培优课　二项分布与超几何分布的综合应用 能力提升 课件(共42张PPT)

(共42张PPT)
培优课　二项分布与超几何分布的综合应用 能力提升
1.了解二项分布与超几何分布的区别与联系（数学抽象）.
2.掌握二项分布的综合应用（数学建模、数学运算）.
3.掌握超几何分布的综合应用（数学建模、数学运算）.
重点解读
一、二项分布与超几何分布的辨析
【例1】　甲、乙两人去某公司应聘面试.该公司的面试方案为：应聘者从
6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛
选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘
者乙每题正确完成的概率都是 ，且每题正确完成与否互不影响.
（1）求甲正确完成面试题目数的分布列、均值与方差；
解： 设X为甲正确完成面试题目的数量，
由题意可得X服从超几何分布，且N＝6，M＝4，n＝3，
∴P（X＝1）＝ ＝ ，
P（X＝2）＝ ＝ ，
P（X＝3）＝ ＝ ，
∴X的分布列为
X 1 2 3
P
∴E（X）＝1× ＋2× ＋3× ＝2.
D（X）＝（1－2）2× ＋（2－2）2× ＋（3－2）2× ＝ .
（2）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？
解： 设学生乙答对的题目数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，
2，3，
由题意知Y～B（3， ），
因此E（Y）＝3× ＝2，
D（Y）＝np（1－p）＝3× × ＝ ，
又E（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y），
∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的可能性较大.
【规律方法】
二项分布与超几何分布的区别与联系
区别 （1）二项分布不需要知道总体容量，超几何分布需要；
（2）二项分布是 “有放回”抽取（独立重复），超几何分布
是“不放回”抽取
联系 在n次不放回试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很
小，那么此时超几何分布可以近似为二项分布
训练1　某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该
流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量（单位：克），质量的分组
区间为[490，495），[495，500），…，[510，515]，由此得到样本的频
率分布直方图如图.
（1）根据频率分布直方图，求这40件产品中质
量不低于505克的产品数；
解： 质量不低于505克的产品的频率为
5×0.05＋5×0.01＝0.3，
∴质量不低于505克的产品数为40×0.3＝12.
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量不低于505克的产品
数，求X的分布列和均值；
解： 质量不低于505克的产品数为12，则质量低于505克的产品数为
28，X的可能取值为0，1，2，X服从超几何分布.
P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，P（X＝2）＝ ＝
，∴X的分布列为
X 0 1 2
P
∴X的均值为
法一　E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＝ .
法二　E（X）＝ ＝ .
（3）从该流水线上任取2件产品，设Y为质量不低于505克的产品数，求Y
的分布列和均值.
解： 根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量不低于
505克的概率为 ＝ .
质量不低于505克的件数Y的可能取值为0，1，2，且Y～B（ 2， ），
P（Y＝k）＝ ×（ ）k×（ 1－ ）2－k，k＝0，1，2，
∴P（Y＝0）＝ ×（ ）2＝ ，
P（Y＝1）＝ × × ＝ ，
P（Y＝2）＝ ×（ ）2＝ .
∴Y的分布列为
Y 0 1 2
P
∴Y的均值为
法一　E（Y）＝0× ＋1× ＋2× ＝ .
法二　E（Y）＝2× ＝ .
二、二项分布的综合应用
【例2】　如果X～B ，那么当P（X＝k）取得最大值时，k
＝ .
6或7
解析：由题意知，X服从二项分布，所以P（X＝k）＝ × ×
＝ × × ，P（X＝k－1）＝ ×
× ，k∈N且k≤20.由不等式 ≤1，即 ≤1，解
得k≤7.所以当k≤7时，P（X＝k）≥P（X＝k－1）；当k＞7时，P
（X＝k－1）＞P（X＝k）.因为当k＝7时，P（X＝k－1）＝P（X＝
k）.所以k＝6或k＝7时，P（X＝k）取得最大值.
【规律方法】
二项分布概率最大问题的求解思路
如果X～B（n，p），其中0＜p＜1，求P（X＝k）最大值对应的k值，
一般是考查 与1的大小关系.因为 ＝
＝1＋ （1≤k≤n），所以要使P（X＝k）≥P（X＝k－
1），则k≤（n＋1）p.故有：
（1）若（n＋1）p＞n，则k＝n时，P（X＝k）取得最大值；
（2）若（n＋1）p是不超过n的正整数，则当k＝（n＋1）p－1和k＝
（n＋1）p时，P（X＝k）取得最大值；
（3）若（n＋1）p是不超过n的非整数，则当k＝[（n＋1）p]（注：
[（n＋1）p]表示不超过（n＋1）p的最大整数）时，P（X＝k）取得
最大值.
　　提醒：还可考虑用不等式组 求解.
训练2　某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态
并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方.为了解某市盲拧魔方爱好者
的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者
进行调查，得到的情况如表所示：
用时/秒 [5，10] （10，15] （15，20] （20，25]
男性人数 15 22 14 9
女性人数 5 11 17 7
以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔
方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒
相互独立.若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进
行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是多少？
解：根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为 ＝ ，
设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为ξ，则ξ～B
（20， ），
其中P（ξ＝k）＝ （ ）k（ ）20－k，k＝0，1，2，…，20，
当k≥1时，由
得
化简得 解得 ≤k≤ ，
又k∈Z，所以k＝4，
所以这20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是4.
三、超几何分布的综合应用
【例3】　幸福农场生产的某批次的20件产品中含有n（3≤n≤13）件次
品，从中一次任取10件，其中次品恰有X件.
（1）若n＝3，求取出的产品中次品不超过1件的概率；
解： 记“取出的产品中次品不超过1件”为事件A，则P（A）＝P
（X＝0）＋P（X＝1）.
因为P（X＝0）＝ ＝ ，
P（X＝1）＝ ＝ ，
所以P（A）＝ ＋ ＝ .
则取出的产品中次品不超过1件的概率是 .
（2）记f（n）＝P（X＝3），则当n为何值时，f（n）取得最大值.
解： 因为f（n）＝P（X＝3）＝ ，
则f（n＋1）＝ .
由 ＝ ＝ ＞1，
解得n＜ .
因为n∈N*，则n≤5，
故当3≤n≤5时， ＞1；
当6≤n≤13时， ＜1，
所以当n＝6时，f（n）取得最大值.
【规律方法】
超几何分布概率最值问题一般转化为 与1的大小关系求解.
训练3　一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中随机抽取n
（n∈N）件，若用X表示所抽取的n件产品中不合格品的件数，则使X＝
1的概率取得最大值时，n＝ .
解析：由题意可得P（X＝1）＝ ＝ ＝
，1≤n≤98，且n∈N，记函数f（x）＝x（x－99）
（x－100），1≤x≤98， 则由f'（x）＝3x2－398x＋9 900＝0，解得x1＝
≈33.17，x2＝ ≈99.50（舍去），所以当1≤x＜x1，f'
（x）＞0，f（x）单调递增；当x1≤x≤98，f'（x）＜0，f（x）单调递
减.因为f（33）－f（34）＝33×66×67－34×65×66＝66＞0，所以当n
＝33时，X＝1的概率取得最大值.
33
1. 〔多选〕在一个袋中装有大小相同的4个黑球，6个白球，现从中任取3
个小球，设取出的3个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是
（　　）
A. 随机变量X服从超几何分布
B. 随机变量X服从二项分布
C. P（X＝2）＝
D. E（X）＝
√
√
√
解析： 　由题意知，随机变量X服从超几何分布，且N＝10，M＝
6，n＝3，故A正确，B错误；P（X＝2）＝ ＝ ，故C正确；E
（X）＝n· ＝3× ＝ ，故D正确.
2.50张彩票中只有2张中奖票，从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有
一张中奖的概率大于0.5，则n至少为 .
解析：用X表示中奖票数，P（X≥1）＝ ＋ ＞0.5（ 或P
（X≥1）＝ ＞0.5），化简得n2－99n＋25×49＜0，解得
＜n＜ ，故n至少为15.
15
3. 如果某品种幼苗每株成活的概率为0.74，且每株幼苗是否成活相互独
立，那么种植10株这种幼苗，最有可能成活几株幼苗？
解：假设最有可能成活幼苗的数量为k（k∈N且k≤10），则
×0.74k×0.2610－k≥ ×0.74k＋1×0.269－k且 ×0.74k×0.2610－
k≥ ×0.74k－1×0.2611－k，
解得 ≤k≤ ，又k∈N，所以k＝8.故最有可能成活8株幼苗.
课堂小结
1. 理清单
（1）二项分布与超几何分布的区别与联系；
（2）二项分布的综合应用；
（3）超几何分布的综合应用.
2. 应体会
求与二项分布与超几何分布有关的最值问题时要注意函数与方程思想
的应用.
3. 避易错
超几何分布与二项分布混淆，前者是不放回抽样，后者是有放回抽样.
课时作业
1. 若X～B（10，0.5），则当P（X＝k）取得最大值时，k＝（　　）
A. 4或5 B. 5或6
C. 10 D. 5
解析： 因为X～B（10，0.5），所以P（X＝k）＝ ×0.5k×0.510
－k＝ ×0.510，由组合数的性质可知，当k＝5时， 取得最大值，即
当P（X＝k）取得最大值时，k＝5.
√
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3
4
5
6
2. 〔多选〕某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数
量相同的一批产品，已知在两人抽取的产品中均有5件次品，员工A从自己
抽取的产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从自己抽取的产品中无放
回地随机抽取3件产品.设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B
抽取到的3件产品中次品数量为Y，k＝0，1，2，3.则下列判断正确的是
（　　）
A. 随机变量X服从二项分布
B. 随机变量Y服从超几何分布
C. P（X＝k）＜P（Y＝k）
D. E（X）＝E（Y）
√
√
√
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解析： 　由超几何分布和二项分布的概念，A、B正确；对于D，设该
批产品有M件，则E（X）＝3· ＝ ，E（Y）＝ ＝
＝ ＝ ，因此D正确；对于C，若C正确，可得
E（X）＜E（Y），则D错误，矛盾，故C错误.
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3. 随着现代科技的不断发展，手机支付应用越来越广泛，其中某群体的每
位成员使用手机支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立.设X为该
群体的10位成员中使用手机支付的人数，已知方差D（X）＝2.4，且P
（X＝4）＞P（X＝6），试求均值E（X）的值.
解：依题意，知X～B（10，p），
且D（X）＝10p（1－p）＝2.4，即p2－p＋0.24＝0，
解得p＝0.6或p＝0.4.
又P（X＝4）＞P（X＝6），所以 p4·（1－p）10－4＞ p6（1－p）
10－6，
所以（1－p）2＞p2，又0＜p＜1，则0＜p＜0.5，
所以p＝0.4，所以E（X）＝10p＝10×0.4＝4.
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4. 2025年新春伊始，某企业举行“猜灯谜，闹元宵”趣味竞赛活动，每个
员工从8道谜语中一次性抽出4道作答.小张有6道谜语能猜中，2道不能猜
中；小王每道谜语能猜中的概率均为p（0＜p＜1），且猜中每道谜语与
否互不影响.
（1）分别求小张，小王猜中谜语道数的分布列；
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解： 设小张猜中谜语的道数为X，可知随机变量X服从超几何分布，
X的取值分别为2，3，4.有P（X＝2）＝ ＝ ＝ ，P（X＝3）＝
＝ ＝ ，P（X＝4）＝ ＝ ＝ ，
故小张猜中谜语道数的分布列为
X 2 3 4
P
X
2
3
4
P



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设小王猜中谜语的道数为Y，可知随机变量Y服从二项分布Y～B（4，
p），Y的取值分别为0，1，2，3，4，
有P（Y＝0）＝（1－p）4，
P（Y＝1）＝ （1－p）3p＝4p（1－p）3，
P（Y＝2）＝ （1－p）2p2＝6p2（1－p）2，
P（Y＝3）＝ （1－p）p3＝4p3（1－p），
P（Y＝4）＝p4.
故小王猜中谜语道数的分布列为
Y 0 1 2 3 4
P （1－p）4 4p（1－p）3 6p2（1－p）2 4p3（1－p） p
4
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（2）若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，求p的取
值范围.
解：由（1）可知E（X）＝2× ＋3× ＋4× ＝3，E（Y）＝4p，
若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，则3＞4p，可得0＜
p＜ .
故p的取值范围为（0， ）.
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5. 在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信
号n次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号1的次数为X.
（1）当n＝6时，求P（X≤2）；
解： 由已知X～B（6， ），所以P（X≤2）＝P（X＝0）＋P
（X＝1）＋P（X＝2）
＝ （ ）6＋ ·（ ）5＋ （ ）2·（ ）4＝ ＋ ＋ ＝ .
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（2）已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量Y，若其数学期望E（Y）
和方差D（Y）均存在，则对任意正实数a，有P（｜Y－E（Y）｜＜
a）≥1－ .根据该不等式可以对事件“｜Y－E（Y）｜＜a”的概
率作出下限估计.为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与
0.6之间，试估计信号发射次数n的最小值.
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解： 由已知X～B（n，0.5），所以E（X）＝0.5n，D（X）＝
0.25n，
若0.4≤ ≤0.6，则0.4n≤X≤0.6n，即－0.1n≤X－0.5n≤0.1n，
即｜X－0.5n｜≤0.1n.
由切比雪夫不等式知P（｜X－0.5n｜≤0.1n）≥1－ ，
要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，则1－
≥0.98，
解得n≥1 250，所以估计信号发射次数n的最小值为1 250.
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6. 某人准备应聘甲、乙两家公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：
应聘者先进行三项专业技能测试，专业技能测试通过后进入面试.已知该
应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为 ；该应聘者应聘
乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为 ， ，m，其中0＜m＜1，
技能测试是否通过相互独立.
（1）若m＝ ，求该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项的
概率；
解： 记“该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项”为
事件A，
由题设P（A）＝ × × × ＋ × × ＝ .
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（2）已知甲、乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应聘者只能应聘其
中一家，应聘者以专业技能测试通过项目数的数学期望为决策依据，若该
应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，求m的取值范围.
解： 分别记“该应聘者应聘甲、乙公司三项专业技能测试中通过的
项目数为ξ，η”，
由题设知：ξ～B（3， ），所以E（ξ）＝3× ＝2，
η的所有可能取值为0，1，2，3，
P（η＝0）＝ × ×（1－m）＝ ，
P（η＝1）＝ × ×（1－m）＋ × ×（1－m）＋ × ×m＝ ，
P（η＝2）＝ × ×（1－m）＋ × ×m＋ × ×m＝ ，
P（η＝3）＝ × ×m＝ ＝ ，
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η 0 1 2 3
P
从而E（η）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ ，
由 得 解得 ＜m＜1.
故m的取值范围为（ ，1）.
故η的分布列为
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THANKS
演示完毕 感谢观看