x的值，可求得∠AOE，然后由∠AOF＝180°﹣∠AOE求解即可．
【解答】（1）证明：∵AO⊥BO，
∴∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠2＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠AOC＝∠1，
∴AB∥CD；
（2）解：∵OB平分∠DOE，
∴∠EOB＝∠2，
∵∠2：∠3＝2：5，
设∠2＝∠EOB＝2x，∠3＝5x，
则∠EOB+∠2+∠3＝180°，
即2x+2x+5x＝180°，解得x＝20°，
∴∠EOB＝40°，
又∵∠AOB＝90°，
∴∠AOE＝∠AOB﹣∠EOB＝50°，
∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝130°．
9．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°，试说明：∠GDC＝∠B．请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由．
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴∠ADB＝∠EFB＝90° （　垂直的定义　 ），
∴EF∥AD（　同位角相等两直线平行　 ），
∴　∠1　 +∠2＝180°（　两直线平行同旁内角互补　 ）．
又∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠1＝∠3（　同角的补角相等　 ），
∴AB∥DG （　内错角相等两直线平行　 ），
∴∠GDC＝∠B（　两直线平行同位角相等　 ）．
【分析】根据平行线的判定和性质，垂直的定义，同角的补角相等知识一一判断即可．
【解答】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴∠ADB＝∠EFB＝90°（垂直的定义），
∴EF∥AD （同位角相等两直线平行），
∴∠1+∠2＝180°（两直线平行同旁内角互补），
又∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠1＝∠3 （同角的补角相等），
∴AB∥DG（内错角相等两直线平行），
∴∠GDC＝∠B （两直线平行同位角相等）．
故答案为：垂直的定义，同位角相等两直线平行，∠1，两直线平行同旁内角互补，同角的补角相等，DG，内错角相等两直线平行，两直线平行同位角相等．
10．【课题学行线的“等角转化”．
【问题解决】（1）阅读并补全推理过程．
如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数．
解：过点A作ED∥BC，
∴∠B＝　∠EAB ，∠C＝　∠DAC ，
又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°．
∴∠B+∠BAC+∠C＝　180°　 ．
【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】（2）如图2，已知AB∥CD，BE、CE交于点E，∠BEC＝80°，求∠B﹣∠C的度数．
（3）如图3，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，请直接写出∠B，∠D，∠BPD之间的关系．
【分析】（1）过点A作ED∥BC，从而利用平行线的性质可得∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，再根据平角定义可得∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，然后利用等量代换可得∠B+∠BAC+∠C＝180°，即可解答；
（2）过点E作EF∥AB，从而利用平行线的性质可得∠BEF＝180°﹣∠B，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得EF∥CD，然后利用平行线的性质可得∠FEC＝∠C，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答；
（3）过点P作PE∥CD，从而利用平行线的性质可得∠D＝∠DPE，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得AB∥PE，然后利用平行线的性质可得∠B＝∠BPE，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）过点A作ED∥BC，
∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，
又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°，
故答案为：∠EAB；∠DAC；180°；
（2）如图，过点E作EF∥AB，
∴∠B+∠BEF＝180°，
∴∠BEF＝180°﹣∠B，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FEC＝∠C，
∵∠BEC＝80°，
∴∠BEF+∠FEC＝80°，
∴180°﹣∠B+∠C＝80°，
∴∠B﹣∠C＝100°；
（3）∠BPD＝∠B﹣∠D，
如图，过点P作PE∥CD，
∴∠D＝∠DPE，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE，
∴∠B＝∠BPE，
∵∠BPD＝∠BPE﹣∠DPE，
∴∠BPD＝∠B﹣∠D．