6.3.1　二项式定理 课件(共52张PPT)

(共52张PPT)
6.3.1　二项式定理
1. 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理（逻辑推理）.
2. 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题（数学运算）.
课标要求
小张在进行投篮练习，共投了10次，只考虑是否投中，那么不难知道，投
篮结果可以分成11类：投中0次，投中1次，投中2次，……，投中10次，
而投中0次只有1（即 ）种情况，投中1次有 种情况，投中2次有
种情况，……，投中10次有 种情况.因此，小张投篮10次，结果共有
＋ ＋ ＋…＋ 种情况.那么上式的结果是多少呢？利用本节我
们要学习的二项式定理，可以快速地解答这个问题.
情境导入
知识点一 二项式定理
01
知识点二 求二项展开式中的特定项
02
知识点三 二项式系数与项的系数问题
03
课时作业
04
目录
知识点一 二项式定理
01
PART
问题　（1）在初中，我们用多项式乘法法则得到了（a＋b）2的展开式：
（a＋b）2＝（a＋b）（a＋b）＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝a2＋2ab＋
b2.如何利用计数原理解释上述展开过程呢？
提示：从上述过程可以看到，（a＋b）2是2个（a＋b）相乘，根据多项
式乘法法则，每个（a＋b）在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个
（a＋b）中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项.故（a＋b）2＝
a2＋ ab＋ b2＝a2＋2ab＋b2.
（2）试利用乘法计数原理解释（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.
提示：（a＋b）3表示3个因式（a＋b）相乘，
展开式中的项如3ab2，来源于从3个因式中选出2个取b，1个取a，
则可得 ab2＝3ab2，
故（a＋b）3＝ a3b0＋ a2b1＋ ab2＋ a0b3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.
【知识梳理】
二项式定理 （a＋b）n＝
（n∈N*）
二项展开式 右边的多项式
二项式系数 各项的系数
二项展开 式的通项 ＝
an＋ b1＋…＋ bk＋…
＋ bn　
（k＝0，1，2，…，n）　
bk　
　　提醒：二项展开式的特点：①展开式共有n＋1项；②各项中a，b的
次数和都等于二项式的幂指数n；③字母a按降幂排列，次数由n递减到
0，字母b按升幂排列，次数由0递增到n.
【例1】　（链接教材P30例1）（1）求（3 ＋ ）4的展开式；
解： 法一　（3 ＋ ）4＝ （3 ）4＋ （3 ）3· ＋
（3 ）2（ ）2＋ （3 ）·（ ）3＋ （ ）4＝81x2＋108x＋54
＋ ＋ .
法二　（3 ＋ ）4＝（ ）4＝ （1＋3x）4＝ ·[1＋ ·3x＋
（3x）2＋ （3x）3＋ （3x）4]＝ （1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4）
＝ ＋ ＋54＋108x＋81x2.
（2）化简： （x＋1）n－ （x＋1 ＋ （x＋1）n－2－…＋
（－1）k （x＋1）n－k＋…＋（－1）n .
解： 原式＝ （x＋1）n＋ （x＋1）n－1（－1）＋ （x＋1）n
－2（－1）2＋…＋ （x＋1）n－k（－1）k＋…＋ （－1）n＝[（x＋
1）＋（－1）]n＝xn.
【规律方法】
运用二项式定理解题的策略
（1）正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开
时要注意二项展开式的特点，前一个字母是降幂，后一个字母是升幂.形
如（a－b）n的展开式中会出现正负间隔的情况.对较繁杂的式子，先化
简再用二项式定理展开；
（2）逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要
熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数.
　　提醒：逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是（a－
b）n的形式.
训练1　（1）已知 3n＋ 3n－1＋ 3n－2＋…＋ 3＋ ＝1 024，
则n＝ ；
解析： 3n＋ 3n－1＋…＋ 3＋ ＝ 3n·10＋ 3n－1·11＋…
＋ 31·1n－1＋ 30·1n＝（3＋1）n＝4n＝1 024＝210，即 ＝210，解
得n＝5.
5
（2）化简（x＋ ）4－（x－ ）4＝ 　8x2＋ 　.
解析： 原式＝ x4＋ x3· ＋ x2·（ ）2＋ x（ ）3＋ （ ）4
－［ x4－ x3· ＋ x2·（ ）2－ x·（ ）3＋ （ ）4］＝2［
x3· ＋ x·（ ）3］＝8x2＋ .
8x2＋
知识点二 求二项展开式中的特定项
02
PART
【例2】　在二项式（x－ ）12的展开式中，求：
（1）第4项；
解：二项展开式的第r＋1项是Tr＋1＝ x12－r·（－ ）r＝（－1）
r .
（1）令r＝3，则T4＝（－1）3 ＝－220x8.
（2）常数项；
解： 令12－ r＝0，则r＝9，从而常数项为（－1）9 ＝－220.
（3）有理项.
解： 若求展开式中的有理项，则12－ r为整数，即r＝0，3，6，9，
12，故有理项分别为T1＝x12，T4＝－ x8＝－220x8，T7＝ x4＝
924x4，T10＝－ ＝－220，T13＝ .
【规律方法】
求二项展开式特定项的步骤
训练2　（1）若（x－ ）6展开式中的常数项为60，则常数a＝
（　A　）
A. 4 B. 5
C. 6 D. 8
解析： ∵（x－ ）6展开式的通项公式为Tr＋1＝ x6－r（－ ）r
＝ ·（－ ）r·x6－3r，令6－3r＝0，求得r＝2，可得它的常数项为
·a＝60，∴a＝4.
A
（2）（ － ）8的展开式中的中间项为（　B　）
A. B.
C. －7 D. －7
解析： 由题意，Tr＋1＝ （－ ）r＝ ，
且r＝0，1，2，…，8，所以r＝4为中间项，即为（－ ）4 ＝
.故选B.
B
知识点三 二项式系数与项的系数问题
03
PART
【例3】　（链接教材P30例2）已知（ － ）n的二项展开式中，第4项
的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8∶3.
（1）求n的值；
解： ∵第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8∶3，
∴ ∶ ＝8∶3，∴ ＝ ，∴n＝10.
（2）求展开式中x3项的系数及含x3项的二项式系数.
解： （ － ）n＝（ － ）10，其通项公式为 ＝（－
2）k x5－k，
令5－k＝3，可得k＝2，
∴展开式中x3项的系数为（－2）2× ＝180.
展开式中含x3项的二项式系数为 ＝45.
【规律方法】
1. 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项
数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关.
2. 求二项式系数可直接代入求解 .求二项展开式某项的系数可以分为两
步完成：
（1）根据所给出的条件和通项公式，建立方程来确定指数，求解时要注
意二项式系数中n和r的隐含条件（n为正整数，r为非负整数，n≥r）；
（2）根据所求的指数，求所求解的项或项的系数.
训练3　（1）已知（x－ ）n的展开式中，第2项和第6项的二项式系数相
等，则展开式中x2的系数为（　A　）
A. 60 B. －60 C. 448 D. －448
解析： ∵第2项和第6项的二项式系数相等，∴ ＝ ，则n＝1＋5
＝6，则展开式通项公式是Tr＋1＝ x6－r（－ ）r＝（－2）r x6－2r，令
6－2r＝2，得r＝2，∴x2的系数为（－2）2 ＝60，故选A.
A
（2）若（1－2x）n的展开式中x3的系数为－160，则正整数n的值为
（　B　）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
B
解析： （1－2x）n的展开式的通项为Tk＋1＝ 1n－k·（－2x）k＝
（－2）k xk，又展开式中x3的系数为－160，则（－2）3 ＝－160，则
＝20，解得n＝6.
1. 在（x－ ）10的展开式中，含x6的项的系数是（　　）
A. －27 B. 27
C. －9 D. 9
解析： 　含x6的项是T5＝ x6（－ ）4＝9 x6.
√
2. （x－y）6的展开式的第3项是（　　）
A. x4y2 B. x2y4
C. x3y3 D. － x3y3
√
解析： 由题设，（x－y）6的展开式的通项为 ＝ x6－k（－y）
k，∴第3项为T3＝ x4y2.
3. 在（ － ）8的展开式中常数项是（　　）
A. －28 B. －7
C. 7 D. 28
解析： 　 ＝ ·（ ）8－r·（－ ）r＝（－1）r· ·（ ）8－
r· ，当8－ r＝0，即r＝6，则T7＝（－1）6· ·（ ）2＝7.
√
4. 代数式（x＋1）4－4（x＋1）3＋6（x＋1）2－4（x＋1）＋1可化简
为 .
解析：（x＋1）4－4（x＋1）3＋6（x＋1）2－4（x＋1）＋1＝ （x＋
1）4＋ （x＋1）3（－1）1＋ （x＋1）2·（－1）2＋ （x＋1）·（－
1）3＋ （－1）4＝[（x＋1）－1]4＝x4.
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课堂小结
1. 理清单
（1）二项式定理的正用与逆用；
（2）二项展开式中的特定项；
（3）二项式系数与项的系数.
2. 应体会
解决与二项式定理有关的问题要注意转化与化归思想的应用.
3. 避易错
注意二项式系数与系数的区别， an－kbk是展开式的第k＋1项.
课时作业
04
PART
1. （x＋ ）9的展开式中的第4项是（　　）
A. 56x3 B. 84x3
C. 56x4 D. 84x4
解析： 　由展开式的通项知T4＝ x6（ ）3＝84x3.
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2. （x－ y）10的展开式中x6y4的系数是（　　）
A. －840 B. 840
C. 210 D. －210
解析： 　在通项公式 ＝ （－ y）k 中，令k＝4，得x6y4
的系数为 （－ ）4＝840.
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3. 若实数a＝2－ ，则a10－2 a9＋22 a8－…＋210＝（　　）
A. 32 B. －32
C. 1 024 D. 512
解析： 　a10－2 a9＋22 a8－…＋210＝（a－2）10，当a＝2－
时，（a－2）10＝32.
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4. 若二项式（2x＋ ）7的展开式中 的系数是84，则实数a＝（　　）
A. 2 B. 5
C. 1 D.
解析： 　二项式（2x＋ ）7的展开式即（ ＋2x）7的展开式，通项公式
为Tr＋1＝ （ ）7－r（2x）r＝ 2ra7－rx－7＋2r，令－7＋2r＝－3，解得
r＝2，代入得 ×22a5＝84，解得a＝1，故选C.
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5. （a－ ）6的展开式中 （即分子a的指数和分母b的指数相同）项
的系数为（　　）
A. －15 B. 15
C. －20 D. 20
解析： 　通项公式Tr＋1＝ a6－r（－1）r ，由 可得 ＝6－r，故r
＝4，所以系数为（－1）4 ＝15.故选B.
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6. 使（3x＋ ）n （n∈N*）的展开式中含有常数项的最小的n为
（　　）
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
解析： 　Tr＋1＝ （3x）n－r（ ）r＝ 3n－r ，当Tr＋1是常数
项时，n－ r＝0，当r＝2，n＝5时成立.
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7. 〔多选〕对于二项式（ ＋x3）n（n∈N*），以下判断正确的有
（　　）
A. 存在n∈N*，展开式中有常数项
B. 对任意n∈N*，展开式中没有常数项
C. 对任意n∈N*，展开式中没有含x的项
D. 存在n∈N*，展开式中有含x的项
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解析： 　设二项式（ ＋x3）n（n∈N*）展开式的通项为Tk＋1，则Tk＋1
＝ （ ）n－k（x3）k＝ x4k－n，不妨令n＝4，则当k＝1时，展开式中
有常数项，故A正确，B错误；令n＝3，则当k＝1时，展开式中有含x的
项，故C错误，D正确.
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8. 在（1－x）5－（1－x）6的展开式中，含x3项的系数为 .
解析：（1－x）5中x3的系数为－ ＝－10，－（1－x）6中x3的系数为－
·（－1）3＝20，故（1－x）5－（1－x）6的展开式中x3的系数为10.
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9. 设（x－ ）6（a＞0）的展开式中含x3项的系数为A，常数项为B. 若
B＝4A，则a＝ .
解析：（x－ ）6（a＞0）的展开式的通项Tk＋1＝ x6－k（－ ）k＝
（－a）k .令6－ ＝3，得k＝2，∴A＝a2 ＝15a2；令6－ ＝
0，得k＝4，∴B＝a4 ＝15a4.∵B＝4A，∴15a4＝4×15a2，又a＞0，
∴a＝2.
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10. 在（ ＋ ）n的展开式中，前三项的二项式系数满足 ＝ ＋
.求：
（1）展开式中含有x项的系数；
（1）令4－ k＝1，得k＝4，
所以含有x项的系数为 × ＝ .
解：由 ＝ ＋ ，得n＝1＋ n（n－1），且n≥2，
解得n＝8（n＝1舍去），
则二项式（ ＋ ）8展开式的通项为Tk＋1＝ · · · ＝
· · .
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解： 令4－ k＝－2，得k＝8.
因此展开式中含x－2的项为第9项，
所以T9＝ · ·x－2＝ .
（2）展开式中含有x－2的项.
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11. 若对 x∈R，（ax＋b）5＝（x＋2）5－5（x＋2）4＋10（x＋2）3－
10（x＋2）2＋5（x＋2）－1恒成立，其中a，b∈R，则a＋b＝
（　　）
A. －1 B. 0 C. 2 D. 3
解析： 　由（x＋2）5－5（x＋2）4＋10（x＋2）3－10（x＋2）2＋5
（x＋2）－1＝（x＋2－1）5＝（x＋1）5，得（ax＋b）5＝（x＋1）5，
所以a＝b＝1，a＋b＝2.故选C.
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12. 〔多选〕已知（ － ）n（n≥3，n∈N*）的展开式中，第3项的
二项式系数是第2项的二项式系数的3倍，则（　　）
A. n＝7
B. 展开式中有理项有且仅有1项
C. 第4项为－
D. 第3项的二项式系数为21
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解析： 　第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的3倍，故有 ＝
3 ，则有 ＝3n，化简整理得n2－7n＝0，解得n＝7或n＝0
（舍去），故A正确；展开式的通项为Tk＋1＝ （ ）7－k（－ ）k＝
（－ ）k ＝ （－ ）k ，当k＝2或k＝6时， 为整
数，故当k＝2或k＝6时展开式为有理项，故B错误；T4＝ （－ ）3
＝－ ，故C正确；第3项的二项式系数为 ＝21，故D正确.
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13. （ x＋ ）100的展开式中，系数为有理数的共有 项.
解析：（ x＋ ）100的展开式的通项Tk＋1＝ x100－k· · .若Tk
＋1的系数为有理数，则 ， 均为整数，即k为6的整数倍.由
0≤k≤100，k∈N，知k的可能取值为0，6，12，…，96，共17个，即系
数为有理数的共有17项.
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14. 已知（ ＋1）n的展开式中有连续三项的系数之比为1∶2∶3.
（1）这三项分别是第几项？
解： 展开式各项系数为 （k＝0，1，2，…，n），当k≥1时，由
题意 ∶ ∶ ＝1∶2∶3，即 ＝ ＝
，解得
∴这三项分别是第5，6，7项.
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（2）若展开式的倒数第二项为112，求x的值.
解： 倒数第二项为 ，
∴ ＝14 ＝112，即 ＝8，
则log2 ＝log28＝3，即（log2x）2＝3，解得log2x＝± ，
∴x＝ 或x＝ .
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15. 已知数列{an}（n为正整数）是首项为a1，公比为q的等比数列.
（1）求：a1 －a2 ＋a3 ，a1 －a2 ＋a3 －a4 ；
解： a1 －a2 ＋a3 ＝a1－2a1q＋a1q2＝a1（1－q）2，
a1 －a2 ＋a3 －a4 ＝a1－3a1q＋3a1q2－a1q3＝a1（1－q）3.
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（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明.
解： 归纳概括的结论为：
若数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，则
a1 －a2 ＋a3 －a4 ＋…＋（－1）nan＋1·
＝a1（1－q）n，n为正整数.
证明：a1 －a2 ＋a3 －a4 ＋…＋（－1）nan＋1·
＝a1 －a1q ＋a1q2 －a1q3 ＋…＋（－1）na1qn
＝a1[－q ＋q2 －q3 ＋…＋（－1）nqn ]＝a1（1－q）n.
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