7.4.2　超几何分布 课件(共64张PPT)

(共64张PPT)
7.4.2　超几何分布
1. 通过具体实例，了解超几何分布及其均值（数学抽象）.
2. 能用超几何分布解决简单的实际问题（数学建模、数学运算）.
课标要求
某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行
作答，至少答对3个才能通过初试，已知在这8个试题中甲能答对6个.
　　如何求出甲通过自主招生初试的概率？若记甲答对试题的个数为X，
那么如何构建适当的概率模型刻画其分布？
情境导入
知识点一 超几何分布的概念
01
知识点二 超几何分布的概率及分布列
02
知识点三 超几何分布的均值
03
课时作业
04
目录
知识点一 超几何分布的概念
01
PART
问题1　（1）已知在10件产品中有4件次品，采取有放回的方式随机抽取3
件，设抽取的3件产品中次品数为X，试写出X的分布列.
提示：采用有放回抽样时X服从二项分布，即X～B（3，0.4），其分布
列为P（X＝k）＝ （0.4）k（1－0.4）3－k，k＝0，1，2，3.
（2）已知在10件产品中有4件次品，采取不放回的方式随机抽取3件，
设抽取的3件产品中次品数为X，X还服从二项分布吗？你能求P（X＝
2）吗？
提示：若采取不放回抽样时X不服从二项分布；“X＝2”，表示“取出的
3件产品中恰有2件次品”，这意味着，从4件次品中取出2件，再从6件正
品中取出1件，共有 种取法，故P（X＝2）＝ .
【知识梳理】
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽
取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
P（X＝k）＝ ，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，
M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何
分布.
　　提醒：超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③实
质是古典概型.
　
【例1】　下列问题中，哪些属于超几何分布问题，并说明理由：
（1）抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分
布列；
解：中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题.
（2）有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发
芽的种子的个数记为X，求X的分布列；
解： 中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题.
（4）某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动，
班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的分布列.
解：（3）（4）符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表
示抽取n件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布.
（3）盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红色的
球的个数记为X，求X的分布列；
【规律方法】
判断一个随机变量是否服从超几何分布的方法
（1）总体是否分为两类明确的对象；
（2）是否为不放回抽样；
（3）随机变量是否为样本中其中一类个体的个数.
训练1　〔多选〕下列随机变量中，服从超几何分布的有（　　）
A. 在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到
的次品数为X
B. 从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲
型彩电的台数
C. 一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的次数
为随机变量X
D. 从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X
√
√
√
解析： 　依据超几何分布模型定义可知，A、B、D中随机变量X服从
超几何分布.而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服
从超几何分布.
知识点二 超几何分布的概率及分布列
02
PART
【例2】　 （链接教材P79例6）一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小
球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1
个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球，记取得1号球的个数为随机变
量X，求随机变量X的分布列.
解：由题意知X＝0，1，2，3.
P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，
P（X＝2）＝ ＝ ，P（X＝3）＝ ＝ .
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
变式　（1）在本例条件下，若记取到白球的个数为随机变量η，求随机变
量η的分布列；
解： 由题意可知η＝0，1，服从两点分布.又P（η＝1）＝ ＝ ，所
以η的分布列为
η 0 1
P
法一　P（X＝0）＝ ＝ ，
P（X＝1）＝ ＝ ，
P（X＝2）＝ ＝ ，P（X＝3）＝ ＝ .
（2）将本例的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次，每
次抽取1个球”，其他条件不变，结果又如何？
解： 由题意知X＝0，1，2，3.
法二　根据X～B（ 3， ），由P（X＝k）＝ （ 1－ （ ）k求
出各式概率，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
【规律方法】
求超几何分布的概率的步骤
（1）验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；
（2）根据超几何分布的概率计算公式P（X＝k）＝ 计算出随机变
量取某一个值k时的概率.
训练2　从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动.
（1）求所选3人中恰有一名男生的概率；
解： 所选3人中恰有一名男生的概率
P＝ ＝ .
（2）求所选3人中男生人数X的分布列.
解： X的可能取值为0，1，2，3，且X服从超几何分布，
则P（X＝0）＝ ＝ ，
P（X＝1）＝ ＝ ，
P（X＝2）＝ ＝ ，
P（X＝3）＝ ＝ .
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
知识点三 超几何分布的均值
03
PART
问题2　若随机变量X服从超几何分布，那么X的均值是什么？
提示：设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的
N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p＝ ，则p是N
件产品的次品率，而 是抽取的n件产品的次品率，我们猜想E（ ）＝
p，即E（X）＝np.
实际上，令m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，由随机变量均值
的定义：当m＞0时，
E（X）＝ k ＝M .（1）
因为 ＝ ，
所以E（X）＝ ＝ ＝ ＝np.
当m＝0时，注意到（1）式中间求和的第一项为0，类似可以证明结论依
然成立.
【知识梳理】
设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产
品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p＝ ，则p是N件产品
的次品率，而 是抽取的n件产品的次品率，则E（X）＝ .
np　
【例3】　某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，
3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七
个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动
（每位同学被选到的可能性相同）.
（1）求选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率；
解： 设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A，则P
（A）＝ ＝ .
所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为 .
（2）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列及
均值.
解： 依据条件，随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝4，
n＝3，且随机变量X的可能取值为0，1，2，3.P（X＝k）＝ ，k
＝0，1，2，3.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以随机变量X的均值E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ （ 或E
（X）＝ ＝ ）.
【规律方法】
解决超几何分布问题的三个关键点
（1）超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围
及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不要机械地记忆；
（2）超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同
k值的概率P（X＝k），从而求出X的分布列；
（3）求与超几何分布有关的均值问题时，可利用均值公式，也可直接利
用E（X）＝ 求解.
训练3　端午节吃粽子是我国的传统习俗，一盘中有8个粽子，其中豆沙粽
2个，蜜枣粽6个，这两种粽子的外观完全相同，从中随机取出3个.
（1）求既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率；
解： 依题意，既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率为 ＝ .
（2）设X表示取到豆沙粽的个数，求随机变量X的分布列与均值.
解： X的可能取值为0，1，2，
则P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，P（X＝2）＝
＝ ，
所以X的分布列如下：
X 0 1 2
P
所以E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＝ .
1. 下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（　　）
A. 将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X
B. 从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次
品数为X
C. 某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X
D. 盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出
黑球时的总次数
√
解析： 　对于A：将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X，是二项分
布，A选项错误；对于B：从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放
回地任取3件，取得的次品数为X，是超几何分布，B选项正确；对于C：
某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X，是两
点分布，C选项错误；对于D：盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1
球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数，不是超几何分布，D选项错
误.故选B.
2. 在100张奖券中，有4张能中奖，从这100张奖券中任取2张，则2张都能
中奖的概率是（　　）
A. B.
C. D.
解析： 　记X为2张奖券中的中奖数，则P（X＝2）＝ ＝ .
√
3. 某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞
赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，则当X取 时，对应的
概率为 .
解析：由题意可知，X服从超几何分布，由概率值中的 可以看出“从5
名三好学生中选取了3名”.
3
4. （2025·连云港月考）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设
随机变量X表示所选3人中女生的人数，则X的均值E（X）＝ 　　1 　　.
解析：由题意，X的可能取值为0，1，2，P（X＝k）＝ ，k＝0，
1，2.X的分布列为
X 0 1 2
P
所以E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＝1.
1
课堂小结
1. 理清单
（1）超几何分布的概念；
（2）超几何分布的概率及分布列；
（3）超几何分布的均值.
2. 应体会
利用公式法求超几何分布的概率及分布列与均值.
3. 避易错
超几何分布的判断错误.
课时作业
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1. 国家提出“乡村振兴”战略，各地纷纷响应.某县有7个自然村，其中有
4个自然村根据自身特点推出乡村旅游，被评为“旅游示范村”.现要从该
县7个自然村里选出3个作宣传，则恰有2个村是“旅游示范村”的概率为
（　　）
A. B.
√
C. D.
解析： 　由题可得，恰有2个村是“旅游示范村”的概率为P＝ ＝
.故选B.
2. 从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A的
概率为（　　）
A. B.
C. 1－ D.
解析： 设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，则P（X≥3）＝P（X
＝3）＋P（X＝4）＝ ＋ .
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3. 一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球，至
少得到1个白球的概率是 .从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为
X，则P（X＝2）＝（　　）
A. B.
C. D.
解析： 　设袋中白球个数为x，由题意得1－ ＝ ，解得x＝5.X服从
超几何分布，其中P（X＝2）＝ ＝ .
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4. 现有语文、数学课本共7本（其中语文课本不少于2本），从中任取2
本，至多有1本语文课本的概率是 ，则语文课本有（　　）
A. 2本 B. 3本
C. 4本 D. 5本
解析： 　设语文课本有n（n≥2）本，则数学课本有（7－n）本，则从
中任取2本，2本都是语文课本的概率是 ＝ .所以n2－n－12＝0，解
得n＝4或n＝－3（舍去），所以n＝4.
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5. 《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，
阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在
左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10
个数中任取3个数，则这3个数中至多有1个阴数的概率为（　　）
A. B.
C. D.
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解析： 　由题意知，10个数中，1，3，5，7，9为阳数，2，4，6，8，10
为阴数，若任取的3个数中有0个阴数，则概率为 ＝ ；若任取的3个数
中有1个阴数，则概率为 ＝ ，故这3个数中至多有1个阴数的概率为P
＝ ＋ ＝ .故选A.
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6. 〔多选〕一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，
还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，下列变
量服从超几何分布的是（　　）
A. X表示取出的最大号码
B. X表示取出的最小号码
C. 取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得
分
D. X表示取出的黑球个数
√
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解析： 　选项A、B不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数
学模型计算概率，即A、B错；选项C、D符合超几何分布的定义，将黑球
视作次品，白球视作正品，则可以用超几何分布的数学模型计算概率，即
C、D正确.故选C、D.
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7. 〔多选〕某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道.
现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2道题才算合
格，则下列说法正确的是（　　）
A. 答对0道题和答对3道题的概率相同，都为
B. 答对1道题的概率为
C. 答对2道题的概率为
D. 合格的概率为
√
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解析： 　对于A，答对0道题的概率为P0＝ ＝ ，答对3道题的概率
为P3＝ ＝ ，故A错误；对于B，答对1道题的概率为P1＝ ＝ ，
故B错误；对于C，答对2道题的概率为P2＝ ＝ ，故C正确；对于D，
合格的概率为P＝ ＋ ＝ ，故D正确.
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8. 有10件产品，其中4件是次品，从中任取3件，若X表示取得次品的个
数，则E（2X＋1）＝ .
解析：由题意可得：X服从超几何分布，E（X）＝ ＝ .所以E（2X
＋1）＝2E（X）＋1＝ .

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9. 某学校有一个体育运动社团，该社团中篮球、足球都会的有2人，从该
社团中任取2人，设X为选出的人中篮球、足球都会的人数，若P（X＞
0）＝ ，则该社团的人数为 .
解析：设该社团的人数为n，∴P（X＝0）＝ ＝ .∵P
（X＝0）＝1－P（X＞0）＝ ，∴ ＝ ， 即（11n－18）
（n－7）＝0，又∵n∈N*，解得n＝7.
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10. 从5名女生和2名男生中任选3人参加英语演讲比赛，设随机变量ξ表示
所选3人中男生的人数.
（1）求ξ的分布列；
解： 由题知ξ的可能取值为0，1，2，
P（ξ＝0）＝ ＝ ，P（ξ＝1）＝ ＝ ，
P（ξ＝2）＝ ＝ ，
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
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（2）求ξ的均值和方差.
解： 由（1）可得E（ξ）＝0× ＋1× ＋2× ＝ ，
D（ξ）＝（0－ ）2× ＋（1－ ）2× ＋（2－ ）2× ＝ .
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11. 已知在10件产品中存在次品，从中抽取2件检查，其中次品数为ζ，已
知P（ζ＝1）＝ ，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品
率为（　　）
A. 10% B. 20% C. 30% D. 40%
解析： 　设10件产品中有x件次品，则P（ζ＝1）＝ ＝
＝ ，所以x＝2或x＝8.因为次品率不超过40%，所以x＝2，所以这10件
产品的次品率为 ＝20%.
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12. 〔多选〕盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以X表示取到白
球的个数，η表示取到黑球的个数，则下列说法中正确的是（　　）
A. E（X）＝ ，E（η）＝
B. E（X2）＝E（η）
C. E（η2）＝E（X）
D. D（X）＝D（η）＝
√
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解析： 　由题意可知X服从超几何分布，η也服从超几何分布.∴E
（X）＝ ＝ ，E（η）＝ ＝ .由题意知X的分布列为
X 0 1 2
P 110 35 310
∴E（X2）＝02× ＋12× ＋22× ＝ ，D（X）＝E（X2）－（E
（X））2＝ －（ ）2＝ .η的分布列为
η 1 2 3
P
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∴E（η2）＝12× ＋22× ＋32× ＝ ，D（η）＝E（η2）－（E
（η））2＝ －（ ）2＝ .∴E（X2）＝E（η），E（η2）≠E
（X），D（X）＝D（η）＝ .
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13. 把半圆弧分成4等份，以这些分点（包括直径的两端点）为顶点，作出
三角形，从中任取3个不同的三角形，则这3个不同的三角形中钝角三角形
的个数X不少于2的概率为 .

解析：如图所示，设AB为半圆弧的直径，C，D，E为
半圆弧另外的三个四等分点，从A，B，C，D，E这5
个点中任取3个点构成三角形，一共能组成三角形的个数
为 ＝10.其中直角三角形有：△ABC、△ABD、△ABE，共3个，钝角三角形的个数为10－3＝7，由题意可知X∈{0，1，2，3}，P（X＝2）＝ ＝ ，P（X＝3）＝ ＝ ，因此，所求概率为P＝ ＝ .
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14. 新高考模式下，数学试卷不分文理卷，学生想得高分比较困难.为了调
动学生学习数学的积极性，提高学生的学习成绩，张老师对自己的教学方
法进行改革，经过一学期的教学实验， 张老师所教的80名学生参加一次数
学测试，成绩都在[50，100]内，按区间分组为[50，60），[60，70），
[70，80），[80，90），[90，100]，绘制成如图所示的频率分布直方
图，规定不低于80分（百分制）为优秀.
（1）求这80名学生的平均成绩（同一区间的数
据用该区间中点值作代表）；
解： 80名学生的平均成绩为（55×0.01＋65×
0.03＋75×0.03＋85×0.025＋95×0.005）×10
＝73.5.
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（2）按优秀与非优秀用按比例分配的分层随机抽样方法随机抽取10名学
生座谈，再在这10名学生中，选3名学生发言，记优秀学生发言的人数为
随机变量X，求X的分布列和均值.
解： 根据频率分布直方图知，优秀学生对
应的频率为（0.025＋0.005）×10＝0.3，
则非优秀学员对应的频率为1－0.3＝0.7，
所以抽取的10名学生中，有优秀学生10×0.3＝
3（人），非优秀学生10×0.7＝7（人）.
则X所有可能的取值为0，1，2，3，
P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，
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P（X＝2）＝ ＝ ，P（X＝3）＝ ＝ .
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ .
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15. 根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验一
种新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：
若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则
认为该药无效.
（1）如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机
选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为X，求X的分布列及
均值；
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解： X的所有可能取值为0，1，2，
P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，P（X＝2）＝ ＝ ，
∴X的分布列为
X 0 1 2
P
E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＝1（或E（X）＝n× ＝2× ＝1）.
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（2）如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效
的概率p，并根据p的值解释该试验方案的合理性.
（参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件为小概率事件）
解： 新药无效的情况有10人中1人痊愈、10人中0人痊愈，
∴p＝ （ ）0×（ ）10＋ （ ）×（ ）9＝ ≈0.01＜0.05.
故实验方案合理.
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THANKS
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