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高频考点专练13 二次函数
（6个知识点+9个题型+1个专练+验收卷）
一、二次函数的相关概念
一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数．其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．
二次函数解析式的表示方法：
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)；
(2)顶点式：y=a(x+)2+，它直接显示二次函数的顶点坐标是；
(3)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是图象与x轴交点的．
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．
二、二次函数的图象与性质
二次函数的图象是一条抛物线．当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下．|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大．
y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h
顶点 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k)
a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最小值(或最大值)为0(k或)．
增减性 a>0 x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大．即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大．
a<0 x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小．即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小．
三、二次函数的平移
方法一：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下：
方法二：
⑴沿轴平移：向上（下）平移个单位，变成
（或）
⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）
四、二次函数的图象与各项系数之间的关系
a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．
b的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”
c决定了抛物线与轴交点的位置
字母的符号 图象的特征
a a＞0 开口向上
a＜0 开口向下
b b＝0 对称轴为y轴
ab＞0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧
ab＜0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧
c c＝0 经过原点
c＞0 与y轴正半轴相交
c＜0 与y轴负半轴相交
五、二次函数与一元二次方程之间的关系
判别式情况 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点 a＞0
a＜0
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根 有两个不相等的实数根x1，x2 有两个相等的实数根x1＝x2 没有实数根
当b2－4ac＜0时
当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；
当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．
六、用二次函数解决实际问题的一般步骤：
1．审：仔细审题，理清题意；
2．设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；
3．列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；
4．解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；
5．检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论．
【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．
利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题．
利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题．
利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题．
类型1 二次函数的图象与性质
【例题】
1．（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可．
【详解】解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上，
∴当时， y随x的增大而增大，
∵点都在二次函数的图象上，且，
∴，
故选∶A．
【变式】
2．（2025·广东清远·一模）若点，，在二次函数（）的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据，，三点到对称轴的距离大小关系求解．解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
【详解】解：（），
抛物线开口向下，对称轴为直线，
，
，
故选：D．
3．（2025·广东江门·三模）已知，，则y关于x的二次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图象的判断，掌握其性质是解题的关键．根据，，得出，再根据二次函数图象与系数关系即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴的图象开口向上，与轴的交点在与之间，
观察四个选项，只有B项的图象符合条件．
故选：B．
4．（2025·广东中山·一模）抛物线有三点，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识，熟练的掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
依据题意，根据抛物线的性质得抛物线的开口向下，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【详解】解：由题意得，，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线．
∵离直线最远， 离直线最近，
∴最小，最大．
∴．
故选：D．
类型2 二次函数的图象与各项系数符号
【例题】
5．（2025·广东深圳·二模）已知二次函数为，则它的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的图象和性质，逐项判断，即可求解．
【详解】解：∵二次函数为，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
故A，B，D选项不符合题意，C选项符合题意；
故选：C
【变式】
6．（2025·广东清远·二模）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①该图象经过点；②；③；④，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的对称性，根据对称性求出抛物线与轴的另一个交点坐标判断①，开口方向，对称轴，与轴的交点判断②和④，特殊点判断③即可．
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线，
∴该图象经过点；故①正确；
由图象可知：，
∵对称轴为，
∴，
∴；故②④错误；
∵图象经过点；
∴，故③正确；
故选B．
7．（2025·广东茂名·一模）如图所示为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．由二次函数与轴有两个交点，可对①进行判断；利用抛物线的对称性可得与关于对称轴对称，可对②进行判断；利用抛物线的开口方向可得，结合对称轴可得，根据抛物线与轴交于正半轴得到，可对③进行判断；当时，，即，则可对④进行判断．
【详解】解：由图象可知，二次函数与轴有两个交点，即，故①正确；
由图象可知，当时，，
抛物线的对称轴是直线，
与关于对称轴对称，
，故②正确；
抛物线开口向下，
抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于正半轴，
，，
，故③正确；
当时，，
，故④正确；
故选：D．
8．（2025·广东中山·模拟预测）已知二次函数图像的一部分如图所示，该函数图像经过点，对称轴为直线，对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④无论为何值时，代数式的值一定不大于．其中正确的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】此题考查二次函数的图像和性质，利用抛物线的开口方向确定a的符号，结合对称轴判断①；由抛物线与轴的一个交点为，结合对称轴得到另一个交点，由此判断②；根据一元二次方程与二次函数的关系判断③；将当时，有最大值，，时，，进行比较即可判断④．
【详解】∵抛物线开口向下，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴结论正确；
∵抛物线与轴的一个交点为，且对称轴为直线，
由，得，
∴抛物线与轴的另一个交点为，
即当时，，
∴，
∴，
∴结论错误；
∵抛物线与轴的两个交点为，，
∴多项式可因式分解为，
∴结论错误；
∵对称轴为直线，且函数开口向下，
∴当时，有最大值，
由得，
时，，
时，，
∴无论为何值时，
，
∴
∴结论正确；
综上：正确的有．
故答案为：B．
类型3 一次函数与二次函数的图象综合判断
【例题】
9．（2025·广东云浮·一模）二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，分和两种情况根据二次函数与一次函数图象分析判断即可得解．熟练掌握函数图象与系数的关系是解题的关键，注意分情况讨论．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，对称轴在轴左侧，
A和B选项不正确；
时，抛物线开口向下，一次函数经过第二、三、四象限，与轴正半轴的交于点，
C选项不正确；
时，抛物线开口向上，一次函数经过第一、二、三象限，与轴正半轴的交于点，
D选项正确．
故选：D．
【变式】
10．（2025·广东韶关·一模）在同一平面直角坐标系中，二次函数的图象和一次函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，可先根据一次函数的图象判断的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．解题的关键是熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
【详解】解：A、由一次函数的图象可判断矛盾，故不符合题意；
B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，和轴的正半轴相交，且与一次函数交于同一点，故选项不符合题意；
C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，和轴的正半轴相交，且与一次函数交于同一点，故选项不符合题意；
D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，和轴的负半轴相交，且与一次函数交于同一点，故选项符合题意．
故选：D．
11．（2024·广东东莞·一模）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合判断．先根据二次函数图象求出，，再根据一次函数图象与其系数的关系判断出一次函数经过的象限即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵，
∴，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，
故选：C．
12．（2021·广东深圳·中考真题）二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先分析二次函数的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数的图像恒过定点，即可得出正确选项．
【详解】二次函数的对称轴为，一次函数的图像恒过定点，所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为，只有A选项符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，解决本题的关键是能推出一次函数的图像恒过定点，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
类型4 反比例函数与二次函数的图象综合判断
【例题】
13．（2024·广东广州·中考真题）函数与的图象如图所示，当（ ）时，，均随着的增大而减小．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当时，随着的增大而减小；位于在一、三象限内，且均随着的增大而减小，据此即可得到答案．
【详解】解：由函数图象可知，当时，随着的增大而减小；
位于一、三象限内，且在每一象限内均随着的增大而减小，
当时，，均随着的增大而减小，
故选：D．
【变式】
14．（2022·广东广州·一模）函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先根据二次函数的图象确定的符号，然后判断反比例函数的图象是否相符．
【详解】A．，则∴反比例函数的图象应该位于二四象限，故该选项正确，符合题意；
B．令x=0，则y=1，∴二次函数的图象与轴的交点在正半轴，故该选项错误，不符合题意；
C．由二次函数的图象可得：，此时，∴反比例函数的图象应该位于一三象限，故该选项不正确，不符合题意；
D．令x=0，则y=1，∴二次函数的图象与轴的交点在正半轴，故该选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，以及反比例函数的图象与性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．
15．（2025·广东广州·一模）已知在同一平面直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象所经过的象限是（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数图象，反比例函数图象，二次函数图象的综合．根据反比例函数的函数图象在一、三象限，得到，根二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，得到，，则，由此即可得到答案．
【详解】解：∵反比例函数的函数图象在二、四象限，
∴，
∵二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴，，
∴，
∴，，
∴一次函数经过一、二、四象限，
故选：D．
16．（2024·广东广州·一模）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（ ）
A． B． C．D．
【答案】D
【分析】先根据二次函数的图象开口向上和对称轴可知，由抛物线交的正半轴，可知，然后利用排除法即可得出正确答案．本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
【详解】解：二次函数的图象开口向上，
，
，
，
，
的图象必在二，四象限，
抛物线与轴相交于正半轴，
，
，
的图象经过一，二，四象限，
故A、B、C错误，D正确；
故选：D．
类型4 二次函数图象的平移
【例题】
17．（25-26九年级上·广东汕头·月考）将表达式为的抛物线经过平移后得到表达式为的抛物线，则平移的方向和距离是（ ）
A．向右2个单位长度，再向上3个单位长度
B．向右2个单位长度，再向下3个单位长度
C．向左2个单位长度，再向上3个单位长度
D．向左2个单位长度，再向下3个单位长度
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的平移，根据顶点平移情况判断整体平移方向．通过比较抛物线的顶点坐标的变化，比较顶点坐标的变化来确定平移方向．
【详解】解：原抛物线 的顶点坐标为 ，
平移后抛物线 的顶点坐标为 ，
∵ 顶点从 平移到 ，
∴ 坐标减少 2，即向左平移 2 个单位；
坐标减少 3，即向下平移 3 个单位．
∴ 平移的方向和距离是向左平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度．
故选：D．
【变式】
18．（2024·广东河源·一模）将抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，平移后抛物线的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先确定抛物线的顶点坐标为，再根据点平移的规律得到点平移后所得对应点的坐标为，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，
把点向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度所得对应点的坐标为，
∴平移后的抛物线解析式为．
故选：A．
19．（2024·广东汕头·一模）如图，一段抛物线，记为抛物线，它与轴交于点、；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点；如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据抛物线与轴的交点问题，得到图象与轴交点坐标为：，，再利用旋转的性质得到图象与轴交点坐标为：，，则抛物线：，于是可推出点在哪段“波浪线”上，从而求得的值．
本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
【详解】解：，
图象与轴交点坐标为：，，
将绕点旋转得，交轴于点；，
抛物线：，
将绕点旋转得，交轴于点；
在抛物线，上，
当时，．
故选：C．
20．（2024·广东阳江·二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．顶点为，把这条抛物线向上平移至顶点落在轴上，则两条抛物线、对称轴和轴围成的图形（图中阴影部分）的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查抛物线与轴交点、二次函数几何变换等知识．依据题意，根据即可计算．
【详解】解：如图连接、．
与轴交于，两点，与轴交于点，
∴顶点的坐标为，
平移后顶点的坐标为，
∴抛物线向上平移了1个单位．
．
故选：B．
类型6 二次函数与一元二次方程
【例题】
21．（2024·广东梅州·一模）抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是( )
A．和3 B．和5 C．和3 D．和4
【答案】B
【分析】本题考查了抛物线上点的坐标特征，解一元二次方程等，综合性较强，正确把握抛物线上的点的坐标一定满足抛物线的解析式是关键；将关于x的一元二次方程a变形为由方程的解为，，即可得出或，由此解答问题．
【详解】解：因为抛物线经过点、
所以方程的解为，，
∵整理变形为，
∴或，
解得或
所以一元二方程的解为，．
故选：B．
【变式】
22．（2025·广东惠州·三模）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则△ABC的面积为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．6
【答案】A
【分析】此题考查了二次函数与坐标轴的交点问题．求得三点的坐标，即可求解．
【详解】解：当时，，解得，，
∴点，．
当时，，
∴，
∴，，
∴．
故选：A．
23．（2025·广东梅州·一模）如图是二次函数的图象，图象上有两点分别为，，则关于的方程的一个根可能是（ ）
A．2.18 B．2.68 C．﹣0.56 D．2.45
【答案】D
【分析】本题考查了抛物线和轴交点，理解抛物线和一元二次方程的关系是解答关键．
观察函数图象可得 的点在和之间，进而求解．
【详解】解：从函数图象看， 的点在和之间，
而在和之间被选项中的数为，
的方程的一个根可能.
故选：D．
24．（2023·广东梅州·一模）已知抛物线与一次函数交于两点，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．20
【答案】A
【分析】根据题意，联立方程组求解，消元得到，利用根与系数的关系，再运用两点距离公式变形求出长度即可得到答案．
【详解】解：抛物线与一次函数交于两点，
联立，消元得，
，
故选：A
【点睛】本题考查平面直角坐标系中求线段长问题，涉及函数图像交点问题、一元二次方程根与系数的关系、两点之间距离公式及完全平方公式等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及两点之间距离公式是解决问题的关键．
25．（2025·广东广州·二模）已知抛物线与x轴交于点和（点A在点B的左侧），对称轴为，直线与抛物线相交于两点，，则最小值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，最小值的确定方法，解题时注意配方法的应用．
先根据对称轴求得抛物线解析式，然后联立抛物线和直线，建立方程组，转化为关于x的一元二次方程，进而根据根与系数的关系得出，，，再求的最小值即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴交于点和，对称轴为，
∴1．
∴．
∴点和，
∴抛物线的解析式为．
联立，
∴①，
∴，，
∴，
要使最小，则最小，
∴最小，
即时，最小值为2．
故选：C．
类型7 二次函数与不等式
【例题】
26．（2025·广东广州·一模）如图，抛物线与直线相交于点和点，点，的横坐标分别为和4，则当时的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据抛物线图象在直线图象上方部分对应x的范围即为时的取值范围，利用交点坐标即可解答．
【详解】解：根据图象：当时的取值范围为，
故选：C．
【变式】
27．（2024·广东深圳·一模）若一次函数与反比例函数的图象没有公共点，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟知函数图象的交点与方程组的解之间的关系是解题的关键．两个函数图象没有交点，即两个图象的函数解析式组成的方程组无解．
【详解】解：因为一次函数与反比例函数的图象没有公共点，
所以方程无解，
原方程可整理为，
则，
即，
设，
结合函数图象得，
所以四个选项中的C选项符合题意．
故选：C．
28．（2024·广东中山·三模）记实数，，，中的最大数为，例如，则当函数时，x的取值范围为（ ）
A．01 B．0或 C．0或 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数与不等式，根据题意列出不等式、再画出对应函数的图像成为解题的关键．
根据题意可得，则x的取值范围为函数的图像为x轴上方部分对应自变量的取值范围；再求得函数的图像与x轴的交点的横坐标为0、1，最后画出函数图像即可解答．
【详解】解：∵函数，
∴，
∴x的取值范围为函数的图像为x轴上方部分对应自变量的取值范围，
∵，
∴函数的图像与x轴的交点的横坐标为0，1，
画出函数图像如下：
∴不等式的x取值范围为：0或．
故选B．
29．（2025·广东广州·一模）已知二次函数（）与轴交于、两点，与轴交点的纵坐标是，且，则以下结论中不正确的是（ ）
A．
B．
C．抛物线的顶点坐标为
D．若，则或
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系，二次函数和不等式的关系，顶点坐标，对称轴等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
利用二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系，二次函数和不等式的关系，顶点坐标，对称轴等知识点逐项进行判断即可．
【详解】解：A. 因为二次函数（）与轴交于、两点，与轴交点的纵坐标是，且，可判断出抛物线开口向下，对称轴位于轴的左侧，
∴，
，故该选项正确，不符合题意；
B. 因为二次函数（）与轴交于、两点，当函数值为0时，即当时，，
，，
∴，
，
∵抛物线与轴交点的纵坐标是，且，
∴，
即，
解得，故该选项正确，不符合题意；
C.由B选项可得抛物线的对称轴为直线，所以顶点横坐标为，
根据抛物线顶点纵坐标公式可得，，
∴抛物线的顶点坐标为，故该选项正确，不符合题意；
D.当时，抛物线的函数值为，此时，根据对称轴可得该点的对称点的横坐标为，
由选项A可知抛物线开口向下，
∴当时，，
即当时，，故该选项错误，符合题意；
故选：D．
类型8 二次函数的实际应用
【例题】
30．（2025·广东·中考真题）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长，主塔高，主缆可视为抛物线，主缆垂度，主缆最低处距离桥面，桥面距离海平面约．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式．
【答案】该抛物线的表达式为
【分析】本题考查待定系数法求二次函数表达式，先由题意，建立恰当的平面直角坐标系，从而得到、，设该抛物线的顶点式为，将代入解方程即可得到答案．根据题中示意图，建立恰当的平面直角坐标系，并设出抛物线表达式是解决问题的关键．
【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示：
则抛物线顶点坐标为，，即，
设该抛物线的表达式为，
将代入得，
解得，
该抛物线的表达式为．
【变式】
31．（2025·广东茂名·模拟预测）为落实国家“乡村振兴战略”，切实提高农民的收入，某合作社将农户种植的无花果加工包装后进行销售，已知种植及加工无花果的综合成本为30元/千克，售价为50元/千克时，每天可出售2000千克，经市场调查发现每降价1元，一天多售出250千克．
(1)如果每天的利润要比原来多5000元，并使顾客得到更大的优惠，每千克售价为多少元？
(2)要使每天的利润取得最大值，每千克售价为多少元？
【答案】(1)每千克售价为40元
(2)要使每天的利润取得最大值，每千克售价为44元
【分析】此题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出函数关系式，熟知二次函数的性质、一元二次方程的求解．
（1）设每千克降价为x元，根据题意列出方程求解即可；
（2）设每天的利润为，根据题意列出函数关系式求解即可；
【详解】（1）解：设每千克降价为x元，
，
解得：或，
售价为元或元，
又为使顾客得到更大的优惠，
每千克售价为40元．
（2）解：设每天的利润为，
由题意，结合（1）可得，，
，
又，
当时，每天的利润取得最大值，最大值为49000元．
要使每天的利润取得最大值，每千克售价为元．
32．（2025·广东深圳·模拟预测）张伯伯挨着一面墙开垦了一块矩形田地，准备种植蔬菜．张伯伯将矩形田地用的篱笆分割成如图所示的四个面积相等的矩形（矩形田地的边缘除边外都要围上），种植不同种类的蔬菜，设．
(1)求矩形田地的面积的最大值．
(2)若矩形田地的面积不小于，求的取值范围．
【答案】(1)矩形田地的面积的最大值为
(2)当矩形田地的面积不小于时，的取值范围为
【分析】本题考查了二次函数的应用，一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，熟练掌握矩形的性质和面积公式，列出一元二次方程和二次函数解析式是解题的关键．
（1）由矩形的性质得，，，再由篱笆总长可得，进而可用含x的代数式表示出、，再根据矩形的面积公式可得二次函数，根据二次函数的性质求最值即可；
（2）令，解得，，再根据二次函数的性质求取值范围即可．
【详解】（1）根据题意可得矩形，矩形，矩形，矩形的面积相等，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
解得，
∴，
∴当时，最大，最大值为，
答：矩形田地的面积的最大值为；
（2）根据（1）可得，
令，
解得，，
∵，
∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小，
∴当时，，
∴当矩形田地的面积不小于时，的取值范围为．
33．（2025·广东东莞·二模）东莞“启航文化”公司设计生产一种学生毕业纪念册，并投放市场，已知制造成本为18元/件.经过市场调查发现，销售单价为32元时，每月的销售量为（万件）；销售单价为24元时，每月的销售量为（万件）；如果每月的销售量（万件）与销售单价（元/件）成一次函数关系．
(1)求每月销售量（万件）与销售单价（元/件）之间的函数关系式；
(2)根据市场监管部门规定，这种产品的销售利润率不能高于，同时厂家要求这种产品每月的制造成本不能超过900万元．当销售单价为多少元时，厂家每月能获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)当销售单价为27元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为414万元
【分析】本题主要考查了二次函数的二次函数的应用、根据实际问题列一次函数关系式、根据实际问题列二次函数关系式，解答本题的关键是得出月销售利润的表达式，要求同学们熟练掌握配方法求二次函数最值的应用．
（1）依据题意，根据待定系数法计算可以得解；
（2）根据利润=销售量销售单价-成本，代入代数式求出函数关系式；根据厂商每月的制造成本不超过900万元，以及成本价18元，得出销售单价的取值范围，进而得出最大利润．
【详解】（1）解：设销售量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系式为：，
把，代入得，
，
每月销售量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系式为：；
（2）解：设每月的利润w万元，由题意得，
，
，
商每月的制造成本不超过900万元，每件制造成本为18元，
每月的生产量为：小于等于万件，
，
，
又由销售利润率不能高于，得，
，
，
图象开口向下，对称轴左侧w随x的增大而增大，
当时，w取最大值，最大值为414万元．
答：当销售单价为27元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为414万元．
34．（2025·广东深圳·二模）新课标中，数学课程要培养的学生核心素养是“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界”，这集中体现了数学课程的育人价值，也说明数学和实际生活密不可分．数学老师给小明小组布置了一项数学与实际的作业，让他们到菜市场进行调研，并利用所学的数学知识对销售提出合理化建议．小明小组经调研发现，某店铺蔬菜的售卖情况大致遵循以下规律．
规律一 当每千克蔬菜的售价为8元时，每天能销售80千克．
规律二 当每千克蔬菜的售价每降低元，每天的销售量就会增加10千克．
经小组讨论，发现里面可能存在函数关系，考虑用已学的函数知识帮助店家解决问题．
【建立模型】
（1）设每天销售这种蔬菜的销售额为y元，每千克蔬菜降价x元，求y与x的函数关系式；
【设计方案】
（2）当每千克蔬菜降价多少元时，该店铺每天销售这种蔬菜的销售额最多？最多为多少元？
【实际需求】
（3）若该店铺老板希望每天销售这种蔬菜的销售额不低于540元，求这个蔬菜应参考的售价范围.
【答案】（1）； （2）当每千克蔬菜降价2元时，该店铺每天销售这种蔬菜的销售额最多，最多为720元； （3） 这个蔬菜应参考的售价范围是3元至8元
【分析】（1）依据题意，由每千克蔬菜的售价为8元时，销量为80千克，每降价元，销量增加10千克，则可设降价为x元，故销量增加量为千克，从而总销量为千克，又此时售价变为元/千克，进而可以计算得解；
（2）依据题意，结合，从而可以结合二次函数的性质判断得解；
（3）依据题意，令，则或，又二次函数的图象开口向下，结合该店铺老板希望每天销售这种蔬菜的销售额不低于540元，进而可以判断得解．
本题主要考查了二次函数的应用，解题时要能读懂题意，列出关系式是关键．
【详解】解：（1）由题意，每千克蔬菜的售价为8元时，销量为80千克，每降价元，销量增加10千克，
设降价为x元，则销量增加量为千克
总销量为千克．
又此时售价变为元/千克，
销售额y与x的函数关系式为：
（2）由题意，结合
当时，y取最大值，最大销售额为720元．
答：当每千克蔬菜降价2元时，该店铺每天销售这种蔬菜的销售额最多，最多为720元．
（3）由题意，令，
或
二次函数的图象开口向下，
∴时，，
∵该店铺老板希望每天销售这种蔬菜的销售额不低于540元，，
∴，
对应售价为：元至元，即这个蔬菜应参考的售价范围是3元至8元．
35．（2025·广东深圳·中考真题）综合与实践
【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系．
【研究条件】
条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数；
条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人．
【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式：
结合上述信息，请完成下述问题：
（1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________.
【模型应用】
（2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？
（3）已知该演出主办方要求：
①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少；
②尽量少安排安检通道，以节省开支．
若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性．
【答案】（1）；；（2）当时，；（3）最少开7条通道
【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解题意是解答本题的关键．
（1）根据题意得安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），与的函数表达式为；
（2）根据二次函数的性质可得出结论；
（3）运用二次函数的性质解答即可
【详解】解：（1）若开设3条安检通道，安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），若排队人数为，则与的函数表达式为
（2）
当时，
（3）设开了条通道则：
对称轴为
∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少
，即：
又最多开通9条
为正整数，
最小值为7 ，
最少开7条通道；
36．（2025·广东深圳·一模）综合与实践
【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观．
【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？
【分析问题】
（1）二次函数的图象经过和，此抛物线的对称轴为直线________；
（2）如图2，已知二次函数经过点，且与的图象均经过和，则的取值范围是________；
【解决问题】
（3）以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以，为端点的拱门表示原拱门，表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）或
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
（1）根据二次函数的性质求解即可；
（2）待定系数法求出，，由图象可得的顶点在的下方，即可得出，求解即可；
（3）设新拱门抛物线解析式为，则抛物线顶点坐标为由题意可得，从而解得，（不符题意，舍去），得到新拱门抛物线解析式为，将代入得，，解得，从而可得，将代入得，，解得，从而可得；将代入得，，解得，从而可得；分别求解即可得解．
【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过和，
∴此抛物线的对称轴为直线；
（2）∵二次函数经过和，
∴，
将代入可得：，
∴，
∴，
∵的图象均经过和，
∴，
∵由图象可得：的顶点在的下方，
∴，
解得：；
（3）如图所示，将点分别向左右两侧平移3个单位得到点、，将向上平移个单位，矩形即为大树生长空间．
由题意得，，，，
∴，；
设新拱门抛物线解析式为，
∴抛物线顶点坐标为，
∵拱顶到地面的距离为拱宽的一半，
∴，
解得，（不符题意，舍去），
∴新拱门抛物线解析式为，
将代入得，，解得，
∴，
∵原拱门拱顶距地面为4米，
∴，
将代入得，，解得，
∴，
将代入得，，解得，
∴，
∴，
综上所述，的取值范围是或．
37．（24-25九年级下·广东深圳·月考）项目背景：深圳某物流公司研发了一款无人机快递投递系统．无人机从仓库起飞，飞行轨迹近似为抛物线．工程师需优化轨迹设计，确保快递精准送达客户．以仓库为原点，地面（水平方向）为轴，垂直于地面的方向（竖直方向）为轴建立平面直角坐标系．
【任务一：确定投递轨迹方程】
（1）在首次飞行测试中，无人机距离仓库的水平距离和竖直高度的几组数据如下表
水平距离x/ m 0 10 20 40 50 60 70 80
竖直高度 0 35 60 75 80 75 60 35 0
①直接写出无人机飞行轨迹的二次函数表达式是 ；
②利用表格中的数据在图2的方格纸中绘制该抛物线的图象（作图时，至少要描绘出表格中的9个点）．
【任务二：调整仓库位置避开高架桥】
（2）因高架桥施工，仓库需向左平移米，并向上平移2米．无人机轨迹形状不变（开口方向与大小均不变），调整后的轨迹需经过某小区住户坐标．为了节约迁移成本，左移距离不能太长，求满足以上条件且左移距离最短时的值．
【任务三：优化重型包裹投递路径】
（3）将无人机在水平范围内的飞行高度最大值与最小值之差称为垂直波动量，记作．当无人机投递重型包裹时，因仓库周边施工，起飞点再次移至新位置，但保持轨迹顶点与低务二调整后的轨迹顶点相同，同时需要减小抛物线开口以降低晃动．若垂直波动量米，记新抛物线的二次项系数为，求的值．
【任务四：评估调整后的投递安全性】
（4）任务二中调整后的轨迹在水平范围内的垂直波动量米．直接写出这时的值是 ．
【答案】（1）① ②见解析 （2） （4） （4）或
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数的应用，理解题意，将题目中的数据和函数关系联系起来是解题的关键．
（1）①由待定系数法即可求解；②描点连线绘制函数图象即可；
（2）平移后的表达式为， 将代入上式求出值即可求解；
（3）由（2）知，新抛物线的表达式为 ，当时，当时， 则 ，即可求解；
（4）当时，函数在时和时取得最大和最小值，则，求解；，同理可解．
【详解】解：（1）①由表格数据知，函数的顶点坐标为，
则抛物线的表达式为，将代入上式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
故答案为：；
②描点连线绘制函数图形如下：
（2）平移后的表达式为：，
将代入上式得：，
解得：(舍去)或；
（3）由（2）知，新抛物线的表达式为，
当时，，当时， ，
则，
解得：，
（4），
当时，
函数在时时取得最大和最小值，则，
解得：(不合题意的值已舍去)；
当时，则抛物线在顶点处取得最大值；
当时， ，不符合题意；
当时，，
则
解得：(舍去)或，
综上，或，
故答案为：或.
38．（2025·广东珠海·一模）数学兴趣小组围绕着“关于x的二次函数在给定范围内，当x为何值时，y取最小值”展开研究．
【基础回顾】（1）当时，则，其中，当_______时，y取最小值；
【举一反三】关于x的二次函数，学生选取不同的t值，其中，当x为何值时，y取最小值，并记录如下：
0 4 5
y取最小值时x的值 或0
【探究发现】
发现：由表格数据，数学小组发现：以为分界，①当，时，y取最小值；②当，或0时，y取最小值；③当时，y取最小值． （3）猜想证明：请你补充数学小组未完成的证明：设，是关于x的二次函数图象上的两端点，抛物线的对称轴记为，MN中点的横坐标记为．，抛物线的开口向下．当，即，点N离对称轴较远，则当时，y取最小值．当时，即，_______；当时，即，_______；综上所述：猜想（2）得证．
（2）猜想：关于x的二次函数，其中，当_______时，y取最小值．
【实际运用】（4）如图，在青少年足球比赛中，球员甲在点O处准备挑球过人．以O为原点，足球离地面高度y米与到原点的水平距离x米近似满足二次函数关系．因在甲正前方7.5米C处有防守运动员乙准备拦截，甲调整出球力度，使足球沿抛物线飞向防守运动员乙．防守运动员乙一个跨步（约0.5米）范围内防守，即当时，足球离地面高度大于防守运动员乙的最高摸高米，求t的取值范围．
【答案】（1）0；（2）m或n；（3）点M，N离对称轴距离一样，则当或n时，y取最小值．点M离对称轴较远，当时，y取最小值；（4）
【分析】（1）根据函数解析式，求出对称轴，确定取值范围内当时，y取得最小值；
（2）根据发现即可得到猜想的答案；
（3）结合二次函数的性质得到答案；
（4）求出二次函数的解析式，分四种情况讨论即可得到答案．
【详解】解：（1）∵抛物线，对称轴为直线，
∴当时，,
∴当时，y取得最小值，
故答案为0；
（2）∵以为分界，
①当，时，y取最小值；
②当，或0时，y取最小值；
③当时，y取最小值．
∴关于x的二次函数，其中，当m或n时，y取最小值．
（3）设，是关于x的二次函数图象上的两端点，
抛物线的对称轴记为，中点的横坐标记为．
，
抛物线的开口向下．
当，即，点N离对称轴较远，则当时，y取最小值．
当时，即，点M，N离对称轴距离一样，则当或n时，y取最小值；
当时，即，点M离对称轴较远，当时，y取最小值；
综上所述：猜想（2）得证．
（4）∵二次函数的对称轴为直线，
∴①当时，则当时，即，解得，∴；
②当时，则当时，即，解得，∴；
③当时，则当时，即，解得，∴；
④当时，则当时，即，解得，∴；
综上，．
【点睛】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，二次函数的应用，分类讨论，掌握二次函数图象上点坐标的特征是解题的关键．
39．（2025·广东深圳·二模）背景：2026年开始，深圳市体育中考将把球类运动作为必选项目．在某次校园“篮球比赛”活动中，小李同学展示了精彩的投篮技巧．假设小李投篮时篮球的运动路线是抛物线，如图1．已知以下信息：
（1）球员小李罚球线处投篮．罚球线到篮筐中心的水平距离为4.5米；
（2）篮筐的高度为3.05米；
（3）小李投篮时，篮球运动路线的最高点在离他的水平距离3米处，高度为3.5米．
(1)求小李投篮时，篮球出手时的高度；
(2)在刚才的投篮过程中，如图2，有一个防守队员小姜在小李正前方1米处，想跳起来去阻挡篮球入筐．已知小姜手臂向上伸展的时候，指尖距离脚底的最大高度为1.9米；小姜竖直弹跳的最大高度为，请问小姜是否能完成本次防守，说明理由．
【答案】(1)米
(2)无法完成，见解析
【分析】本题主要考查实际问题与二次函数；
（1）设，将点代入，当时，求出的值即可求出；
（2）令，求出，根据，米米，得出结论即可．
【详解】（1）解：以点为原点建立平面直角坐标系，
设，
将点代入，
解得
∴
当时，得
∴米
（2）解：令，
（米）
∵米米，
∴小姜同学无法完成此次防守．
40．（24-25九年级上·广东潮州·期末）综合与实践
【主题】优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率
【问题背景】如图1，洒水车沿着平行于公路绿化带方向行驶，同时向右侧绿化带浇水．数学兴趣小组的同学想了解洒水车要如何控制行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带，为解决这个问题，数学兴趣小组同学通过建立数学模型进行探索．
【数学建模】如图2，建立平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；喷水口H离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度，表示洒水车和绿化带之间的距离．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口．
【解决问题】
(1)求外边缘抛物线的函数分析式，并求喷出水的最大射程；
(2)请求出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
(3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)，喷出水的最大射程为
(2)点B的坐标为
(3)
【分析】易得的顶点A的坐标，用顶点式表示出的分析式，进而把点H的坐标代入可得a的值，取，可得的长度；
设出平移后的分析式，进而把点H的坐标代入可得m的值，取，求得相应的x的值可得抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，点D与点B重合或点F在上，分别求得对应的的长，可得的取值范围．
本题考查二次函数的应用．用待定系数法求得的分析式是解决本题的关键；易错点是根据二次函数的平移规律得到的分析式；难点是判断出洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带时，点D或点F对应的位置．
【详解】（1）解：由题意得：点是外边缘抛物线的顶点，
设，
抛物线过点，
，
，
外边缘抛物线的函数分析式为：，
当时，，
解得：，舍去，
喷出水的最大射程为．
（2）解：由左右平移得到，
设，
经过点，
，
解得：，舍去，
，
把代入，得：
解得：，舍去，
点B的坐标为．
（3）解：要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
点D与点B重合或点F在上，
当点D与点B重合时，，
当点F在上时，，
解得：，不合题意，舍去，
，
，
的取值范围是
41．（2025·广东深圳·模拟预测）【项目式学习】
【项目主题】绿波畅行，高效出行
【项目背景】绿波带是通过科学设置交通信号灯配时与车辆行驶速度，使车辆连续通过多个绿灯的交通优化方案．如图1，某城市计划在两个相距500米的直线型路口实施绿波带，绿波控制系统设定：车辆在第一个路口绿灯亮起后出发，第二个绿灯在10秒后亮起，绿灯时间为30秒，为保证安全，该路段限速（即）．为确保车辆能连续通过第二个路口的绿灯（车身长忽略不计），某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动．
任务一查阅资料
经过查阅相关资料，可知汽车在匀加（减）速直线运动过程中，行驶的速度与行驶时间满足一次函数关系：，其中为初始速度，为加速度，当汽车加速行驶时的值为正数，当汽车减速行驶时的值为负数；行驶的路程与行驶时间满足二次函数关系：．
如图2，假设当车辆从第一个绿灯亮起时出发，先进行匀加速直线运动，4秒时间加速到速度为后，进行匀速直线运动，为确保经过路口的安全性，在接近第二个红绿灯时进行匀减速直线运动，2秒时间减速到速度为时恰好到达第二个路口．
任务二数学计算
（1）当时，汽车在加速行驶过程中的加速度为___________，在减速行驶过程中的加速度为___________；
（2）判断当时，汽车是否能够连续通过第二个绿灯？
任务三方案设计
（3）求出汽车在加速行驶与减速行驶过程中，行驶的路程与行驶时间分别满足的二次函数关系式（用含的式子表示，不用写自变量的取值范围），并直接写出要连续通过第二个绿灯，则的取值范围为___________．
【答案】（1），；（2）汽车可以连续通过第二个绿灯；（3）
【分析】本题主要考查了函数关系式、二次函数的实际应用等问题，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）由题意结合图2很容易得解；
（2）分别在加速阶段和减速阶段计算s，进而得到时间，分析求解即可；
（3）由题易知在加速阶段，进而代入即可得解，在减速阶段，进而代入求解．
【详解】解：（1）当时，，
∴汽车在加速行驶过程中的加速度为；
由题可知在减速行驶过程中的加速度为；
故答案为：，；
（2）∵匀速行驶的最大时间为秒，
由，
∴汽车可以连续通过第二个绿灯；
（3）在加速阶段，，则，
∴，
在减速阶段，，则，
∴，
在加速阶段，当时，，
在减速阶段，当时，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
42．（2025·广东深圳·三模）随着城市短距离出行需求的变化，共享滑板车成为一种新兴的出行方式．某共享出行公司在A、B两个区域投放共享滑板车，相关信息如下：
信息1 A区域初始投放了100辆共享滑板车，B区域初始投放了20辆．将一辆滑板车从A区域调配到B区域，包含车辆运输与系统重置在内，成本为100元；公司基于运营数据和区域需求预测，规定每次只能从A区域向B区域调配滑板车，且调配数量不能超过20辆
信息2 B区域共享滑板车的日租借率会随着从A区域调配来的滑板车数量变化．当从A区域调配x辆滑板车到B区域时，B区域共享滑板车的日租借率为，但受限于B区域的停车空间和市场容量，日租借率最高不超过
信息3 每辆共享滑板车成功租借一次，公司可获得10元收入
问题1 在信息一的条件下，若从A区域调配x辆滑板车到B区域，用含x的式子表示调配这些滑板车的总成本y（元），并写出x的取值范围
问题2 在满足信息二的条件下，求B区域共享滑板车的公司日租借收入W关于x的函数关系式，并求出公司日租借收入W的最大值．
问题3 公司为激励运维团队在滑板车调配工作中的积极性，制定了两种奖励方案：方案一：每调配一辆滑板车，奖励负责调配的运维人员40元．方案二：一次性给予运维团队800元奖励．请计算并分析在不同调配数量下，选择哪种方案对运维团队更有利？
【答案】问题1：；问题2：；W的最大值为208；问题3：当调配数量不足20辆时，选择方案二运维团队更有利；当调配数量为20辆时，选择方案一或方案二都相同
【分析】本题主要考查了不等式的应用，求一次函数解析式，二次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数解析式．
问题1：根据信息一写出y关于x的函数解析式即可；
问题2：根据日租借率最高不超过，求出，列出函数解析式，然后根据二次函数性质进行求解即可；
问题3：分别求出当时，，当时，，当时，，然后进行回答即可．
【详解】解：问题1：调配这些滑板车的总成本为：；
问题2：∵日租借率最高不超过，
∴，
解得：，
，
抛物线的对称轴为直线，
∴当时，W随x的增大而增大，
∴公司日租借收入W的最大值为：
；
问题3：当时，，
当时，，
调配数量不能超过20辆，
∴这种情况不存在；
当时，，
∴当调配数量不足20辆时，选择方案二运维团队更有利；当调配数量为20辆时，选择方案一或方案二都相同．
43．（2025·广东深圳·二模）如图1，一个小球以的初速度，在一条足够长且平直的轨道上运动．轨道初段绝对光滑；除段外，剩下轨道粗糙．小球在绝对光滑轨道上不存在阻力；在粗糙轨道上，存在恒定的摩擦力，速度会逐渐减小，直至停止．小球运动过程中，其速度与时间之间的关系如图2所示，其路程与时间之间的关系如图3所示（段是抛物线的一部分）．
(1)轨道初段的总长为______；并求出小球在粗糙轨道（图中射线上）运动时，与之间的关系式（不要求写出自变量取值范围）．
(2)①若测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为，求抛物线的函数关系式．
②延长线段，如果直线与抛物线有且只有一个交点，且直线不与抛物线对称轴平行，则称线段与抛物线光滑连接．请你通过计算和推理判断线段与抛物线是否光滑连接？
(3)在（2）的条件下，在射线上，是否存在一节长为的轨道段，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为．若存在，请求出这节轨道的起点与点A之间的距离；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)40，
(2)①②是光滑连接
(3)存在，理由见解析
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）根据图3即可得到的总长，设与之间的关系式为，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）①由题意，设抛物线的顶点坐标为，设出顶点式，把代入进行求解即可；②求出段的解析式，联立两个解析式，根据的值判断两个图象的交点情况，结合新定义，进行判断即可；
（3）假设存在，且小球第秒行至该段轨道的起点，则第秒行至该段轨道的终点，根据轨道段的长为，列出方程进行求解，再求出时的函数值即可．
【详解】（1）解：由图3可知：轨道初段的总长为；
故答案为：40；
设与之间的关系式为，
把代入，得：，
解得：，
∴；
（2）①由图3设抛物线的顶点坐标为，点在抛物线上，
∴，
把代入，得：，解得：或（舍去）；
∴；
②线段与抛物线是光滑连接；
设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
令，整理，得：，
∴，
∴直线与抛物线有且只有一个交点，
∵的对称轴为直线，
∴与对称轴不平行，
∴线段与抛物线是光滑连接；
（3）存在，理由如下：
假设存在，且小球第秒行至该段轨道的起点，则第秒行至该段轨道的终点，由题意，得：，
解得：，
当时，；
故存在，求出这节轨道的起点与点A之间的距离．
44．（2025·广东深圳·二模）综合与实践
深圳自然博物馆位于广东省深圳市坪山区燕子湖片区，共划分为陈列展览区、藏品保管保护区、公共服务区、科普教育区、综合业务与学术研究区以及地下车库和设备用房六大功能部分，是深圳市“新时代十大文化设施”之一，建成后将成为粤港澳大湾区首座大型综合类自然博物馆，填补了该区在综合类自然博物馆方面的空白．坪山区某中学数学兴趣小组对该项目设计图进行了研究：
把建筑俯视图的一部分抽象为以下图象：曲线、曲线、曲线和曲线，它们均可以看成某二次函数图象的一部分，后三者都可以看成由曲线平移得到，的长度为6．如图1，兴趣小组建立平面直角坐标系，已知曲线最高点点坐标为．
(1)求曲线所在抛物线的解析式（不需要写自变量的取值范围）．
(2)如图2，现在需要在建筑的顶部划出一片矩形区域来做绿化，下图所示，其中轴，求矩形花园周长的最大值．
(3)如图3，为了增强建筑物晚上的整体美观度，如果在建筑的曲线和曲线的外墙上安装具备灯光效果的垂直灯具，假设每个垂直灯具的水平间距为0.6，即，请问至少需要安装垂直灯具____________个．
【答案】(1)
(2)20
(3)26
【分析】（1）设出顶点式，根据图象过原点，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）平移求出曲线的解析式，设，根据周长公式，列出二次函数求最值即可；
（3）求出的长，进而求出的长，再除以间距即可．
【详解】（1）解：∵曲线最高点点坐标为
∴设，
∵图象过原点，
∴，
解得：，
∴；
（2）∵曲线由曲线平移得到，的长度为6，
∴曲线的解析式为：，
设，
由题意，可知：，关于对称轴对称，
∴，
∴矩形花园周长为：
，
∴当时，矩形花园的周长最大，为20；
（3）∵，
∴对称轴为直线，
∵，
∴，
∴，
∵曲线、曲线和曲线，都可以看成由曲线平移得到，
∴，
∵每个垂直灯具的水平间距为0.6，
∴，
∴至少需要安装垂直灯具26个．
故答案为：26
45．（2025·广西柳州·一模）［综合探究］运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
【探究一】确定心形叶片的形状
（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知图像过原点，求抛物线的解析式及顶点的坐标；
【探究二】研究心形叶片的宽度：
（2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于，两点，抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处的宽度；
【探究三】探究幼苗叶片的长度
（3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究一中的二次函数．已知直线（点为叶尖）与水平线的夹角为，求幼苗叶片的长度．
【答案】（1），顶点的坐标为；（2）；（3）
【分析】（1）把原点代入解析式，求得值，将抛物线化成顶点式即可确定顶点坐标；
（2）先求出点的坐标为，再求出的解析式为：．然后求出点的坐标为，最后求出结果即可；
（3）作抛物线的对称轴于点，则，设点的横坐标为，得出，根据点在抛物线上，列出方程，得出点的坐标为，最后求出即可．
【详解】解：（1）抛物线经过原点，
．
解得：．
抛物线的解析式为：．
顶点的坐标为；
（2）取，，
解得：，，
点的坐标为，
心形叶片的对称轴是直线，点，是叶片上的一对对称点，
设的解析式为：．
经过点，
．
解得：．
的解析式为：．
，
解得：
点的坐标为．
．
．
（3）作抛物线的对称轴于点，则，
直线与水平线的夹角为，
．
设点的横坐标为，
抛物线的对称轴为直线，
．
顶点的坐标为，
点的纵坐标为．
点在抛物线上，
．
解得：．
点的坐标为．
．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，抛物线与坐标轴的交点，对称思想，两点间的距离公式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
46．（2024·广东深圳·三模）背景：双目视觉测距是一种通过测量出左、右两个相机视野中，同一物体的成像差异，来计算距离的方法．它在“AI”领域有着广泛的应用．
材料一：基本介绍
如图1，是双目视觉测距的平面图．两个相机的投影中心，的连线叫做基线，距离为t，基线与左、右投影面均平行，到投影面的距离为相机焦距f，两投影面的长均为l（t，f，1是同型号双目相机中，内置的不变参数），两投影中心，分别在左、右投影面的中心垂直线上．根据光的直线传播原理，可以确定目标点P在左、右相机的成像点，分别用点，表示．，分别是左、右成像点到各投影面左端的距离．
材料二：重要定义
①视差——点P在左、右相机的视差定义为．
②盲区——相机固定位置后，在基线上方的某平面区域中，当目标点P位于该区域时，若在左、右投影面上均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2，阴影区域是盲区之一）．
③感应区——承上，若在左、右投影面均可形成成像点，则该区域称为感应区．
材料三：公式推导片段
以下是小明学习笔记的一部分：
如图3，显然，，，可得，
所以， （依据）…
任务：
(1)请在图2中（A，B，C，D是两投影面端点），画出感应区边界，并用阴影标示出感应区．
(2)填空：材料三中的依据是指 ；已知某双目相机的基线长为200mm，焦距f为4mm，则位于感应区的目标点P到基线的距离z（mm）与视差d（mm）之间的函数关系式为 ．
(3)如图4，小明用（2）中那款双目相机（投影面CD长为10mm）正对天空连续拍摄时，一物体M正好从相机观测平面的上方从左往右飞过，已知M的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当M刚好进入感应区时，，当M刚好经过点的正上方时，视差，在整个成像过程中，d呈现出大一小一大的变化规律，当d恰好减小到上述的时，开始变大．
①小明以水平基线为x轴，右投影面的中心垂直线为y轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为 （友情提示：注意横、纵轴上的单位：）；
②求物体M刚好落入“盲区”时，距离基线的高度．
【答案】(1)见解析
(2)等比性质；
(3)① ②
【分析】本题考查函数的实际问题，读懂题意找准数量关系是解题的关键．
（1）利用盲区的定义作图即可；
（2）根据待定系数法求出反比例函数解析式；
（3）①先根据题意确定抛物线上点的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式即可；
②由盲区的定义可知当M在直线的右侧时，进入盲区，利用方程组解题即可．
【详解】（1）如图所示:
（2）材料三中的依据是指等比性质；
设，由双目相机的基线长为200mm，焦距f为4mm，可得：
，
∴；
（3）①解：如图，刚好进入感应区时， 此时
此时，
因 , ,
可得，所在直线解析式为：
令, 得, 即 .
当经过点,的正上方时, 视差，此时，
即，抛物线与轴交点的坐标为，
当减小到上述的时, ,之后开始变大，开始变小，
即，抛物线顶点的纵坐标为.
设抛物线解析式为
将等代入得,
，
解得， ，
因为,,对称轴在轴右侧,
所以, .
故，
此时，
所以，抛物线解析式为，
②由, 可得直线的解析式为，
得，
解得，(舍)
此时， ．
类型9 二次函数的综合
【例题】
47．（2024·广东广州·中考真题）已知抛物线过点和点，直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)求的值；
(3)直线绕点以每秒的速度顺时针旋转秒后得到直线，当时，直线交抛物线于，两点．
①求的值；
②设的面积为，若对于任意的，均有成立，求的最大值及此时抛物线的解析式．
【答案】(1)对称轴为直线：；
(2)
(3)①，②的最大值为，抛物线为；
【分析】（1）直接利用对称轴公式可得答案；
（2）如图，由，可得在的左边，，证明，可得，设，建立，可得：，，再利用待定系数法求解即可；
（3）①如图，当时，与抛物线交于，由直线，可得，可得，从而可得答案；②计算，当时， 可得，则，，可得，可得当时，的最小值为，再进一步求解可得答案．
【详解】（1）解：∵抛物线，
∴抛物线对称轴为直线：；
（2）解：∵直线过点，
∴，
如图，
∵直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且，
∴在的左边，，
∵在抛物线的对称轴上，
∴，
∴，
设，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
解得：；
（3）解：①如图，当时，与抛物线交于，
∵直线，
∴，
∴，
解得：，
②∵，
当时，，
∴，
∴，，
∴
，
∵，
∴当时，的最小值为，
∴此时，
∵对于任意的，均有成立，
∴的最大值为，
∴抛物线为；
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，一次函数的性质，坐标与图形面积，一元二次方程根与系数的关系，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键．
【变式】
48．（2023·广东广州·中考真题）已知点在函数的图象上．
(1)若，求n的值；
(2)抛物线与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E．
①m为何值时，点E到达最高处；
②设的外接圆圆心为C，与y轴的另一个交点为F，当时，是否存在四边形为平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)的值为1；
(2)①；②假设存在，顶点E的坐标为，或．
【分析】（1）把代入得，即可求解；
（2）①，得，即可求解；
②求出直线的表达式为：，得到点的坐标为；由垂径定理知，点在的中垂线上，则；由四边形为平行四边形，则，求出，进而求解．
【详解】（1）解：把代入得；
故的值为1；
（2）解：①在中，令，则，
解得或，
，，
点在函数的图象上，
，
令，得，
即当，且，
则，解得：（正值已舍去），
即时，点到达最高处；
②假设存在，理由：
对于，当时，，即点，
由①得，，，，对称轴为直线，
由点、的坐标知，，
作的中垂线交于点，交轴于点，交轴于点，则点，
则，
则直线的表达式为：．
当时，，
则点的坐标为．
由垂径定理知，点在的中垂线上，则．
四边形为平行四边形，
则，
解得：，
即，且，
则，
∴顶点E的坐标为，或．
【点睛】本题为反比例函数和二次函数综合运用题，涉及到一次函数基本知识、解直角三角形、平行四边形的性质、圆的基本知识，其中（3），数据处理是解题的难点．
49．（2024·广东深圳·中考真题）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设的读数为x，读数为y，抛物线的顶点为C．
(1)（Ⅰ）列表：
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
x 0 2 3 4 5 6
y 0 1 2.25 4 6.25 9
（Ⅱ）描点：请将表格中的描在图2中；
（Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式；
(2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为，竖直跨度为，且，，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：
方案一：将二次函数平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为．
①此时点的坐标为________；
②将点坐标代入中，解得________；（用含m，n的式子表示）
方案二：设C点坐标为
①此时点B的坐标为________；
②将点B坐标代入中解得________；（用含m，n的式子表示）
(3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系中有A，B两点，，且轴，二次函数和都经过A，B两点，且和的顶点P，Q距线段的距离之和为10，求a的值．
【答案】(1)图见解析，；
(2)方案一：①；②；方案二：①；②；
(3)a的值为或．
【分析】（1）描点，连线，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据图形写出点或点B的坐标，再代入求解即可；
（3）先求得，，的顶点坐标为，再求得顶点距线段的距离为，得到的顶点距线段的距离为，得到的顶点坐标为或，再分类求解即可．
【详解】（1）解：描点，连线，函数图象如图所示，
观察图象知，函数为二次函数，
设抛物线的解析式为，
由题意得，
解得，
∴y与x的关系式为；
（2）解：方案一：①∵，，
∴，
此时点的坐标为；
故答案为：；
②由题意得，
解得，
故答案为：；
方案二：①∵C点坐标为，，，
∴，
此时点B的坐标为；
故答案为：；
②由题意得，
解得，
故答案为：；
（3）解：根据题意和的对称轴为，
则，，的顶点坐标为，
∴顶点距线段的距离为，
∴的顶点距线段的距离为，
∴的顶点坐标为或，
当的顶点坐标为时，，
将代入得，解得；
当的顶点坐标为时，，
将代入得，解得；
综上，a的值为或．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，抛物线的平移等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
50．（2026·广东中山·模拟预测）学校数学兴趣小组在探究二次函数最值问题的数学活动时，发现一个有趣现象：如图，直线与抛物线交于两点．点为抛物线上的动点，过点且平行于轴的直线交直线于点．当点在直线下方时，连接得到．当面积最大时，点在什么位置？
(1)数学兴趣小组成员很快就求出点的坐标，请你也求出点的坐标．
(2)机智的小涛同学通过计算发现，当面积最大时，点与线段有特殊的位置关系，请你写出小涛的结论．
(3)爱动脑筋的小婷根据小涛的发现提出了一个大胆的猜想：本类问题中，当面积取最大值时，动点的位置和直线与抛物线的交点都有这种“特殊关系”，请说明这种“特殊关系”是什么？并证明结论．
【答案】(1)；
(2)点为线段中点
(3)直线过线段中点，证明见解析
【分析】本题主要考查二次函数，一次函数有关面积的问题，熟练掌握数形结合思想是解题的关键．
（1）设点，结合题意求出点，得到的值，再联立二次函数和一次函数得到交点坐标，根据三角形面积公式，得到面积关于的二次函数，求解即可；
（2）由（1）得出点的坐标，再求出点的中点坐标，比较即可得出关系；
（3）设抛物线解析式为，直线，点，求出点，得到为关于的二次函数，再根据二次函数的对称性求解即可．
【详解】（1）解：∵点在抛物线上，
∴设点，
∵轴，
∴，
∵点在直线上，
∴点，
∴
∵直线与抛物线交于两点，
∴，
解得：，，
当时，；当时，，
∴，．
∴
∵，
∴当时，有最大值，最大为，
∵把代入点中，
∴点；
（2）由（1）得，当时，有最大值，
∴将代入点得：点，
∵，，
点的中点坐标为点，即点，
∴点和点重合，
∴当面积最大时，点为线段的中点；
（3）猜想：当直线过线段中点时（或），最大．
证明：设抛物线解析式为：，直线：，
直线与抛物线交于两点，设，
∴则方程的解为：，，
∵点在抛物线上，
∴设点，
∵轴，
∴，
∵点在直线上，
∴点，
∴，即为关于的二次函数，
∵当时，，，
由二次函数对称性知，当时，有最大值，
∵
∴当时，有最大值，
∴，即点为线段中点．
∴当直线过线段中点时（或），最大．
51．（2024·广东汕头·一模）如图，在直角坐标系中，抛物线的顶点为，经过原点，且与x轴交于另一点A．
(1)求这个二次函数的解析式，并把它化成一般式；
(2)若在第一象限内的抛物线上有一点B，使的面积等于6，求点B的坐标；
(3)在（2）的条件下，在此抛物线上是否存在点P，使为以为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）设抛物线的解析式为，再将原点坐标代入求得的值，即可得出了抛物线的解析式；
（2）过点B作轴于点D，根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了的长，根据的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标；
（3）根据B点坐标由勾股定理可求，分两种情况讨论：当时；当时，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为，
∴设抛物线的解析式为，
∵抛物线经过原点，
∴，
解得，
∴
∴这个二次函数的解析式为：；
（2）解：假设存在点B，过点B作轴于点D，
∵的面积等于6，
∴，
当，
，
解得：或3，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴点B的坐标为：；
（3）解：∵点B的坐标为：，
∴，
∴，
分以下两种情况讨论：
当时，过作轴于，
∴，
∴，
∴，
设P点横坐标为：x，则纵坐标为：，则，，
即，
解得或（舍去），
∴在抛物线上存在一点；
当时，则，
设直线的解析式为，
将代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
∴设直线的解析式为，
将代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
令，
解得，，
将代入，得，
∴在抛物线上存在一点；
综上所述：抛物线上是否存在点P，使为以为直角边的直角三角形，点P的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点、图象面积求法等知识．利用已知进行分类讨论得出符合要求点的坐标是解题关键．
52．（2025·广东清远·三模）如图，经过，两点的抛物线交轴正半轴于点，以点为圆心，长为半径作交轴另一点于点，交轴正半轴于点．
(1)求点、点的坐标；
(2)过点作的切线与抛物线交于点，若点的纵坐标为，四边形的面积为（A、E、F不共线）
①求与的函数关系式；
②若和相似，求四边形的面积．
【答案】(1)；
(2)①；②或
【分析】（1）根据同圆的半径相等可得点B的坐标，由勾股定理可得点D的坐标；
（2）①先确定点F的坐标为，根据交点式设抛物线的解析式为：，将点F的坐标代入可得，最后根据面积差即可解答；
②分两种情况：如图2，或，列比例式可得t的值，代入①中的函数关系式计算即可．
【详解】（1）解：如图1，连接，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴；
（2）解：①∵是的切线，
∴，
∵经过，两点的抛物线交y轴正半轴于点E，
∴设抛物线的解析式为：，
把点F的坐标代入得：，
，
∴，
当时，，
∴点E的坐标为，
∴
；
②在中，，，
分两种情况：
（i）如图2，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（ii）当时，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上所述，四边形的面积为或．
【点睛】本题考查圆，二次函数综合应用，涉及待定系数法，圆的切线的性质，多边形的面积，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是利用分类讨论的思想解决相似三角形的问题．
53．（2025·广东·一模）如图，已知抛物线与x轴从左到右依次交于两点，与y轴交于点C，点B的坐标为，连接．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若P为此抛物线的对称轴上的一个动点，连接，设点P的纵坐标表示为m．
试探究：
①当m为何值时，的值最大？并求出这个最大值．
②在P点的运动过程中，能否与相等？若能，请求出P点的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)①当时，的值最大，最大值为；②能，
【分析】（1）把代入，根据待定系数法可求抛物线的解析式；
（2）①由三角形的三边关系可知，，当P、A、C三点共线时，的值最大，为的长度，延长交直线于点P，则点P为所求的点．
求得，根据勾股定理可得的长．根据待定系数法可求直线的解析式，进一步得到点P的坐标，从而求解；
②设直线与x轴的交点为点D，作的外接圆与直线位于x轴下方的部分的交点为，关于x轴的对称点为，则均为所求的点．在中，由勾股定理得的长，可得．由对称性得．
【详解】（1）把代入，
得，
解得，
∴此抛物线的解析式为；
（2）①由三角形的三边关系可知，，
∴当三点共线时，的值最大，且等于的长度，
∴如图，延长交直线于点P，则点P为所求的点．
解，得
，
∴．
当时，，
∴，
则有，
，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴点，
∵点P在直线上，
，
∴当时，的值最大，最大值为；
②设直线与x轴的交点为点D，如图，作的外接圆与直线的x轴下方部分交于点，关于x轴的对称点为，则均为所求的点．连接，，
都是所对的圆周角，
，且射线上的其他点P都不满足，
∵圆心E必在边的垂直平分线即直线上，
∴点E的横坐标为2，
又，
∴圆心E也在边的垂直平分线上，
∵，，
∴线段的中点坐标为，
设边的垂直平分线解析式为，
∴，
∴，
∴边的垂直平分线解析式是，
，
在中，，
由勾股定理得，
，
，
，
由对称性得，
∴符合题意的点P的坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式，三角形的三边关系，勾股定理，待定系数法求直线的解析式，外接圆的性质，关于x轴的对称点的特征，以及对称性．综合性较强，有一定的难度
54．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线交x轴于点，，交y轴于点C，，点E是线段上一动点，作交线段于点F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，延长线段交抛物线第一象限的部分于点G，点D是边中点，当四边形为平行四边形时，求出G点坐标；
(3)如图2，M为射线上一点，且，将射线绕点E逆时针旋转，交直线于点N，连接，P为的中点，连接，问：是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，最小值为
【分析】（1）用待定系数法进行解答即可；
（2）根据已知P点的横坐标为m，可得点P和D的坐标，用m的代数式表示和，根据相似三角形的两种情况，由两直角边对应成比例，列出m的方程即可；
（3）证明点P在直线上运动，再利用轴对称的性质解决最短问题即可．
【详解】（1）解：∵点，
∴，
在中，，
∴，
∴，，
∴，
把点代入抛物线中得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：如图1中，连接．
∵，，
∴，
∴直线的解析式为，
设，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
把点G的坐标代入，得到，，
解得或，
∴或．
（3）解：存在．如图，过点M作于T，过点N作于J，过点P作于H，连接．设，则．
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点P的运动轨迹是直线，
作点A关于直线是对称点，连接交直线于，连接，此时的值最小，
最小值．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数，二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，两点的距离公式，二次函数的最值等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用轴对称解决最短问题．
55．（2025·广东珠海·一模）【问题背景】
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点C，抛物线对称轴交x轴于点D，抛物线与双曲线交于点，把点P绕点D顺时针旋转得到的对应点为Q．
【构建联系】
（1）分别求出抛物线和双曲线的解析式，并说明点Q是否在双曲线上．
（2）如图2，双曲线与抛物线对称轴交于点E，连接，，求证：．
【深入探究】
（3）如图3，连接、，将绕着点旋转得到，其中点、分别是、两点的对应点，在旋转的过程中，当与重叠部分恰好是一个点时，求出此时点的坐标．
【答案】（1）双曲线的解析式为；抛物线的解析式为；点在双曲线上；（2）见解析；（3）点的坐标为或
【分析】（1）待定系数法先求出k的值，即可得到反比例的函数解析式，再将，代入中，解方程组即可得到抛物线的解析式；进而得到点D的坐标，分别作轴，轴，分别交轴于、两点，证明，得到点Q的坐标，即可判断；
（2）证明，即可得到结论；
（3）分与重叠部分是点，与重叠部分是点，两种情况讨论即可．
【详解】解：（1）把代入中，
∴
∴双曲线的解析式为
把，代入中，可得方程组
，
解得
∴抛物线的解析式为
∴抛物线的对称轴为直线
∴
点在双曲线上，理由如下：
分别作轴，轴，分别交轴于、两点，如图
∴
∵把点绕点顺时针旋转得到的对应点
∴，
∴，，
∴
∵，，
∴
∴，，
∴
∴点在双曲线上．
（2）∵双曲线与抛物线对称轴交于点，
∴，
∴
∵，抛物线对称轴为直线，、关于对称轴对称，
∴，
∴
∵，
∴
∵，
∴，
∴
（3）①当与重叠部分是点时，如图
分别作轴，轴，分别交轴于、两点
∵
∴，
∴
∵，
∴，
点的坐标为．
②当与重叠部分是点时，如图
∴点在线段上
∵抛物线解析式为，
∴
∵，
设的解析式为，
把和代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
∴设的坐标为
∵，
∴
解得，（舍去）
∴点的坐标为．
综上：点的坐标为或．
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握并综合应用有关性质进行求解．
56．（2025·广东深圳·二模）如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点P是抛物线上的一个动点．
①如图1，若点在第一象限内，连接交直线于点，设的面积为，面积为，若，求点坐标；
②如图2，抛物线的对称轴与轴交于点，过点作于点，点是对称轴上的一个动点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①点坐标是或；②存在，点的坐标为，，
【分析】（1）将点A、B、C，代入即可求得抛物线的表达式；
（2）①求出直线的表达式为，过作垂直交于和点，可证得，所以，设，则，，，，即可解决问题．
②根据等腰直角三角形的性质求得的点坐标为，分为边和为对角线两种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：把， ，代入得∶
，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）①设直线的解析式为，
把，代入得∶
，
解得
直线的表达式为．
过作轴交于， 过作轴交于，
∴，
，
，
，
设， 则，
，
，
∴当时，，
，
，
，
或，
点的坐标为或．
②存在，理由如下：
过点作于，如图，
的对称轴为直线，
，
，
，
又，
是等腰直角三角形，
，，
是等腰直角三角形，
，
点的坐标为，
当为边时，
四边形为平行四边形，
，轴，
点的横坐标与点的横坐标同为，
当时，，
点的坐标为，
，
点的坐标为，
根据对称性当时，
，
∴时，四边形也是平行四边形．
当为对角线时，如图，
四边形为平行四边形，
，轴，
同理求得：点的坐标为，
，
点的坐标为，
综上，点的坐标为时，点的坐标为或，时，．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，一次函数的性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及平行四边形的性质．
专练1 二次函数的图像与性质
满分：80分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了函数的增减性，掌握一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性是解题关键．根据函数的相关性质逐一判断即可．
【详解】解：A、在中，，则y随x的增大而减小，不符合题意；
B、在中，，则当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意；
C、在中，，则y随x的增大而增大，符合题意；
D、在中，，则二次函数开口向下，对称轴为直线，当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意；
故选：C．
2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标求法，掌握顶点式 的顶点坐标为 是解题关键．
根据二次函数的顶点式 的顶点坐标为 ，直接读取函数中的 和 值．
【详解】∵ 抛物线为 ，与顶点式 对比，
得 , ，
∴ 顶点坐标为 ，
故选： A．
3．（2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数的图象开口向下，对称轴为，
∴离对称轴越近，函数值越大，
点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为．
∵，
∴，
故选C．
4．（2025·四川攀枝花·中考真题）关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴的交点坐标是 D．顶点坐标是
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，，
∴抛物线与轴的交点坐标是；
当时，，
∴顶点坐标是；
综上：只有选项D正确；
故选D．
5．（2025·四川泸州·中考真题）已知抛物线的对称轴为直线，与轴的交点位于轴下方，且时，，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据对称轴公式可得，即，据此可判断A；根据题意可得当时，，再由当时，，可得抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间，则抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间，据此可判断B；当时，，再由，即可判断D；根据抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间，当时，，根据题意不能确定的符号，则C选项不一定成立．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，故A选项中原结论错误，不符合题意；
∵抛物线与轴的交点位于轴下方，
∴当时，，
∵当时，，
∴抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间，
∴抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间，
∴抛物线与轴有两个不同的交点，
∴关于的一元二次方程有两个不相同的实数根，
∴，故B选项中原结论错误，不符合题意；
∵当时，，且当时，，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间，
∴当时，，
∴，即，故D选项中原结论正确，符合题意；
当时，，
∵抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间，
∴当时，的符号不确定，即的符号不确定，
∴不一定成立，故C选项不正确，不符合题意；
故选：D．
6．（2025·福建·中考真题）已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键，先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴当时，，
∴抛物线过点，
∴抛物线的开口向上，对称轴为，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴，
∵，，
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，小于到对称轴的距离，
∴；
故选：A．
7．（2025·四川南充·中考真题）已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象与性质以及函数交点问题，熟练掌握函数图象的绘制和直线平移时与函数图象交点情况的分析是解题的关键．先根据函数图象关于轴对称，求出时的函数表达式，再画出函数图象，结合直线的平移，分析直线与函数图象有四个交点时的取值范围．
【详解】解：∵函数图象关于轴对称，当时，，
∴当时，；当时，．
画出函数图象：
当时，，这是一个开口向上，顶点为，与轴交点为，的抛物线一部分．
当时，，是一条为，过的射线．
根据对称性画出时的函数图象．
联立（时），得，
当，即时，直线与（）相切．
当直线过时，．
中小学教育资源及组卷应用平台
高频考点专练13 二次函数
（6个知识点+9个题型+1个专练+验收卷）
一、二次函数的相关概念
一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数．其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．
二次函数解析式的表示方法：
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)；
(2)顶点式：y=a(x+)2+，它直接显示二次函数的顶点坐标是；
(3)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是图象与x轴交点的．
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．
二、二次函数的图象与性质
二次函数的图象是一条抛物线．当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下．|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大．
y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h
顶点 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k)
a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最小值(或最大值)为0(k或)．
增减性 a>0 x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大．即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大．
a<0 x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小．即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小．
三、二次函数的平移
方法一：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下：
方法二：
⑴沿轴平移：向上（下）平移个单位，变成
（或）
⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）
四、二次函数的图象与各项系数之间的关系
a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．
b的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”
c决定了抛物线与轴交点的位置
字母的符号 图象的特征
a a＞0 开口向上
a＜0 开口向下
b b＝0 对称轴为y轴
ab＞0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧
ab＜0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧
c c＝0 经过原点
c＞0 与y轴正半轴相交
c＜0 与y轴负半轴相交
五、二次函数与一元二次方程之间的关系
判别式情况 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点 a＞0
a＜0
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根 有两个不相等的实数根x1，x2 有两个相等的实数根x1＝x2 没有实数根
当b2－4ac＜0时
当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；
当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．
六、用二次函数解决实际问题的一般步骤：
1．审：仔细审题，理清题意；
2．设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；
3．列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；
4．解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；
5．检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论．
【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．
利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题．
利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题．
利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题．
类型1 二次函数的图象与性质
【例题】
1．（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
【变式】
2．（2025·广东清远·一模）若点，，在二次函数（）的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·广东江门·三模）已知，，则y关于x的二次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·广东中山·一模）抛物线有三点，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
类型2 二次函数的图象与各项系数符号
【例题】
5．（2025·广东深圳·二模）已知二次函数为，则它的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式】
6．（2025·广东清远·二模）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①该图象经过点；②；③；④，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2025·广东茂名·一模）如图所示为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·广东中山·模拟预测）已知二次函数图像的一部分如图所示，该函数图像经过点，对称轴为直线，对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④无论为何值时，代数式的值一定不大于．其中正确的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
类型3 一次函数与二次函数的图象综合判断
【例题】
9．（2025·广东云浮·一模）二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式】
10．（2025·广东韶关·一模）在同一平面直角坐标系中，二次函数的图象和一次函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·广东东莞·一模）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
12．（2021·广东深圳·中考真题）二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
类型4 反比例函数与二次函数的图象综合判断
【例题】
13．（2024·广东广州·中考真题）函数与的图象如图所示，当（ ）时，，均随着的增大而减小．
A． B． C． D．
【变式】
14．（2022·广东广州·一模）函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2025·广东广州·一模）已知在同一平面直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象所经过的象限是（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
16．（2024·广东广州·一模）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（ ）
A． B． C．D．
类型4 二次函数图象的平移
【例题】
17．（25-26九年级上·广东汕头·月考）将表达式为的抛物线经过平移后得到表达式为的抛物线，则平移的方向和距离是（ ）
A．向右2个单位长度，再向上3个单位长度
B．向右2个单位长度，再向下3个单位长度
C．向左2个单位长度，再向上3个单位长度
D．向左2个单位长度，再向下3个单位长度
【变式】
18．（2024·广东河源·一模）将抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，平移后抛物线的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
19．（2024·广东汕头·一模）如图，一段抛物线，记为抛物线，它与轴交于点、；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点；如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
20．（2024·广东阳江·二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．顶点为，把这条抛物线向上平移至顶点落在轴上，则两条抛物线、对称轴和轴围成的图形（图中阴影部分）的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
类型6 二次函数与一元二次方程
【例题】
21．（2024·广东梅州·一模）抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是( )
A．和3 B．和5 C．和3 D．和4
【变式】
22．（2025·广东惠州·三模）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则△ABC的面积为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．6
23．（2025·广东梅州·一模）如图是二次函数的图象，图象上有两点分别为，，则关于的方程的一个根可能是（ ）
A．2.18 B．2.68 C．﹣0.56 D．2.45
24．（2023·广东梅州·一模）已知抛物线与一次函数交于两点，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．20
25．（2025·广东广州·二模）已知抛物线与x轴交于点和（点A在点B的左侧），对称轴为，直线与抛物线相交于两点，，则最小值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
类型7 二次函数与不等式
【例题】
26．（2025·广东广州·一模）如图，抛物线与直线相交于点和点，点，的横坐标分别为和4，则当时的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．或
【变式】
27．（2024·广东深圳·一模）若一次函数与反比例函数的图象没有公共点，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．2
28．（2024·广东中山·三模）记实数，，，中的最大数为，例如，则当函数时，x的取值范围为（ ）
A．01 B．0或 C．0或 D．
29．（2025·广东广州·一模）已知二次函数（）与轴交于、两点，与轴交点的纵坐标是，且，则以下结论中不正确的是（ ）
A．
B．
C．抛物线的顶点坐标为
D．若，则或
类型8 二次函数的实际应用
【例题】
30．（2025·广东·中考真题）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长，主塔高，主缆可视为抛物线，主缆垂度，主缆最低处距离桥面，桥面距离海平面约．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式．
【变式】
31．（2025·广东茂名·模拟预测）为落实国家“乡村振兴战略”，切实提高农民的收入，某合作社将农户种植的无花果加工包装后进行销售，已知种植及加工无花果的综合成本为30元/千克，售价为50元/千克时，每天可出售2000千克，经市场调查发现每降价1元，一天多售出250千克．
(1)如果每天的利润要比原来多5000元，并使顾客得到更大的优惠，每千克售价为多少元？
(2)要使每天的利润取得最大值，每千克售价为多少元？
32．（2025·广东深圳·模拟预测）张伯伯挨着一面墙开垦了一块矩形田地，准备种植蔬菜．张伯伯将矩形田地用的篱笆分割成如图所示的四个面积相等的矩形（矩形田地的边缘除边外都要围上），种植不同种类的蔬菜，设．
(1)求矩形田地的面积的最大值．
(2)若矩形田地的面积不小于，求的取值范围．
33．（2025·广东东莞·二模）东莞“启航文化”公司设计生产一种学生毕业纪念册，并投放市场，已知制造成本为18元/件.经过市场调查发现，销售单价为32元时，每月的销售量为（万件）；销售单价为24元时，每月的销售量为（万件）；如果每月的销售量（万件）与销售单价（元/件）成一次函数关系．
(1)求每月销售量（万件）与销售单价（元/件）之间的函数关系式；
(2)根据市场监管部门规定，这种产品的销售利润率不能高于，同时厂家要求这种产品每月的制造成本不能超过900万元．当销售单价为多少元时，厂家每月能获得最大利润？最大利润是多少？
34．（2025·广东深圳·二模）新课标中，数学课程要培养的学生核心素养是“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界”，这集中体现了数学课程的育人价值，也说明数学和实际生活密不可分．数学老师给小明小组布置了一项数学与实际的作业，让他们到菜市场进行调研，并利用所学的数学知识对销售提出合理化建议．小明小组经调研发现，某店铺蔬菜的售卖情况大致遵循以下规律．
规律一 当每千克蔬菜的售价为8元时，每天能销售80千克．
规律二 当每千克蔬菜的售价每降低元，每天的销售量就会增加10千克．
经小组讨论，发现里面可能存在函数关系，考虑用已学的函数知识帮助店家解决问题．
【建立模型】
（1）设每天销售这种蔬菜的销售额为y元，每千克蔬菜降价x元，求y与x的函数关系式；
【设计方案】
（2）当每千克蔬菜降价多少元时，该店铺每天销售这种蔬菜的销售额最多？最多为多少元？
【实际需求】
（3）若该店铺老板希望每天销售这种蔬菜的销售额不低于540元，求这个蔬菜应参考的售价范围.
35．（2025·广东深圳·中考真题）综合与实践
【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系．
【研究条件】
条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数；
条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人．
【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式：
结合上述信息，请完成下述问题：
（1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________.
【模型应用】
（2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？
（3）已知该演出主办方要求：
①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少；
②尽量少安排安检通道，以节省开支．
若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性．
36．（2025·广东深圳·一模）综合与实践
【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观．
【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？
【分析问题】（1）二次函数的图象经过和，此抛物线的对称轴为直线________；
（2）如图2，已知二次函数经过点，且与的图象均经过和，则的取值范围是________；
【解决问题】（3）以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以，为端点的拱门表示原拱门，表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离的取值范围．
37．（24-25九年级下·广东深圳·月考）项目背景：深圳某物流公司研发了一款无人机快递投递系统．无人机从仓库起飞，飞行轨迹近似为抛物线．工程师需优化轨迹设计，确保快递精准送达客户．以仓库为原点，地面（水平方向）为轴，垂直于地面的方向（竖直方向）为轴建立平面直角坐标系．
【任务一：确定投递轨迹方程】
（1）在首次飞行测试中，无人机距离仓库的水平距离和竖直高度的几组数据如下表
水平距离x/ m 0 10 20 40 50 60 70 80
竖直高度 0 35 60 75 80 75 60 35 0
①直接写出无人机飞行轨迹的二次函数表达式是 ；
②利用表格中的数据在图2的方格纸中绘制该抛物线的图象（作图时，至少要描绘出表格中的9个点）．
【任务二：调整仓库位置避开高架桥】
（2）因高架桥施工，仓库需向左平移米，并向上平移2米．无人机轨迹形状不变（开口方向与大小均不变），调整后的轨迹需经过某小区住户坐标．为了节约迁移成本，左移距离不能太长，求满足以上条件且左移距离最短时的值．
【任务三：优化重型包裹投递路径】
（3）将无人机在水平范围内的飞行高度最大值与最小值之差称为垂直波动量，记作．当无人机投递重型包裹时，因仓库周边施工，起飞点再次移至新位置，但保持轨迹顶点与低务二调整后的轨迹顶点相同，同时需要减小抛物线开口以降低晃动．若垂直波动量米，记新抛物线的二次项系数为，求的值．
【任务四：评估调整后的投递安全性】
（4）任务二中调整后的轨迹在水平范围内的垂直波动量米．直接写出这时的值是 ．
38．（2025·广东珠海·一模）数学兴趣小组围绕着“关于x的二次函数在给定范围内，当x为何值时，y取最小值”展开研究．
【基础回顾】（1）当时，则，其中，当_______时，y取最小值；
【举一反三】关于x的二次函数，学生选取不同的t值，其中，当x为何值时，y取最小值，并记录如下：
0 4 5
y取最小值时x的值 或0
【探究发现】
发现：由表格数据，数学小组发现：以为分界，①当，时，y取最小值；②当，或0时，y取最小值；③当时，y取最小值． （3）猜想证明：请你补充数学小组未完成的证明：设，是关于x的二次函数图象上的两端点，抛物线的对称轴记为，MN中点的横坐标记为．，抛物线的开口向下．当，即，点N离对称轴较远，则当时，y取最小值．当时，即，_______；当时，即，_______；综上所述：猜想（2）得证．
（2）猜想：关于x的二次函数，其中，当_______时，y取最小值．
【实际运用】（4）如图，在青少年足球比赛中，球员甲在点O处准备挑球过人．以O为原点，足球离地面高度y米与到原点的水平距离x米近似满足二次函数关系．因在甲正前方7.5米C处有防守运动员乙准备拦截，甲调整出球力度，使足球沿抛物线飞向防守运动员乙．防守运动员乙一个跨步（约0.5米）范围内防守，即当时，足球离地面高度大于防守运动员乙的最高摸高米，求t的取值范围．
39．（2025·广东深圳·二模）背景：2026年开始，深圳市体育中考将把球类运动作为必选项目．在某次校园“篮球比赛”活动中，小李同学展示了精彩的投篮技巧．假设小李投篮时篮球的运动路线是抛物线，如图1．已知以下信息：
（1）球员小李罚球线处投篮．罚球线到篮筐中心的水平距离为4.5米；
（2）篮筐的高度为3.05米；
（3）小李投篮时，篮球运动路线的最高点在离他的水平距离3米处，高度为3.5米．
(1)求小李投篮时，篮球出手时的高度；
(2)在刚才的投篮过程中，如图2，有一个防守队员小姜在小李正前方1米处，想跳起来去阻挡篮球入筐．已知小姜手臂向上伸展的时候，指尖距离脚底的最大高度为1.9米；小姜竖直弹跳的最大高度为，请问小姜是否能完成本次防守，说明理由．
40．（24-25九年级上·广东潮州·期末）综合与实践
【主题】优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率
【问题背景】如图1，洒水车沿着平行于公路绿化带方向行驶，同时向右侧绿化带浇水．数学兴趣小组的同学想了解洒水车要如何控制行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带，为解决这个问题，数学兴趣小组同学通过建立数学模型进行探索．
【数学建模】如图2，建立平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；喷水口H离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度，表示洒水车和绿化带之间的距离．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口．
【解决问题】
(1)求外边缘抛物线的函数分析式，并求喷出水的最大射程；
(2)请求出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
(3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的取值范围．
41．（2025·广东深圳·模拟预测）【项目式学习】
【项目主题】绿波畅行，高效出行
【项目背景】绿波带是通过科学设置交通信号灯配时与车辆行驶速度，使车辆连续通过多个绿灯的交通优化方案．如图1，某城市计划在两个相距500米的直线型路口实施绿波带，绿波控制系统设定：车辆在第一个路口绿灯亮起后出发，第二个绿灯在10秒后亮起，绿灯时间为30秒，为保证安全，该路段限速（即）．为确保车辆能连续通过第二个路口的绿灯（车身长忽略不计），某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动．
任务一查阅资料
经过查阅相关资料，可知汽车在匀加（减）速直线运动过程中，行驶的速度与行驶时间满足一次函数关系：，其中为初始速度，为加速度，当汽车加速行驶时的值为正数，当汽车减速行驶时的值为负数；行驶的路程与行驶时间满足二次函数关系：．
如图2，假设当车辆从第一个绿灯亮起时出发，先进行匀加速直线运动，4秒时间加速到速度为后，进行匀速直线运动，为确保经过路口的安全性，在接近第二个红绿灯时进行匀减速直线运动，2秒时间减速到速度为时恰好到达第二个路口．
任务二数学计算
（1）当时，汽车在加速行驶过程中的加速度为___________，在减速行驶过程中的加速度为___________；
（2）判断当时，汽车是否能够连续通过第二个绿灯？
任务三方案设计
（3）求出汽车在加速行驶与减速行驶过程中，行驶的路程与行驶时间分别满足的二次函数关系式（用含的式子表示，不用写自变量的取值范围），并直接写出要连续通过第二个绿灯，则的取值范围为___________．
42．（2025·广东深圳·三模）随着城市短距离出行需求的变化，共享滑板车成为一种新兴的出行方式．某共享出行公司在A、B两个区域投放共享滑板车，相关信息如下：
信息1 A区域初始投放了100辆共享滑板车，B区域初始投放了20辆．将一辆滑板车从A区域调配到B区域，包含车辆运输与系统重置在内，成本为100元；公司基于运营数据和区域需求预测，规定每次只能从A区域向B区域调配滑板车，且调配数量不能超过20辆
信息2 B区域共享滑板车的日租借率会随着从A区域调配来的滑板车数量变化．当从A区域调配x辆滑板车到B区域时，B区域共享滑板车的日租借率为，但受限于B区域的停车空间和市场容量，日租借率最高不超过
信息3 每辆共享滑板车成功租借一次，公司可获得10元收入
问题1 在信息一的条件下，若从A区域调配x辆滑板车到B区域，用含x的式子表示调配这些滑板车的总成本y（元），并写出x的取值范围
问题2 在满足信息二的条件下，求B区域共享滑板车的公司日租借收入W关于x的函数关系式，并求出公司日租借收入W的最大值．
问题3 公司为激励运维团队在滑板车调配工作中的积极性，制定了两种奖励方案：方案一：每调配一辆滑板车，奖励负责调配的运维人员40元．方案二：一次性给予运维团队800元奖励．请计算并分析在不同调配数量下，选择哪种方案对运维团队更有利？
43．（2025·广东深圳·二模）如图1，一个小球以的初速度，在一条足够长且平直的轨道上运动．轨道初段绝对光滑；除段外，剩下轨道粗糙．小球在绝对光滑轨道上不存在阻力；在粗糙轨道上，存在恒定的摩擦力，速度会逐渐减小，直至停止．小球运动过程中，其速度与时间之间的关系如图2所示，其路程与时间之间的关系如图3所示（段是抛物线的一部分）．
(1)轨道初段的总长为______；并求出小球在粗糙轨道（图中射线上）运动时，与之间的关系式（不要求写出自变量取值范围）．
(2)①若测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为，求抛物线的函数关系式．
②延长线段，如果直线与抛物线有且只有一个交点，且直线不与抛物线对称轴平行，则称线段与抛物线光滑连接．请你通过计算和推理判断线段与抛物线是否光滑连接？
(3)在（2）的条件下，在射线上，是否存在一节长为的轨道段，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为．若存在，请求出这节轨道的起点与点A之间的距离；若不存在，请说明理由．
44．（2025·广东深圳·二模）综合与实践
深圳自然博物馆位于广东省深圳市坪山区燕子湖片区，共划分为陈列展览区、藏品保管保护区、公共服务区、科普教育区、综合业务与学术研究区以及地下车库和设备用房六大功能部分，是深圳市“新时代十大文化设施”之一，建成后将成为粤港澳大湾区首座大型综合类自然博物馆，填补了该区在综合类自然博物馆方面的空白．坪山区某中学数学兴趣小组对该项目设计图进行了研究：
把建筑俯视图的一部分抽象为以下图象：曲线、曲线、曲线和曲线，它们均可以看成某二次函数图象的一部分，后三者都可以看成由曲线平移得到，的长度为6．如图1，兴趣小组建立平面直角坐标系，已知曲线最高点点坐标为．
(1)求曲线所在抛物线的解析式（不需要写自变量的取值范围）．
(2)如图2，现在需要在建筑的顶部划出一片矩形区域来做绿化，下图所示，其中轴，求矩形花园周长的最大值．
(3)如图3，为了增强建筑物晚上的整体美观度，如果在建筑的曲线和曲线的外墙上安装具备灯光效果的垂直灯具，假设每个垂直灯具的水平间距为0.6，即，请问至少需要安装垂直灯具____________个．
45．（2025·广西柳州·一模）［综合探究］运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
【探究一】确定心形叶片的形状
（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知图像过原点，求抛物线的解析式及顶点的坐标；
【探究二】研究心形叶片的宽度：
（2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于，两点，抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处的宽度；
【探究三】探究幼苗叶片的长度
（3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究一中的二次函数．已知直线（点为叶尖）与水平线的夹角为，求幼苗叶片的长度．
46．（2024·广东深圳·三模）背景：双目视觉测距是一种通过测量出左、右两个相机视野中，同一物体的成像差异，来计算距离的方法．它在“AI”领域有着广泛的应用．
材料一：基本介绍
如图1，是双目视觉测距的平面图．两个相机的投影中心，的连线叫做基线，距离为t，基线与左、右投影面均平行，到投影面的距离为相机焦距f，两投影面的长均为l（t，f，1是同型号双目相机中，内置的不变参数），两投影中心，分别在左、右投影面的中心垂直线上．根据光的直线传播原理，可以确定目标点P在左、右相机的成像点，分别用点，表示．，分别是左、右成像点到各投影面左端的距离．
材料二：重要定义
①视差——点P在左、右相机的视差定义为．
②盲区——相机固定位置后，在基线上方的某平面区域中，当目标点P位于该区域时，若在左、右投影面上均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2，阴影区域是盲区之一）．
③感应区——承上，若在左、右投影面均可形成成像点，则该区域称为感应区．
材料三：公式推导片段
以下是小明学习笔记的一部分：
如图3，显然，，，可得，
所以， （依据）…
任务：
(1)请在图2中（A，B，C，D是两投影面端点），画出感应区边界，并用阴影标示出感应区．
(2)填空：材料三中的依据是指 ；已知某双目相机的基线长为200mm，焦距f为4mm，则位于感应区的目标点P到基线的距离z（mm）与视差d（mm）之间的函数关系式为 ．
(3)如图4，小明用（2）中那款双目相机（投影面CD长为10mm）正对天空连续拍摄时，一物体M正好从相机观测平面的上方从左往右飞过，已知M的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当M刚好进入感应区时，，当M刚好经过点的正上方时，视差，在整个成像过程中，d呈现出大一小一大的变化规律，当d恰好减小到上述的时，开始变大．
①小明以水平基线为x轴，右投影面的中心垂直线为y轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为 （友情提示：注意横、纵轴上的单位：）；
②求物体M刚好落入“盲区”时，距离基线的高度．
类型9 二次函数的综合
【例题】
47．（2024·广东广州·中考真题）已知抛物线过点和点，直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)求的值；
(3)直线绕点以每秒的速度顺时针旋转秒后得到直线，当时，直线交抛物线于，两点．
①求的值；
②设的面积为，若对于任意的，均有成立，求的最大值及此时抛物线的解析式．
【变式】
48．（2023·广东广州·中考真题）已知点在函数的图象上．
(1)若，求n的值；
(2)抛物线与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E．
①m为何值时，点E到达最高处；
②设的外接圆圆心为C，与y轴的另一个交点为F，当时，是否存在四边形为平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由．
49．（2024·广东深圳·中考真题）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设的读数为x，读数为y，抛物线的顶点为C．
(1)（Ⅰ）列表：
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
x 0 2 3 4 5 6
y 0 1 2.25 4 6.25 9
（Ⅱ）描点：请将表格中的描在图2中；
（Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式；
(2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为，竖直跨度为，且，，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：
方案一：将二次函数平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为．
①此时点的坐标为________；
②将点坐标代入中，解得________；（用含m，n的式子表示）
方案二：设C点坐标为
①此时点B的坐标为________；
②将点B坐标代入中解得________；（用含m，n的式子表示）
(3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系中有A，B两点，，且轴，二次函数和都经过A，B两点，且和的顶点P，Q距线段的距离之和为10，求a的值．
50．（2026·广东中山·模拟预测）学校数学兴趣小组在探究二次函数最值问题的数学活动时，发现一个有趣现象：如图，直线与抛物线交于两点．点为抛物线上的动点，过点且平行于轴的直线交直线于点．当点在直线下方时，连接得到．当面积最大时，点在什么位置？
(1)数学兴趣小组成员很快就求出点的坐标，请你也求出点的坐标．
(2)机智的小涛同学通过计算发现，当面积最大时，点与线段有特殊的位置关系，请你写出小涛的结论．
(3)爱动脑筋的小婷根据小涛的发现提出了一个大胆的猜想：本类问题中，当面积取最大值时，动点的位置和直线与抛物线的交点都有这种“特殊关系”，请说明这种“特殊关系”是什么？并证明结论．
51．（2024·广东汕头·一模）如图，在直角坐标系中，抛物线的顶点为，经过原点，且与x轴交于另一点A．
(1)求这个二次函数的解析式，并把它化成一般式；
(2)若在第一象限内的抛物线上有一点B，使的面积等于6，求点B的坐标；
(3)在（2）的条件下，在此抛物线上是否存在点P，使为以为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
52．（2025·广东清远·三模）如图，经过，两点的抛物线交轴正半轴于点，以点为圆心，长为半径作交轴另一点于点，交轴正半轴于点．
(1)求点、点的坐标；
(2)过点作的切线与抛物线交于点，若点的纵坐标为，四边形的面积为（A、E、F不共线）
①求与的函数关系式；
②若和相似，求四边形的面积．
53．（2025·广东·一模）如图，已知抛物线与x轴从左到右依次交于两点，与y轴交于点C，点B的坐标为，连接．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若P为此抛物线的对称轴上的一个动点，连接，设点P的纵坐标表示为m．
试探究：
①当m为何值时，的值最大？并求出这个最大值．
②在P点的运动过程中，能否与相等？若能，请求出P点的坐标；若不能，请说明理由．
54．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线交x轴于点，，交y轴于点C，，点E是线段上一动点，作交线段于点F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，延长线段交抛物线第一象限的部分于点G，点D是边中点，当四边形为平行四边形时，求出G点坐标；
(3)如图2，M为射线上一点，且，将射线绕点E逆时针旋转，交直线于点N，连接，P为的中点，连接，问：是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值，若不存在，请说明理由．
55．（2025·广东珠海·一模）【问题背景】
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点C，抛物线对称轴交x轴于点D，抛物线与双曲线交于点，把点P绕点D顺时针旋转得到的对应点为Q．
【构建联系】
（1）分别求出抛物线和双曲线的解析式，并说明点Q是否在双曲线上．
（2）如图2，双曲线与抛物线对称轴交于点E，连接，，求证：．
【深入探究】
（3）如图3，连接、，将绕着点旋转得到，其中点、分别是、两点的对应点，在旋转的过程中，当与重叠部分恰好是一个点时，求出此时点的坐标．
56．（2025·广东深圳·二模）如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点P是抛物线上的一个动点．
①如图1，若点在第一象限内，连接交直线于点，设的面积为，面积为，若，求点坐标；
②如图2，抛物线的对称轴与轴交于点，过点作于点，点是对称轴上的一个动点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由．
专练1 二次函数的图像与性质
满分：80分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·四川攀枝花·中考真题）关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴的交点坐标是 D．顶点坐标是
5．（2025·四川泸州·中考真题）已知抛物线的对称轴为直线，与轴的交点位于轴下方，且时，，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·福建·中考真题）已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·四川南充·中考真题）已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（ ）
A． B．
C． D．或
8．（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ）
A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值
C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大
9．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大
C．函数的最小值小于 D．当时，
10．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
二、解答题（共50分）
11．（2025·河南·中考真题,10分）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示．
… 0 1 …
… 1 …
(1)求二次函数的表达式．
(2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．
(3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值．
12．（2025·福建·中考真题,10分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点．
(1)求的值；
(2)已知二次函数的最大值为．
①求该二次函数的表达式；
②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：．
13．（2025·江苏连云港·中考真题,10分）已知二次函数，为常数．
(1)若该二次函数的图像与直线有两个交点，求的取值范围；
(2)若该二次函数的图像与轴有交点，求的值；
(3)求证：该二次函数的图像不经过原点．
14．（2025·江苏淮安·中考真题,10分）已知二次函数（m为常数）．
(1)若点在该函数图像上，则 ；
(2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点；
(3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围．
15．（2025·江苏常州·中考真题,10分）如图：在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段上一点，C与B不重合．二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C．将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，、分别是B、C的对应点，且点落在x轴正半轴上，点的纵坐标为．
(1)______；
(2)求点C的坐标；
(3)已知新抛物线与y轴交于点，点、在新抛物线上，若对于满足的任意实数，总成立，求实数m的取值范围．
专练2 二次函数的实际应用
满分：120分 得分：_____
解答题（每题8分，共120分）
1．（2025·江苏淮安·中考真题）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
每件的售价x/元 … 25 28 31 …
日销售量y/件 … 15 12 9 …
(1)求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价．
2．（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件．
(1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件；
(2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元；
(3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
3．（2025·四川南充·中考真题）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题．
材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同．
材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆．优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆；租用B型客车，租车费用打八折．
材料三 租车公司最多提供8辆A型客车；学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆．
(1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？
(2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？
4．（2025·四川内江·中考真题）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元．
(1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？
(2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？
(3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值．
5．（2025·陕西·中考真题）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)已知抛物线的函数表达式为，，求的长．
6．（2025·江苏徐州·中考真题）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作．已知，与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为时，反应距离为，刹车距离为．
(1)若骑行速度为，则_______，_______；
(2)设骑行速度为，求y关于x的函数表达式；
(3)当刹车距离为时，停车距离为多少（精确到）？（参考数据：，，）
7．（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案：
方案一 方案二
如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）．
(1)求方案一中与墙垂直的边的长度；
(2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？
8．（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示．
［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、．
（1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式．
［模型应用］
（2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________．
（3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球．
9．（2025·贵州·中考真题）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计）
(1)如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式；
(2)在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由；
(3)小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内）
10．（2025·甘肃兰州·中考真题）综合与实践
在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题．
【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决．
【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据：
生长素浓度：x（标准单位） 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2
发芽率y（%） 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12
【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．
说明：①当生长素浓度时，种子的发芽率为自然发芽率；
②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽；
③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验．
【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题：
(1)观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式；
(2)请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围．
11．（2025·湖北武汉·中考真题）某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动．
【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直．
【收集数据】某次羽毛球飞行的高度（单位：）与距发球点的水平距离（单位：）的对应值如下表（不考虑空气阻力）．
水平距离 0 2 3 5 6 …
竖直高度 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 …
【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分．
【建立模型】求与的函数解析式（不要求写自变量取值范围）．
【应用模型】
（1）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由．
（2）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为，发球点与球网的水平距离是．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于．求的取值范围．
12．（2025·内蒙古·中考真题）问题背景：
综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示．
外形参数：
如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上．
问题解决：
如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务：
(1)直接写出，，三点的坐标；
(2)直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式；
(3)为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长．
13．（2025·山西·中考真题）综合与实践
问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．
实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为．
数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式；
问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．
（2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长；
（3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）．
14．（2025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用．
【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据．
【收集整理数据】
运动时间 0 4 8 12 16 20 …
运动快慢 12 10 8 6 4 2 …
运动路程 0 44 80 108 128 140 …
【数学建模探究】
【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例）
【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证．
【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？
15．（2025·广西·中考真题）综合与实践
树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1）
初始时，矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示，在上，，，，，，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为移动到落在上的情形．
【问题提出】
西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时的位置．
设遮阳区的面积为，从初始时向右移动的距离为．
【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大如何变化？
【初步探究】（2）求图3情形的与的值；
【深入研究】（3）从图3情形起右移至与重合，求该过程中关于的解析式；
【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，向右移动了多少？（直接写出结果）
专练3 二次函数综合题
满分：120分 得分：_____
解答题（每题12分，共120分）
1．（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标；
(3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究
如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标．
(3)若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围；
(3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由．
4．（2025·甘肃·中考真题）如图1，抛物线分别与x轴，y轴交于A，两点，M为的中点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，过点M作的垂线，交于点C，交抛物线于点D，连接，求的面积；
(3)点E为线段上一动点（点A除外），将线段绕点O顺时针旋转得到．
①当时，请在图2中画出线段后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由；
②如图3，点P是第四象限的一动点，，连接，当点E运动时，求的最小值．
5．（2025·四川德阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D．
①求点D的坐标；
②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值．
6．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标；
(3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由．
7．（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
(3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为．
①求旋转角度的正切值；
②当时，求原抛物线平移的距离．
8．（2025·山东威海·中考真题）已知抛物线交x轴于点，点B，交y轴于点C．点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上．点E为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式及顶点E的坐标；
(2)连接，点M是线段上一动点，连接，作射线．
①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标；
②点N是射线上一动点，且满足．作射线，在射线上取一点G，使．连接，．求的最小值；
(3)点P在抛物线的对称轴上，若，则点P的坐标为___________．
9．（2025·湖南·中考真题）如图，已知二次函数的图象过点，连接点，，，是此二次函数图象上的三个动点，且，过点作轴交线段于点．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，点、在线段上，且直线、都平行于轴，请你从下列两个命题中选择一个进行解答：
①当时，求证：；
②当时，求证：；
(3)如图，若，，延长交轴于点，射线、分别与轴交于点，，连接，分别在射线、轴上取点、（点在点的右侧），且，．记，试探究：当为何值时，有最大值？并求出的最大值．
10．（2025·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的表达式：
(2)点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值；
(3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
二次函数验收卷
满分：120分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共30分）
1．下列函数中，的值随值的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
2．点在函数的图象上，已知，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
4．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（ ）
A．D点 B．C点 C．B点 D．A点
5．已知抛物线 与轴交于，两点，顶点的纵坐标为，则抛物线的对称轴为直线（ ）
A． B． C． D．
6．若二次函数的图象经过点，则代数式的值为（ ）
A． B．1 C． D．5
7．已知抛物线经过点，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，若抛物线与直线围成的1=封7闭图形内部有k个整点（不包括边界），则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
9．已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，直线从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线上，已知，，，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（每题3分，共15分）
11．写出一个以原点为顶点，开口向上的抛物线的解析式 ．
12．如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是 ．
13．经过，两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段的长为 ．
14．“路亚”是一种钓鱼方法，用这种方法钓鱼时先把鱼饵通过鱼线收到鱼竿末端，然后用力将鱼饵甩向远处．如图，人站在离水面高度的位置，当鱼饵被抛出后，鱼竿所在的位置为直线，此时鱼线形成的图象近似的看成抛物线，若点C到y轴的距离为，则鱼线落在水面上的点到点A的水平距离
．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线为函数的图象，抛物线为函数的图象，与轴交于点，与轴交于点，当时，为 ．
三、解答题（共75分）
16．（10分）【情景导入】在物理学中，自由落体下落的距离与下落时间的平方成正比．若忽略空气阻力，则与满足函数关系，表示重力加速度，看作一个定值．如表是一次试验的记录，根据如表，求的值，并求出与的关系式．
5 20 45
1 2 3
【尝试探索】如图所示，一个重力为的物体在理想环境下做自由落体运动，后落地．求下落点到地面的距离．
【实际应用】若某人从20楼失足落下，忽略一切影响因素，假设他做自由落体运动，每层楼高，在他开始运动的同时，消防员恰好赶到，则消防员铺设气垫至少需要10秒，通过计算说明此人能否得以生存？
17．（10分）某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
(3)该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出300元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4020元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
18．（10分）如图，为排球运动场地示意图，球网在场地中央且高度为m，球网距离球场左、右边界均为9m．排球发出后其运动路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分，某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为m，当排球运动到水平距离球网3m时达到最大高度m，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)当时，
①求抛物线的表达式；
②求排球是否能过球网？是否出边界？
(2)若排球既能过网（不触网），又不出界（不接触边界），直接写出的取值范围．
19．（10分）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分．
(1)写出的最高点坐标，并求a，c的值；
(2)若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．
20．（10分）如图，点在抛物线C：上，且在C的对称轴右侧．
(1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程．
21．（12分）如图，抛物线经过点，，点是抛物线的顶点．
(1)求a，m的值及点的坐标；
(2)将抛物线平移，使其顶点落在轴上，得到抛物线．
①直接写出抛物线平移的最短路程及此时抛物线的顶点坐标；
②在①的条件下，抛物线上有一个动点，其横坐标为，当时，点路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2，求的取值范围．
22．（13分）如图1，抛物线交x轴于O，两点，顶点为B．
(1)直接写出点B的坐标________；
(2)求抛物线的表达式；
(3)点C为的中点，
①过点C作，垂足为H，交抛物线于点E．求线段的长．
②点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形．如图2，当点F落在抛物线上时，直接写出点D的坐标；
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