8.2第二课时　非线性回归模型及回归分析 课件(共69张PPT)

(共69张PPT)
第二课时　非线性回归模型及回归分析
1. 进一步掌握一元线性回归模型参数的统计意义（数学抽象）.
2. 了解非线性回归模型（数学抽象）.
3. 会通过分析残差和利用R2判断回归模型的拟合效果（数学运算、数据分析）.
课标要求
情境导入
设某幼苗从观察之日起，第x天的高度为y cm，测得的一些数据如下表
所示，
第x天 1 4 9 16 25 36 49
高度y/cm 0 4 7 9 11 12 13
　　作出这组数据的散点图近似描述y与x的关系，很显然，这些散点不在
一条直线附近.你能求出这个函数模型吗？
知识点一 非线性回归方程
01
知识点二 残差与残差分析
02
知识点三 残差平方和与决定系数R2
03
课时作业
04
目录
知识点一 非线性回归方程
01
PART
【知识梳理】
1. 非线性回归分析的思想
研究两个变量的关系时，依据样本点画出散点图，从整体上看，如果样本
点没有分布在某个带状区域内，就称这两个变量之间不具有线性相关关
系，此时不能直接利用经验回归方程来建立两个变量之间的关系.
2. 非线性经验回归方程
当回归方程不是形如 ＝ x＋ （ ， ∈R）时，称之为非线性经验回归
方程.当两个变量不呈线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲
线方程来拟合数据，可通过变量代换，利用线性回归模型建立两个变量间
的非线性经验回归方程.
【例1】　为了研究某种细菌随时间x变化繁殖的个数，收集数据如下：
天数x/天 1 2 3 4 5 6
繁殖个数y/个 6 12 25 49 95 190
（1）用天数作解释变量，繁殖个数作响应变量，作出这些数据的散点
图，根据散点图判断y＝a＋bx与y＝c1 哪一个作为繁殖的个数y关于
时间x变化的回归方程类型最佳；（给出判断即可，不必说明理由）
解： 作出散点图，如图1所示.
由散点图看出样本点分布在一条指数函数y＝c1 的周围，于是选择y＝c1 .
（2）根据（1）中判断的最佳回归方程及表中的数据，建立y关于x的回归
方程；
（xi－ ）2 （xi－ ）· （yi－ ） （xi－ ）·
（zi－ ）
3.5 62.83 3.53 17.5 596.505 12.04
其中zi＝ln yi， ＝ zi.
参考公式： ＝ ， ＝ － .
解： 令z＝ln y，则 ＝ x＋ .
x 1 2 3 4 5 6
z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25
相应的散点图如图2所示.
从图2可以看出，变换后的样本点分布在一条直线附
近，因此可以用经验回归方程来拟合.
由 ＝ ＝0.688，
则 ＝ － ＝1.122，
因此 ＝0.688x＋1.122，从而 ＝e0.688x＋1.122.
（3）试估计第7天细菌繁殖的个数.（参考数据e5.938≈379）
解： ∵ ＝e0.688x＋1.122，∴当x＝7时， ≈379，
故第7天细菌繁殖的个数约为379.
【规律方法】
非线性经验回归方程的求法
训练1　“绿水青山就是金山银山”的理念推动了新能源汽车产业的迅速发展.以下表格和散点图反映了近几年我国某新能源汽车的年销售量情况.
年份 2021 2022 2023 2024 2025
年份代码x 1 2 3 4 5
某新能源汽车年销售量y/万辆 1.5 5.9 17.7 32.9 55.6
（1）请根据散点图判断，y＝bx＋a与y＝cx2＋d中哪一个更适宜作为年
销售量y关于年份代码x的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明
理由）
解： 根据散点图可知，y＝cx2＋d更适宜
作为年销售量y关于年份代码x的回归方程类型.
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测
2026年我国该新能源汽车的年销售量.（精确到0.1）
参考数据： ＝22.72， （wi－ ）2＝374， （wi－ ）（yi－ ）
＝851.2（其中wi＝ ）.
解： 令w＝x2，则 ＝ w＋ .
易知 ＝11， ＝ ＝≈2.28，
＝ － ≈22.72－2.28×11＝－2.36，
所以 ＝2.28w－2.36，
所以y关于x的回归方程为 ＝2.28x2－2.36.
令x＝6，得 ＝79.72≈79.7.
故预测2026年我国该新能源汽车的年销售量为79.7万辆.
知识点二 残差与残差分析
02
PART
问题　阅读教材P110～P112，思考下面问题.
已知具有相关关系的两个变量的经验回归方程为 ＝ x＋ .
（1） 与响应变量Y相等吗？
提示：不一定.
（2） 与响应变量Y之间误差大了好还是小了好？
提示：越小越好.
【知识梳理】
1. 残差及残差图
（1）对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为 ，通过经验回
归方程得到的 称为 ， 减去 所得的差称
为残差；
（2）作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或解释变量的观
测值等，这样作出的图形称为残差图.
观测值　
预测值　
观测值　
预测值　
2. 残差分析
是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数
据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称
为 .
残差　
残差分析　
【例2】　（1）对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归
模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是（　A　）
A
解析： 用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高.
（2）已知一系列样本点（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n）的经验回归方
程为 ＝2x＋ ，若样本点（r，1）与（1，s）的残差相同，则有
（　C　）
A. r＝s B. s＝2r
C. s＝－2r＋3 D. s＝2r＋1
解析： 样本点（r，1）的残差为1－2r－ ，样本点（1，s）的残差
为s－ －2，依题意得1－2r－ ＝s－ －2，故s＝－2r＋3.
C
【规律方法】
1. 残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适.
这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，经验回归方程的预
报精度越高.
2. 残差是随机误差的估计值， ＝yi－ .
训练2　（1）某种产品的广告支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万
元）之间有如表关系，y与x的经验回归方程为 ＝6.5x＋17.5，当广告
支出为5万元时，随机误差的残差为（　A　）
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
A. 10万元 B. 20万元
C. 30万元 D. 40万元
A
解析： 因为y与x的经验回归方程为 ＝6.5x＋17.5，所以当x＝5
时， ＝6.5×5＋17.5＝50.由表格知当广告支出5万元时，销售额为60万
元，所以随机误差的残差为60－50＝10（万元）.
（2）已知某成对样本数据的残差图如图，则样本点数据中可能不准确的
是从左到右第 个.
6
解析： 原始数据中的可疑数据往往是残差绝对值过大的那个数据，
即偏离平衡位置过大的数据.
知识点三｜残差平方和与决定系数R2
03
PART
【知识梳理】
1. 残差平方和法：残差平方和 （ ）2越小，模型的拟合效果越好.
2. 决定系数R2法：可以用R2＝1－ 来比较两个模型的拟合效
果，R2越大，模型的拟合效果越好；R2越小，模型的拟合效果越差.
【例3】　已知某种商品的价格x（单位：元）与需求量y（单位：件）之
间的关系有如下一组数据：
x 14 16 18 20 22
y 12 10 7 5 3
（1）求y关于x的经验回归方程；
解： 由题可得 ＝ ×（14＋16＋18＋20＋22）＝18，
＝ ×（12＋10＋7＋5＋3）＝7.4，
所以 ＝ ＝ ＝－1.15，
＝7.4＋1.15×18＝28.1，
所以所求经验回归方程为 ＝－1.15x＋28.1.
（2）借助残差平方和与R2说明回归模型拟合效果的好坏.
（参考公式及数据： ＝ ， ＝ － ， ＝1 660， xiyi
＝620， （yi－ ）2＝53.2）
解： 列出残差表为
yi－ 0 0.3 －0.4 －0.1 0.2
yi－ 4.6 2.6 －0.4 －2.4 －4.4
所以 （yi－ ）2＝0.3，且 （yi－ ）2＝53.2，
R2＝1－ ≈0.994，
所以回归模型的拟合效果很好.
【规律方法】
刻画回归效果的三种方法
（1）残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模
型比较合适；
（2）残差平方和法：残差平方和 （yi－ ）2越小，模型的拟合效
果越好；
（3）决定系数法：R2＝1－ 越接近1，表明模型的拟合效
果越好.
训练3　某市春节期间7家超市的广告费支出xi（单位：万元）和销售额yi
（单位：万元）的数据如下：
超市 A B C D E F G
广告费支出xi 1 2 4 6 11 13 19
销售额yi 19 32 40 44 52 53 54
（1）若用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的经验回归方程；
解： 由统计数据及公式，
得 ＝ ＝ ＝1.7，
＝ － ＝28.4，
故y关于x的经验回归方程为 ＝1.7x＋28.4.
（2）若用对数回归模型拟合y与x的关系，可得经验回归方程 ＝12ln x＋
22，经计算得出线性回归模型和对数回归模型的R2分别约为0.75和0.97，
请用R2说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A超市广告费支出
为8万元时的销售额.
参考数据及公式： ＝8， ＝42， xiyi＝2 794， ＝708， ＝
， ＝ － ，ln 2≈0.7.
解： 因为0.75＜0.97，
所以对数回归模型更合适.
把x＝8代入回归方程 ＝12ln x＋22，
得 ＝12×ln 8＋22＝36ln 2＋22≈47.2.
所以当x＝8万元时，预测A超市的销售额为47.2万元.
1. 甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4
种不同模型，计算可得它们的决定系数R2如下表：
甲 乙 丙 丁
R2 0.98 0.78 0.50 0.85
则回归模型拟合效果最好的是（　　）
A. 甲 B. 乙
C. 丙 D. 丁
解析： 　决定系数R2越大，表示回归模型的拟合效果越好.
√
2. 某校数学学习兴趣小组为研究某作物种子的发芽
率y和温度x（单位：℃）的关系，由试验数据得到
如图所示的散点图.由此散点图，可以得出最适宜作
为发芽率y和温度x的回归模型的是（　　）
A. y＝a＋bx B. y＝a＋bln x
C. y＝a＋bex D. y＝a＋bx2
√
解析： 　由散点图可知，数据分布成递增趋势，且呈现上凸效果，即增
加越来越缓慢.A中，y＝a＋bx是直线型，均匀增长，不符合要求；B
中，y＝a＋bln x是对数型，增长越来越缓慢，符合要求；C中，y＝a＋
bex是指数型，爆炸式增长，增长越来越快，不符合要求；D中，y＝a＋
bx2是二次函数型，图象既有上升，又有下降，不符合要求.
3. 下表是某饮料专卖店一天卖出奶茶的杯数y与当天气温x（单位：℃）
的对比表，已知由表中数据计算得到y关于x的经验回归方程为 ＝ x＋
27，则相应于点（10，20）的残差为 .
气温x/℃ 5 10 15 20 25
杯数y 26 20 16 14 14
解析： ＝ ＝15， ＝ ＝18，代入经验回归
方程 ＝ x＋27得18＝15 ＋27，解得 ＝－0.6，则经验回归方程为 ＝
－0.6x＋27.所以相应于点（10，20）的残差为20－（－0.6×10＋27）＝
－1.
－1
4. 已知变量y关于x的非线性经验回归方程为y＝ebx－0.5，若对y＝ebx－0.5
两边取自然对数，可以发现ln y与x线性相关，现有一组数据如下表所示，
x＝5时，预测y值为 .
x 1 2 3 4
y e e3 e4 e6
e7.5
解析：对y＝ebx－0.5两边取对数，得ln y＝bx－0.5，令z＝ln y则z＝bx－
0.5，列表如下：
x 1 2 3 4
y e e3 e4 e6
z 1 3 4 6
＝ ＝2.5， ＝ ＝3.5 ，代入 ＝b －0.5得3.5＝b·2.5
－0.5，故b＝1.6，故z＝1.6x－0.5，y＝e1.6x－0.5，当x＝5时，y＝
e1.6×5－0.5＝e7.5.
课堂小结
1. 理清单
（1）非线性回归方程；
（2）残差与残差分析；
（3）残差平方和与决定系数R2.
2. 应体会
将非线性回归问题转化为线性回归问题体现了转化与化归思想.
3. 避易错
（1）非线性经验回归方程转化为线性经验回归方程时的转化方法；
（2）混淆残差图法、残差平方和法和R2法的概念，导致刻画回归效果
出错.
课时作业
04
PART
1. 一组数据（xi，yi）经过分析，提出了四种回归模型①②③④，四种模
型的残差平方和 （yi－ ）2的值分别是1.23，0.80，0.12，1.36.则拟
合效果最好的是（　　）
A. 模型① B. 模型②
C. 模型③ D. 模型④
解析： 　残差平方和越小则拟合效果越好，而模型③的残差平方和最
小，所以C正确.
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√
2. 若一函数模型为y＝ax2＋bx＋c（a≠0），将y转化为t的经验回归方
程，则需做变换t＝（　　）
A. x2 B. （x＋a）2
C. （x＋ ）2 D. 以上都不对
解析： 　y＝ax2＋bx＋c＝a（x＋ ）2＋ （a≠0），可令t＝
（x＋ ）2，则y＝at＋ 为y关于t的经验回归方程.
√
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3. 已知变量y关于变量x的经验回归方程为 ＝bln x＋0.24，其一组数据
如表所示：
x e e3 e4 e6 e7
y 1 2 3 4 5
若x＝e10，则y的值大约为（　　）
A. 4.94 B. 5.74 C. 6.81 D. 8.04
解析： 　令t＝ln x，则 ＝bt＋0.24.由题意得， ＝4.2， ＝3，由经
验回归直线过样本的中心点，有b＝ ，所以 ＝ ln x＋0.24，将x＝e10
代入得 ≈6.81.故选C.
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4. 〔多选〕某研究小组采集了5组数据，作出如图所示的散点图.若去掉D
（3，10）后，下列说法正确的是（　　）
A. 样本相关系数r变小
B. 决定系数R2变大
C. 残差平方和变大
D. 解释变量x与预报变量y的相关性变强
解析： 　根据散点图可知，去掉点D（3，10）后，y与x的线性相关性
加强，且为正相关，样本相关系数r变大，则A错，D对；去掉点D（3，
10）后，残差平方和变小，则R2变大，B对，C错.故选B、D.
√
√
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5. 〔多选〕某种商品的价格x（单位：元/kg）与日需求量y（单位：kg）
之间的对应数据如下表所示：
x 10 15 20 25 30
y 11 10 8 6 5
根据表中的数据可得经验回归方程为 ＝ x＋14.4，则以下说法正确的是
（　　）
A. 样本相关系数r＞0
B. ＝－0.32
C. 若该商品的价格为35元/kg，则日需求量大约为3.2 kg
D. 第四个样本点对应的残差为－0.4
√
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解析： 　对于A、B，由题表中的数据，得 ＝ ＝
20， ＝ ＝8，将 ， 代入 ＝ x＋14.4，得 ＝－
0.32，所以A错误，B正确；对于C，将x＝35代入 ＝－0.32x＋
14.4，得 ＝3.2，所以日需求量大约为3.2 kg，所以C正确；对于D，
第四个样本点对应的残差为y4－ ＝6－（－0.32×25＋14.4）＝－
0.4，所以D正确.故选B、C、D.
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6. 在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得决定系数R2≈0.85，则表
明气温解释了 的热茶销售杯数变化，而随机误差贡献了剩余
的 ，所以气温对热茶销售杯数的效应比随机误差的效应大得多.
解析：由决定系数R2的意义可知，R2≈0.85表明气温解释了85%，而随机
误差贡献了剩余的15%.
85%
15%
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7. 很多人喜欢将自己身边的事情拍成短视频发布到网上，某人将发布短视
频后1～8天的点击量的数据进行了初步处理，得到下面的残差图及一些统
计量的值.
（xi－ ）2 （ti－ ）2
4.5 5 25.5 42 3 570
（xi－ ）（yi－ ） （ti－ ）（yi－ ）
72.8 686.8
其中ti＝ .
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某位同学分别用两种模型：① ＝bx2＋a，② ＝dx＋c进行拟合.
（1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应该选择哪个模型？
解： 由残差图可知，模型①的拟合效果更好.
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（2）根据（1）的判断结果及表中数据建立y关于x的经验回归方程；（在
计算回归系数时精确到0.01）
解： ∵ti＝ ，∴ ＝ t＋ .
∵ ＝ ＝ ≈0.19，
∴ ＝ － ＝5－0.19×25.5≈0.16，∴ ＝0.19x2＋0.16.
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（3）预测该短视频发布后第10天的点击量是多少？
解： 由（2）知，令x＝10，则 ＝0.19×100＋0.16＝19.16.
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8. 如图是一组实验数据的散点图，拟合方程为y＝ ＋c（x＞0），令t＝
，则y关于t的经验回归直线过点（2，5），（12，25），则当y∈
（1.01，1.02）时，x的取值范围是（　　）
A. （0.01，0.02） B. （50，100）
C. （0.02，0.04） D. （100，200）
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解析： 　根据题意可得y＝bt＋c（t＞0），由y关于t的经验回归直线
过点（2，5），（12，25）可得： 所以 所以y＝
2t＋1，由y∈（1.01，1.02）可得1.01＜2t＋1＜1.02，所以0.005＜t＜
0.01，所以0.005＜ ＜0.01，所以100＜x＜200，故选D.
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9. 随着互联网的发展，“美团单车”“哈啰出行”等共享单车服务在我国
各城市迅猛发展.为掌握共享单车在某地区的发展情况，某调查机构从该
地区抽取了4个城市，分别收集和分析了共享单车的A，B两项指标数xi，
yi（i＝1，2，3，4），数据如表所示.由表可得y关于x的经验回归方程为
＝4x2＋a，则此经验回归模型中A指标数x＝2时的残差为（　　）
A指标数x 1 2 3 4
B指标数y 6 12 35 63
A. 0 B. －1 C. －2 D. －3
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解析： 　因为 ＝4x2＋a是非线性的，所以当将其看作y关于x2的函数
时，即为线性方程，则 ＝7.5， ＝29，所以29＝4×7.5＋a，得a＝－
1，所以 ＝4x2－1.将x＝2代入方程可得 ＝15，则12－15＝－3，所以残
差为－3.故选D.
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10. 〔多选〕某种产品的广告支出费用x（单位：万元）与销售量y（单
位：万件）之间的对应数据如下表所示.
广告支出费用x 2.2 2.6 4.0 5.3 5.9
销售量y 3.8 5.4 7.0 11.6 12.2
根据表中的数据可得经验回归方程为 ＝2.27x＋ ，R2≈0.96，以下说法
正确的是（　　）
A. 第三个样本点对应的残差 ＝－1
B. 在该回归模型对应的残差图中，残差点比较均匀地分布在倾斜的带状区
域中
C. 该模型拟合效果较好
D. 用该经验回归方程可以很准确地预测广告费用为20万元时的销售量
√
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解析： 对于A项：由题意得 ＝ ＝4， ＝
＝8，代入 ＝2.27x＋ ，得 ＝－1.08，故 ＝2.27x
－1.08，所以 ＝7－（2.27×4.0－1.08）＝－1，故A项正确；对于B、
C项：由于R2≈0.96，所以该回归模型拟合的效果比较好，故C项正确；故
对应的残差图中残差点应该比较均匀地分布在水平的带状区域中，故B项
错误；对于D项：由于样本的取值范围会影响回归方程的使用范围，而广
告费用20万元远大于表格中广告费用值，故用该经验回归方程预测广告费
用为20万元时的销售量不一定准确，故D项错误.故选A、C.
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11. 已知指数曲线y＝aebx进行线性变换后得到的经验回归方程为u＝1－
x，则二次函数y＝x2＋bx＋a的单调递增区间为 .
解析：∵y＝aebx，∴两边取对数，作线性变换得ln y＝ln（aebx）＝ln a
＋ln ebx＝ln a＋bx，由于指数曲线y＝aebx进行线性变换后得到的经验回
归方程为u＝1－x，则u＝ln y ，ln a＝1，b＝－1，即a＝e，∴二次函数
y＝x2＋bx＋a即y＝x2－x＋e，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝ ，
则函数y＝x2＋bx＋a的单调递增区间为（ ，＋∞）.
（ ，＋∞）
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12. 某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售
量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表和散点图.
x 1 2 3 4 5 6
y 0.5 1 1.5 3 6 12
z＝ln y －0.7 0 0.4 1.1 1.8 2.5
（1）该公司科研团队通过分析散点图的特征，计划分别用①y＝bx＋a和
②y＝edx＋c两种模型作为年销售量y关于年投资额x的回归模型，请根据
统计表的数据，确定方案①和②的经验回归方程（注：系数b，a，d，c
按四舍五入保留一位小数）；
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解： 由题可得 ＝ ×（1＋2＋3＋4＋5
＋6）＝3.5，
＝ ×（0.5＋1＋1.5＋3＋6＋12）＝4，
xiyi＝1×0.5＋2×1＋3×1.5＋4×3＋5×6
＋6×12＝121， ＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，
所以 ＝ ＝ ≈ ≈2.1，
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＝ － ＝4－ ×3.5＝－3.4，
方案①的经验回归方程为 ＝2.1x－3.4.
对 ＝ 两边取对数得ln ＝ x＋ ，
令 ＝ln ，则 ＝ x＋ .
＝ ×（－0.7＋0＋0.4＋1.1＋1.8＋2.5）＝0.85，
＝ ≈ ＝ ≈0.6， ＝ － ≈0.85－ ×3.5
＝－1.36≈－1.4，
方案②的非线性经验回归方程为 ＝e0.6x－1.4.
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（2）根据下表中数据，用决定系数R2（不必计算，只比较大小）比较两
种模型的拟合效果哪个更好，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测
当研发年投资额为8百万元时，产品的年销售量是多少？
经验回归方程 ＝ x＋ ＝
（yi－ ）2 18.29 10.06
参考公式及数据： ＝ ＝ ， ＝ － ，
R2＝1－ ＝1－ ， xizi≈28.9，e3.4≈30.
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解： 方案①的决定系数 ＝1－ ；
方案②的决定系数 ＝1－ ，
则 ＜ ，
故模型②的拟合效果更好，精度更高.
预测当研发年投资额为8百万元时，产品的年
销售量为 ＝e4.8－1.4＝e3.4≈30（千件）.
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THANKS
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