培优课　二项式定理的综合应用 能力提升 课件(共40张PPT)

(共40张PPT)
培优课　二项式定理的综合应用 能力提升
1.能够利用二项式定理解决两个多项式乘积的特定项问题（数学运算）.
2.能利用二项式定理解决整除（余数）问题（逻辑推理、数学运算）.
重点解读
一、求两个二项式乘积的特定项问题
【例1】　（1）（ － ）5（x＋2）的展开式中常数项为（　A　）
A. －10 B. －5
C. 5 D. 10
解析： （ － ）5展开式的通项Tr＋1＝ （－ ）r＝
（－1）r ，r∈N，r≤5，显然 ≠－1，则当 ＝0，即r＝1
时，T2＝（－1） ＝－5，所以（ － ）5（x＋2）的展开式中常数
项为－5×2＝－10.故选A.
A
（2）（ －y）（2x＋y）5的展开式中x3y3的系数为（　A　）
A. －60 B. －80
C. 100 D. 120
解析： 法一　由于（2x＋y）5的展开式的通项Tr＋1＝ （2x）5－ryr
＝ 25－rx5－r·yr，故（ －y）·（2x＋y）5的展开式中x3y3的系数为
×22－ ×23＝－60.
A
法二　若 －y中选取 ，则在（2x＋y）5的展开式中选取含x2y3的项，即
（2x）2y3＝40x2y3，二者相乘得20x3y3；若 －y中选取－y，则在
（2x＋y）5的展开式中选取含x3y2的项，即 （2x）3y2＝80x3y2，二者
相乘得－80x3y3.故（ －y）（2x＋y）5的展开式中x3y3的系数为20－80
＝－60，故选A.
【规律方法】
两个二项式乘积的展开式中特定项问题
（1）分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点；
（2）找到构成展开式中特定项的组成部分；
（3）分别求解再相乘，求和即得.
训练1　（1）若（2x－ ）n的展开式中二项式系数之和为32，则（x＋
2y）（x－y）n的展开式中x2y4的系数为 ；
解析： 由（2x－ ）n的展开式中二项式系数之和为32得，2n＝32，
故n＝5，（x－y）n的展开式通项为（－1）k x5－kyk，故x2y4的项为
（－1 ＋（－1 2 ，k1＝4，k2＝3，即
（－1）4 x2y4＋（－1）32 x2y4＝－15x2y4.
所以（x＋2y）（x－y）n的展开式中x2y4的系数为－15.
－15
（2）已知（2x－a）（x＋ ）6的展开式中x2的系数为－240，则a
＝ .
解析： （x＋ ）6的展开式的通项公式为Tk＋1＝ x6－k（ ）k＝
2kx6－2k（k＝0，1，2，3，4，5，6），令6－2k＝1，得k＝ （舍去）；
令6－2k＝2，得k＝2.故（2x－a）（x＋ ）6的展开式中x2的系数为－
a 22＝－240，解得a＝4.
4
二、求三项展开式中的特定项问题
【例2】　（1）（x2＋x＋y）5的展开式中，x5y2的系数为（　C　）
A. 10 B. 20
C. 30 D. 60
解析： 法一　（x2＋x＋y）5＝[（x2＋x）＋y]5，含y2的项为T3＝
（x2＋x）3y2.其中（x2＋x）3中含x5的项为 x4x＝ x5.所以x5y2的
系数为 ＝30.
C
法二　（x2＋x＋y）5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，
一个取x可得含x5y2的项.所以x5y2的系数为 ＝30.
（2）（ ＋ ＋ ）5的展开式中的常数项是 　　 　　.（用数字
作答）

解析： 法一　原式＝（ ）5＝ ·[（x＋ ）2]5＝
·（x＋ ）10.求原式的展开式中的常数项，转化为求（x＋ ）10的
展开式中含x5的项，T6＝ ·（ ）5x5，∴所求的常数项为
＝ .
法二　（ ＋ ＋ ）5是5个三项式（ ＋ ＋ ）相乘，常数项的产生
有三种情况：①在5个相乘的三项式（ ＋ ＋ ）中，从其中1个三项式
中取 ，剩余的4个三项式中选2个取 ，其余选2个取 ，则满足条件的乘
积为 · · （ ）2 ＝ ；②在5个相乘的三项式（ ＋ ＋ ）
中，从其中3个三项式中取 ，剩余的2个三项式分别取 与 各一个，则
满足条件的乘积为 （ ）3· ·（ ）· ＝20 ；③从5个相乘的三项
式（ ＋ ＋ ）中都取常数 ，得 （ ）5＝4 .综上，展开式中的常数项为 ＋20 ＋4 ＝ .
【规律方法】
解决三项展开式问题的方法
训练2　（1）（x4＋ ＋2x）5的展开式中，x5项的系数为（ ）
A. 160 B. 210
C. 120 D. 252
解析： 原式＝（x4＋ ＋2x）5＝（x2＋ ）10，则Tk＋1＝ （x2）
10－k（ ）k＝ x20－3k，令20－3k＝5，得k＝5，∴T6＝ x5＝252x5，
则x5项的系数为252.
D
（2）（x－2y＋z）8的展开式共有 项，其中含x3y3z2的项的系
数是 .（用数字作答）
解析： 因为（x－2y＋z）8＝[（x－2y）＋z]8＝ （x－2y）8＋
（x－2y）7z＋…＋ （x－2y）z7＋ z8，由二项式定理可知，（x
＋y）n展开式中共有n＋1项，所以（x－2y＋z）8的展开式共有9＋8＋…
＋2＋1＝45项.（x－2y＋z）8是8个（x－2y＋z）连乘，欲求x3y3z2的系
数，只需要在8个（x－2y＋z）式子中选定三个（x－2y＋z）内提供x，
在剩下的5个（x－2y＋z）中选定三个（x－2y＋z）内提供y，剩下的最
后两个（x－2y＋z）提供z，则x3y3z2的系数是 · （－2）3· ＝－4
480.
45
－4 480
三、有关整除或求余数问题
【例3】　（1）今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期
（　A　）
A. 一 B. 二
C. 三 D. 四
解析：　求第810天是星期几，实质是求810除以7的余数.因为810＝
（7＋1）10＝710＋ ×79＋…＋ ×7＋1＝7M＋1（M∈N*），所以第
810天相当于第1天，故为星期一.
A
（2）用二项式定理证明1110－1能被100整除.
证明：因为1110－1＝（10＋1）10－1＝（1010＋ ×109＋…＋
×10＋1）－1
＝1010＋ ×109＋ ×108＋…＋102＝100（108＋ ×107＋ ×106
＋…＋1）.
故1110－1能被100整除.
【规律方法】
整除性问题或求余数问题的处理方法
（1）解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式；
（2）用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数（或与
除数密切关联的数）与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考
虑后面（或者是前面）的几项就可以了.
训练3　（1）实数1.026的近似值（精确到0.01）为（　B　）
A. 1.12 B. 1.13
C. 1.14 D. 1.20
解析：　1.026＝（1＋0.02）6＝1＋ ×0.02＋ ×0.022＋
×0.023＋…＋0.026≈1＋0.12＋0.006≈1.13.
B
（2）已知3×1010＋a（0≤a＜11）能被11整除，求实数a的值.
解：3×1010＋a＝3×（11－1）10＋a＝3×[1110＋ 119×（－
1）＋…＋ （－1）10]＋a＝3（1110－ 119＋…－ ×11）＋3×1
＋a.
因为3×1010＋a能被11整除，所以3＋a能被11整除.
又因为0≤a＜11，所以a＝8.
1. 在x（1＋x）6的展开式中，含x3项的系数为（　　）
A. 30 B. 20
C. 15 D. 10
解析： 　因为（1＋x）6的展开式的通项为Tk＋1＝ xk，所以x（1＋x）
6的展开式中含x3的项为 x3＝15x3，所以含x3项的系数为15.
√
2.9192被100除所得的余数为（　　）
A. 1 B. 81
C. －81 D. －1
解析： 9192＝（90＋1）92＝ ×9092＋ ×9091＋…＋ ×902＋
×90＋ .前91项均能被100整除，剩下两项为92×90＋1＝8 281，显
然8 281除以100所得的余数为81.故9192被100除所得的余数为81.
√
3. （x＋y＋2z）5展开式中xy2z2项的系数为 .
解析：（x＋y＋2z）5展开式中的xy2z2项可以看成在5个因式（x＋y＋
2z）中，有1个因式中取x，剩下的4个因式中2个取y，2个取2z相乘而
得，即 x y2 （2z）2＝120xy2z2，所以展开式中xy2z2项的系数为120.
120
课堂小结
1. 理清单
（1）两个二项式乘积与三项展开式问题；
（2）整除和余数问题及近似值问题.
2. 应体会
求解两个二项式乘积与三项展开式问题要注意分类讨论思想的应用.
3. 避易错
分类不当，重复或遗漏.
课时作业
1. （x2＋2）（ －1）5展开式的常数项是（　　）
A. －3 B. －2
C. 2 D. 3
解析： （ －1）5展开式的通项为Tk＋1＝ （ ）5－k（－1）k＝
（－1）k .令10－2k＝2或10－2k＝0，解得k＝4或k＝5.故（x2
＋2）·（ －1）5的展开式的常数项是（－1）4× ＋2×（－1）5×
＝3.
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√
2. （1＋2x＋3x2）5展开式中x3的系数为（　　）
A. 200 B. 230
C. 120 D. 180
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解析： 　（1＋2x＋3x2）5＝ ，由通项公式可得Tr＋1
＝ （2x＋3x2）r，r＝0，1，2，3，4，5，则x3的系数由（2x＋3x2）r
来确定，由其通项公式可得 ＝ （2x）r－k（3x2）k＝ ×2r－
k×3k×xr＋k，k＝0，1，…，r.由r＋k＝3（k≤r，r∈N*，k∈N），
得 或 所以x3的系数为 ×23×30＋ ×21×31＝80
＋120＝200.故选A.
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3. 设n∈N*，则 ×1n×80＋ ×1n－1×81＋ ×1n－2×82＋ ×1n－
3×83＋…＋ ×11×8n－1＋ ×10×8n除以9的余数为（　　）
A. 0 B. 8
C. 7 D. 2
解析： 　因为 1n80＋ 1n－181＋ 1n－282＋ 1n－383＋…＋
118n－1＋ 108n＝（1＋8）n＝9n，所以除以9的余数为0.
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4. 在（1＋x）5＋（1＋x）6＋（1＋x）7的展开式中，x4的系数是首项为
－2，公差为3的等差数列的（　　）
A. 第11项 B. 第13项
C. 第18项 D. 第20项
解析： 　（1＋x）5＋（1＋x）6＋（1＋x）7的展开式中，x4的系数为
＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝55，以－2为首项，3为公差的等差数列的
通项公式为an＝－2＋3（n－1）＝3n－5，令an＝55，即3n－5＝55，解
得n＝20.
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5. 在（x＋y2－1）（x2－y－1）6的展开式中，x2y4的系数为（　　）
A. －60 B. －30
C. －20 D. 20
解析： 　先求 展开式中含xy4，x2y2，x2y4的项，易知
（x2－y－1）6＝[x2＋（－y－1）]6，显然其不含xy4，含x2y2，x2y4的项
分别为： （x2） （－y）2（－1）3， （x2） （－y）4（－1）
1，所以在（x＋y2－1） 的展开式中，x2y4的系数为
× （－1）3＋（－1）× × （－1）1＝－30.故选B.
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6. 〔多选〕（1＋x2）（2＋x）4的展开式中（　　）
A. x3的系数为40
B. x3的系数为32
C. 常数项为16
D. 常数项为8
解析： 　（1＋x2）（2＋x）4＝（2＋x）4＋x2（2＋x）4，展开式中x3
的系数分为两部分，一是（2＋x）4中含x3的系数 ·2＝8，二是（2＋x）
4中含x项的系数 ·23＝32，所以含x3的系数是8＋32＝40，故A正确，B错
误；展开式中常数项只有（2＋x）4展开式的常数项24＝16，故C正确，D
错误.
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7. 〔多选〕对于二项式（ ＋ ）n（ ＋x3）n（n∈N*），以下判断正
确的有（　　）
A. 存在n∈N*，使展开式中有常数项
B. 对任意n∈N*，展开式中没有常数项
C. 对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项
D. 存在n∈N*，使展开式中有x的一次项
√
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解析： 　（ ＋ ）n的展开式的通项为Tr＋1＝ ·3r· ，r＝0，
1，2，…，n，（ ＋x3）n的展开式的通项为Tk＋1＝ · ，k＝0，
1，2，…，n.则二项式（ ＋ ）n（ ＋x3）n（n∈N*）的展开式的通
项为 ·3r· · ·x4k－n，未知数x的次数为 ＋4k－n＝－ － ＋
4k，令－ － ＋4k＝0，即3r＋n＝8k，r＝1，k＝1，n＝5是其中一
组解，此时， ·3r· · ·x4k－n＝ ×3× ＝75，故展开式中有常
数项，且常数项的系数不为0，故A正确，B错误；令－ － ＋4k＝1，即3r＋n＋2＝8k，r＝0，k＝1，n＝6是其中一组解，此时， ·3r· ·
·x4k－n＝ ×30×x3× × ＝6x，故展开式中有x的一次项，且一次项的系数不为0，故D正确，C错误.
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8. （x＋y＋3）5展开式中不含y的各项系数之和为 .
解析：由（x＋y＋3）5＝[（x＋3）＋y]5，则展开式的通项为Tk＋1＝
（x＋3）5－kyk，当k＝0时，不含y的项，T1＝ （x＋3）5＝（x＋3）
5，令x＝1，可得不含y的各项系数之和为45＝1 024.
1 024　
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9. 若（x2－a）（x＋ ）10的展开式中x6的系数为30，则a＝ .
解析：（x＋ ）10的展开式的通项为Tr＋1＝ x10－r（ ）r＝ x10－2r，
令10－2r＝4，解得r＝3，所以x4的系数为 ；令10－2r＝6，解得r＝
2，所以x6的系数为 ，所以（x2－a）（x＋ ）10的展开式中x6的系数
为 －a ＝30，解得a＝2.
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10. 求证：32n＋2－8n－9（n∈N*）能被64整除.
证明：32n＋2－8n－9＝（8＋1 －8n－9
＝ 8n＋1＋ 8n＋…＋ 82＋ 8＋ －8n－9
＝ 8n＋1＋ 8n＋…＋ 82＋8（n＋1）＋1－8n－9
＝ 8n＋1＋ 8n＋…＋ 82.
上式中的每一项都含有82，故原式能被64整除.
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11. 请利用二项式定理证明：3n＞2n2＋1（n≥3，n∈N*）.
证明：当n≥3，n∈N*时，3n＝（1＋2）n＝1＋ ·2＋ ·22＋…＋2n＞1
＋ ·2＋ ·22
＝1＋2n＋2n（n－1）＝2n2＋1，
所以结论成立.
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12. 已知（ax2＋ ）n的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数
和为－1.
（1）求n和a的值；
解： 由条件可得
解得
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（2）求（2x－1）（ax2＋ ）n的展开式中的常数项.
解： （2x－1）（ax2＋ ）n＝（2x－1）（－2x2＋x－1）7.
∵（－2x2＋x－1）7展开式的通项为Tk＋1＝ （－2x2）7－k（x－1）k＝
（－2）7－kx14－3k.
∴当14－3k＝－1，即k＝5时，2x· （－2）2x－1＝168；
当14－3k＝0，即k＝ 时，舍去.
∴所求的常数项为168.
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