6.2.3 6.2.4 第二课时　组合的综合应用 课件(共56张PPT)

(共56张PPT)
第二课时　组合的综合应用
1.能用组合知识求解具有限制条件的组合问题（数学建模、数学运算）.
2.能用排列与组合解决简单的实际问题（数学建模、数学运算）.
课标要求
知识点一 有限制条件的组合问题
01
知识点二 与几何有关的组合问题
02
知识点三 组合中的分组、分配问题
03
课时作业
04
目录
知识点一 有限制条件的组合问题
01
PART
【例1】　（链接教材P25例7）课外活动小组共13人，其中男生8人，女生
5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条
件各有多少种选法？
（1）至少有一名队长当选；
解： 法一　至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队
长，故共有 · ＋ · ＝825（种）.
法二　采用排除法有 － ＝825（种）.
（2）至多有两名女生当选；
解： 至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、
没有女生，故共有 · ＋ · ＋ ＝966（种）.
（3）既要有队长，又要有女生当选.
解： 分两种情况：第一类，女队长当选，有 种；
第二类，女队长不当选，则男队长当选，有 · ＋ · ＋ · ＋
种.
故共有 ＋ · ＋ · ＋ · ＋ ＝790（种）.
解：分两类情况：第一类，没有队长被选上，从除去两名队长之外的11名
学生中选取5人，有 ＝462（种）选法.
第二类，一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，不同的选法
有： ＋ ＝660（种）选法.
所以至多有1名队长被选上的方法有462＋660＝1 122（种）.
变式　在本例条件下，至多有1名队长被选上的方法有多少种？
【规律方法】
有限制条件的组合问题主要有两类
（1）“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取
出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；
（2）“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类
法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重
不漏.
训练1　某医院有内科医生10名，外科医生4名，现选派4名参加某援助医
疗队，其中：
（1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？
解： 只需从剩余的12人中选2人，
共有 ＝66（种）.
（2）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？
解： 法一（直接法）　至少有一名内科医生和一名外科医生的选法
可分三类：
一内三外；二内二外；三内一外，
所以共有 ＋ ＋ ＝790（种）.
法二（间接法）　由总数中减去四名都是内科医生和四名都是外科医生的
选法种数，得 －（ ＋ ）＝790（种）.
知识点二 与几何有关的组合问题
02
PART
【例2】　如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于
A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，
B的四个点D1，D2，D3，D4.
（1）以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多
少个？
解： 法一　可作出三角形 ＋ · ＋ · ＝116（个）.
其中以C1为顶点的三角形有 ＋ · ＋ ＝36（个）.
法二　可作三角形 － ＝116（个），
其中以C1为顶点的三角形有 ＋ · ＋ ＝36（个）.
（2）以图中的12个点（包括A，B）中的4个点为顶点，可作出多少个四
边形？
解： 可作出四边形 ＋ · ＋ · ＝360（个）.
【规律方法】
解答几何图形组合问题的策略
（1）几何图形组合问题主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多是
以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合.这类问题情
境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强；
（2）解答几何图形组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样，只
要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可；
（3）计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况
下，需要分类计算符合题意的组合数.
训练2　空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共
线，四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为（　　）
A. 205 B. 110
C. 204 D. 200
解析： 　法一　可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分
类，则得到所有的取法总数为 ＋ ＋ ＋ ＝205.
√
法二　从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点
的情况，得到所有构成四面体的个数为 － ＝205.
知识点三｜组合中的分组、分配问题
03
PART
【例3】　6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法：
（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本；
解： 根据分步乘法计数原理得有 ＝90（种）.
（2）分为三份，每份两本；
解： 分给甲、乙、丙三人，每人两本有 种方法，这个过程可
以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将
这三份分给甲、乙、丙三名同学有 种方法.根据分步乘法计数原理可得
＝x ，所以x＝ ＝15.因此分为三份，每份两本一共有15种
方法.
（4）分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本.
解： 在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有 · ＝360
（种）方法.
（3）分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；
解： 这是“不均匀分组”问题，一共有 ＝60（种）方法.
【规律方法】
分组、分配问题的求解策略
（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.
（2）分配问题属于“排列”问题.可以按要求逐个分配，也可以分组后再
分配.
训练3　将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒
子中.
（1）有多少种放法？
解： 每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放
入盒子，共有4×4×4×4＝44＝256（种）放法.
（2）每盒至多1个球，有多少种放法？
解： 这是全排列问题，共有 ＝24（种）放法.
（3）恰好有1个空盒，有多少种放法？
解： 法一　先将4个小球分为3组，有 种放法，再将3组小球投
入4个盒子中的3个盒子，有 种投放方法，故共有 · ＝144（种）
放法.
法二　先取4个球中的2个“捆”在一起，有 种选法，把它与其他2个球
共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有 种投放方法，所以共有
＝144（种）放法.
（4）每个盒内放1个球，并且恰好有1个球的编号与盒子的编号相同，有
多少种放法？
解： 1个球的编号与盒子编号相同的选法有 种，当1个球与1个盒子
的编号相同时，用局部列举法可知，其余3个球的投放方法有2种，故共有
2 ＝8（种）.
用隔板法解相同元素的分配问题
1. 把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人，共有多少种不同的分法？
提示：165
2. 将10个志愿者名额分配给4个学校，要求每校至少有一个名额，则不同
的名额分配方法共有 　　　　种（用数字作答）.
提示：84
3. 从4个班中选出7位同学组成体育啦啦队，每班至少1位同学，则不同的
名额分配方案共有 　　　　种（用数字作答）.
提示：20
【问题探究】
上述三个问题可归结为以下两个问题：
1. 把n个相同的小球放入m个不同的盒子中（n≥m≥1），要求每个盒子
非空，有多少种不同放法？
提示：先将n个小球排成一列，然后在它们之间形成的（n－1）个空（不
含两端的）中插入（m－1）块隔板，便将n个小球分割成m组，每组至少
有1个小球，这m组小球依次放入m个不同的盒子，（m－1）块隔板的一
种插法就对应了n个相同小球投入m个不同盒子的一种放法，故不同的放
法共有 种.
2. 将n个相同的小球投放到m（n≥m≥1）个不同的盒子中，可以有空盒
的不同放法有多少种？
提示：法一　将m个盒子排成一排（并在一起的两盒子的外壁视为一块隔
板），除去两端的盒子的外壁，共有（m－1）块隔板；再把n个相同的小
球投放到m个不同的盒子中，不同的放法对应着n个球和（m－1）块隔板
的不同排法，于是问题转化为从（n＋m－1）个位置中选出n个位置放
球，共有不同放法 ＝ 种.
法二　“将n个相同的小球投放到m（n≥m≥1）个不同的盒子中，允许
有空盒子”的放法种数，等于“将n＋m个相同的小球投放到m
（n≥m）个不同的盒子中，每个盒子至少有1个球”的放法种数，根据问
题1可知，共 种不同放法.
【规律方法】
相同元素的分配问题用“隔板法”
“隔板法”的解题步骤：①定个数，确定名额的个数、分成的组数以及各
组名额的数量；②定空位，将元素排成一列，确定可插隔板的空位数；③
插隔板，确定需要的隔板个数，根据组数要求插入隔板，利用组合数求解
不同的分法种数.
【迁移应用】
将6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，求下列放法的种数.
（1）每个盒子都不空；
解： 需将6个小球分为4组，然后每个盒子放入1组，可用3块隔板放
在6个小球之间的5个空隙中的任意3处，每种放法对应着一种分法，故共
有 ＝10（种）.
（2）恰有1个盒子空；
解： 恰有1个盒子空，需将6个小球分为3组，然后放入其中的3个盒
子中，每个盒子放1组.这时可用2块隔板放在6个小球之间的5个空隙中的
任意2处，故共有 ＝40（种）.
（3）恰有2个盒子空.
解： 恰有2个盒子空，需将6个小球分为2组，然后放入其中的2个盒
子中，每个盒子放1组，这时可用1块隔板放在5个空隙中的任意1处，故共
有 ＝30（种）.
1. 一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这2个
球同色的不同取法有（　　）
A. 27种 B. 24种
C. 21种 D. 18种
解析： 　分两类：一类是2个白球有 ＝15（种）取法；另一类是2个黑
球有 ＝6（种）取法.所以共有15＋6＝21（种）取法.
√
2. 在1，2，3，4，5，6，7这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5
是取出的五个不同数的中位数的所有取法种数为（　　）
A. 6 B. 12
C. 18 D. 24
解析： 　根据题意，数字5是取出的五个不同数的中位数，则取出的数字
中必须有5，6，7，在1，2，3，4中有2个数字，则不同的取法有 ＝6
（种）.
√
3. 把5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各
一人，则不同的分配方案有（　　）
A. 80种 B. 120种
C. 140种 D. 50种
解析： 　当甲组中有3人，乙、丙组中各有1人时，有 ＝20（种）不
同的分配方案；当甲组中有2人，乙组中也有2人，丙组中只有1人时，有
＝30（种）不同的分配方案；当甲组中有2人，乙组中有1人，丙组中
有2人时，有 ＝30（种）不同的分配方案.故共有20＋30＋30＝80
（种）不同的分配方案.
√
4. 在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共10条，这两组平
行线相互不平行.
（1）它们共能构成 个平行四边形；
解析： 第一组中每两条与另一组中的每两条直线均能构成一个平行
四边形，故共有 ＝1 260（个）.
（2）共有 个交点.
解析： 第一组中每条直线与另一组中每条直线均有一个交点，所以
共有 ＝80（个）.
1 260
80
课堂小结
1. 理清单
（1）有限制条件的组合问题；
（2）与几何有关的组合问题；
（3）组合中的分组、分配问题.
2. 应体会
解决组合的综合应用问题要注意间接法的应用.
3. 避易错
解决分组、分配问题时易忽视均匀分组.
课时作业
04
PART
1. 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求
至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（　　）
A. 14 B. 24 C. 28 D. 48
解析： 　用间接法得不同选法有 － ＝14（种），故选A.
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√
2. 某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的素菜，用餐者可以按下
述方法之一搭配午餐：（1）任选两种荤菜、两种素菜和白米饭；（2）任
选一种荤菜、两种素菜和蛋炒饭.则每天不同午餐的搭配方法共有
（　　）
A. 210种 B. 420种
C. 56种 D. 22种
解析： 　由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，
所以每天不同午餐的搭配方法共有 ＋ ＝210（种）.
√
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3. 如图，∠MON的边OM上有四个点A1，A2，A3，A4，
ON上有三个点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，
B1，B2，B3中三点为顶点的三角形的个数为（　　）
A. 30 B. 42
C. 54 D. 56
解析： 　利用间接法，先在8个点中任取3个点，再减去三点共线的情
况，所以符合条件的三角形的个数为 － － ＝42.
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4. 2025年3月5日是毛泽东主席提出“向雷锋同志学习”62周年纪念日，某
志愿者服务队在该日安排4位志愿者到两所敬老院开展志愿服务活动，要
求每所敬老院至少安排1人，每个志愿者都要参加活动，则不同的分配方
法数是（　　）
A. 8 B. 12
C. 14 D. 20
解析： 　将4名志愿者分配到两所敬老院，则有以下两种分配方案：①一
所敬老院1名志愿者，另外一所3名，则有 ＝8（种），②两所敬老院
各安排两名志愿者，则有 ＝6（种），故共有8＋6＝14（种）方案.故
选C.
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5. 某班要从5名学生中选出若干人在星期一至星期三这3天参加志愿活动，
每天只需1人，则不同的选择方法有（　　）
A. 10种 B. 60种
C. 120种 D. 125种
解析： 　5名学生中选出1人在星期一至星期三这3天参加志愿活动，共有
＝5（种）；5名学生中选出2人在星期一至星期三这3天参加志愿活动，
共有 ＝60（种）；5名学生中选出3人在星期一至星期三这3天参加
志愿活动，共有 ＝60（种）.所以不同的选择方法有5＋60＋60＝125
（种）.故选D.
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6. 〔多选〕某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区
义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动
一共20个名额，劳动模范必须参加且不占名额，每个班都必须有人参加，
则下列说法正确的是（　　）
A. 若1班不再分配名额，则共有 种分配方法
B. 若1班有除劳动模范之外学生参加，则共有 种分配方法
C. 若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法
D. 若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法
√
√
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解析： 　若1班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每个班级至
少1个，根据隔板法，有 种分配方法，故A错误；若1班有除劳动模范之
外学生参加，则20个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，根据隔板
法，有 种分配方法，故B正确；若每个班至少3人参加，由于1班有2个
劳模，故只需先满足每个班级有2个名额，还剩10个名额，再将10个名额
分配到6个班级，每个班级至少1个名额，故只需在10个名额中的9个空上
放置5个隔板即可，故有 ＝126（种），故C错误，D正确.故选B、D.
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7. 有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球排成一排，不同的排列方
法有 种.
解析：8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选
出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没
有顺序，是组合问题，这样共有 ＝56（种）排法.
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8. 某球队有2名队长和10名队员，现选派6人上场参加比赛，如果场上最少
有1名队长，那么共有 种不同的选法.
解析：若只有1名队长入选，则选法种数为 · ；若两名队长均入选，
则选法种数为 ，故不同选法有 · ＋ ＝714（种）.
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9. 现有6张风景区门票分配给6位游客，若其中A，B风景区门票各2张，
C，D风景区门票各1张，则不同的分配方案共有 种.
解析：6位游客选2人去A风景区，有 种，余下4位游客选2人去B风景
区，有 种，余下2人去C，D风景区，有 种，所以分配方案共有
＝180（种）.
180
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10. 某传统文化学习小组有10名同学，其中男生5名，女生5名，现要从中
选取4人参加学校举行的汇报展示活动.
（1）如果4人中男生、女生各2人，有多少种选法？
解： 根据题意，在5名男生中任选2人，有 ＝10（种）选法，在5名
女生中任选2人，有 ＝10（种）选法，则4人中男生、女生各2人的选法
有10×10＝100（种）.
（2）如果男生甲与女生乙至少有1人参加，有多少种选法？
解： 根据题意，在10人中任选4人，有 种选法，若甲、乙都没有
参加，有 种选法，则有 － ＝140（种）符合题意的选法.
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（3）如果4人中既有男生又有女生，有多少种选法？
解： 根据题意，在10人中任选4人，有 种选法，只有男生的选法
有 种，只有女生的选法有 种，则既有男生又有女生的选法有 －
－ ＝200（种）.
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11. 已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任意两条线的交点不同，则所
有线段在圆内的交点有（　　）
A. 36个 B. 72个
C. 63个 D. 126个
解析： 　此题可化归为圆上9个点可以组成多少个四边形，所有四边形的
对角线交点个数即为所求，所以交点有 ＝126（个）.
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12.4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规定：每位同学必须从甲、乙两道
题中任选一题作答，选甲题者答对得100分，答错得－100分；选乙题者答
对得90分，答错得－90分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情
况的种数是 .
解析：4位同学的总分为0，有以下三种情况：①4人都选择答甲题，2人答
对，2人答错，有 种情况；②4人都选择答乙题，2人答对，2人答错，
有 种情况；③2人答甲题且1人对1人错，2人答乙题且1人对1人错，有
×2×2种情况.综上，共有 ＋ ＋ ×2×2＝6 ＝36（种）情况.
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13. 将4名大学生分配到3个乡镇去当村干部，每个乡镇至少一名，则不同
的分配方案有 种（用数字作答）.
解析：分两步完成：第一步，将4名大学生按2，1，1分成三组，其分法有
种；第二步，将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有 种.所以
满足条件的分配方案有 · ＝36（种）.
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14. 已知平面α∥平面β，在α内有4个点，在β内有6个点.
（1）过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同的平面？
解： 所作出的平面有三类：
①α内1点，β内2点确定的平面，最多有 · 个.
②α内2点，β内1点确定的平面，最多有 · 个.
③α，β本身，有2个.
故所作的平面最多有 · ＋ · ＋2＝98（个）.
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（2）以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？
解： 所作的三棱锥有三类：
①α内1点，β内3点确定的三棱锥，最多有 · 个.
②α内2点，β内2点确定的三棱锥，最多有 · 个.
③α内3点，β内1点确定的三棱锥，最多有 · 个.
故最多可作出的三棱锥有 · ＋ · ＋ · ＝194（个）.
（3）（2）中的三棱锥最多可以有多少个不同的体积？
解： 当等底面积、等高时，三棱锥的体积相等.所以体积不相同
的三棱锥最多有 ＋ ＋ · ＝114（个）.故最多有114个体积不
同的三棱锥.
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15. 一个口袋内有4个不同的红球、6个不同的白球.
（1）从中任取4个，使红球的个数不比白球的个数少，这样的取法有
多少种？
解： 从10个球中任取4个，使红球的个数不比白球的个数少的取法，
可分三类：
第一类，红球取4个时，有 种方法；
第二类，红球取3个、白球取1个时，有 种方法；
第三类，红球取2个、白球取2个时，有 种方法.
由分类加法计数原理可知，共有 ＋ ＋ ＝115（种）取法.
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（2）如果取1个红球记2分，取1个白球记1分，那么从口袋中取5个球，使
总分不少于7的取法有多少种？
解： 设取红球x个、白球y个，依题意知， 且
0≤x≤4，0≤y≤6，由此解得 或 或 这样使总
分不少于7的取法可以分为三类：
第一类，红球取2个、白球取3个的方法数为 ；
第二类，红球取3个、白球取2个的方法数为 ；
第三类，红球取4个、白球取1个的方法数为 .
由分类加法计数原理可知，共有符合条件的取法 ＋ ＋ ＝
186（种）.
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