2026届湖南省长沙市高考数学模拟自编卷02（人教A版）（试卷及参考答案）
文档属性
| 名称 | 2026届湖南省长沙市高考数学模拟自编卷02（人教A版）（试卷及参考答案） |
|
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-10 00:00:00 | ||
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文档简介
2026届湖南省长沙市高考数学模拟自编卷02
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．非空集合A、B满足，，，则（ ）
A． B．R C．A D．B
3．已知向量，若，则（ ）
A．-2 B．0 C．2 D．4
4．若为两条直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，，，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，则
5．已知菱形的边长为2，是的中点，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
6．已知抛物线的焦点为，点在轴上且位于右侧，点在上，若为等边三角形，则（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
7．若实数，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
8．已知分别为内角的对边，若，，动点满足的大小与的大小相等，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量，且，则
B．在回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好
C．对，两个变量进行相关性检验，得到相关系数为，对，两个变量进行相关性检验，得到相关系数为0.8278，则与负相关，与正相关，其中与的相关性更强
D．若，，，则
10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．把函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则为偶函数
D．若函数的导函数为，则的图象关于点对称
11．已知，是双曲线上两个不同的点，是的左顶点，则（ ）
A．的焦距为
B．当轴时，与可能垂直
C．当时，，的横坐标之和的取值集合为
D．当，的纵坐标异号时，对任意的点，都存在点，使得
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共10分。
12．展开式中，含项的系数为___________．
13．如图，直线过抛物线的焦点F，且直线与抛物线和圆的交点为A，B，C，D.则的最小值为_____.
14．记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为“牛顿数列”.若函数，数列为牛顿数列.设，已知，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，则的最大值为_____.
四、解答题：本题共5小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．某兴趣小组为了解某市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取200人进行调查，得到如下列联表．
年龄 周平均锻炼时长 合计
少于4h 不少于4h
50以下 100
50及以上 75 100
合计 65 200
(1)补全列联表，试根据的独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关；
(2)现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4h，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷．记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4h的人数为X，求X的分布列和数学期望．
0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
附：，．
16．已知向量，函数.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)在中，分别是角的对边，的面积为，求的周长.
17．如图，在正四棱锥中，点在棱上，点在棱上，且.
(1)证明：平面；
(2)若分别为所在棱的中点，求平面与平面的夹角的余弦值.
18．古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）.在平面直角坐标系中，已知椭圆：，点为其右焦点，椭圆的焦距为4. 若有光束自点射出，经椭圆二次反射后回到点，设两次反射点分别为，其光程为16.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)点P是椭圆C上的任意一点，椭圆在点P处的切线为，过点作的垂线，垂足为H，试求点H的轨迹方程．
(3)若直线OA，OB分别与直线交于M、N两点，试问，直线BM与直线AN能否交于一定点？若能，求出此定点；若不能，请说明理由.
19．已知的内角的对边分别为．
(1)若，求角的值；
(2)角的平分线交的外接圆于点，圆的半径为．
（i）当时，求的值；
（ii）当为何值时，的面积取最大值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
2026届湖南省长沙市高考数学模拟自编卷02（参考答案）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D A C D B C ABD ABD
题号 11
答案 AC
12．由二项式的展开式的通项公式，
令，所以含项的系数为.
故答案为：1
13．由题意得，即为圆的圆心，准线方程为．
由抛物线的定义得，
又，所以．
同理．
①当直线与轴垂直时，则有，
∴．
②当直线与轴不垂直时，设直线方程为，
由消去y整理得，
∴，
∴，
当且仅当时等号成立．
综上可得．
故答案为：．
14．因为，则，则，
由，所以，
所以，
即数列是以2为首项、2为公比的等比数列，所以，，
因为对任意的恒成立，又且单调递增，
所以对任意的恒成立，令，
根据对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，
又，且，故对于都有,
因此，
所以，所以的最大值为．
故答案为：.
15．（1）由题意可得：
年龄 周平均锻炼时长 合计
少于4h 不少于4h
50以下
50及以上
合计
零假设：周平均锻炼时长是否与年龄无关，
由列联表中的数据，可得，
又，根据的独立性检验，我们推断假设不成立，
即周平均锻炼时长与年龄有关.
（2）抽取的人中，周平均锻炼时长少于小时的有人，
不少于小时的有人，
所以所有可能的取值为，
，，，
所以随机变量的分布列为：
随机变量的数学期望.
16．（1），
令，解得，
故函数的单调递减区间为；
（2），则，则，
即，又，故，
则，故，
，
即，则，
即有，故的周长为.
17．（1）连接，与交于点，连接，如图所示，
根据正四棱锥的性质可知平面.
所以，又，又平面，所以平面，
又平面，所以.
又，又平面，
所以平面.
（2）连接.由（1）知平面，所以.
因为是的中点，是的中点，所以，所以.
又是的中点，所以，从而是正三角形.
如图，以直线分别为轴建立空间直角坐标系.
设，则.
因为平面，
所以平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，因为，
所以，
令，解得，所以平面的一个法向量为.
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
18．（1）由题意知，椭圆焦距，则，因为方程为，
根据椭圆的定义，
所以，解得，即知，
故椭圆方程为：.
（2）如图所示：
设椭圆的左焦点为，延长和交于点，
在中，，则，且为中点，
在中，
所以点在以为圆心，半径为4的圆上，所以点的轨迹方程为．
（3）由椭圆的光学性质可知直线过左焦点,设直线AB方程为,，
联立，得，
由韦达定理得
两式相比可得，所以
由对称性知，若定点存在，则为直线与直线交于轴上的定点，
由，解得，则直线方程为，
令，
则
所以，直线过定点，同理直线也过定点.
则点即为所求点.
19．1），由正弦定理得，
即，由余弦定理得，
，.
（2）（i）解法1：为直径且，
如图，连接并延长交于点，连接，
在中，，，，
又平分，，，
在Rt中，，
.
解法2：连接，
平分，
，易得，
由正弦定理得，
在中，，
即，
同理在中，，
是方程的两根，
.
（ii）解法1：如图，连接，设，
又外接圆的半径为，，
在中，由余弦定理可得，
，
得，
同理，在中，，
是方程的两根，
.
又，
，.
设，则，，
，
令，则，
令，时，（舍）或，
设，
则当，即时，，函数单调递减，
当时，即时，，函数单调递增
当，即时，取最大值，面积最大.
解法2：如图，连接并延长交圆于点，连接，
在中，，，
，设，
平分，，
连接，在中，，
在Rt中，，
，
由，知，即，
问题转化为求函数的最大值，同解法1．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．非空集合A、B满足，，，则（ ）
A． B．R C．A D．B
3．已知向量，若，则（ ）
A．-2 B．0 C．2 D．4
4．若为两条直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，，，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，则
5．已知菱形的边长为2，是的中点，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
6．已知抛物线的焦点为，点在轴上且位于右侧，点在上，若为等边三角形，则（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
7．若实数，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
8．已知分别为内角的对边，若，，动点满足的大小与的大小相等，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量，且，则
B．在回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好
C．对，两个变量进行相关性检验，得到相关系数为，对，两个变量进行相关性检验，得到相关系数为0.8278，则与负相关，与正相关，其中与的相关性更强
D．若，，，则
10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．把函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则为偶函数
D．若函数的导函数为，则的图象关于点对称
11．已知，是双曲线上两个不同的点，是的左顶点，则（ ）
A．的焦距为
B．当轴时，与可能垂直
C．当时，，的横坐标之和的取值集合为
D．当，的纵坐标异号时，对任意的点，都存在点，使得
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共10分。
12．展开式中，含项的系数为___________．
13．如图，直线过抛物线的焦点F，且直线与抛物线和圆的交点为A，B，C，D.则的最小值为_____.
14．记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为“牛顿数列”.若函数，数列为牛顿数列.设，已知，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，则的最大值为_____.
四、解答题：本题共5小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．某兴趣小组为了解某市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取200人进行调查，得到如下列联表．
年龄 周平均锻炼时长 合计
少于4h 不少于4h
50以下 100
50及以上 75 100
合计 65 200
(1)补全列联表，试根据的独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关；
(2)现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4h，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷．记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4h的人数为X，求X的分布列和数学期望．
0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
附：，．
16．已知向量，函数.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)在中，分别是角的对边，的面积为，求的周长.
17．如图，在正四棱锥中，点在棱上，点在棱上，且.
(1)证明：平面；
(2)若分别为所在棱的中点，求平面与平面的夹角的余弦值.
18．古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）.在平面直角坐标系中，已知椭圆：，点为其右焦点，椭圆的焦距为4. 若有光束自点射出，经椭圆二次反射后回到点，设两次反射点分别为，其光程为16.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)点P是椭圆C上的任意一点，椭圆在点P处的切线为，过点作的垂线，垂足为H，试求点H的轨迹方程．
(3)若直线OA，OB分别与直线交于M、N两点，试问，直线BM与直线AN能否交于一定点？若能，求出此定点；若不能，请说明理由.
19．已知的内角的对边分别为．
(1)若，求角的值；
(2)角的平分线交的外接圆于点，圆的半径为．
（i）当时，求的值；
（ii）当为何值时，的面积取最大值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
2026届湖南省长沙市高考数学模拟自编卷02（参考答案）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D A C D B C ABD ABD
题号 11
答案 AC
12．由二项式的展开式的通项公式，
令，所以含项的系数为.
故答案为：1
13．由题意得，即为圆的圆心，准线方程为．
由抛物线的定义得，
又，所以．
同理．
①当直线与轴垂直时，则有，
∴．
②当直线与轴不垂直时，设直线方程为，
由消去y整理得，
∴，
∴，
当且仅当时等号成立．
综上可得．
故答案为：．
14．因为，则，则，
由，所以，
所以，
即数列是以2为首项、2为公比的等比数列，所以，，
因为对任意的恒成立，又且单调递增，
所以对任意的恒成立，令，
根据对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，
又，且，故对于都有,
因此，
所以，所以的最大值为．
故答案为：.
15．（1）由题意可得：
年龄 周平均锻炼时长 合计
少于4h 不少于4h
50以下
50及以上
合计
零假设：周平均锻炼时长是否与年龄无关，
由列联表中的数据，可得，
又，根据的独立性检验，我们推断假设不成立，
即周平均锻炼时长与年龄有关.
（2）抽取的人中，周平均锻炼时长少于小时的有人，
不少于小时的有人，
所以所有可能的取值为，
，，，
所以随机变量的分布列为：
随机变量的数学期望.
16．（1），
令，解得，
故函数的单调递减区间为；
（2），则，则，
即，又，故，
则，故，
，
即，则，
即有，故的周长为.
17．（1）连接，与交于点，连接，如图所示，
根据正四棱锥的性质可知平面.
所以，又，又平面，所以平面，
又平面，所以.
又，又平面，
所以平面.
（2）连接.由（1）知平面，所以.
因为是的中点，是的中点，所以，所以.
又是的中点，所以，从而是正三角形.
如图，以直线分别为轴建立空间直角坐标系.
设，则.
因为平面，
所以平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，因为，
所以，
令，解得，所以平面的一个法向量为.
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
18．（1）由题意知，椭圆焦距，则，因为方程为，
根据椭圆的定义，
所以，解得，即知，
故椭圆方程为：.
（2）如图所示：
设椭圆的左焦点为，延长和交于点，
在中，，则，且为中点，
在中，
所以点在以为圆心，半径为4的圆上，所以点的轨迹方程为．
（3）由椭圆的光学性质可知直线过左焦点,设直线AB方程为,，
联立，得，
由韦达定理得
两式相比可得，所以
由对称性知，若定点存在，则为直线与直线交于轴上的定点，
由，解得，则直线方程为，
令，
则
所以，直线过定点，同理直线也过定点.
则点即为所求点.
19．1），由正弦定理得，
即，由余弦定理得，
，.
（2）（i）解法1：为直径且，
如图，连接并延长交于点，连接，
在中，，，，
又平分，，，
在Rt中，，
.
解法2：连接，
平分，
，易得，
由正弦定理得，
在中，，
即，
同理在中，，
是方程的两根，
.
（ii）解法1：如图，连接，设，
又外接圆的半径为，，
在中，由余弦定理可得，
，
得，
同理，在中，，
是方程的两根，
.
又，
，.
设，则，，
，
令，则，
令，时，（舍）或，
设，
则当，即时，，函数单调递减，
当时，即时，，函数单调递增
当，即时，取最大值，面积最大.
解法2：如图，连接并延长交圆于点，连接，
在中，，，
，设，
平分，，
连接，在中，，
在Rt中，，
，
由，知，即，
问题转化为求函数的最大值，同解法1．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
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