6.2.2第一课时　排列数公式 课件(共44张PPT)

(共44张PPT)
第一课时　排列数公式
1. 能利用计数原理推导排列数公式（逻辑推理）.
2. 能运用排列数公式解决简单的实际问题（数学建模、数学运算）.
课标要求
在上海交通大学建校120周年之际，有29位曾是交大学子的名人大
家，要在庆祝会上逐一介绍……，这29位名人大家的排列顺序有多少种？
这样的排列顺序问题能否用一个公式来表示呢？
情境导入
知识点一 排列数及排列数公式
01
知识点二 排列数的计算与证明
02
知识点三 无约束条件的排列问题
03
课时作业
04
目录
知识点一 排列数及排列数公式
01
PART
问题　（1）“从写有1，2，3，4的卡片中选取3张，能构成多少个无重复
数字的三位数？”
提示：有4×3×2＝24个无重复数字的三位数.
（2）问题（1）中每一个三位数是取出的卡片按“百、十、个”的顺序排
成的一个排列，不同的排列种数就是三位数的个数.若记 表示三位数的
个数，你能得出 的意义和 的值吗？
提示： 表示从n个不同元素中取出三个元素的排列数，即 ＝n（n－
1）（n－2）.
（3）根据问题（2），你认为 有多少个不同排列数？
提示： ＝n×（n－1）×（n－2）×…×（n－m＋1）.
【知识梳理】
排列数定义 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所
有 的个数，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的排列数
符号表示
全排列 把n个不同的元素全部取出的一个排列
阶乘 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用 表
示.于是，n个元素的全排列数公式可以写成
＝ .规定0！＝
不同排列　
n！　
n！　
1　
排列数 公式 乘积式 ＝
（m，n∈N*，且m≤n）
阶乘式 ＝ （m，n∈N*，且m≤n）
n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）　
　
　　提醒：排列数公式的特征：m个连续自然数之积，最大的因数是n，
最小的因数是n－m＋1；公式中的n，m应该满足n，m∈N*，m≤n.
【例1】　（链接教材P19例3）（1）用排列数表示：（55－n）·（56－
n）…（69－n）（n∈N*，且n＜55）；
解： 因为55－n，56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有
69－n－（55－n）＋1＝15（个）数，所以（55－n）（56－n）…（69
－n）＝ .
（2）计算： .
解：原式＝ ＝ ＝ ＝ .
【规律方法】
排列数的计算方法
（1）排列数的计算主要是利用排列数公式进行，应用时注意：连续正整
数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数
（因式）的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用；
（2）应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公
因式，然后计算，这样往往会减少运算量.
训练1　（1）7×8×9×…×15可表示为（　D　）
A. B.
C. D.
解析： 7×8×9×…×15＝ ＝ .
（2） ＝ 　－ 　.
解析： ＝ ＝ ＝－ ＝－ .
D
－
知识点二 排列数的计算与证明
02
PART
【例2】　（1）解方程： ＝140 ；
解： 因为 所以x≥3，x∈N*.
由 ＝140 得（2x＋1）2x（2x－1）（2x－2）＝140x（x－1）
（x－2）.
化简得4x2－35x＋69＝0，
解得x1＝3，x2＝ （舍去）.
所以原方程的解为x＝3.
（2）求证： － ＝m .
解： 证明：∵ － ＝ － ＝ ·（
－1）＝ · ＝m· ＝m ，∴ － ＝
m .
【规律方法】
排列数的第二个公式 ＝ 适用于与排列数有关的证明、解方程、
解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式再计算，同时还要注意
隐含条件“n，m∈N*，m≤n”的运用.
训练2　（1）不等式 ＜6 的解集为（　D　）
A. [2，8] B. [2，6]
C. （7，12） D. {8}
解析：　由 ＜6 ，得 ＜6× ，化简得x2－19x
＋84＜0，解得7＜x＜12①，又 所以2＜x≤8②，由①②
及x∈N*，得x＝8.
D
（2）求证： ＝（n＋1） .
证明：因为 ＝（n＋1）·n·（n－1）·…·3·2·1，（n＋1） ＝
（n＋1）·n！＝（n＋1）·n·（n－1）·…·3·2·1，所以 ＝（n＋1）
.
知识点三 无约束条件的排列问题
03
PART
【例3】　某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信
号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同顺序表示不同的信号，一
共可以表示多少种不同的信号？
解：分3类：第1类，用1面旗表示的信号有 种；
第2类，用2面旗表示的信号有 种；
第3类，用3面旗表示的信号有 种.
由分类加法计数原理，所求的信号种数是
＋ ＋ ＝3＋3×2＋3×2×1＝15，
故一共可以表示15种不同的信号.
【规律方法】
无约束条件的排列问题
无约束条件的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别限制
的问题.这一类型题目相对简单，分清元素和位置即可.把m个元素按一定
顺序排列到n（n≥m）个位置上，排列数为 ，从n个元素中选 m个
（m≤n），排列到m个位置上，排列数也是 .
训练3　用排列数表示下列问题：
（1）利用1，2，3，4这四个数字，可以组成多少个没有重复数字的三
位数？
解： 本题实质是求从1，2，3，4四个数字中，任意选出三个数字排
成一排，有多少种排法的排列问题，故排列数 ，即为没有重复数字的三
位数的个数.
（2）一天有6节课，安排6门学科，一天的课程表有几种排法？
解： 这是6个元素的全排列问题，其排列数 ，即为一天的课程的排
法种数.
1. － ＝（　　）
A. 480 B. 520
C. 600 D. 1 320
解析： 　 ＝12×11×10＝1 320， ＝10×9×8＝720，故 －
＝1 320－720＝600.
√
2. 一个禁毒宣传讲座要到四个学校开讲，一个学校讲一次，则不同的次序
种数为（　　）
A. 4 B. 44 C. 24 D. 48
解析： 　由题意可知，不同的次序种数为 ＝4×3×2×1＝24.
√
3. 不等式 －n＜7的解集为 .
解析：由 －n＜7，得（n－1）（n－2）－n＜7，整理得n2－4n－5
＜0，解得－1＜n＜5.又n－1≥2且n∈N*，即3≤n＜5且n∈N*，所以n
＝3或n＝4.
4. 用0～9这10个数字，可以组成 个没有重复数字的三位数.
解析：第1步，确定百位上的数字，可以从1～9这9个数字中取出1个，有
种取法；第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取
出2个，有 种取法.根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为
× ＝9×9×8＝648.
{3，4}
648
课堂小结
1. 理清单
（1）排列数及排列数公式；
（2）排列数的计算与证明；
（3）无约束条件的排列问题.
2. 应体会
（1）排列数的计算与证明常应用方程思想；
（2）利用排列数公式解决实际问题时，要注意分类讨论思想的应用.
3. 避易错
忽视 中“m，n∈N*”这个条件.
课时作业
04
PART
1. 某电影要在5所大学里轮流放映，则不同的轮映方法有（　　）
A. 25种 B. 55种
C. 种 D. 53种
解析： 不同的轮映方法相当于将5所大学全排列，即轮映方法有 种.
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2. 已知 － ＝10，则n的值为（　　）
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
解析： 　由 － ＝10，得（n＋1）n－n（n－1）＝10，解得n
＝5.
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3. 乘积m（m＋1）（m＋2）（m＋3）…（m＋20）可表示为（　　）
A. B.
C. D.
解析： 　因为m，m＋1，m＋2，…，m＋20中最大的数为m＋20，且
共有m＋20－m＋1＝21（个）因式，所以m（m＋1）（m＋2）…（m＋
20）＝ .
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4. 某学习小组共5人，约定假期彼此给对方发起微信聊天，共需发起的聊
天次数为（　　）
A. 20 B. 15
C. 10 D. 5
解析： 　由题意得共需发起的聊天次数为 ＝5×4＝20.
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5. 有4名司机、4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有1名司机和
1名售票员，则可能的分配方法有（　　）
A. 种 B. 种
C. 种 D. 2 种
解析： 　司机、售票员各有 种分配方法，由分步乘法计数原理知，共
有 种不同的分配方法.
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6. 〔多选〕下列各式中与排列数 相等的是（　　）
A. B. n（n－1）（n－2）…（n－m）
C. D. ·
解析： 　∵ ＝ ，A正确；而 · ＝n·
＝ ，∴ ＝ · ，D正确.
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7. 〔多选〕用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的
个数为（　　）
A. B.
C. D. －
解析： 　①（直接法）：因为末位数字排法有 种，其他位置排法有
种，共有 × 个.②（间接法）： － × .故选C、D.
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8. 计算 ＋ ＝ .
解析：由条件得 得n＝3，所以 ＋ ＝ ＋ ＝726.
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9. 有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘1
名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有
种不同的招聘方案（用数字作答）.
解析：将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名
大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题.所以
不同的招聘方案共有 ＝5×4×3＝60（种）.
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10. （1）解不等式：3 ≤2 ＋6 ；
解： 由题意可知，x∈N*且x≥3，
因为 ＝x（x－1）（x－2）， ＝（x＋1）x， ＝x（x－1），
所以原不等式可化为3x（x－1）（x－2）≤2x（x＋1）＋6x（x－
1），整理得（3x－2）（x－5）≤0，
所以 ≤x≤5.又x∈N*且x≥3，
所以原不等式的解集为{3，4，5}.
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（2）解方程：3 ＝4 .
解： 3 ＝4 可化为3× ＝4× ，即3× ＝
4× ，化简得x2－19x＋78＝0，解得x＝6或x＝13，由题
意知 解得1＜x≤8，故原方程的解为x＝6.
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11. 〔多选〕下列等式一定成立的是（　　）
A. ＝（n－2） B. ＝
C. n ＝ D. ＝
解析： 　A中，右边＝（n－2）（n－1）n＝ ＝左边；C中，左
边＝n（n－1）（n－2）×…×2＝n（n－1）（n－2）×…×2×1＝
＝右边；D中，左边＝ · ＝ ＝ ＝右边；只有
B不正确.
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12. 化简： ＋ ＋ ＋…＋ ＝ 　1－ 　　　.
解析：因为 ＝ － ＝ － ，所以 ＋ ＋ ＋…＋ ＝（1
－ ）＋（ － ）＋…＋（ － ）＝1－ .
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13. 若M＝ ＋ ＋ ＋…＋ ，则M的个位数字为 .
解析：∵当n≥5时， ＝1×2×3×4×5×…×n＝120×…×n，∴当
n≥5时， 的个位数字为0，又∵ ＋ ＋ ＋ ＝1＋2＋6＋24＝
33，∴M的个位数字为3.
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14. 已知圆的方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）.从0，3，4，5，
6，7，8，9，10这9个数中选出3个不同的数，分别作为圆心的横坐标、纵
坐标和圆的半径.求：
（1）可以做多少个不同的圆？
解： 可分两步完成：第一步，选r，因为r＞0，所以r有 种选法，
第二步，选a，b，在剩余8个数中任取2个，有 种选法，所以由分步乘
法计数原理可得有 · ＝448个不同的圆.
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（2）经过原点的圆有多少个？
解： 若圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2经过原点，则a，b，r满足a2
＋b2＝r2，
满足该条件的a，b，r共有3，4，5与6，8，10两组，
考虑a，b的顺序，有2 种情况，
即符合题意的圆有2 ＝4个.
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（3）圆心在直线x＋y－10＝0上的圆有多少个？
解： 圆心在直线x＋y－10＝0上，即满足a＋b＝10，
则满足条件的a，b有三组：0，10；3，7；4，6.
当a，b取10，0时，r有7种情况，
当a，b取3，7或4，6时，r不可取0，有6种情况，
考虑a，b的顺序，有 种情况，
所以满足题意的圆共有 （ ＋2 ）＝38个.
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演示完毕 感谢观看