1.6三角函数模型的简单应用（带解析）

1.6三角函数模型的简单应用（带解析）
一、选择题
1.函数f（x）=2sin2x-1是（ ）
A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为π的偶函数21cnjy.com
2.下列函数中，周期为π，且在（0，）上单调递增的是（ ）
A．y=tan|x| B．y=|cosx| C．y=|sinx| D．y=sin|x|
3.已知函数的最小正周期为π，将y=f（x）的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的一个值是（ ）www.21-cn-jy.com
A． B． C． D．
4.函数（，）的部分图像如图所示，则，的值分别是（ ）
A．2，－ B．2，－ C．4，－ D．4，
5.已知函数，（其中）的部分图象如图所示．设点是图象上轴右侧的第一个最高点，，则的面积是（ ）
A、 B、 C、 D、
6.稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响．北京市某房地产介绍所对本市一楼群在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y（每平方米面积的价格，单位为元）与第x季度之间近似满足：y=500sin（ωx+?）+9500?（?＞0），已知第一、二季度平均单价如下表所示：【出处：21教育名师】
x
1
2
3
y
10000
9500
？
则此楼群在第三季度的平均单价大约是???????????????????（ ）
A．10000元 B．9500元 C．9000元 D．8500元
7.如图为一半径为3m的水轮，水轮中心O距水面2m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（t）满足函数关系y=Asin（ωx+φ）+2则（ ）2-1-c-n-j-y
A．ω=，A=5 B．ω=，A=5C．ω=，A=3 D．ω=，A=3
8.设y=f（x）是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中0≤t≤24，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：21世纪教育网版权所有
t
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经长期观察，函数y=f（t）的图象可以近似地看成函数y=k+Asin（ωt+φ）的图象，下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（t∈[0，24]）（ ）
A． B．C． D．
二、填空题
9.关于函数f（x）=4sin（2x+）（x∈R），有下列命题：①y=f（x）的表达式可改写为y=4cos（2x-）；②y=f（x）是以2π为最小正周期的周期函数；③y=f（x）的图象关于点对称；④y=f（x）的图象关于直线x=-对称．其中正确的命题的序号是?? ? ．21·cn·jy·com
10.已知函数f（n）=sin（n∈Z），则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2008）的值是??? ．
11.已知函数在区间内至少取得两次最小值，且至多取得三次最大值，则的取值范围是_______ _______ 21教育名师原创作品
12.如图，点P从（1，0）出发，沿单位圆按顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为 ．21*cnjy*com
三、解答题
13.已知函数（n∈Z）（1）求函数f（x）的最小正周期T；（2）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．　　21*cnjy*com
14.某港口水深y(米)是时间t (0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：
t(小时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数型y＝Asin ωt＋B的图象．
(1)试根据数据表和曲线，求出y＝Asin ωt＋B的解析式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)21教育网
参考答案及解析
1.D
【解析】利用二倍角公式化简即可求出函数的最小正周期，判断函数的奇偶性，推出选项．函数f（x）=2sin2x-1=-cos2x，所以函数的周期是π，因为f（-x）=-cos（-2x）=-cos2x=f（x），所以函数是偶函数，2.C2·1·c·n·j·y
【解析】由三角函数的单调性与周期性对A，B，C，D四个选项逐一判断即可．对于A，y=tan|x|，不是周期函数，故A错误；【解析】由图可知，，，所以，所以，将代入，得，解得，又因为，则，故选A.
5.C【来源：21·世纪·教育·网】
【解析】因为，所以点B是三角函数图像与x轴的交点，故
所以,故选C。
6.C
【解析】根据表格数据可求的三角函数模型，再利用三角函数模型可求此楼群在第三季度的平均单价．由表格数据可知，10000=500sin（ω+?）+9500，9500=500sin（2ω+?）+9500? ∴sin（ω+?）=1，sin（2ω+?）=0∴ω=∴x=3时，y=500sin（）+9500=9000元21·世纪*教育网
7.D
【解析】根据题意，水轮旋转一周所用的时间为一个周期，由周期公式，T=求解；A为最大振幅，由图象知到最高点时即为A值．已知水轮每分钟旋转4圈www-2-1-cnjy-com
∵f?（x）=4sin（2x+）=4cos（）=4cos（-2x+）=4cos（2x-），故①正确；∵T=，故②不正确；令x=-代入f?（x）=4sin（2x+）得到f（-）=4sin（-）=0，故y=f?（x）的图象关于点对称，③正确④不正确；10.【来源：21cnj*y.co*m】
【解析】先根据函数的解析式求得函数的周期，进而可求得一个周期内的函数的和，进而看2008是12的多少倍数，进而利用周期性求得答案．∵f（n）=sin（n∈Z），∴f（n）的周期为T==12f（1）+f（2）+f（3）+…+f（12）=++1+++0---1---0=0即从第一项起，每连续12项和为0∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2008）=167×0+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=++1+=在开区间内至少取得两次最小值，则．在开区间内至多取得三次最大值，则,得到．【版权所有：21教育】
12.
【解析】根据任意角的三角函数的定义得，，，所以点Q的坐标为．
13.（1）f（x）的最小正周期T==π；
（2）f（x）max=1，f（x）min=-．
【解析】（1）利用三角函数中的恒等变换将f（x）化简为：f（x）=cos（2x-）即可利用三角函数的周期公式求得其周期；（2）由≤x≤，可求得2x-的范围，利用余弦函数的单调性质即可求得函数f（x）的最大
14.（1）函数的解析式为y＝3sint＋10 (0≤t≤24)．
（2）若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．
【解析】(1)从拟合的曲线可知，函数y＝Asin ωt＋B的一个周期为12小时，因此ω＝＝.
又ymin＝7，ymax＝13，
∴A＝(ymax－ymin)＝3，
B＝(ymax＋ymin)＝10.
∴函数的解析式为y＝3sint＋10 (0≤t≤24)．
(2)由题意，水深y≥4.5＋7，
即y＝3sint＋10≥11.5，t∈[0,24]，
∴sint≥，t∈，k＝0,1，
∴t∈[1,5]或t∈[13,17]，
所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港．
若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．