培优课　成对数据统计分析中的综合问题 能力提升 课件(共52张PPT)

(共52张PPT)
培优课　成对数据统计分析中的综合问题 能力提升
1. 回归分析以及独立性检验的相关知识（数学抽象）.
2. 掌握回归分析与独立性检验、概率统计等交汇问题（数学建模、数据
分析）.
重点解读
一、回归分析与独立性检验交汇
【例1】　环境监测部门为调研汽车流量对空气质量的影响，在某监测点
统计每日过往的汽车流量x（单位：辆）和空气中的PM2.5的平均浓度y
（单位：μg/m3）.调研人员采集了50天的数据，制作了关于（xi，yi）
（i＝1，2，3，…，50）的散点图，并用直线x＝1 500与y＝100将散点图
分成如图所示的四个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，落入对应区域的样本点的个数依
次为6，20，16，8.
（1）完成下面的2×2列联表，并依据小概率值α＝0.01的独立性检验，
分析“PM2.5平均浓度不小于100 μg/m3”与“汽车日流量不小于1 500
辆”是否有关联？
PM2.5 平均浓度 汽车日流量 合计
汽车日流量 x＜1 500 汽车日流量 x≥1 500
PM2.5的平均浓度y＜100
PM2.5的平均浓度y≥100
合计
解： 2×2列联表如下：
PM2.5平均浓度 汽车日流量 合计
汽车日流量x＜1
500 汽车日流量x≥1
500
PM2.5的平均浓度y＜
100 16 8 24
PM2.5的平均浓度
y≥100 6 20 26
合计 22 28 50
零假设为H0：“PM2.5平均浓度不小于100 μg/m3”与“汽车日流量不小
于1 500辆”无关，
因为χ2＝ ≈9.62＞6.635＝x0.01，根据小概率值α＝0.01
的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为“PM2.5平均浓度不小于100 μg/m3”与“汽车日流量不小于1 500
辆”有关，此结论犯错的概率不大于0.01.
（2）经计算得经验回归方程为 ＝0.12x－73.36，且这50天的汽车日流
量x的标准差sx＝252，PM2.5的平均浓度y的标准差sy＝36.求样本相关系
数r（若｜r｜≥0.75，则认为y与x有较强的线性相关性），并判断该经
验回归方程是否有价值.
解： 因为经验回归方程为 ＝0.12x－73.36，所以 ＝
＝0.12，
又因为 ＝252， ＝36，
所以r＝ ＝ · ＝0.12× ＝0.84.
因为｜r｜＝0.84＞0.75，所以y与x有较强的相关性，所以该经验回归方
程有价值.
【规律方法】
此类题型只需遵循回归分析的步骤，运用独立性检验的原理，掌握好计算
公式、表格的整理与读取即可.
训练1　甲、乙两机床加工同一种零件，抽检得到它们加工后的零件尺寸X
（单位：cm）及个数Y如下表：
零件尺寸X 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05
零件个数Y 甲 6 14 17 17 6
乙 m 8 8 8 22
由表中数据得Y关于X的经验回归方程为 ＝－171.7＋190X
（1.01≤X≤1.05），其中合格零件尺寸为1.03±0.01 cm.
（1）求m的值；
解： 依题意，得 ＝1.03， ＝ ，
由 ＝－171.7＋190X，得 ＝－171.7＋190×1.03，解得m＝14，
所以m的值为14.
（2）根据小概率值α＝0.01的独立性检验，判断加工零件的质量与甲、
乙机床是否有关联？
解： 由于合格零件尺寸为1.03±0.01 cm，
所以甲、乙机床加工的合格与不合格零件的2×2列联表为：
机床 机床加工零件质量 合计
合格零件数 不合格零件数
甲 48 12 60
乙 24 36 60
合计 72 48 120
零假设为H0：加工零件的质量与甲、乙机床无关，
根据以上数据得，χ2＝ ＝20＞6.635＝x0.01，
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，
所以可认为加工零件的质量与甲、乙机床有关，此推断犯错的概率不大于
0.01.
二、回归分析与概率、统计交汇
【例2】　数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘
面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、
每一个粗线宫（3×3）内的数字均含1～9，且不重复.数独爱好者小明打
算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛.
（1）赛前小明进行了一段时间的训练，每天解题的平均速度y（秒/题）
与训练天数x（天）有关，经统计得到如下数据：
x（天） 1 2 3 4 5 6 7
y（秒/题） 910 800 600 440 300 240 210
现用 ＝ ＋ 作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该经验回归方
程；（ ， 用分数表示）
解： 因为 ＝ ＋ ，令ti＝ ，则 ＝ ＋ t.
因为 ＝ ＝500，
所以 ＝ ＝ ＝ ＝ ，
所以 ＝ － ＝500－ ×0.37＝ ，
所以 ＝ ＋ t，
所以所求经验回归方程为 ＝ ＋ .
（2）小明和小红玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解
出题的人获胜，不存在平局，两人约定先胜3局者赢得比赛.若小明每局获
胜的概率为 ，且各局之间相互独立，设比赛X局后结束，求随机变量X的
分布列及均值.
参考数据（其中ti＝ ）：
tiyi －7
1 750 0.37 0.55
解： 随机变量X的所有可能取值为3，4，5，
P（X＝3）＝（ ）3＋（ ）3＝ ，
P（X＝4）＝ （ ）2× × ＋ （ ）2× × ＝ ，
P（X＝5）＝ （ ）2×（ ）2× ＋ （ ）2×（ ）2× ＝ .
所以随机变量X的分布列为
X 3 4 5
P
E（X）＝3× ＋4× ＋5× ＝ .
【规律方法】
回归分析与概率、统计交汇问题的解题思路
（1）此类问题的特点为：同一生活实践情境下设计两类问题，即：①求
经验回归方程（预测）；②求某随机变量的概率、均值、方差等；
（2）充分利用题目中提供的成对样本数据（散点图）做出判断，确定是
线性问题还是非线性问题.求解时要充分利用已知数据，合理利用变形公
式，以达到快速准确运算的目的；
（3）明确所求问题所属事件的类型，准确构建概率模型.
训练2　某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有
所增加.为调查该地区植物覆盖面积与某种野生动物数量的关系，将其分
成面积相近的若干个地块，从这些地块中随机抽取20个作为样区，调查得
到样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，20），其中xi和yi分别表示第i个
样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量（单位：
只），并计算得 （xi－ ）2＝80， （yi－ ）2＝9 000， （xi－
）（yi－ ）＝800.
（1）求样本（xi，yi）（i＝1，2，…，20）的相关系数（精确到
0.01），并推断这种野生动物的数量y（单位：只）和植物覆盖面积x（单
位：公顷）的相关程度；
解： 样本（xi，yi）（i＝1，2，…，20）的相关系数为
r＝ ＝ ＝ ≈0.94.
由于样本相关系数｜r｜∈[0.75，1]，则相关性很强，｜r｜的值越大，
相关性越强.
由r＝0.94∈[0.75，1]，故相关性很强.
（2）已知20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，从
20个样区中随机抽取2个，记抽到这种野生动物数量低于样本平均数的样
区的个数为X，求随机变量X的分布列.
解： 由题意得X的可能取值为0，1，2，
20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，有12个样区
的这种野生动物数量不低于样本平均数，
所以P（X＝0）＝ ＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ＝ ，P（X
＝2）＝ ＝ ＝ ，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
三、独立性检验与概率、统计交汇
【例3】　某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人.为
调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层随机抽样的方法，
收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）.
（1）应收集多少位女生的样本数据？
解： 300× ＝90，所以应收集90位女生的样本数据.
（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布
直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为[0，2]，（2，4]，
（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12].估计该校学生每周平均体育运
动时间超过4小时的概率；
解： 由频率分布直方图得该校学生每
周平均体育运动时间超过4小时的频率为
1－2×（0.100＋0.025）＝0.75，所以
估计该校学生每周平均体育运动时间超
过4小时的概率为0.75.
（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请
列出每周平均体育运动时间与性别的2×2列联表，并依据小概率值α＝
0.05的独立性检验，能否认为该校学生的每周平均体育运动时间与性别有
关联？
解： 由（2）知，300位学生中有300×0.75＝225位学生的每周平均
体育运动时间超过4小时，75位学生的每周平均体育运动时间不超过4小
时.又因为样本数据中有210个是关于男生的，90个是关于女生的，且有60
位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，所以每周平均体育运动时间
与性别的2×2列联表如下：
每周平均体育运动时间 性别 合计
男生 女生
不超过4小时 45 30 75
超过4小时 165 60 225
合计 210 90 300
零假设为H0：该校学生的每周平均体育运动时间与性别无关联.
结合2×2列联表可得χ2＝ ＝ ≈4.762＞3.841＝x0.05.
根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为该校学
生的每周平均体育运动时间与性别有关联，此推断犯错的概率不大于0.05.
【规律方法】
独立性检验与概率、统计交汇问题的解题思路
本类题目以生活题材为背景，涉及独立性检验与概率、统计问题的综合，
解决该类问题首先收集数据列出2×2列联表，并按照公式求得χ2的值后进
行比较，其次再按照随机变量满足的概率模型求解.
训练3　各地区高中积极推进“强基计划”的落实，“强基培训”成为学
生们热爱的课程之一.某高中随机调研了本校2025年参加高考的90位考生
是否参加“强基培训”的情况，经统计，“强基培训”与性别情况如下
表：（单位：人）
参加“强基培训” 不参加“强基培训”
男生 25 35
女生 5 25
（1）根据表中数据并依据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析参加
“强基培训”与性别是否有关联？
解： 零假设为H0：参加“强基培训”与性别无关联，
由题意，χ2＝ ＝5.625＞3.841＝x0.05，
根据小概率值α＝0.05的独立性检验，可推断H0不成立，即认为参加“强
基培训”与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）用样本估计总体，用本次调研中样本的频率代替概率，从2025年本
市考生中随机抽取3人，设被抽取的3人中参加“强基培训”的人数为X，
求X的分布列及数学期望E（X）.
附：χ2＝ ，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
解： 由题意知，考生参加“强基培训”的概率p＝ ＝ ，不参加
“强基培训”的概率为 ，
结合题意知X的可能取值为0，1，2，3，则X～B（3， ），
P（X＝0）＝（ ）3＝ ，
P（X＝1）＝ × ×（ ）2＝ ，
P（X＝2）＝ ×（ ）2× ＝ ，
P（X＝3）＝（ ）3＝ ，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
由X～B（3， ），得数学期望
E（X）＝3× ＝1.
课时作业
1. 为了解某地区2025年6～10月份电动汽车的销售情况，某机构经过调
查，得到如下表所示的数据.
月份 6月 7月 8月 9月 10月
月份代码x 1 2 3 4 5
销售总额y/ 亿元 4 6 10 15 20
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（1）求y关于x的经验回归方程；
解： 由题可知 ＝ ×（1＋2＋3＋4＋5）＝3，
＝ ×（4＋6＋10＋15＋20）＝11，
所以 ＝ ＝ ＝4.1， ＝11－4.1×3＝－1.3，
故所求的经验回归方程为 ＝4.1x－1.3.
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（2）该机构随机调查了该地区200位购车车主的性别与购车种类，其中购
买非电动汽车的男性有60人，女性有90人，购买电动汽车的男性有40人，
女性有10人，依据α＝0.01的独立性检验，能否认为购买电动汽车与性别
有关.
附： xiyi＝206， ＝55，在利用最小二乘法求得的经验回归方程
＝ x＋ 中， ＝ ， ＝ － .
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解： 由题可得2×2列联表如下.
性别 购车种类 合计
非电动汽车 电动汽车
男 60 40 100
女 90 10 100
合计 150 50 200
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3
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零假设为H0：购买电动汽车与性别无关，根据表中数据，得χ2＝
＝ ＝24＞6.635＝x0.01，
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为购买电
动汽车与性别有关.
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2. 某学校为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一
次模具加工大赛，学生小明、小红打算报名参加大赛.赛前，小明、小红
分别进行了为期一周的封闭强化训练，下表记录了两人在封闭强化训练期
间每天加工模具成功的次数，其中小明第7天的成功次数a忘了记录，但知
道36≤a≤55，a∈Z（yi，zi分别表示小明、小红第i天的成功次数）.
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
序号x 1 2 3 4 5 6 7
小明成功次数（y） 16 20 20 25 30 36 a
小红成功次数
（z） 16 22 25 26 32 35 35
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（1）求这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率；
解： 因为36≤a≤55，且a∈Z，所以a的取值共有55－36＋1＝20种
情况，
yi，zi分别表示小明、小红第i天成功次数，
又当小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时， yi＋a≥ zi，
即16＋20＋20＋25＋30＋36＋a≥16＋22＋25＋26＋32＋35＋35，得
a≥44，
又36≤a≤55，所以44≤a≤55，且a∈Z，
所以小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时，a的取值共有55－44
＋1＝12种情况，
所以这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率为 ＝ .
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（2）根据小明这7天内前6天的成功次数，求其成功次数y关于序号x的经
验回归方程，并估计小明第七天成功次数a的值.
参考数据：1×16＋2×20＋3×20＋4×25＋5×30＋6×36＝582；12＋22＋
32＋42＋52＋62＝91.
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解： 由题设可知： xiyi＝1×16＋2×20＋3×20＋4×25＋5×30＋
6×36＝582，
＝ ＝ ，
＝ ＝ ，
所以 ＝ ＝ ， ＝ － ＝ － × ＝11，
所以成功次数y关于序号x的经验回归方程为 ＝ x＋11.
当x＝7时， ＝ ×7＋11＝38，
估计小明第7天成功次数a的值为38.
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3. 为了调查某地区成年人血液的某项指标，现随机抽取了成年男性、女性
各20人组成一个样本，对他们的这项血液指标进行了检测，得到了如下数
据.根据医学相关知识，我们认为此项指标大于40为偏高，反之即为正常.
男性：5　7　9　8　18　19　21　23　27　29　25
32　34　35　37　38　41　42　47　54
女性：13　14　21　25　25　28　31　32　34　35
38　40　43　47　48　49　52　55　56　57
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（1）依据样本数据研究此项血液指标与性别的关系，列出2×2列联表，
并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为此项血液指标与性别
有关联；
解： 由题中数据可得2×2列联表为
性别 血液指标 合计
正常 偏高
男性 16 4 20
女性 12 8 20
合计 28 12 40
χ2＝ ≈1.905＜6.635＝x0.01，所以不能在犯错误的概率不
超过0.01的前提下认为此项血液指标与性别有关联.
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（2）以样本估计总体，视样本频率为概率，现从本地区随机抽取成年男
性、女性各2人，求此项血液指标为正常的人数X的分布列及数学期望.
附：χ2＝ ，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
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解： 由样本数据可知，男性此项血液指标正常的概率为 ，女性此项
血液指标正常的概率为 .抽取的人中此项血液指标为正常的人数X的可能
取值为0，1，2，3，4.
P（X＝0）＝（1－ ）2×（1－ ）2＝ ，
P（X＝1）＝ × ×（1－ ）×（1－ ）2＋（1－ ）2× × ×（1
－ ）＝ ，
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3
4
P（X＝2）＝（ ）2×（1－ ）2＋ × ×（1－ ）× × ×（1－
）＋（1－ ）2×（ ）2＝ ，
P（X＝3）＝ × ×（1－ ）×（ ）2＋（ ）2× × ×（1－ ）
＝ ，
P（X＝4）＝（ ）2×（ ）2＝ .
所以随机变量X的分布列为
1
2
3
4
X 0 1 2 3 4
P
所以E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＋4× ＝ ，
因此此项血液指标为正常的人数X的数学期望为 .
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4. 某餐馆2024年12月份共有800个线上外卖订单，其中好评订单有600个，
其余均为非好评订单.为了提升菜品品质，增加营业额，该餐馆在2025年1
月份更换了厨师，更换厨师后该餐馆2025年1月份共有2 000个线上外卖订
单，其中好评订单有1 600个，其余均为非好评订单.
（1）根据统计数据，完成下列2×2列联表，并依据α＝0.01的独立性检
验，能否认为该餐馆订单的好评率与更换厨师有关联；
更换厨师前后 订单评价 合计
好评 非好评
更换厨师前
更换厨师后
合计
1
2
3
4
解： 2×2列联表如下：
更换厨师前后 订单评价 合计
好评 非好评
更换厨师前 600 200 800
更换厨师后 1 600 400 2 000
合计 2 200 600 2 800
1
2
3
4
零假设为H0：该餐馆订单的好评率与更换厨师无关联.
根据列联表中数据，经计算得到χ2＝ ≈8.485＞
6.635＝x0.01，
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为该餐馆
订单的好评率与更换厨师有关联.
1
2
3
4
（2）现从更换厨师前的订单中按好评和非好评，按比例用分层随机抽样
法抽取8个订单进行电话回访，再从这8个订单中随机抽取3个订单发放新
品品尝券并让顾客评价，记抽取的3个订单中好评的订单个数为ξ，求ξ的分
布列和数学期望；
解： 依题意，用分层随机抽样法抽取的8个订单中，好评订单有
8× ＝6个，非好评有2个，
而从这8个订单中随机抽取3个，其中好评的订单个数ξ的可能值有1，
2，3，
则P（ξ＝1）＝ ＝ ，P（ξ＝2）＝ ＝ ，P（ξ＝3）＝ ＝
，
所以ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P
数学期望E（ξ）＝1× ＋2× ＋3× ＝ .
1
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4
（3）用样本频率估计总体概率，现从更换厨师后的所有订单中随机抽取
100个订单，记其中好评的订单个数为η，求当事件“η＝r”的概率最大时
r的值.
解： 依题意，更换厨师后好评率为 ＝0.8，
从更换厨师后所有订单中随机抽取100个订单，则η～B（100，0.8），
于是P（η＝r）＝ 0.8r×0.2100－r，r≤100，r∈N，
则 ＝ ＝ ，
由 ＞1，解得r＜79 ，而r∈N，则当0≤r≤79时，P（η＝r）单调
递增；
由 ≤1，解得r≥79 ，则当r≥80时，P（η＝r）单调递减，
所以使事件“η＝r”的概率最大时r的值为80.
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THANKS
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