章末检测（六）　计数原理 课件(共34张PPT)

(共34张PPT)
章末检测（六）　计数原理
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 某班设了兴趣小组，有3名学生想要报名书法、绘画、篮球、羽毛球兴
趣小组，每人限报1项，则不同的报名方式种数有（　　）
A. 34 B. 36
C. 24 D. 43
解析： 　根据题意，每名学生都可以在书法、绘画、篮球和羽毛球兴趣
小组中任选1个，都有4种选法，由分步乘法计数原理得，共有4×4×4＝43
种不同的选法.故选D.
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2. ＋ ＋ ＋ ＝（　　）
A. 84 B. 83
C. 70 D. 69
解析： 　 ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ －1＝ ＋ ＋
＋ －1＝ ＋ ＋ －1＝ ＋ －1＝ －1＝ －1＝69.
故选D.
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3. 若（x＋ ）（x－ ）5的展开式中常数项是10，则m＝（　　）
A. －2 B. －1
C. 1 D. 2
√
解析： 　（x＋ ）（x－ ）5＝x（x－ ）5＋ （x－ ）5，（x－
）5的展开式的通项公式为Tr＋1＝ x5－r（－ ）r＝ （－1）rx5－2r，
令5－2r＝－1，解得r＝3，则x（x－ ）5的展开式的常数项为－ ＝－
10；令5－2r＝1，解得r＝2，则 （x－ ）5的展开式的常数项为m ＝
10m，因为（x＋ ）（x－ ）5的展开式中常数项是10，所以10m－10＝
10，解得m＝2，故选D.
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4. 四名男生和两名女生排一行进行合影，若要求男生甲与男生乙不相邻，
且女生A和女生B相邻，则不同排法的种数有（　　）
A. 288种 B. 144种
C. 96种 D. 72种
解析： 　第一步：先对2名女生进行排队，有 种排法；第二步：将除
甲和乙之外的人进行排队，有 种排法；第三步：甲、乙采用插空的方
式，有 种排法.所以共有 ＝144（种）排法.故选B.
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5. 某市的5个区县A，B，C，D，E地理位置如图所示，给这五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有（　　）
A. 24种 B. 36种
C. 48种 D. 72种
解析： 　当B，E同色时，共有4×3×2×2＝48（种）不同的染色方
案；当B，E不同色时，共有4×3×2×1×1＝24（种）不同的染色方案，
所以共有72种不同的染色方案.故选D.
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6. 对任意的实数x，x6＝a0＋a1（x－2）1＋a2（x－2）2＋…＋a6（x－
2）6，则a2＝（　　）
A. 60 B. 120
C. 240 D. 480
解析： 　∵x6＝[（x－2）＋2]6＝ （x－2）6＋ （x－2）5·2＋
（x－2）4·22＋ （x－2）3·23＋ （x－2）2·24＋ （x－2）1·25＋
·26，∴a2＝ ·24＝240.故选C.
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7. 中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展
示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队
前往A，B，C3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个
受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去B，C两
个受灾点中的一个，则不同的安排方法数是（　　）
A. 72 B. 84
C. 100 D. 120
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解析： 若甲去B点，则剩余4队，可只去A，C两个点，也可分为3组
去A，B，C 3个点.当剩余4队只去A，C两个点时，人员分配为1，3或
2，2，此时的分配方法有 · · ＋ · ＝14（种）；当剩余4队分
为3组去A，B，C 3个点时，先从4队中选出2队，即可分为3组，然后分配
到3个小组即可，此时的分配方法有 · ＝36（种），综上可得，甲去B
点，不同的安排方法数是14＋36＝50.同理，甲去C点，不同的安排方法数
也是50，所以不同的安排方法数是50＋50＝100.故选C.
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8. 在二项式（ － ）n的展开式中，当且仅当第5项的二项式系数最大
时，系数最小的项是（　　）
A. 第6项 B. 第5项
C. 第4项 D. 第3项
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解析： 　由题意二项式（ － ）n的展开式中，当且仅当第5项的二
项式系数最大时n＝8.二项展开式的通项为Tk＋1＝ （ ）8－k·（－ ）
k·（ ）－k＝（－ ）k （ ）8－2k，要使其系数最小，则k为奇数.当
k＝1时，（－ ）× ＝－4；当k＝3时，（－ ）3× ＝－7；当k＝5
时，（－ ）5× ＝－ ；当k＝7时，（－ ）7× ＝－ .故当k＝3时
系数最小，则系数最小的项是第4项.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的
四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部
分分，有选错的得0分）
9. 带有编号1，2，3，4，5的五个球，则下列说法正确的是（　　）
A. 全部投入4个不同的盒子里，共有45种放法
B. 放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有 种放法
C. 将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有 ·
种放法
D. 全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有 · 种不同的放法
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解析： 　五个球投入4个不同的盒子里共有45种放法，A正确；若要放
进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有 · 种放法，B错误，D正
确；将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有
· 种放法，C正确.故选A、C、D.
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10. 若（2x－1）10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，x∈R，则（　　）
A. a1＋a2＋…＋a10＝1
B. ｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a10｜＝310
C. a2＝160
D. ＋ ＋ ＋…＋ ＝－1
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解析： 　对于A，（2x－1）10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，令x＝
0，得a0＝1，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，所以a1＋a2＋…＋a10
＝0，故A错误；对于B，因为（2x－1）10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，
所以｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a10｜表示（2x＋1）10的各项系数
之和，令x＝1，则｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a10｜＝310，故B正
确；对于C，a2x2＝ （2x）2·（－1）8＝180x2，所以a2＝180，故C错
误；对于D，因为（2x－1）10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，a0＝1，令x
＝ ，则（2× －1）10＝1＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＝0，则 ＋ ＋
＋…＋ ＝－1，故D正确.
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11. “杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数
学爱好者的探究欲望.如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（　　）
A. 第n行各个数的和是2n
B. 第2 025行中从左往右第1 014个数与第
1 015个数相等
C. 记第n行的第i个数为ai，则 2i－1ai＝
4n
D. 第20行中第8个数与第9个数之比为8∶13
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解析： 　各行的所有数的和是各二项式系数和，第n行各个数的和是
2n，故A正确；对于B，第2 025行有2 026项，从左往右第1 014个数与第
1 015个数分别为 ， ，所以 ＞ ，故B错误；对于
C，第n行的第i个数为ai，则 2i－1ai＝20a1＋21a2＋22a3＋…＋2nan＋1，
∴ 2i－1ai＝ 20＋ 21＋ 22＋…＋ 2n＝（1＋2）n＝3n，故C错
误；对于D，第20行中，第8个数与第9个数的比为 ∶ ＝ ：
＝8∶13，故D正确.故选A、D.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横
线上）
12. 若 ＝ （n∈N*），则n＝ .
解析：由题意可知2n＋6＝n＋2或2n＋6＝20－（n＋2），解得n＝－4
（舍去）或n＝4.`
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13. 某市举办运动会，将新增电子竞技和冲浪两个竞赛项目以及滑板等5个
表演项目.现有三个场地A，B，C分别承担竞赛项目与表演项目比赛，其
中电子竞技和冲浪两个项目仅能由A，B两地承办，且各自承办其中一
项.5个表演项目分别由A，B，C三个场地承办，且每个场地至少承办其
中一个项目，则不同的安排方法有 种.
解析：首先电子竞技和冲浪两个项目仅能由A，B两地举办，且各自承办
其中一项有 ＝2（种）安排；再次5个表演项目分别由A，B，C三个场
地承办，且每个场地至少承办其中一个项目，则有 ＋ ＝150
（种），故总数为2×150＝300（种）不同的安排方法.
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14. 已知（1＋2 025x）50＋（2 025－x）50＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a50x50，
其中a0，a1，a2，…，a50∈R，若ak＜0，k∈{0，1，2，…，50}，则实
数k的最大值为 .
解析：因为（1＋2 025x）50的展开式中xk的系数为 ·2 025k，（2 025－
x）50的展开式中xk的系数为 2 02550－k（－1）k，所以（1＋2 025x）50
＋（2 025－x）50的展开式中xk的系数为 2 025k＋ 2 02550－k（－
1）k＝ 2 025k[1＋2 02550－2k·（－1）k]，k＝0，1，2，…，50.要使ak
＜0，则k为奇数，且2 02550－2k＞1，所以50－2k＞0，则k＜25，则k的最
大值为23.
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证
明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）有2名男生和3名女生排队，按下列要求各有多少
种排法，依题意列式作答：
（1）若2名男同学不相邻，共有多少种不同的排法；
解： 先将3名女生进行排列，有 ＝6（种）情况，再将2名男生
插空，有 ＝12（种）情况，故2名男同学不相邻，共有6×12＝72
（种）排法.
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（2）若2名男同学中间必须有1人，共有多少种不同的排法.
解： 先将两名男生进行排列，有 ＝2（种）情况，再选出1名女生
放在男同学中间，有 ＝3（种）情况，将两名男同学和这名女同学看成
一个整体和剩余的2名女同学进行全排列，共有 ＝6（种）情况，故若2
名男同学中间必须有1人，共有2×3×6＝36（种）排法.
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16. （本小题满分15分）已知（2 － ）n（n为正整数）.
（1）若 ＋ ＋ ＋…＋ ＝64，求该式的展开式中所有项的系数
之和；
解： 由2n＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＝64可得n＝6，
令x＝1可得（2－ ）6＝16＝1，
所以展开式中所有项的系数之和为1.
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（2）若 ＋ ＝465，求该式的展开式中无理项的个数.
解： 若 ＋ ＝465，则n＋ ＝465，解得n＝30，或
n＝－31舍去，
设（2 － ）30的通项为Tr＋1＝ （2 ）30－r·（－ ）r＝（－
1）r 230－r ，且r∈{0，1，2，…，30}，
所以当r＝1，3，5，…，29时可得展开式中的无理项，所以共有15个
无理项.
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17. （本小题满分15分）某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定
按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过12站的地铁票
价如下表：
乘坐站数 0＜x≤3 3＜x≤7 7＜x≤12
票价（元） 3 5 7
现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不
超过12站，且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的.
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（1）若甲、乙两人共付车费8元，则甲、乙下地铁的方案共有多少种？
解： 若甲、乙两人共付车费8元，则其中一人乘坐地铁站数不超过3
站，另外一人乘坐地铁站数超过3站且不超过7站，共有 ＝24
（种），
故甲、乙下地铁的方案共有24种.
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（2）若甲、乙两人共付车费10元，则甲比乙先下地铁的方案共有多少种？
解： 若甲、乙两人共付车费10元，则甲比乙先下地铁的情形有两类：
第一类，甲乘地铁站数不超过3站，乙乘地铁站数超过7站且不超过12
站，有 ＝15（种）；
第二类，甲、乙两人乘地铁站数都超过3站且不超过7站，记地铁第四
站至第七站分别为P4，P5，P6，P7，易知甲比乙先下地铁有以下三种
情形：
①甲P4站下，乙下地铁方式有 种；②甲P5站下，乙下地铁方式有
种；③甲P6站下，乙只能从P7下地铁，共有1种方式，共有 ＋ ＋1
＝6（种），
依据分类加法计数原理，得15＋6＝21（种），
故甲比乙先下地铁的方案共有21种.
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18. （本小题满分17分）从6名男生和5名女生中选出4人去参加某活动的志
愿者.
（1）若4人中必须既有男生又有女生，则有多少种选法？
解： 从这11人中任选4人的选法有 ＝ ＝330（种），
其中只有男生的选法有 ＝15（种），只有女生的选法有 ＝5（种），
故4人中必须既有男生又有女生的选法有330－15－5＝310（种）.
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（2）先选出4人，再将这4人分配到两个不同的活动场地（每个场地均要
有人去，1人只能去一个场地），则有多少种安排方法？
解： 从这11人中任选4人的选法有 ＝330（种），
若人数按1，3分配，则安排方法有330 ＝2 640（种），
若人数按2，2分配，则安排方法有330 ＝1 980（种），
所以共有2 640＋1 980＝4 620（种）安排方法.
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（3）若男、女生各需要2人，4人选出后安排与2名组织者合影留念（站一
排），2名女生要求相邻，则有多少种不同的合影方法？
解：因为男、女生各需要2人，所以选出4人的方法有 ＝150（种）.
先排2名男生与2名组织者，有 ＝24（种）排法，
再将2名女生“捆绑”在一起，放入5个空档中，有 ＝5（种）方法，
所以共有150×24×5 ＝36 000（种）不同的合影方法.
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19. （本小题满分17分）在（1＋x＋x2）n＝ ＋ x＋ x2＋…＋
x2n－1＋ x2n的展开式中，把 ， ， ，…， 叫做三项式
的n次系数列.
（1）求 ＋ ＋ 的值；
解： 因为（1＋x＋x2）3＝ （1＋x）3＋ （1＋x）2x2＋ （1
＋x）x4＋ x6
＝1＋3x＋6x2＋7x3＋6x4＋3x5＋x6
（在三项式（1＋x＋x2）3中，把1＋x看做整体，即可参照二项式求得三
项式的展开式的各项系数），
从而 ＝ ＝3， ＝ ＋ ＝7， ＝ ＝3，
故 ＋ ＋ ＝3＋7＋3＝13.
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（2）将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，这是一种
非常有用的思想方法，叫做“算两次”.对此，我们并不陌生，如列方程
时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式，几何中常用的等积法也
是“算两次”的典范.根据二项式定理，将等式（1＋x）2n＝（1＋x）n
（1＋x）n的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，如考察左右两
边展开式中xn的系数可得 ＝（ ）2＋（ ）2＋（ ）2＋…＋
（ ）2.利用上述思想方法，请计算 － ＋ －
＋…＋ － 的值（可用组合数作答）.
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解：因为（1＋x＋x2）99·（x－1）99＝（ ＋ x＋ x2＋ x3＋…＋ x197＋ x198）·（ x99－ x98＋ x97－…＋ x－ ），
其中含x99项的系数为 － ＋ －…＋ － ，
又（1＋x＋x2）99·（x－1）99＝（x3－1）99，
的展开式中的第r＋1项为
Tr＋1＝（－1）r ，
令3（99－r）＝99，解得r＝66，
所以含x99项的系数为 ＝ ；
所以 － ＋ － ＋…＋ － ＝ ＝
.
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