2.3幂函数（带解析）
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2.3幂函数（带解析）
一、选择题
1.下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ）
A．y=-x3 B．y=x-3 C．y=2x3 D．y=x3-1
2.已知幂函数f（x）过点，则f（4）的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．8
3.已知幂函数f（x）=xα（α为常数）的图象过，则f（x）的单调递减区间是（ ）
A．（-∞，0] B．（-∞，+∞） C．（-∞，0）∪（0，+∞） D．（-∞，0），（0，+∞）
4.函数的图象是（ ）
A B C Dwww.21-cn-jy.com
5.设函数y=x3与y=（）x的图象的交点为（x，y），则x所在的区间是（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
6.幂函数f（x）的图象过点，那么f（8）的值为（ ）
A． B．64 C． D．
7.已知函数（m∈Z）为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减，则m=（ ）
A．2或3 B．3 C．2 D．1
8.在a=-2，-l，，2中，函数f（x）=xa的定义域为{x∈R|X≠0}，且f（x）是偶函数，则a的值为（ ）21教育网
A．-2 B．-l C． D．2
二、填空题
9.已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（9）=? ?? ．
10.幂函数f（x）的图象过点，则f（x）的解析式是?? ? ．
11.对于幂函数，若0＜x1＜x2，则，大小关系是?? ? ．
12.如图为幂函数y=xn在第一象限的图象，则c1、c2、c3、c4的大小关系为??? ．
三、解答题
13.已知函数为幂函数，求其解析式．
14.已知幂函数y=f（x）的图象过点，求出此函数的解析式，并判断并证明f（x）的奇偶性．
15.已知幂函数f（x）=xa经过点（2，）， （1）求函数f（x）的解析式． （2）求函数f（x）的定义域． （3）判断函数f（x）的单调性，并加以证明．21世纪教育网版权所有
参考答案及解析
1.B
【解析】根据幂函数的定义，直接判定选项的正误，推出正确结论． 幂函数的定义规定；y=xa（a为常数）为幂函数，所以选项中A，C，D不正确；B正确； 2.A21·cn·jy·com
∴，解得α=-1， ∴幂函数f（x）=． ∴f（x）的单调递减区间是（-∞，0），（0，+∞）． 4.A2·1·c·n·j·y
【解析】本题要用函数的性质与图象性质的对应来确定正确的选项，故解题时要先考查函数性质，单调性奇偶性等，再观察四个选项特征，选出正确答案． 研究函数知，其是一个偶函数，且在（0，+∞）上增，在（-∞，0）上减，由此可以排除C，D， 又函数的指数＞1，故在（0，+∞）其递增的趋势越来越快，由此排除B，故A正确． 5.A【来源：21·世纪·教育·网】
【解析】构造函数f（x）=x3-，利用零点存在定理判断即可． 令f（x）=x3-， ∵f′（x）=3x2-ln=3x2+ln2＞0， ∴f（x）=x3-在R上单调递增； 又f（1）=1-=＞0， f（0）=0-1=-1＜0，
∴f（8）== 7.A
【解析】由幂函数为偶函数，又它在（0，+∞）递减，故它的幂指数为负，由幂指数为负与幂指数为偶数这个条件，即可求出参数m 的值． 幂函数为偶函数，且在（0，+∞）递减， ∴m2-5m+4＜0，且m2-5m+4是偶数 由?m2-5m+4＜0得1＜m＜4，又由题设m是整数，故m的值可能为2或3， 验证知m=2或者3时，都能保证m2-5m+4是偶数 故m=2或者3即所求． 8.Awww-2-1-cnjy-com
【解析】分别验证a=-2，-l，，2知当a=-2时，函数y=xa的定义域为{x∈R|X≠0}，且f（x）是偶函数． 当a=-1时，y=x-1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数，不符合题意； 当a=时，函数y=x的定义域是{x|x≥0}且为非奇非偶函数，不符合题意； 当a=2时，函数y=x2的定义域是R且为偶函数，不符合题意； 当a=-2时，函数y=x-2的定义域为{x∈R|x≠0}，且f（x）是偶函数，满足题意； ∴满足题意的α的值为-2． 9.32-1-c-n-j-y
【解析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析
11.? ＞．
【解析】根据幂函数在（0，+∞）上是增函数，图象是上凸的，则当0＜x1＜x2 时，应有 ＞，由此可得结论． 由于幂函数在（0，+∞）上是增函数，图象是上凸的，则当0＜x1＜x2 时，
应有 ＞， 12.c3＜c4＜c2＜c1
【解析】作出直线x=，与四个幂函数图象分别有一个交点，观察各点的纵坐标，再结合指数函数y=在R上是减函数，即可得到c3＜c4＜c2＜c1，得到正确答案．
【解析】利用幂函数的定义：系数为1列出方程求出m值，求出f（x）的解析式即可． 依题意f（x）是幂函数，可得：， 解得m=2或m=1， 当m=1时，其解析式f（x）=x； 当m=2时，其解析式f（x）=x，都适合题意． 故函数的解答式为f（x）=x或f（x）=x21·世纪*教育网
14.f（x）为奇函数
【解析】根据幂函数的概念设f（x）=xa，将点的坐标代入即可求得a值，从而求得函数解析式．要判断函数的奇偶性我们可以根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性． 设f（x）=xa 将代入得21cnjy.com
解方程得：a=-1， ∴
定义域为{x|x≠0}
作差，判断差的符号，再由定义得出结论． （1）∵幂函数f（x）=xa的图象经过点（2，）， ∴=2α， ∴α=． ∴f（x）=x， （2）f（x）=x的定义域是[0，+∞）； （3）此函数在定义域上是增函数，证明如下： 任取x1，x2∈[0，+∞）且x1＜x2，f（x1）-f（x2）=-=， 由于x1，x2∈[0，+∞）且x1＜x2，∴x1-x2＜0，＞0，可得 ＜0， 即有f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2） 故函数在定义域是增函数．
一、选择题
1.下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ）
A．y=-x3 B．y=x-3 C．y=2x3 D．y=x3-1
2.已知幂函数f（x）过点，则f（4）的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．8
3.已知幂函数f（x）=xα（α为常数）的图象过，则f（x）的单调递减区间是（ ）
A．（-∞，0] B．（-∞，+∞） C．（-∞，0）∪（0，+∞） D．（-∞，0），（0，+∞）
4.函数的图象是（ ）
A B C Dwww.21-cn-jy.com
5.设函数y=x3与y=（）x的图象的交点为（x，y），则x所在的区间是（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
6.幂函数f（x）的图象过点，那么f（8）的值为（ ）
A． B．64 C． D．
7.已知函数（m∈Z）为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减，则m=（ ）
A．2或3 B．3 C．2 D．1
8.在a=-2，-l，，2中，函数f（x）=xa的定义域为{x∈R|X≠0}，且f（x）是偶函数，则a的值为（ ）21教育网
A．-2 B．-l C． D．2
二、填空题
9.已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（9）=? ?? ．
10.幂函数f（x）的图象过点，则f（x）的解析式是?? ? ．
11.对于幂函数，若0＜x1＜x2，则，大小关系是?? ? ．
12.如图为幂函数y=xn在第一象限的图象，则c1、c2、c3、c4的大小关系为??? ．
三、解答题
13.已知函数为幂函数，求其解析式．
14.已知幂函数y=f（x）的图象过点，求出此函数的解析式，并判断并证明f（x）的奇偶性．
15.已知幂函数f（x）=xa经过点（2，）， （1）求函数f（x）的解析式． （2）求函数f（x）的定义域． （3）判断函数f（x）的单调性，并加以证明．21世纪教育网版权所有
参考答案及解析
1.B
【解析】根据幂函数的定义，直接判定选项的正误，推出正确结论． 幂函数的定义规定；y=xa（a为常数）为幂函数，所以选项中A，C，D不正确；B正确； 2.A21·cn·jy·com
∴，解得α=-1， ∴幂函数f（x）=． ∴f（x）的单调递减区间是（-∞，0），（0，+∞）． 4.A2·1·c·n·j·y
【解析】本题要用函数的性质与图象性质的对应来确定正确的选项，故解题时要先考查函数性质，单调性奇偶性等，再观察四个选项特征，选出正确答案． 研究函数知，其是一个偶函数，且在（0，+∞）上增，在（-∞，0）上减，由此可以排除C，D， 又函数的指数＞1，故在（0，+∞）其递增的趋势越来越快，由此排除B，故A正确． 5.A【来源：21·世纪·教育·网】
【解析】构造函数f（x）=x3-，利用零点存在定理判断即可． 令f（x）=x3-， ∵f′（x）=3x2-ln=3x2+ln2＞0， ∴f（x）=x3-在R上单调递增； 又f（1）=1-=＞0， f（0）=0-1=-1＜0，
∴f（8）== 7.A
【解析】由幂函数为偶函数，又它在（0，+∞）递减，故它的幂指数为负，由幂指数为负与幂指数为偶数这个条件，即可求出参数m 的值． 幂函数为偶函数，且在（0，+∞）递减， ∴m2-5m+4＜0，且m2-5m+4是偶数 由?m2-5m+4＜0得1＜m＜4，又由题设m是整数，故m的值可能为2或3， 验证知m=2或者3时，都能保证m2-5m+4是偶数 故m=2或者3即所求． 8.Awww-2-1-cnjy-com
【解析】分别验证a=-2，-l，，2知当a=-2时，函数y=xa的定义域为{x∈R|X≠0}，且f（x）是偶函数． 当a=-1时，y=x-1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数，不符合题意； 当a=时，函数y=x的定义域是{x|x≥0}且为非奇非偶函数，不符合题意； 当a=2时，函数y=x2的定义域是R且为偶函数，不符合题意； 当a=-2时，函数y=x-2的定义域为{x∈R|x≠0}，且f（x）是偶函数，满足题意； ∴满足题意的α的值为-2． 9.32-1-c-n-j-y
【解析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析
11.? ＞．
【解析】根据幂函数在（0，+∞）上是增函数，图象是上凸的，则当0＜x1＜x2 时，应有 ＞，由此可得结论． 由于幂函数在（0，+∞）上是增函数，图象是上凸的，则当0＜x1＜x2 时，
应有 ＞， 12.c3＜c4＜c2＜c1
【解析】作出直线x=，与四个幂函数图象分别有一个交点，观察各点的纵坐标，再结合指数函数y=在R上是减函数，即可得到c3＜c4＜c2＜c1，得到正确答案．
【解析】利用幂函数的定义：系数为1列出方程求出m值，求出f（x）的解析式即可． 依题意f（x）是幂函数，可得：， 解得m=2或m=1， 当m=1时，其解析式f（x）=x； 当m=2时，其解析式f（x）=x，都适合题意． 故函数的解答式为f（x）=x或f（x）=x21·世纪*教育网
14.f（x）为奇函数
【解析】根据幂函数的概念设f（x）=xa，将点的坐标代入即可求得a值，从而求得函数解析式．要判断函数的奇偶性我们可以根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性． 设f（x）=xa 将代入得21cnjy.com
解方程得：a=-1， ∴
定义域为{x|x≠0}
作差，判断差的符号，再由定义得出结论． （1）∵幂函数f（x）=xa的图象经过点（2，）， ∴=2α， ∴α=． ∴f（x）=x， （2）f（x）=x的定义域是[0，+∞）； （3）此函数在定义域上是增函数，证明如下： 任取x1，x2∈[0，+∞）且x1＜x2，f（x1）-f（x2）=-=， 由于x1，x2∈[0，+∞）且x1＜x2，∴x1-x2＜0，＞0，可得 ＜0， 即有f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2） 故函数在定义域是增函数．