培优课　排列与组合的综合应用 能力提升 课件 (共42张PPT)

(共42张PPT)
培优课　排列与组合的综合应用 能力提升
1.理解定序问题，并会用排列组合公式解决与定序有关的实际问题（数
学抽象、数学运算）.
2.会解决分类与分步的交叉综合问题（数学建模、数学运算）.
重点解读
一、定序问题
【例1】　6人站成一排.
（1）甲必须在乙的前面（不一定相邻），则有多少种不同的排列方法？
解： 甲在乙前面的排法种数占全体排列种数的一半，故有 ＝360
（种）不同的排法.
（2）甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变（不一定相邻），则有多少不
同的排列方法？
解： 甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右
顺序的排法种数占全排列种数的 .故有 ＝120（种）不同的排法.
【规律方法】
定序问题的求解方法
n个不同元素的全排列有 种排法，m个特殊元素的全排列有 种排法.
当这m个元素顺序确定时，共有 种排法.
训练1　用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，
5，7的顺序一定，求有多少个符合条件的七位数？
解：法一（直接转化法）　七个位置先安排2，4，6三个数的排法为 ，
然后1，3，5，7的顺序按照要求只能是1种，由分步乘法计数原理得符合
条件的七位数的个数为 ×1＝210.
法二（重复插空法）　先将1，3，5，7按固定顺序排好，这四个数有5个
空隙，将2插入，有5个空隙可以选择，然后再将4插入，有6个空隙可以选
择，最后将7插入，有7个空隙可以选择，所以由分步乘法计数原理得符合
条件的七位数的个数为5×6×7＝210.
二、排列与组合的综合问题
角度1　“类中有步”的计数问题
【例2】　甲、乙、丙、丁四个人中秋节分别选择到东湖公园、茶经楼、
历史博物馆和北湖公园其中一处去参观游玩，其中茶经楼必有人去，则不
同的参观方式共有（　　）
A. 24种 B. 96种
C. 174种 D. 175种
√
解析： 　按照去茶经楼的人数进行分类讨论.第一类，若4个人均去茶经
楼，则有1种参观方式；第二类，若有3个人去茶经楼，分两步，从4个人
中选择3个人去茶经楼，余下1个人从另外的3处景点中任意选择一处，有
＝12（种）参观方式；第三类，若有2个人去茶经楼，分三步，从4个
人中选择2个人去茶经楼，余下2个人分别从另外的3处景点中任意选择一
处，有 ＝54（种）参观方式；第四类，若有1个人去茶经楼，分四
步，从4个人中选择1个人去茶经楼，余下3个人分别从另外的3处景点中任
意选择一处，有 ＝108（种）参观方式.综上，由分类加法计数
原理，共有1＋12＋54＋108＝175（种）参观方式，故选D.
角度2　“步中有类”的计数问题
【例3】　如图，用4种不同的颜色给图中的8个区域涂色，每种颜色至少
使用一次，每个区域仅涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色互不相同，则区
域A，B，C，D和A1，B1，C1，D1分别各涂2种不同颜色的涂色方法共
有 种；区域A，B，C，D和A1，B1，C1，D1分别各涂4种不
同颜色的涂色方法共有 种.
24
216
解析：区域A，B，C，D和A1，B1，C1，D1分别各涂2种不同颜色，则
区域A和C同色，B和D同色，A1和C1同色，B1和D1同色，所以先涂区域
A和C，B和D，从4种颜色中选两种，有 种.再涂区域A1和C1，B1和
D1，用另外两种颜色去涂，有 种.所以由分步乘法计数原理共有 ＝
24（种）涂色方法.设四种不同的颜色为a，b，c，d，第一步先涂区域
A，B，C，D共有 ＝24（种）方法；
第二步涂区域A1，B1，C1，D1，在给区域A1，B1，C1，D1涂色时，与相
应的区域A，B，C，D颜色不能相同，不妨设区域A，B，C，D对应的
颜色是a，b，c，d，那么区域A1，B1，C1，D1对应的颜色可能情况有
如下几类，（b，a，d，c），（b，c，d，a），（b，d，a，c），
（c，a，d，b），（c，d，a，b），（c，d，b，a），（d，a，b，
c），（d，c，a，b），（d，c，b，a），共9种情况，所以共有
24×9＝216（种）涂色方法.
【规律方法】
1. 解排列与组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题
意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列.
2. 解排列与组合综合问题时要注意的两点
（1）元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问
题，有序的问题是排列问题；
（2）对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后
再考虑是分类还是分步，这是处理排列与组合综合问题的一般方法.
训练2　（1）已知集合A＝{4，5，6，7}，B＝{5，6，7，8，9}，从集合
A中取出1个元素，从集合B中取出3个元素，可以组成无重复数字且比5
000大的自然数的个数为（　C　）
A. 180 B. 300 C. 468 D. 564
C
解析： 由两个集合中的数字大小，以及要求组成比5 000大的自然
数，可分为两类讨论：第一类，若从集合A中取出元素4，则4不能作千位
上的数字，只能先排在个位、十位或百位上，有 种方法，再从B中选3
个数字排在另外三个数位上有 种方法，从而共有 ＝180（个）满足
题意的自然数.第二类，从集合A中的元素5，6，7中取1个，有3种方法，
若集合A中取出元素5，则集合B只能从6，7，8，9中取3个数字，有 种
取法，故可有 （个）满足题意的自然数.集合A中取元素6，7时同
理，故共有3 ＝288（个）满足题意的自然数.综上，由分类加法计数
原理可得，满足题意的自然数共有180＋288＝468（个），故选C.
（2）将6个不同的乒乓球全部放入两个不同的球袋中，每个球袋中至少放
1个乒乓球，则不同的放法有（　B　）
A. 82种 B. 62种
C. 112种 D. 84种
解析： 先将6个不同的乒乓球分为两组，可分为1个和5个，2个和4
个，3个和3个三种情况，共有 ＋ ＋ ＝31（种）分法，再将分好
的两组分别放入不同的球袋中，则共有31× ＝62（种）放法.
B
1. 有4名运动员参加4×100接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑
第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有（　　）
A. 12种 B. 14种
C. 16种 D. 24种
解析： 　若不考虑限制条件，4名队员全排列共有 ＝24（种）排法，
减去甲跑第一棒的 ＝6（种）排法，乙跑第4棒的 ＝6（种）排法，再
加上甲在第一棒且乙在第四棒的 ＝2（种）排法，共有 －2 ＋
＝14（种）不同的出场顺序.
√
2. 某地区安排A，B，C，D，E五名同志到三个地区开展消防安全宣传
活动，每个地区至少安排一人，且A，B两人安排在同一个地区，C，D
两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法共有 种.
解析：①将5人分为3组，要求A，B两人在同一组而C，D不在同一组，
有 ＋（ －1）＝5（种）分组方法；②将分好的3组全排列，安排到三
个地区，有 ＝6（种）安排方法.由分步乘法计数原理，则有5×6＝30
（种）不同的分配方法.
30
3. 某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相.
（1）其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？
解： 法一（整体法）　5位嘉宾无约束条件的全排列有 种，其中3
位老者不考虑年龄的顺序有 种.
因此满足3位老者按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有 ＝20（种）.
法二（插空法）　记3位老者按年龄由大到小的顺序为“A，B，C”.则
三人形成四个空档（含两端）.
①若2个年轻人出场顺序相邻，有 · 种顺序，②若2个年轻人出场顺序
不相邻，有 种顺序.
因此满足条件的出场顺序有 · ＋ ＝20（种）.
（2）3位老者与2位年轻人都要分别按从小到大的顺序出场，出场顺序有
多少种？
解： 设符合条件的排法共有x种，
用（1）的方法可得x· · ＝ ，
解得x＝ ＝10.
因此出场顺序有10种.
课堂小结
1. 理清单
（1）定序问题；
（2）“类中有步”的计数问题；
（3）“步中有类”的计数问题.
2. 应体会
解决“类中有步”及“步中有类”的计数问题时要注意分类讨论思想
的应用.
3. 避易错
分类不当；不能正确识别定序问题.
课时作业
1. 从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则不
同的选派方案共有（　　）
A. 60种 B. 80种
C. 100种 D. 120种
解析： 从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工
作，则不同的选派方案共有 ＝6×5×4＝120（种）.故选D.
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√
2. 在1，2，3，4，5这5个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字
之和为偶数的共有（　　）
A. 36个 B. 24个
C. 18个 D. 6个
解析： 　若各位数字之和为偶数，则只能两奇一偶，故有 ＝36
（个）符合要求的数.
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3. 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，同一级台阶上的人不区分站的位
置，则不同的站法种数是（　　）
A. 257 B. 336
C. 343 D. 384
解析： 　由题意知可分为三类：第一类是3人各站一级台阶，有 种站
法；第二类是有一级台阶有2人，另一级台阶有1人，共有 种站法；第
三类是3人站在一级台阶上，有 种站法.所以根据分类加法计数原理知共
有不同的站法种数是 ＋ ＋ ＝343.故选C.
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4. 元宵节灯展后，悬挂的8盏不同的花灯需要取下，如图所示，每次取1
盏，则不同的取法共有（　　）
A. 32种 B. 70种
C. 90种 D. 280种
解析： 　因为取灯时每次只能取一盏，所以每串灯必须先取下面的灯，
即每串灯取下的顺序确定，取下的方法有 ＝70（种）.故选B.
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5. 某校从8名青年教师中选派4名分别作为四个学生社团的指导教师，每个
社团各派去1名教师，其中教师甲和乙不能同时参加，甲和丙只能都参加
或都不参加，则不同的选派方案有（　　）
A. 360种 B. 480种
C. 600种 D. 720种
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解析： 　若甲参加，乙不参加，则丙参加，只需从剩余5人中选出2人，
再分配即可，此时有 ＝240（种）情况；若甲不参加，乙不参加，则
丙不参加，只需从剩余5人中选出4人，再分配即可，此时有 ＝120
（种）情况；若甲不参加，乙参加，则丙不参加，只需从剩余5人中选出3
人，再分配即可，此时有 ＝240（种）情况.故共有240＋120＋240＝
600（种）不同的选派方案.故选C.
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6. 〔多选〕将四个不同的小球放入三个分别标有1号、2号、3号的盒子中
且不允许有空盒子的放法有（　　）
A. 种 B. 种
C. 种 D. 18种
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解析： 　根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1号、2号、3号
的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个盒子中放2个球，剩下的2个
盒子中各放1个球，则可以有两种方法进行分析：（1）①先将四个不同的
小球分成3组，有 种分组方法；②将分好的3组全排列，对应放到3个盒
子中，有 种放法.则没有空盒的放法有 种.（2）①在4个小球中任
选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有
种情况；②将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有
种放法.则没有空盒的放法有 种.故选B、C.
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7. 〔多选〕现有5名同学报名参加3个不同的课后服务小组，每人只能报一
个小组，则下列说法正确的是（　　）
A. 若报名没有任何限制，则共有53种不同的安排方法
B. 若报名没有任何限制，则共有35种不同的安排方法
C. 若每个小组至少要有1人参加，则共有540种不同的安排方法
D. 若每个小组至少要有1人参加，则共有150种不同的安排方法
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解析： 　5名同学报名参加3个不同的课后服务小组，每人只能报一个小
组，若报名没有任何限制，则每人都有3种选择，故共有35种不同的安排方
法，故B正确，A错误；若每个小组至少要有1人参加，则先分组后排列，
先将5名同学分为三组有 ＋ ＝25（种）方法，再将分好的三组分
到3个不同的课后服务小组有 ＝6（种）情况，所以每个小组至少要有1
人参加，则共有25×6＝150（种）不同的安排方法，故C错误，D正确.故
选B、D.
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8. 旅游体验师小李受某网站邀请，决定在甲、乙、丙、丁这四个景区进行
体验式旅游.已知他不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区
旅游，则他可选的旅游路线数为 .
解析：小李可选的旅游路线分两种情况：①最后去甲景区旅游，则可选的
路线有 种；②不最后去甲景区旅游，则可选的路线有 种.所以小李
可选的旅游路线数为 ＋ ＝10.
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9. 如图，将1，2，3，4四个数字填在6个“ ”中，每个“ ”中填一个
数字，有线段连接的两个“ ”不能填相同数字，四个数字不必均使用，
则不同填数方法有 种.
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解析：如图，计算不同填数方法有两类办法：当用四个
数字时，先填A，E，D，有 种填法，再从B，F，
C中选一处填第四个数，如B，再填F，若F与D同，
则C有2种填法，若F与D不同，则C有1种填法，于是得有 （2＋1）种填法；当用三个数字时，先填A，E，D，有 种填法，再填B，有2种填法，则F，C各有1种填法，于是得有2 种填法.利用分类加法计数原理得不同填数方法有 （2＋1）＋2 ＝216＋48＝264（种）.
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10. 为迎接端午节，某社区准备参加市里举行的龙舟比赛，计划从6名男选
手和5名女选手中随机选出男、女选手各2名参加此次比赛，并需要安排好
龙舟上选手的座位顺序，求下列方案的排法种数：
（1）男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上；
解： 因为男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上，所以只需
再在剩余的5男5女中，选1男2女，排在前3个位置即可，
所以排法种数为： ＝5×10×6＝300.
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（2）男选手小李和女选手小赵都要参加，并且座位不相邻；
解： 完成这件事可以分两步：
第一步：先选人，有 ＝20（种）选法；
第二步：再排列，4人排列，小李和小赵不相邻的排法种数为： ＝12.
由分步计数乘法原理得，不同的排法种数为：20×12＝240.
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（3）男选手小钱和男选手小周至少一人参加.
解： 完成这件事的方法可以分两类：
第一类：小钱和小周只有一人参加，方法有： ＝1 920（种）；
第二类：小钱和小赵都参加，方法有 ＝240.
由分类加法计数原理得，不同的排法种数为：1 920＋240＝2 160.
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11. 为弘扬我国古代的六艺文化，某夏令营主办单位计划利用暑期开设礼
乐射御书数六门体验课程.
（1）若体验课连续开设六周，每周一门，求其中射不排在第一周，数不
排在最后一周的所有可能排法种数；
解： 分两组情况讨论：
①射排在最后一周时，则有 ＝120（种）排法.
②当射不排在最后一周，则射有4种排法，数也有4种排法，剩下的4门课
程全排列，有4×4× ＝384（种）排法，
所以共有120＋384＝504（种）不同排法.
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（2）甲、乙、丙、丁、戊五名教师教这六门课程，每名教师至少任教一
门课程，求甲不任教数的课程安排方案种数.
解： 分两种情况讨论：
当甲教两科时，则有 ＝240（种）安排方法；
当甲教一科时，则有 ＝1 200（种）安排方法.
所以共有240＋1 200＝1 440（种）不同安排方案.
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12. 在混放在一起的6件不同的产品中，有2件次品，4件正品.现需要通过
检测将其区分，每次随机抽取一件进行检测，检测后不放回，直到检测出
2件次品或者检测出4件正品时检测结束.
（1）若第二次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，求共有多少种不同
的抽法；
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解：由题意知，第一次抽到的必是正品，共抽取4次或5次检测结束，
第1次抽到的是正品有 种抽法；第2次抽到的是次品有 种抽法；第
3次抽到的是正品有 种抽法；
当抽取4次结束时，第4次抽到的必是次品，共有 ＝24（种）抽
法；
当抽取5次结束时，若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是正品，则共
有 ＝48（种）抽法；
若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是次品，则共有 ＝48
（种）抽法；
综上，第二次抽到的是次品且第三次抽到的是正品共有120种抽法.
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（2）已知每检测一件产品需要检测费用100元，求检测结束时检测费用为
400元的抽法有多少种？
解： 由题意知，检测费用为400元，说明一共抽取了4次检测结束，
共有以下两种情况：
①4次抽到的均为正品，共有 ＝24（种）抽法；
②前3次抽到2件正品，1件次品，且第4次抽到的是次品，共有 · ·
＝72（种）抽法.
所以检测结束时，检测费用为400元的抽法共有96种.
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