6.3.2　二项式系数的性质 课件(共57张PPT)

(共57张PPT)
6.3.2　二项式系数的性质
1. 了解杨辉三角各行数字特点，归纳二项式系数间的关系（逻辑推理）.
2. 理解二项式系数的性质并解决与二项展开式有关的问题（数学运算）.
课标要求
被誉为“世界七大奇迹”之一的古埃及的金字塔，以其宏伟的气势、严密的结构、精美绝伦的整体外观让世界叹服.而数学上也有“金字塔”，这就是二项式（a＋b）n的展开式在n＝1，2，…时的二项式系数而垒成的金字塔，称为杨辉三角，它是我国南宋数学家杨辉首先发现的，比欧洲的帕斯卡早发现了500年左右.
情境导入
知识点一 杨辉三角
01
知识点二 二项式系数的增减性与最大值
02
知识点三 二项式系数和与各项系数和
03
课时作业
04
目录
知识点一 杨辉三角
01
PART
问题1　 （a＋b）n展开式的二次项系数，当n取正整数时可以表示成如
下形式：
（1）每一行中，与首末两端等距离的二项式系数有怎样的关系？
提示：相等.
（2）当n＝6时，你能否写出展开式的二项式系数？
提示：分别是1，6，15，20，15，6，1.
【知识梳理】
1. 对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数 ，即
＝ .
2. 在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数之
和，则 ＝ .
相等　
　
＋ 　
【例1】　如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前
两个数，当a＝7时，则b＝（　C　）
A. 20 B. 21
C
解析：　由a＝7，可知b左肩上的数为6，右肩上的数为11＋5＝16，所以
b＝6＋16＝22.
C. 22 D. 23
【规律方法】
求解杨辉三角问题的两个关键点
（1）观察：对题目要横看、竖看、隔行看，多角度观察.
（2）找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律.
训练1　杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是（　　）
A. 第6行 B. 第7行
C. 第8行 D. 第9行
√
解析： 　依题意，第6行为1，6，15，20，15，6，1，第7行的数字为1，
7，21，35，35，21，7，1，故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除.
知识点二
二项式系数的增减性与最大值
02
PART
问题2　阅读教材P32图6.3－2及探究问题，二项式系数 的大小随r的变
化有什么规律？
提示： 随r的增大而先增大后减小，有最大值.
【知识梳理】
1. 增减性：当k＜ 时， 随k的增加而 ；由对称性知，二项
式系数的后半部分 随k的增加而 .
2. 最大值：当n是偶数时，中间的一项 取得最大值；当n是奇数
时，中间的两项 　 　与 　 　相等，且同时取得最大值.
增大　
减小　
　
　
　
【例2】　已知（ ＋2x）n展开式前三项的二项式系数的和等于37，求：
（1）展开式中二项式系数最大的项的系数；
解： 依题意， ＋ ＋ ＝37，得n＝8.
所以二项式为（ ＋2x）8.
所以展开式中第5项的二项式系数最大，
T5＝ （ ）4×24x4＝ x4，
所以展开式中二项式系数最大的项的系数为 .
（2）展开式中系数最大的项.
解： 设二项展开式的第r＋1项的系数最大，
则 解得7≤r≤8，
所以展开式中系数最大的项为第8项或第9项.
则T8＝ （ ）1×27x7＝28x7，T9＝ （ ）0×28x8＝28x8.
【规律方法】
1. 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对（a＋b）n中的n进
行讨论.
2. 求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各
项系数的正、负变化情况进行分析.一般采用待定系数法，设展开式中各
项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用
解出k，即得系数的最大项.
训练2　（1）（x－ ）11展开式中二项式系数最大的项是（　C　）
A. 第3项 B. 第6项
C. 第6，7项 D. 第5，7项
解析： 展开式共有12项，中间两项第6项与第7项的二项式系数最大.
C
（2）（ ＋ ）2n展开式的第6项的二项式系数最大，则其常数项为
（　C　）
A. 120 B. 252
C. 210 D. 45
C
解析： 由题意，得2n＝10，易知n＝5，由Tk＋1＝ （ ）10－k
（ ）k＝ ，令30－5k＝0，得k＝6，故其常数项为 ＝210.
知识点三 二项式系数和与各项系数和
03
PART
问题3　在二项展开式（a＋b）n＝ an＋ an－1b＋ an－2b2＋…＋
an－kbk＋…＋ bn中，令a＝b＝1，可得到什么结论？令a＝1，b＝－
1，可得到什么结论？
提示： ＋ ＋ ＋…＋ ＝2n； ＋ ＋ ＋…＝ ＋ ＋
＋…＝2n－1.
【知识梳理】
1. ＋ ＋ ＋…＋ ＝ .
2. ＋ ＋ ＋…＝ ＋ ＋ ＋…＝ .
2n　
2n－1　
角度1　二项式系数的和
【例3】　已知（1＋2x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，
则奇数项的二项式系数和为（　A　）
A. 512 B. 210
C. 211 D. 212
解析：　∵（1＋2x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，
∴ ＝ ，解得n＝10，各二项式系数之和为210，∵奇数项的二项式系
数的和与偶数项的二项式系数的和相等，∴（1＋2x）10的展开式中奇数项
的二项式系数和为 ×210＝29＝512.
A
【规律方法】
（a＋b）n的展开式中各二项式系数的和为2n，奇数项的二项式系数的和
等于偶数项的二项式系数的和，均等于2n－1.
角度2　二项展开式的各项系数的和
【例4】　已知（2x－1）5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各
式的值：
（1）a0＋a1＋a2＋…＋a5；
解： 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.
（2）｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a5｜；
解： 令x＝－1，得（－3）5＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.
由（2x－1）5的通项 ＝ （－1）r× 知a1，a3，a5为负
值，
所以｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a5｜＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝
35＝243.
（3）a1＋a3＋a5.
解： 由（1）（2）得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，
－a0＋a1－a2＋…＋a5＝（－3）5，
两式相加得2（a1＋a3＋a5）＝1－35，
所以a1＋a3＋a5＝ ＝－121.
变式　在本例条件下，求下列各式的值：
（1）a1＋a2＋a3＋a4＋a5；
解： 因为a0是（2x－1）5展开式中x5的系数，
所以a0＝ 25·（－1）0＝32.
又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，
所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31.
（2）5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4.
解： 因为（2x－1）5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，所以两
边求导数，得10（2x－1）4＝5a0x4＋4a1x3＋3a2x2＋2a3x＋a4.
令x＝1，得5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4＝10.
【规律方法】
二项展开式的各项系数的和的求法
（1）对形如（ax＋b）n，（ax2＋bx＋c）m（a，b，c∈R，m，
n∈N*）的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即
可；对（ax＋by）n（a，b∈R，n∈N*）的式子求其展开式各项系数之
和，只需令x＝y＝1即可；
（2）一般地，若f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f（x）展开式中
各项系数之和为f（1），奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝
，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝ .
训练3　（1）已知（x－my）n的展开式中二项式系数之和为64，x3y3的
系数为－160，则实数m＝ ；
解析：由题意得，2n＝64，解得n＝6，而（x－my）6的通项公式为Tk＋1
＝ x6－k·（－my）k，0≤k≤6，k∈N，所以x3y3的系数为 （－m）3
＝－160，解得m＝2.
2
（2）设（2－ x）100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的
值：
①a0；
②a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；
③a1＋a3＋a5＋…＋a99；
④（a0＋a2＋…＋a100）2－（a1＋a3＋…＋a99）2.
解：①令x＝0，则a0＝2100.
②令x＝1可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝（2－ ）100，（ⅰ）
故a1＋a2＋…＋a100＝（2－ ）100－2100.
③令x＝－1可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝（2＋ ）100.（ⅱ）
（ⅰ）（ⅱ）联立可得a1＋a3＋…＋a99＝ .
④原式＝[（a0＋a2＋…＋a100）＋（a1＋a3＋…＋a99）][（a0＋a2＋…＋
a100）－（a1＋a3＋…＋a99）]＝（a0＋a1＋a2＋…＋a100）·（a0－a1＋a2
－a3＋…＋a98－a99＋a100）＝[（2－ ）（2＋ ）]100＝1100＝1.
1. 二项式（x－1）n的展开式中奇数项的二项式系数和是64，则n＝
（　　）
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
解析： 二项式（a＋b）n的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶
数项的二项式系数和，∴2n－1＝64，∴n＝7.故选C.
√
2. 观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是（　　）
1
1　2　1
1　3　3　1
1　4　a　4　1
1　5　10　10　5　1
A. 8 B. 6
C. 4 D. 2
解析： 　由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a＝10，得
a＝6.
√
3. 在（2－3x）15的展开式中，二项式系数的最大值为（　　）
A. B.
C. － D. －
解析： 　（2－3x）15的展开式中共有16项，中间的两项为第8项和第9
项，这两项的二项式系数相等且最大，为 ＝ ，故选B.
4. 若（2－x）7＝a0＋a1（1＋x）＋a2（1＋x）2＋…＋a7（1＋x）7，则
a0＋a1＋a2＋…＋a6＋a7＝ .
解析：令x＝0，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝27＝128.
128
√
课堂小结
1. 理清单
（1）杨辉三角；
（2）二项式系数的增减性与最大值；
（3）二项式系数和与各项系数和.
2. 应体会
求二项展开式的各项系数的和要注意“赋值法”的应用.
3. 避易错
中间项的个数，含绝对值的系数.
课时作业
04
PART
1. 在（a－b）20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同
的项是（　　）
A. 第15项 B. 第16项
C. 第17项 D. 第18项
解析： 　第6项的二项式系数为 ，又 ＝ ，所以第16项符合
条件.
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2. 若（ －2x）n的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项
为（　　）
A. －240 B. －60
C. 60 D. 240
解析： 　由题意2n＝64，解得n＝6.展开式通项为Tr＋1＝ （ ）6－r
（－2x）r＝ （－2）r· ，由 r－3＝0，解得r＝2，∴常数项为T3
＝ （－2）2·x0＝60.故选C.
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3. （x2－ ）n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则该展开式的
常数项是（　　）
A. －15 B. －20
C. 15 D. 20
解析： 　因为只有第4项的二项式系数最大，得n＝6，所以（x2－ ）n
的展开式的通项为Tk＋1＝ （x2）6－k（－ ）k＝（－1）k x12－3k.令12
－3k＝0，得k＝4，所以展开式中的常数项是（－1）4 ＝15.故选C.
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4. 在（x－ ）2 024的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝
时，S＝（　　）
A. 23 035 B. －23 035
C. 23 030 D. －23 030
解析： 　因为S＝ ，当x＝ 时，S＝－
＝－23 035.
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5. 已知（ ＋ ）n的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比为
1∶4，则展开式中二项式系数最大的项为（　　）
A. 第3项 B. 第4项
C. 第5项 D. 第6项
解析： 　（ ＋ ）n的展开式的通项为Tk＋1＝ （ ）n－k·（ ）k
＝ ·2k· ，第3项为T3＝ ·22· ，其系数为 ·22，倒数第3项为
Tn－1＝ ·2n－2· ，其系数为 ·2n－2，由题意得， ＝24
－n＝ ＝2－2，所以n＝6，所以展开式中二项式系数最大的项为第4项.
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6. 〔多选〕下列关于（x－1）11的说法正确的是（　　）
A. 展开式中的二项式系数之和为2 048
B. 展开式中只有第6项的二项式系数最大
C. 展开式中第6项和第7项的二项式系数最大
D. 展开式中第6项的系数最大
解析： 　（x－1）11的展开式中的二项式系数之和为211＝2 048，所以A
正确；因为n＝11为奇数，所以展开式中有12项，中间两项（第6项和第7
项）的二项式系数相等且最大，所以B不正确，C正确；展开式中第6项的
系数为负数，不是最大值，所以D不正确.故选A、C.
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7. 〔多选〕在（x＋2）n（n∈N*）的展开式中，若含x2的项的二项式系
数为21，则下列结论正确的是（　　）
A. n＝7
B. 展开式中的常数项是64
C. 展开式中二项式系数的最大值是35
D. 展开式中各项系数的和是2 187
√
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解析： 　在（x＋2）n（n∈N*）的展开式中，含x2的项的二项式系
数为 ＝ ＝21，即n2－n－42＝0，∵n∈N*，∴n＝7，A正
确；展开式中常数项为T8＝27＝128，B错误；展开式中二项式系数的最大
值是 ＝ ＝35，C正确；令x＝1可得展开式中各项系数的和是37＝
2 187，D正确.故选A、C、D.
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8. 在（2x－ ）4的二项展开式中，常数项是8，则实数a＝
，第 项的二项式系数最大.
解析：在（2x－ ）4的二项展开式中，常数项是8，由二项展开式通项可
知Tk＋1＝ （2x）4－k（－ ）k＝ ·24－k·（－a）k· ，所以当k
＝3时为常数项，代入可得 ·24－3·（－a）3＝8，解得a＝－1，由二项式
定理可知展开式共有5项，则根据二项式系数可知第3项二项式系数最大.
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9. 已知（1－x）5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则（a0＋a2＋
a4）（a1＋a3＋a5）＝ .
解析：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，令x＝－1，得a0－a1＋
a2－a3＋a4－a5＝25＝32，两式相加可得2（a0＋a2＋a4）＝32，两式相减
可得2（a1＋a3＋a5）＝－32，则a0＋a2＋a4＝16，a1＋a3＋a5＝－16，所
以（a0＋a2＋a4）（a1＋a3＋a5）＝－256.
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10. 在二项式（ － ）n的展开式中，若第4项的系数与第7项的系数比
为－1∶14，求：
（1）二项展开式中的各项的二项式系数之和；
（1） ＋ ＋…＋ ＝210＝1 024.
解：二项式（ － ）n的展开式的通项为
Tk＋1＝ （ ）n－k（－ ）k＝ （－2）k ，
∵ （－2）3∶ （－2）6＝－1∶14，∴n＝10.
（2）二项展开式中的各项的系数之和.
解：令x＝1，得各项系数之和为（－1）10＝1.
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11. 若（1－2x）2 025＝a0＋a1x＋…＋a2 025x2 025（x∈R），则 ＋ ＋…
＋ ＝（　　）
A. 2 B. 0
C. －2 D. －1
解析： 　（1－2x）2 025＝a0＋a1x＋…＋a2 025x2 025，令x＝0，得a0＝1，
令x＝ ，得a0＋ ＋ ＋…＋ ＝0，所以 ＋ ＋…＋ ＝－1.
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12. 〔多选〕对任意实数x，有（2x－3）9＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－
1）2＋a3（x－1）3＋…＋a9（x－1）9.则下列结论成立的是（　　）
A. a2＝－144
B. a0＝1
C. a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1
D. a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝－39
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√
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解析： 　对任意实数x，有（2x－3）9＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－
1）2＋a3（x－1）3＋…＋a9（x－1）9＝[－1＋2（x－1）]9，所以a2＝
－ ×22＝－144，故A正确；令x＝1，可得a0＝－1，故B不正确；令x＝
2，可得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1，故C正确；令x＝0，可得a0－a1＋a2－
a3＋…－a9＝－39，故D正确.
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13. 已知（2x－1）n的二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和
小38，则 ＋ ＋ ＋…＋ ＝ .
解析：设（2x－1）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项的系数和为
A，偶次项的系数和为B. 则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6
＋….由已知，B－A＝38.令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋an（－1）
n＝（－3）n，即（a0＋a2＋a4＋a6＋…）－（a1＋a3＋a5＋a7＋…）＝
（－3）n，即B－A＝（－3）n.∴（－3）n＝38＝（－3）8，∴n＝8.由
二项式系数的性质，可得 ＋ ＋ ＋…＋ ＝2n－ ＝28－1＝255.
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14. 已知（1＋m ）n（m是正实数）的展开式的二项式系数之和为
256，展开式中含有x项的系数为112.
（1）求m，n的值；
解： 由题意可得2n＝256，解得n＝8，
∴展开式的通项为Tk＋1＝ mk ，
∴含x项的系数为 m2＝112，
解得m＝2或m＝－2（舍去）.
故m，n的值分别为2，8.
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（2）求展开式中偶数项的二项式系数之和；
解： 展开式中偶数项的二项式系数之和为 ＋ ＋ ＋ ＝
＝128.
（3）求（1＋m ）n（1－x）的展开式中含x2项的系数.
解： ∵（1＋2 ）8（1－x）＝（1＋2 ）8－x（1＋2 ）8，
∴含x2项的系数为 24－ 22＝1 008.
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15. 已知（ax－ ）n（a∈R，n∈N*）的展开式中，前三项的二项式系
数之和为16，所有项的系数之和为1.
（1）求n和a的值；
解： 由题意得， ＋ ＋ ＝16，
即1＋n＋ ＝16.
解得n＝5，或n＝－6（舍去），
所以n＝5.
因为所有项的系数之和为1，令x＝1，
所以（a－1）5＝1，解得a＝2.
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（2）展开式中是否存在常数项？若存在，求出常数项；若不存在，请说
明理由；
解： 不存在.理由如下：
因为（ax－ ）n＝（2x－ ）5，
所以Tk＋1＝ （2x）5－k（－ ）k＝（－1）k 25－k （k∈N*）.
令5－ ＝0，解得k＝ N，所以展开式中不存在常数项.
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（3）求展开式中二项式系数最大的项.
解：由二项式系数的性质知，展开式中中间两项的二项式系数最大，
二项式系数最大的两项为T3＝（－1）2· 25－2x5－3＝80x2，T4＝（－
1）3· 25－3 ＝－40 .
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