6.1第一课时　两个计数原理及其简单应用

(共53张PPT)
第一课时　两个计数原理及其简单应用
1. 理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理（数学抽象、逻辑推理）.
2. 会用这两个计数原理分析和解决一些简单的实际计数问题（数学建模、
数学运算）.
课标要求
计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本
方法.但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高.能否设计巧妙的
“数法”以提高效率呢？
情境导入
知识点一 分类加法计数原理
01
知识点二 分步乘法计数原理
02
知识点三 两个计数原理的简单应用
03
课时作业
04
目录
知识点一 分类加法计数原理
01
PART
问题1　（1）用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座
位编号，总共能编出多少种不同的号码？
提示：因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出
26＋10＝36种不同的号码.
（2）你能说一说问题（1）的特征吗？
提示：首先，这里要完成的事情是“给一个座位编号”；其次是“或”字
的出现：一个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示.因为英文
字母与阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字
编出的号码也互不相同.这两类号码数相加就得到号码的总数.
【知识梳理】
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2
类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同
的方法.
　　提醒：（1）分类加法计数原理中每类方案都能独立完成这件事，它
是独立的、一次性的且每次得到的都是最后结果，只需一种方法就可完成
这件事；（2）推广：完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1
种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中
有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的
方法.
m＋n　
【例1】　（链接教材P3例1）某校高三年级共有三个班，各班人数如
下表：
男生人数 女生人数 总人数
高三（1）班 30 20 50
高三（2）班 30 30 60
高三（3）班 35 20 55
（1）从三个班的学生中选1名学生担任学生会主席，有多少种不同的
选法？
解： 从三个班中任选1名学生担任学生会主席，共有三类不同的
方案.
第1类，从高三（1）班中选出1名学生，有50种不同的选法；
第2类，从高三（2）班中选出1名学生，有60种不同的选法；
第3类，从高三（3）班中选出1名学生，有55种不同的选法.
根据分类加法计数原理知，从三个班中任选1名学生担任学生会主席，
不同选法的种数为50＋60＋55＝165.
（2）从高三（1）班、高三（2）班男生中或从高三（3）班女生中选1名
学生担任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
解： 从高三（1）班男生、高三（2）班男生中或从高三（3）班女生
中选1名学生担任学生会生活部部长，共有三类不同的方案.
第1类，从高三（1）班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；
第2类，从高三（2）班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；
第3类，从高三（3）班女生中选出1名学生，有20种不同的选法.
根据分类加法计数原理知，从高三（1）班男生、高三（2）班男生中或从
高三（3）班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，不同选法的种数为
30＋30＋20＝80.
【规律方法】
利用分类加法计数原理的解题流程
训练1　（1）某中学需从2025年师范大学毕业的3名女大学生和2名男大学
生中选聘1人，则不同的选法种数为（　B　）
A. 6 B. 5
C. 3 D. 2
解析： 选取的方法可分为两类：从3名女大学生中选聘1人，有3种选
法；从2名男大学生中选聘1人，有2种选法，根据分类加法计数原理，可
知不同的选法种数为3＋2＝5，故选B.
B
（2）某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中1本，则购买方式共
有 种.
解析： 分3类：买1本书，买2本书和买3本书.各类的购买方式依次有
3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7（种）.
7
知识点二 分步乘法计数原理
02
PART
问题2　（1）用前6个大写英文字母和1～9这9个阿拉伯数字，以A1，
A2，…，A9，B1，B2，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多
少种不同的号码？
提示：这里要完成的事情仍然是“给一个座位编
号”，但与前一问题的要求不同.在前一问题中，用
26个英文字母中的任意一个或10个阿拉伯数字中的
任意一个，都可以给出一个座位号码.但在这个问题
中，号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿
拉伯数字组成，即得到一个号码要经过先确定一个
英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样两个步骤.用
如图所示的方法可以列出所有可能的号码.也可以这样思考：由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有6×9＝54种不同的号码.
（2）你能说一说这个问题的特征吗？
提示：上述问题要完成的一件事情仍然是“给一个座位编号”，其中最重
要的特征是“和”字的出现：一个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯
数字构成.因此得到一个座位号要经过先确定一个英文字母，后确定一个
阿拉伯数字这两个步骤，每一个英文字母与不同的数字组成的号码是互不
相同的.
【知识梳理】
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不
同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法.
　　提醒：（1）分步乘法计数原理中每一步得到的只是其中某一步的结
果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，
只有各个步骤都完成了，才能完成这件事；（2）推广：完成一件事需要
分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方
法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝
m1×m2×…×mn种不同的方法.
m×n　
【例2】　（链接教材P4例2）从－2，－1，0，1，2，3这六个数字中任选
3个不重复的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，则可以
组成抛物线的条数为（　　）
A. 50 B. 100
C. 150 D. 200
解析： 由题意知a不能为0，故a的值有5种选法，b的值也有5种选
法，c的值有4种选法.由分步乘法计数原理得，可以组成抛物线的条数为
5×5×4＝100.
√
变式　（1）本例中若二次函数图象开口向下，则可以组成抛物线的条数
为多少？
解： 需分三步完成，第一步确定a有2种方法，第二步确定b有5种方
法，第三步确定c有4种方法，故可组成2×5×4＝40（条）抛物线.
（2）若从本例的六个数字中选2个作为椭圆 ＋ ＝1的参数m，n.则可
以组成椭圆的个数是多少？
解： 据条件知m＞0，n＞0，且m≠n，故需分两步完成，第一步确
定m，有3种方法，第二步确定n，有2种方法，故可以组成椭圆的个数为
3×2＝6.
【规律方法】
利用分步乘法计数原理的解题流程
训练2　（1）若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1
项，则不同的报名方式有（　D　）
A. 6种 B. 24种
C. 64种 D. 81种
解析： 每位学生都有3种选择，则4位学生的报名方式共有34＝81
（种）.故选D.
D
（2）在如图所示的电路（规定只能闭合其中2个开关）中，接通电源使灯
泡发光的方法有 种.
解析： 由题意可知，在该电路中，只有先闭合A组2个开关中的任
意1个，再闭合B组3个开关中的任意1个后，接通电源，灯泡才能发光.
因此要完成这件事，需要分两步，所以接通电源使灯泡发光的方法种
数为2×3＝6.
6
知识点三 两个计数原理的简单应用
03
PART
【例3】　（链接教材P5例3）现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅
不同的水彩画.
（1）从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？
解： 分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2
种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法.根据分类加法计数原
理，共有5＋2＋7＝14（种）不同的选法.
（2）从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的
选法？
解： 分为三步：国画、油画、水彩画各有5种，2种，7种不同的选
法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70（种）不同的选法.
（3）从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？
解： 分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步
乘法计数原理知，有5×2＝10（种）不同的选法；
第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35（种）不同的
选法；
第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14（种）不同的
选法.
所以共有10＋35＋14＝59（种）不同的选法.
【规律方法】
使用两个计数原理的原则
使用两个计数原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手.“分
类”是把较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决；“分
步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤，然后逐步解决.
训练3　集合A＝{1，2，－3}，B＝{－1，－2，3，4}.现从A，B中各取
一个元素作为点P（x，y）的坐标.
（1）可以得到多少个不同的点？
解： 一个点的坐标由x，y两个元素确定，若它们有一个不同，则表
示不同的点，可分为两类：
第一类：选A中的元素为x，B中的元素为y，有3×4＝12（个）不同的
点；
第二类：选A中的元素为y，B中的元素为x，有4×3＝12（个）不同的
点.
由分类加法计数原理得不同的点的个数为12＋12＝24.
（2）在这些点中，位于第一象限的有几个？
解： 第一象限内的点x，y必须为正数，从而只能取A，B中的正
数，同样可分为两类，类似于（1），得适合题意的不同点的个数为2×2
＋2×2＝8.
1. 从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车
发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同
走法数为（　　）
A. 3 B. 9
C. 24 D. 以上都不对
解析： 　根据分类加法计数原理可得，一天内乘坐这三种交通工具的不
同走法数为3＋4＋2＝9.
√
2. 已知A机器中有7个娃娃，B机器中有8个娃娃，且这15个娃娃互不相
同，某人从A，B机器中分别抓取1个娃娃，则此人抓取娃娃的不同情况共
有（　　）
A. 15种 B. 30种
C. 45种 D. 56种
解析： 　已知A机器中有7个娃娃，那么从A机器中抓取1个娃娃，就有7
种不同的情况.已知B机器中有8个娃娃，那么从B机器中抓取1个娃娃，就
有8种不同的情况.根据分步乘法计数原理，得到总的不同情况数为7×8＝
56（种）.故选D.
√
3. 现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其
中的1个讲座，不同选法的种数是（　　）
A. 56 B. 65
C. 30 D. 11
解析： 　第一名同学有5种选择方法，第二名有5种选择方法，…，第六
名同学有5种选择方法，综上，根据分步乘法计数原理，6名同学共有56种
不同的选法.
√
4. 如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有4条路；从甲地到丙地有
4条路，从丙地到丁地有2条路.则从甲地到丁地共有 条不同的路.
解析：如果由甲地经乙地到丁地，则有2×4＝8种不同的路线；如果由甲
地经丙地到丁地，则有4×2＝8种不同的路线.因此，从甲地到丁地共有8
＋8＝16种不同的路线.
16
课堂小结
1. 理清单
（1）分类加法计数原理；
（2）分步乘法计数原理；
（3）两个计数原理的简单应用.
2. 应体会
利用两个计数原理解决实际问题时，要注意分类讨论思想的应用.
3. 避易错
“分类”与“分步”不清，导致计数错误.
课时作业
04
PART
1. 音乐播放器里存有10首中文歌曲，8首英文歌曲，3首法文歌曲，任选一
首歌曲进行播放，不同的选法种数为（　　）
A. 21 B. 30
C. 160 D. 240
解析： 　依题意一共有10＋8＋3＝21种选法.
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√
2. 现有3名老师、8名男生和5名女生共16人.若需1名老师和1名学生参加评
选会议，则不同的选法种数为（　　）
A. 39 B. 24
C. 15 D. 16
解析： 　先从3名老师中任选1名，有3种选法，再从13名学生中任选1
名，有13种选法.由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为3×13＝39.
√
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3. 从集合{－1，0，1，2}中任取两个不同的数a，b组成复数a＋bi，其
中虚数有（　　）
A. 4个 B. 9个
C. 12个 D. 16个
解析： 　根据题意可知，若复数a＋bi表示虚数，则b≠0；第一步，从
{－1，1，2}中任取一个数作为b，共有3种选法；第二步，再从剩余的三
个数任取一个作为a，共有3种选法，因此共有3×3＝9种.故选B.
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4. 某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、跳远四项比
赛，如果每班每项限报1人，则这3名学生参赛的不同方法有（　　）
A. 24种 B. 48种
C. 64种 D. 81种
解析： 　由于每班每项限报1人，故当前面的学生报了某项之后，后面的
学生不能再报，由分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24种不同的参赛方
法.故选A.
√
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5. 某同学有4件不同颜色的衬衣、3件不同花样的半裙，另有2套不同样式
的连衣裙.参加学校活动需选择一套服装参加歌舞演出，则该同学不同的
穿衣服的方式有（　　）
A. 24种 B. 14种
C. 10种 D. 9种
解析： 　其穿衣方式分两类，第一类，不选连衣裙有4×3＝12（种）方
式，第二类，选连衣裙有2种方式，由分类加法计数原理知，共有12＋2＝
14（种）不同的穿衣服的方式.
√
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6. 〔多选〕设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2，3，3，4条，只从
一面上山，而从其他任意一面下山，不同的走法种数可能为（　　）
A. 20 B. 27 C. 32 D. 30
解析： 　东面上山的种数为2×（3＋3＋4）＝20，西面上山的种数为
3×（2＋3＋4）＝27，南面上山的种数为3×（2＋3＋4）＝27，北面上山
的种数为4×（2＋3＋3）＝32，故只从一面上山，而从其他任意一面下山
的走法种数可能为20，27，32.
√
√
√
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7. 某校高三教学大楼共有四层，每层均有两个楼梯，一学生由该楼第一层
走到第四层的方法共有 种（用数字作答）.
解析：学生由该楼第一层走到第四层共分为三步：即一层到二层，二层到
三层，三层到四层，∵每层均有两个楼梯，即每层都有2种走法，∴学生
由该楼第一层走到第四层的方法共有2×2×2＝23＝8种.
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8. 甲、乙、丙3个班各有3名、5名、2名三好学生，现准备推选2名来自不
同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有 种推选方法.
解析：分为三类：①甲班选1名，乙班选1名，根据分步乘法计数原理，有
3×5＝15（种）选法；②甲班选1名，丙班选1名，根据分步乘法计数原
理，有3×2＝6（种）选法；③乙班选1名，丙班选1名，根据分步乘法计
数原理，有5×2＝10（种）选法.综上，根据分类加法计数原理，共有15
＋6＋10＝31（种）推选方法.
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9. 现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营.
（1）若从中选1人作总负责人，共有多少种不同的选法？
解： 从高一选1人作总负责人有50种选法；
从高二选1人作总负责人有42种选法；
从高三选1人作总负责人有30种选法.
由分类加法计数原理，共有50＋42＋30＝122（种）选法.
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（2）若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？
解： 从高一选1名负责人有50种选法；
从高二选1名负责人有42种选法；
从高三选1名负责人有30种选法.
由分步乘法计数原理，可知共有50×42×30＝63 000（种）选法.
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（3）若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，
则有多少种选法？
解： ①高一和高二各选1人作为中心发言人，
有50×42＝2 100（种）选法；
②高二和高三各选1人作为中心发言人，
有42×30＝1 260（种）选法；
③高一和高三各选1人作为中心发言人，
有50×30＝1 500（种）选法.
故共有2 100＋1 260＋1 500＝4 860（种）选法.
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10. 〔多选〕如图，标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大
信息量，现从结点A向结点B传递消息，信息可以分开沿不同的路线同时
传递，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示他们有网线相连，则
单位时间内传递的信息量可以为（　　）
A. 18 B. 19
C. 24 D. 26
√
√
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解析： 　第一条线路单位时间内传递的最大信息量为3；第二条线路单
位时间内传递的最大信息量为4；第三条线路单位时间内传递的最大信息
量为6；第四条线路单位时间内传递的最大信息量为6.因此该段网线单位
时间内可以通过的最大信息量为3＋4＋6＋6＝19，故选A、B.
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11. 某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种，其中7人会钢
琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，则有 种不
同的选法.
解析：由题意可知，有1人既会钢琴又会小号（记为甲），只会钢琴的有6
人，只会小号的有2人.本题可分两类：第1类，甲入选，此时，只需从其
他8人中任选1人，故这类选法共有8种.第2类，甲不入选，此时，选法共
有6×2＝12（种）.因此共有8＋12＝20（种）不同的选法.
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12
12. 用1，2，3，4四个数字（可重复）排成三位数，并把这些三位数由小
到大排成一个数列{an}.
（1）写出这个数列的前11项；
解： 111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133.
（2）这个数列共有多少项？
解： 这个数列的项数就是用1，2，3，4排成的三位数的个数，每个
数位上都有4种排法，则共有4×4×4＝64（项）.
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12
（3）若an＝341，求n.
解： 比an＝341小的数有两类：
①
1 × ×
2 × ×
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
②
3 1 ×
3 2 ×
3 3 ×
共有2×4×4＋1×3×4＝44（项）.
所以n＝44＋1＝45.
1
2
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12
THANKS
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