7.5　正态分布 课件(共63张PPT)

(共63张PPT)
7.5　正态分布
1. 通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量（数学抽象）.
2. 通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征
（直观想象）.
3. 了解正态分布的均值、方差及其含义，并会用正态分布去解决实际问题
（数学建模、数学运算）.
课标要求
现实中，除了前面已经研究过的离散型随机变量外，还有大量问题中
的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，
但取一点的概率为0，对于这样的问题我们又如何用数学模型来刻画呢？
情境导入
知识点一 正态曲线及其特征
01
知识点二 利用正态分布的性质求概率
02
知识点三 正态分布的实际应用
03
课时作业
04
目录
知识点一 正态曲线及其特征
01
PART
问题　（1）下列随机变量是离散型随机变量吗？
①掷一枚骰子一次，用X表示所得点数；
②白炽灯的使用时间.
提示：①是，②不是.
（2）教材P74例2的高尔顿板试验中，随着重复次数的增加，频率分布
直方图的形状会越来越像一条钟形曲线，那么这条曲线是否存在函数
解析式呢？
提示：存在.
【知识梳理】
1. 正态曲线：若f（x）＝ ，x∈R，其中μ∈R，σ＞0为
参数，我们称f（x）为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称
正态曲线（如图）.
2. 正态分布
（1）若随机变量X的概率分布密度函数为f（x），则称随机变量X服从
正态分布，记为 .当μ＝ ，σ＝ 时，称随
机变量X服从标准正态分布；
（2）若X～N（μ，σ2），则E（X）＝ ，D（X）＝ .
X～N（μ，σ2）　
0　
1　
μ　
σ2　
3. 正态曲线的特点
（1）非负性：对 x∈R，f（x）＞0，它的图象在x轴的 ；
（2）定值性：曲线与x轴之间的面积为 ；
（3）对称性：曲线是单峰的，它关于直线 对称；
（4）最大值：曲线在 处达到峰值 ；
（5）当｜x｜无限增大时，曲线无限接近 轴.
上方　
1　
x＝μ　
x＝μ　
x　
　　提醒：（1）当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而
沿x轴平移，如图1；（2）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲
线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，
表示随机变量X的分布比较分散，如图2.
【例1】　（1）〔多选〕已知三个正态密度函数φi（x）＝
（x∈R，i＝1，2，3）的图象如图所示，则下列结论正
确的是（　AD　）
AD
A. σ1＝σ2
B. μ1＞μ3
C. μ1＝μ2
D. σ2＜σ3
解析： 根据正态曲线关于直线x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右
边，所以μ1＜μ2＝μ3，B、C错误；又σ越小数据越集中，图象越瘦高，
所以σ1＝σ2＜σ3，A、D正确.
（2）已知正态曲线的函数解析式为f（x）＝ （x∈R），
则μ＝ ，σ＝ .
解析： 将所给的函数解析式与正态分布密度函数的解析式对照可得
μ＝2，σ＝3.
2
3　
【规律方法】
1. 利用正态曲线的特点求参数μ，σ
（1）正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此特点结合图象
求出μ；
（2）正态曲线在x＝μ处达到峰值 ，由此特点结合图象可求出σ.
2. “σ”决定数据的集中程度的强弱，σ越大，数据集中程度越弱，正态曲
线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”，数据越集中.
训练1　（1）〔多选〕下列关于标准正态分布N（0，1）的概率密度函数
f（x）＝ · 的正确的描述是（　ABC　）
A. f（x）为偶函数
B. f（x）的最大值是
C. f（x）在（0，＋∞）上是单调递减
D. f（x）关于x＝1对称
ABC
解析： 由正态分布密度函数f（x）＝ · ，可得f（x）的图象
关于x＝0对称，所以f（x）为偶函数，所以A正确，D不正确；根据正态
分布曲线的性质得，当x＝0时，函数f（x）取得最大值f（0）＝ ·e0＝
，所以B正确；根据正态分布曲线的性质，可得f（x）在（－∞，0）
上单调递增，在（0，＋∞）单调递减，所以C正确.
（2）已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值
μ＝ ，方差σ2＝ .
解析： 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最
大值是 ，所以μ＝20， ＝ ，解得σ＝ ，因此总体的均值μ
＝20，方差σ2＝（ ）2＝2.
20
2
知识点二 利用正态分布的性质求概率
02
PART
【知识梳理】
1. 正态分布的几何意义：若X～N（μ，σ2），如图所示，X取值不超过
x的概率P（X≤x）为图中区域A的面积，而P（a≤X≤b）为区域B的
面积.
2. 服从于正态分布N（μ，σ2）的随机变量X在三个特殊区间内取值的
概率：
P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.682 7，
P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.954 5，
P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.997 3.
　　提醒：（1）尽管随机变量的取值范围是（－∞，＋∞），但在一次
试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以
外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可
能发生；（2）在实际应用中，通常认为服从于正态分布N（μ，σ2）的随
机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则.
【例2】　设ξ～N（1，22），试求：
（1）P（－1≤ξ≤3）；
解：∵ξ～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2.
（1）P（－1≤ξ≤3）＝P（1－2≤ξ≤1＋2）＝P（μ－σ≤ξ≤μ＋σ）
≈0.682 7.
（2）P（3≤ξ≤5）.
解： ∵P（3≤ξ≤5）＝P（－3≤ξ≤－1），
∴P（3≤ξ≤5）＝ [P（－3≤ξ≤5）－P（－1≤ξ≤3）]＝ [P（1－
4≤ξ≤1＋4）－P（1－2≤ξ≤1＋2）]
＝ [P（μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ）－P（μ－σ≤ξ≤μ＋σ）]≈ （0.954 5－
0.682 7）＝0.135 9.
变式　若本例条件不变，求P（ξ＞5）.
解：P（ξ＞5）＝P（ξ＜－3）＝ [1－P（－3≤ξ≤5）]
＝ [1－P（1－4≤ξ≤1＋4）]＝ [1－P（μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ）]≈ （1
－0.954 5）＝0.022 75.
【规律方法】
利用正态分布求概率的两个方法
（1）对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，
故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等.如：①P（X＜a）＝1－P
（X≥a）；②P（X＜μ－a）＝P（X＞μ＋a）.
（2）“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，
[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 7，0.954 5，0.997 3求解.
训练2　（1）随机变量X～N（8，σ2）.若P（7≤X≤9）＝0.4，则P
（X＞9）＝（　D　）
A. 0.6 B. 0.5
C. 0.4 D. 0.3
解析： ∵随机变量X～N（8，σ2），P（7≤X≤9）＝0.4，∴P
（X＞8）＝0.5，P（8≤X≤9）＝0.2，∴P（X＞9）＝0.3，故选D.
D
解析： P（1＜X＜3）＝P（3＜X＜5）＝0.5－P（X＞5）＝0.5－
0.2＝0.3.
（2）已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X＞5）＝0.2，
则P（1＜X＜3）＝（　C　）
A. 0.1 B. 0.2
C. 0.3 D. 0.4
C
知识点三 正态分布的实际应用
03
PART
【例3】　（链接教材P86例）有一种精密零件，其尺寸X（单位：mm）
服从正态分布N（20，4）.若这批零件共有5 000个，试求：
（1）这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比；
解：∵X～N（20，4），∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22，
于是尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比大约是68.27%.
（2）若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零
件大约有多少个？
解： ∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，
∴尺寸在24～26 mm间的零件所占的百分比大约是 ＝2.14%.
∴尺寸在24～26 mm间的零件大约有5 000×2.14%＝107（个）.
【规律方法】
求正态变量X在某区间内取值的概率的基本步骤
（1）根据题目中给出的条件确定μ与σ的值；
（2）将待求问题向[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋
3σ]这三个区间进行转化；
（3）利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面
积为1求出最后结果.
训练3　（1）某校高三学生的数学模考成绩X服从正态分布N（85，
102），按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩划分为优秀、良
好、合格和基本合格四个等级.若小张的数学成绩为92分，则他的等级是
（　B　）
A. 优秀 B. 良好
C. 合格 D. 基本合格
B
解析：　由题得μ＝85，σ＝10，所以μ＋σ＝95，μ－σ＝75，因为P（μ
－σ≤X≤μ＋σ）≈0.682 7，所以P（X＞95）≈ ＝0.158
65≈16%，根据比例成绩大于95分为优秀，因为P（85＜X≤95）≈
＝0.341 35≈34%，根据比例成绩在85到95之间的为良好，因为小张的数学
成绩为92分，则他的等级是良好.故选B.
（2）在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N（80，52），现
在已知该班同学中成绩在80～85分的有17人，该班成绩在90分以上的同学
有多少人？
解：∵成绩服从正态分布N（80，52），
∴μ＝80，σ＝5，则μ－σ＝75，μ＋σ＝85.
∴成绩在[75，85]内的同学占全班同学的68.27%，成绩在[80，85]内的同
学占全班同学的34.135%.
设该班有x名同学，则x×34.135%＝17，解得x≈50.
∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，
∴成绩在[70，90]内的同学占全班同学的95.45%，成绩在90分以上的同学
占全班同学的2.275%.
即有50×2.275%≈1（人），即成绩在90分以上的仅有1人.
1. 如果ξ～N（μ，σ2），且E（ξ）＝3，D（ξ）＝1，那么P
（2≤ξ≤4）的值约为（　　）
A. 0.5 B. 0.682 7
C. 0.954 5 D. 0.997 3
解析： 　∵ξ～N（μ，σ2），且E（ξ）＝3，D（ξ）＝1，∴ξ～N（3，
1），∴P（2≤ξ≤4）＝P（3－1≤ξ≤3＋1）＝P（μ－σ≤ξ≤μ＋σ）
≈0.682 7.
√
2. 某高中对高三年级的1 000名学生进行了一次数学测试，得到各同学的
数学成绩（满分150分）X近似服从正态分布N（120，100），则得分在区
间[130，140]内的学生大约有（参考数据：若X～N（μ，σ2），则P
（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.7，P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.96）（　　）
A. 324人 B. 90人
C. 130人 D. 45人
√
解析： 　由题意，μ＝120，σ＝10，则P（130≤x≤140）＝ ×[P（μ
－2σ≤X≤μ＋2σ）－P（μ－σ≤X≤μ＋σ）]＝ ×（0.96－0.7）＝
0.13，得分在区间[130，140]内的学生大约有1 000×0.13＝130（人）.故
选C.
3. 〔多选〕一次数学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态曲线如
图所示，下列说法中不正确的是（　　）
A. 甲科总体的标准差最小
B. 丙科总体的平均数最小
C. 乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大
D. 甲、乙、丙总体的平均数不相同
解析： 　由题图可知三科总体的平均数（均值）相等，由正态曲线的
性质，可知σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“瘦高”.
故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.
√
√
√
4. 设随机变量X～N（2，σ2），若P（X≤1－a）＋P（X≤1＋2a）＝
1，则实数a＝ .
解析：因为P（X≤1－a）＋P（X≤1＋2a）＝1，所以 ＝2，
所以a＝2.
2
课堂小结
1. 理清单
（1）正态曲线及其特征；
（2）利用正态分布的性质求概率；
（3）正态分布的实际应用.
2. 应体会
（1）利用数形结合思想研究正态曲线的性质；
（2）利用正态分布的性质求概率体现了转化与化归思想.
3. 避易错
概率区间转化不等价.
课时作业
04
PART
1. 已知随机变量X服从正态分布N（10，22），则D（3X－1）＝
（　　）
A. 6 B. 11 C. 12 D. 36
解析： 　因为随机变量X服从正态分布N（10，22），所以D（X）＝22
＝4，所以D（3X－1）＝32D（X）＝9×4＝36.
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√
2. 已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），P（X≤4）＝0.842，则P
（X≤2）＝（　　）
A. 0.842 B. 0.158
C. 0.421 D. 0.316
解析： 　P（X≥4）＝1－0.842＝0.158.因为μ＝3，所以P（X≤2）
＝P（X≥4）＝0.158.故选B.
√
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3. 如果正态总体的数据落在[－3，－1]内的概率和落在[3，5]内的概率相
等，那么这个正态总体的数学期望是（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
解析： 　∵随机变量X服从正态分布，X的取值落在区间[－3，－1]内的
概率和落在区间[3，5]内的概率是相等的，∴函数图象关于直线x＝
＝1对称，∴随机变量X的数学期望为1.
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4. 某中学抽取了1 600名同学进行身高调查，已知样本的身高（单位：
cm）服从正态分布N（170，σ2）.若身高在165 cm到175 cm的人数占样本
总数的 ，则样本中不高于165 cm的同学人数约为（　　）
A. 80 B. 160
C. 240 D. 320
解析： 　P（X≤165）＝ ×（ 1－ ）＝ ，则样本中不高于165 cm的
同学人数约为1 600× ＝160.
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5. 工厂质量监控小组从一批面粉中抽取n袋测量其重量，已知每袋面粉的
重量X（单位：千克）服从正态分布N（ 20， ），若P
（19.95≤X≤20.05）≥0.997 3，则n的最小值为（　　）
A. 120 B. 144
C. 150 D. 160
解析： 　由题意知当P（19.95≤X≤20.05）≥0.997 3时，[μ－3σ，μ
＋3σ] [19.95，20.05]，又μ＝20，σ＝ ，所以0.05≥3 ，解得
n≥144，所以n的最小值为144.故选B.
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6. 〔多选〕若随机变量X～N（μ，σ2），则（　　）
A. X的密度曲线与y轴的交点为（ 0， ）
B. X的密度曲线关于x＝σ对称
C. 2P（X＞μ＋3σ）＝P（｜X－μ｜＞3σ）
D. 若Y＝ ，则E（Y）＝0，D（Y）＝1
√
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解析： 　 若X～N（μ，σ2），则其密度函数f（x）＝
，因此X的密度曲线与y轴的交点为（ 0， ），
故A正确；X的密度曲线关于直线x＝μ对称，故B错误；P（｜X－μ｜
＞3σ）＝P（X＜μ－3σ）＋P（X＞μ＋3σ）＝2P（X＞μ＋3σ），故C
正确；E（Y）＝ ＝0，D（Y）＝ D（X）＝1，故D正确.故
选A、C、D.
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7. 〔多选〕甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N
（μ1， ），N（μ2， ），其正态密度函数f（x）＝
，x∈R的正态曲线如图所示，则下列说法正确的是
（　　）
A. 甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg
B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D. 乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99
√
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解析： 　由图象可知甲图象关于直线x＝0.4对称，乙图象关于直线x
＝0.8对称，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，μ1＜μ2，故A、C正确；因为甲图
象比乙图象更“瘦高”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于
平均值左右，故B正确；因为乙图象的最大值为1.99，即 ＝1.99，
σ2≠1.99，故D错误.
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8. 某城市每年6月份的平均气温t近似服从N（28，σ2），若P
（28≤t≤32）＝0.2，则可估计该城市6月份平均气温低于24 ℃的天数
为 .
解析：因为每年6月份的平均气温t近似服从N（28，σ2），所以μ＝28，
因为P（28≤t≤32）＝0.2，所以P（24≤t≤28）＝0.2，所以P（t＜
24）＝0.5－0.2＝0.3，所以该城市6月份平均气温低于24 ℃的天数为
0.3×30＝9.
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9. 已知随机变量ξ～N（3，σ2），且 ＝ ，则P（3＜ξ＜5）
＝ .
解析：由题意知μ＝3，故P（ξ＜1）＝P（ξ＞5），又 ＝ ，所
以 ＝ .又P（ξ＜5）＋P（ξ＞5）＝1，所以P（ξ＞5）＝0.2，
故P（3＜ξ＜5）＝P（ξ＞3）－P（ξ≥5）＝0.5－0.2＝0.3.
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10. 设X～N（3，42），试求：
（1）P（－1≤X≤7）；
（1）P（－1≤X≤7）＝P（3－4≤X≤3＋4）＝P（μ－σ≤X≤μ＋
σ）≈0.682 7.
（2）P（X＞11）.
解：∵X～N（3，42），∴μ＝3，σ＝4.
解： ∵P（X＞11）＝P（X＜－5）.
∴P（X＞11）＝ [1－P（－5≤X≤11）]＝ [1－P（3－8≤X≤3＋8）]
＝ [1－P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）]≈ ×（1－0.954 5）＝0.022 75.
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11. 对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最
后结果.已知最后结果的误差εn～N（ 0， ），为使误差εn在（－
0.5，0.5）的概率不小于0.954 5，至少要测量（若X～N（μ，σ2），则
P（｜X－μ｜＜2σ）＝0.954 5）（　　）
A. 30次 B. 31次 C. 32次 D. 33次
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解析： 　因为P（｜X－μ｜＜2σ）＝0.954 5，又因为μ＝0，σ2＝ ，
所以P（－2σ＜X＜2σ）＝0.954 5，所以2σ≤0.5，即σ≤ ，又因为σ＝
，所以 ≤ ，解得n≥32.
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12. 〔多选〕小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐
公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分
钟，样本方差为36；骑自行车平均用时34分钟，样本方差为4，假设坐公
交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则（　　）
A. P（X≤30）＜P（Y≤34）
B. P（X≤36）＝P（Y≤36）
C. 若某天只有34分钟可用，小明应选择骑自行车
D. 若某天只有38分钟可用，小明应选择骑自行车
√
√
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解析： 　由题意：X～N（30，36），Y～N（34，4）.对于A，因为
P（X≤30）＝ ，P（Y≤34）＝ ，所以P（X≤30）＝P（Y≤34），
故A错误；对于B，因为P（X≤36）＝P（X≤30＋6）＝P（X≤μ1＋
σ1），P（Y≤36）＝P（Y≤34＋2）＝P（Y≤μ2＋σ2），所以P
（X≤36）＝P（Y≤36），故B正确；对于C，因为P（X≤34）＞P
（X≤30）＝ ，P（Y≤34）＝ ，所以P（X≤34）＞P（Y≤34），所
以只有34分钟可用，小明应选择坐公交，故C错误；对于D，因为P
（X≤38）＝P（X≤30＋8）＜P（X≤μ1＋2σ1），P（Y≤38）＝P
（Y≤34＋4）＝P（Y≤μ2＋2σ2），所以P（X≤38）＜P（Y≤38），
所以只有38分钟可用，小明应选择骑自行车，故D正确.故选B、D.
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13. 某工厂生产了10 000根钢管，其钢管内径（单位：mm）近似服从正态
分布N（20，σ2）（σ＞0），工作人员通过抽样的方式统计出，钢管内径
高于20.05 mm的占钢管总数的 ，则这批钢管中，内径在19.95 mm到20
mm之间的钢管数约为 .
解析：∵P（X＜19.95）＝P（X＞20.05）＝ ，∴P
（19.95≤X≤20.05）＝1－ ＝ ，∴P（19.95≤X≤20）＝ ＝ ，
故这批钢管内径在19.95 mm到20 mm之间的钢管数约为10 000× ＝
4 800.
4 800
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14. 已知某军区新兵50 m步枪射击个人平均成绩X（单位：环）服从正态
分布N（μ，σ2），从中随机抽取100名新兵的个人平均成绩，得到如下的
频数分布表：
X 4 5 6 7 8 9
频数 1 2 26 40 29 2
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（1）求μ和σ2的值（用样本的均值和方差代替总体的均值和方差）；
解： 由题意，得随机抽取的100名新兵的个人平均成绩的分布列为
（用频率估计概率）：
X 4 5 6 7 8 9
P 0.01 0.02 0.26 0.40 0.29 0.02
均值E（X）＝4×0.01＋5×0.02＋6×0.26＋7×0.40＋8×0.29＋
9×0.02＝7，
方差D（X）＝（4－7）2×0.01＋（5－7）2×0.02＋（6－7）2×0.26＋
（7－7）2×0.40＋（8－7）2×0.29＋（9－7）2×0.02＝0.8.
用样本的均值和方差代替总体的均值和方差，得μ＝7，σ2＝0.8.
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（2）从这个军区随机抽取1名新兵，求此新兵的50 m步枪射击个人平均成
绩在区间（7.9，8.8]的概率.
参考数据： ≈0.9.
解： 由（1）知X～N（7，0.8），因为 ≈0.9，
所以σ≈0.9，
因为P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.682 7，
P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.954 5，
所以P（7.9＜X≤8.8）＝ ×[P（5.2≤X≤8.8）－P
（6.1≤X≤7.9）]≈ ×（0.954 5－0.682 7）＝0.135 9，
即从这个军区随机抽取1名新兵，此新兵的50 m步枪射击个人平均成绩在
区间（7.9，8.8]的概率约为0.135 9.
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15. 已知从某批材料中任取一件，取得的这件材料的强度X服从N（200，
182）.
（1）计算取得的这件材料的强度不低于182的概率；
解： X～N（μ，σ2），其中μ＝200，σ＝18，
而182＝200－18＝μ－σ，218＝200＋18＝μ＋σ，
∴P（182≤X≤218）≈0.682 7.
又∵1＝P（X＜182）＋P（182≤X≤218）＋P（X＞218），
由正态曲线的对称性可知P（X＜182）＝P（X＞218），
∴P（X＜182）≈ ×（1－0.682 7）≈0.158 7.∴P（X≥182）＝1－P
（X＜182）≈1－0.158 7＝0.841 3.
故所求的概率为0.841 3.
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（2）如果所用的材料需以95%的概率保证强度不低于164，问这批材料是
否符合这个要求？（精确到0.000 1）
解： 由（1）知164＝μ－2σ，236＝μ＋2σ，
∴P（164≤X≤236）≈0.954 5.
又由正态曲线的对称性可知P（X＜164）＝P（X＞236），且P（X＜
164）＋P（164≤X≤236）＋P（X＞236）＝1，
∴P（X＜164）≈ ×（1－0.954 5）≈0.022 8，
∴P（X≥164）≈1－P（X＜164）＝0.977 2＞0.95.
故这批材料符合这个要求.
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演示完毕 感谢观看