6.2.1　排列 课件(共43张PPT)

(共43张PPT)
6.2.1　排列
1. 通过实例，理解排列的概念（数学抽象）.
2. 能应用排列知识解决简单的实际问题（数学建模、数学运算）.
课标要求
在上节课中我们看到，用分步乘法计数原理解决问题时，因做了一些重复
性工作而显得烦琐.能否对这类计数问题给出一种简捷的方法呢？
情境导入
知识点一 排列的有关概念
01
知识点二 画树状图写排列
02
知识点三 简单的排列问题
03
课时作业
04
目录
知识点一 排列的有关概念
01
PART
问题　（1）从3个不同的元素a，b，c中任意取出2个，并按一定的顺序
排成一列，共有多少种不同的排列方法？
提示：所有不同的排列是ab，ac，ba，bc，ca，cb，不同的排列方法种
数为3×2＝6.
（2）从4个不同的元素a，b，c，d中任意取出3个，并按照一定的顺序
排成一列，共有多少种不同的排列方法？
提示：所有不同的排列是
abc，abd，acb，acd，adb，adc，
bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，
cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，
dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.
不同的排列方法种数为4×3×2＝24.
（3）上述问题（1）（2）的共同特点是什么？
提示：问题（1）和问题（2）都是研究从一些不同元素中取出部分元素，
并按照一定的顺序排成一列的方法数.
【知识梳理】
定义：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，并按照
排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
　　提醒：排列定义中两层含义：一是“取出元素”，二是“按照一定的
顺序排成一列”.
一
定的顺序　
【例1】　判断下列问题是否为排列问题：
（1）北京、上海、天津3个民航站之间的直达航线的飞机票的价格（假设
往返的票价相同）；
解： 票价只有三种，虽然往返的机票是不同的，但票价是一样的，
不存在顺序问题，所以不是排列问题.
（2）选2个小组分别去植树和种菜；
解： 植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题.
（3）选2个小组去种菜；
（4）选10个人组成一个学习小组；
解：（3）（4）不存在顺序问题，不属于排列问题.
（5）选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员.
解： 每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存
在顺序问题，属于排列问题.
所以在上述问题中，（2）（5）是排列问题，（1）（3）（4）不是排列
问题.
【规律方法】
判断一个具体问题是否为排列问题的方法
训练1　从4个数字3，5，7，9中每次取出两个：①相减；②相乘；③相
除；④一个为被开方数，一个为根指数，其中为排列问题的是
（填序号）.
解析：从4个不同的数字中，每次取出两个相乘的时候，两个数字交换顺
序不影响运算结果，即与元素的顺序无关，所以②不是排列问题；相减，
相除，一个为被开方数、一个为根指数，进行上述三种操作，两个数字一
旦交换顺序，产生的结果就会不同，即与顺序有关.所以①③④属于排列
问题.
①③
④
知识点二 画树状图写排列
02
PART
【例2】　（1）从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成没有重复数字
的两位数，一共可以组成多少个？
解： 由题意作出树状图如图：
故组成的所有没有重复数字的两位数为12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，一共可以组成12个.
（2）在编号为1，2，3，4的四块土地上分别试种编号为1，2，3，4的四
个品种的小麦，但1号地不能种1号小麦，2号地不能种2号小麦，3号地不
能种3号小麦，一共有多少种不同的试种方案？
解： 画出树状图，如图所示，
由树状图可知，共有11种不同的试种方案.
【规律方法】
利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略
（1）适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种
比较有效的表示方式；
（2）策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素
为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，
直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列.
训练2　写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有
可能站法.
解：由题意作“树状图”，如图：
故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，
CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB.
知识点三 简单的排列问题
03
PART
【例3】　（链接教材P16例1、例2）用具体数字表示下列问题：
（1）从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数；
解：从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母，
其商共有100×99＝9 900（个）.
（2）由0，1，2，3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数；
解： 因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，
所以这个四位数的个位数字一定是“0”.
故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字.
因此共有3×2×1＝6（个）.
（3）有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每
名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方
案的个数.
解： 可以理解为从5家单位中选出4家单位，分别把4名大学生安排到
4家单位.
故共有5×4×3×2＝120（个）分配方案.
【规律方法】
解决简单的排列实际应用问题的策略
（1）首先明确要研究的元素是什么，有无顺序；
（2）在处理该问题时是需要分类完成还是分步完成.
训练3　（1）沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇
江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站（这六个大站之间）准备不
同的火车票的种数为（　B　）
A. 15 B. 30
C. 12 D. 36
解析： 对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票
不同，因为每张车票对应一个起点站和一个终点站，因此，每张火车票对
应从6个不同元素（大站）中取出2个不同元素（起点站和终点站）的一种
排列，故不同的火车票有6×5＝30（种）.
B
（2）已知某工艺品的加工需要先由普通技师完成粗加工，再由高级技师
完成精加工，其中粗加工要完成A，B，C，D四道工序且不分顺序，精
加工要完成E，F，G三道工序且E为F的前一道工序，则完成该工艺品
加工不同的方法有（　C　）
A. 144种 B. 96种
C. 48种 D. 112种
解析： 由题意可知，粗加工工序的排法种数为4×3×2×1＝24.将
E，F进行捆绑，且E为F的前一道工序，精加工工序的排法种数为2.由分
步乘法计数原理可知，完成该工艺品加工不同的方法有24×2＝48（种）.
故选C.
C
1. 〔多选〕下列问题是排列问题的是（　　）
A. 从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别参加数学和物理学习小组
B. 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动
C. 从a，b，c，d这4个字母中取出2个
D. 从1，2，3，4这4个数字中取出2个组成一个两位数
解析： A中，选出的2名参加数学和物理小组，与顺序有关，是排列
问题；D中，两位数与位置顺序有关，是排列问题；B和C中与顺序无关.
√
√
2. 李老师要给4个同学轮流进行心理辅导，每个同学1次，则轮流次序共有
（　　）
A. 6种 B. 12种
C. 24种 D. 48种
解析： 　从4个同学中任选1个同学有4种，再从剩下的3个同学中任选1个
同学有3种，再从剩下的2个同学中任选1个同学有2种，最后剩下1个同学.
按分步乘法计数原理，不同的选法有4×3×2×1＝24（种）.
√
3. 甲、乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排头的所有排列种数
为 .
解析：列“树状图”如图，故共有乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲4种
排列方法.
　　
4.12名选手参加校园歌手大赛，比赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，
每人最多获得一种奖项，共有 种不同的获奖情况.
解析：共有12×11×10＝1 320（种）不同的获奖情况.
4
解析：列“树状图”如图，故共有乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲4种
排列方法.
1 320　
课堂小结
1. 理清单
（1）排列的有关概念；
（2）画树状图写排列；
（3）简单的排列问题.
2. 应体会
对于排列问题要注意树状图法的应用.
3. 避易错
在一个排列中同一个元素不能重复出现.
课时作业
04
PART
1. 下列问题是排列问题的是（　　）
A. 10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次
B. 平面上有2 025个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构
成多少条线段
C. 集合{a1，a2，a3，…，an}的含有三个元素的子集有多少个
D. 从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、
独舞节目，有多少种选法
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
解析： A中握手次数的计算与次序无关，B中线段的条数计算与点的次
序无关，C中子集的个数与该集合中元素的次序无关，故这三个问题都不
是排列问题.D中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参
加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法，因此是排列
问题.故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2.3个学生在4本不同的参考书中各挑选1本，不同的选法种数为（　　）
A. 3 B. 24
C. 34 D. 43
解析： 　3个学生在4本不同的参考书中各挑选1本，相当于从4个不同元
素中选3个的排列，其选法种数为4×3×2＝24.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3. 四张卡片上分别标有数字“2”“0”“2”“6”，则由这四张卡片可组
成的不同的四位数的个数为（　　）
A. 6 B. 9
C. 12 D. 24
解析：B　组成的四位数列举如下：2026，2062，2206，2260，2602，
2620，6022，6202，6220，共9个.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4. 由1，2，3，4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的
四位数有（　　）
A. 9个 B. 12个
C. 15个 D. 18个
解析： 本题要求首位数字是1，且恰有三个相
同的数字，用树状图表示为：
由此可知共有12个.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5. 世界华商大会的某分会场有A，B，C三个展台，将甲，乙，丙，丁4名
双语志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲、乙两人被分
配到同一展台的不同分法的种数为（　　）
A. 12 B. 10
C. 8 D. 6
解析： 因为甲、乙两人被分配到同一展台，所以甲与乙捆在一起，看
成一个人，然后将3个人分到3个展台进行排列，即有3×2×1＝6（种），
所以甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数为6.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
6. 〔多选〕已知甲、乙等5人站一横排，则下列说法正确的是（　　）
A. 甲、乙站两端有14种站法
B. 甲、乙站两端有12种站法
C. 甲、乙不站两端有108种站法
D. 甲、乙不站两端有36种站法
解析： 　甲、乙两人站两端有2×3×2×1＝12（种）.甲、乙两人不站
两端分两步进行：第1步，甲、乙站中间3个位置中的2个位置有3×2＝6
（种）站法；第2步，其余3个人任意排列有3×2×1＝6（种），所以共有
6×6＝36（种）站法，D正确.故选B、D.
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7.2025北京车展期间，某调研机构准备从6人中选2人去调查E3馆、E4馆
的参观人数，则不同的安排方法种数为 .
解析：由题意可知，问题为从6个元素中选2个元素的排列问题，所以安排
方法有6×5＝30（种）.
30
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8. 某高三毕业班有40人，同学之间彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全
班共写了 条毕业留言（用数字作答）.
解析：根据题意，得40×39＝1 560，故全班共写了1 560条毕业留言.
1 560
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9. 有A，B，C，D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第
一，B不排第四，共有多少种不同的排列方法？试写出所有的排列.
解：因为A不排第一，排第一位的情
况有3类（可从B，C，D中任选一
人排），而此时兼顾分析B的排法，
列树状图如图.
所以符合题意的所有排列是BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，
BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，
DCBA，共14种.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
10. 将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相
同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（　　）
A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种
解析： 　先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有3×2×1＝6
（种）不同的排法；再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同
的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法，因此共有2×1×1＝2
（种）不同的排法.综上共有6×2＝12（种）不同的排法.故选A.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11. 在1，2，3，4的排列a1a2a3a4中，满足a1＞a2，a3＞a2，a3＞a4的排列
个数是 .
解析：首先注意a1位置的数比a2
位置的数大，可以借助树状图进
行筛选.满足a1＞a2的树状图是其中满足a3＞a2的树状图是再满足a3＞a4的排列有2143，3142，3241，4132，4231，共5个.
5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
12. 用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时：
（1）各位数字互不相同的三位数有多少个？
解： 三位数的每位上数字均为1，2，3，4，5，6之一.
第一步，得首位数字，有6种不同结果，
第二步，得十位数字，有5种不同结果，
第三步，得个位数字，有4种不同结果，
故可得各位数字互不相同的三位数有6×5×4＝120（个）.
（2）可以排出多少个不同的三位数？
解： 三位数，每位上数字均可从1，2，3，4，5，6六个数字中得一
个，共有这样的三位数6×6×6＝216（个）.
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THANKS
演示完毕 感谢观看