7.1.1第一课时　条件概率的概念与计算

(共61张PPT)
第一课时　条件概率的概念与计算
1. 结合古典概型，了解条件概率的概念（数学抽象、数学运算）.
2. 能计算简单随机事件的条件概率（数学抽象、数学运算）.
课标要求
金融界的人经常需要计算不同投资环境下获利的概率，因此金融投资公司在招聘新员工时，通常会考查应聘人员计算概率的能力.以下是某金融投资公司的一道笔试题，你会做吗？
　　从生物学中我们知道，生男、生女的概率基本是相等的，都可以近似地认为是1/2 .如果某个家庭中先后生了两个小孩：
　　（1）当已知较大的小孩是女孩的条件下，较小的小孩是男孩的概率为多少？
　　（2）当已知两个小孩中有女孩的条件下，两个小孩中有男孩的概率为多少？
情境导入
知识点一 条件概率的概念
01
知识点二 随机事件的条件概率
02
知识点三 事件的独立性与条件概率
03
课时作业
04
目录
知识点一 条件概率的概念
01
PART
问题1　抛掷一枚质地均匀的硬币两次，其试验结果的样本点组成样本空
间Ω＝{正正，正反，反正，反反}.
（1）两次都是正面向上的事件记为B，P（B）是多少？
提示：B＝{正正}，故P（B）＝ .
（2）在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是
多少？
提示：将第一次出现正面向上的事件记为A，则A＝{正正，正反}，那
么，在A发生的条件下，B发生的概率为 .
（3）以上两个事件的概率一样吗？为什么？
提示：不一样，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率相当于以A为
样本空间，积事件AB发生的概率，两者的样本空间发生了变化，其概率
是不一样的.

　
　　提醒：（1）P（B｜A）与P（A｜B）意义不同，由条件概率的定
义可知P（B｜A）表示在事件A已经发生的条件下事件B发生的条件概
率；而P（A｜B）表示在事件B已经发生的条件下事件A发生的条件概
率；（2）P（B｜A）与P（AB），P（A）三者互不相同，P（B｜
A）是在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率，P（AB）表示事
件A与B同时发生的概率，P（A）是事件A的概率，P（B｜A）与P
（B）不一定相等.
【例1】　判断下列几种概率哪些是条件概率？
（1）某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动
会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，求高一的女生获
得冠军的概率；
解： 由于求高一的女生获得冠军的概率是在一名女生获得冠军的条
件下求出的概率，所以所求概率是条件概率.
（2）掷一个骰子，求掷出的点数为3的概率；
解： 掷一个骰子出现有1，2，3，4，5，6的6个不同结果，求掷
出的点数为3的概率是古典概型概率，所以掷出的点数为3的概率不是
条件概率.
（3）在一副扑克的52张（去掉两张王牌后）中任取1张，已知抽到梅花的
条件下，抽到的是梅花5的概率.
解： 由于求抽到梅花5的概率是在抽到梅花的条件下求出的概率，所
以求抽到的是梅花5的概率是条件概率.
【规律方法】
条件概率概念的理解
判断是不是条件概率主要看一个事件的发生是否是在另一个事件发生的条
件下进行的.
训练1　下面几种概率是条件概率的是（　B　）
A. 甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，各投篮一次都投中的概率
B. 甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，在甲投中的条件下乙投中的概
率
C. 有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的
概率
解析：　由条件概率的定义知B选项中的概率为条件概率，A、C、D中的
不是条件概率.故选B.
B
知识点二 随机事件的条件概率
02
PART
【例2】　（链接教材P46例1）现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈
节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
（1）第1次抽到舞蹈节目的概率；
解：设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到舞蹈节目”为事件
B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.
（1）从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的样本点数n（Ω）＝ ＝
30，
由分步乘法计数原理，n（A）＝ ＝20，
所以P（A）＝ ＝ ＝ .
（2）第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
解： 因为n（AB）＝ ＝12，
所以P（AB）＝ ＝ ＝ .
（3）在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.
解： 法一　由（1）（2），得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2
次抽到舞蹈节目的概率P（B｜A）＝ ＝ ＝ .
法二　因为n（AB）＝12，n（A）＝20，
所以P（B｜A）＝ ＝ ＝ .
变式　本例条件不变，试求在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语
言类节目的概率.
解：设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到语言类节目”为事
件C，则第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目为事件AC.
法一　易知P（A）＝ ，P（AC）＝ ＝ ＝ ，
∴P（C｜A）＝ ＝ .
法二　∵n（A）＝ ＝20，n（AC）＝ ＝8，
∴P（C｜A）＝ ＝ ＝ .
【规律方法】
1. 利用定义计算条件概率的步骤
（1）分别计算概率P（AB）和P（A）；
（2）将它们相除得到条件概率P（B｜A）＝ ，这个公式适用于
一般情形，其中AB表示A，B同时发生.
2. 利用缩小样本空间法求条件概率的方法
（1）缩：将原来样本空间Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为事件AB.
（2）数：数出A中事件AB所包含的样本点.
（3）算：利用古典概型求P（B｜A）＝ ，n（AB）与n（A）
是缩小样本空间的计数.
训练2　（1）学校数学组于3月10日至3月14日举办为期5天的“数学节”
活动，其中有一项抽奖活动.在一个不透明的纸箱中，放着5个质地、大小
完全相同的小球，球上写着“星期一”“星期二”“星期三”“星期
四”“星期五”，分别对应得分：1，2，3，4，5.学生从中有放回地任取
一个球，记下得分.设事件A＝“第一次得分5”，事件B＝“第二次得分
5”，则P（B｜A）＝（　B　）
B
解析： 由已知得P（A）＝ ，P（AB）＝ ＝ ，故P（B｜
A）＝ ＝ ＝ .故选B.
（2）现从3名男医生和4名女医生中任选两人加入医疗队，用事件A表示
“选中的两名医生性别相同”，事件B表示“选中的两名医生都是女医
生”，则P（B｜A）＝（　C　）
C
解析： 根据古典概型的概率公式P（A）＝ ＝ ，P（AB）＝
＝ ，所以P（B｜A）＝ ＝ .
知识点三 事件的独立性与条件概率
03
PART
问题2　如果P（B｜A）＝P（B），且P（A）＞0，那么事件A与B是
否相互独立？
提示：①若P（B｜A）＝P（B），且P（A）＞0，则P（B）＝P
（B｜A）＝ ，则P（AB）＝P（A）·P（B），∴事件A与B相
互独立；
②若A，B相互独立，则P（AB）＝P（A）·P（　B　），
∴P（B｜A）＝ ＝ ＝P（　B　）.
因此若P（A）＞0时，当且仅当A与B相互独立，有P（B｜A）＝P
（　B　）.
【例3】　盒子中有10张奖券，其中3张有奖，甲、乙先后从中不放回地各
抽取1张，记“甲中奖”为事件A，“乙中奖”为事件B.
（1）求P（A），P（B），P（AB），P（A｜B）；
解： P（A）＝ ＝ ，P（B）＝ ＋ ＝ ，P（AB）
＝ ＝ ，
P（A｜B）＝ ＝ × ＝ .
（2）事件A与B是否相互独立，说明理由.
解：法一　∵P（A｜B）＝ ≠P（A），∴事件A与B不相互独立.
法二　∵P（AB）＝ ≠P（A）P（B），∴事件A与B不相互独立.
【规律方法】
判断两个事件是否独立的方法
（1）直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响；
（2）定义法：当P（AB）＝P（A）P（B）时，事件A，B相互独立；
（3）条件概率法：当P（A）＞0时，可用P（B｜A）＝P（B）判断.
训练3　已知事件A，B相互独立，且P（A）＝0.8，则P（A｜B）＝
（　B　）
A. 0.2 B. 0.8
C. 0.16 D. 0.25
解析：　由A与B相互独立，知P（AB）＝P（A）·P（B）.∴P（A｜
B）＝ ＝ ＝P（A）＝0.8.
B
1. 已知P（AB）＝0.6，P（B｜A）＝0.8，则P（A）＝（　　）
A. 0.75 B. 0.6
C. 0.48 D. 0.2
解析： 　由条件概率的公式P（B｜A）＝ ，得0.8＝ ，
解得P（A）＝0.75.
√
2. 投掷一枚质地均匀的骰子两次，记A＝“两次的点数均为奇数”，B＝
“两次的点数之和为4”，则P（B｜A）＝（　　）
解析： 　由题意知，事件A包含的样本点是（1，1），（1，3），（1，
5），（3，1），（3，3），（3，5），（5，1），（5，3），（5，
5），共9个，在A发生的条件下，事件B包含的样本点是（1，3），（3，
1），共2个，所以P（B｜A）＝ .
√
3. 盒内装有除型号和颜色外完全相同的16个球，其中6个是E型玻璃球，
10个是F型玻璃球.E型玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；F型玻璃
球中有3个是红色的，7个是蓝色的.现从中任取1个，已知取到的是蓝球，
则该球是E型玻璃球的概率为（　　）
√
解析： 　法一　设取到的球是蓝球为事件A，取到的球是E型玻璃球为事
件B，则P（A）＝ ＝ ，P（AB）＝ ＝ ，∴P（B｜A）＝
＝ ＝ .
法二　设取到的球是蓝球为事件A，取到的球是E型玻璃球为事件B，∵n
（A）＝7＋4＝11，n（AB）＝4，∴P（B｜A）＝ ＝ .故取
到的是蓝球，该球是E型玻璃球的概率是 .
4. 已知某种动物由出生算起活到60岁的概率是0.8，活到65岁的概率是
0.6，则一头60岁的该种动物活到65岁的概率是 .
解析：记事件A为活到60岁，事件B为活到65岁，则P（A）＝0.8，P
（AB）＝0.6，所以P（B｜A）＝ ＝ ＝0.75.
0.75
课堂小结
1. 理清单
（1）条件概率的概念；
（2）随机事件的条件概率；
（3）事件的独立性与条件概率.
2. 应体会
解决条件概率问题的常用方法有：定义法、缩小样本空间法、正难则
反等.
3. 避易错
分不清在“谁的条件”下，求“谁的概率”.
课时作业
04
PART
1. 已知事件A，B满足P（A）＝0.7，P（AB）＝0.42，则P（B｜A）
＝（　　）
A. 0.7 B. 0.42
C. 0.5 D. 0.6
解析： 　P（B｜A）＝ ＝ ＝0.6.
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2. 某班为响应校团委发起的“青年大学习”号召，组织了有奖知识竞答活
动，第一环节是一道必答题，由甲乙两位同学作答，每人答对的概率均为
，两人都答对的概率为 ，则甲答对的前提下乙也答对的概率是（　　）
解析： 　记事件A：甲答对，事件B：乙答对，则有：P（A）＝P
（B）＝ ，P（AB）＝ ，所以P（B｜A）＝ ＝ .故选D.
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3. 在单词“warbarrier”中不放回地任取2个字母，则在第一次取到“a”的
条件下，第二次取到“r”的概率为（　　）
解析： 　在第一次取到“a”的条件下，还剩余9个字母，其中“r”有4
个，故所求概率为 .
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4. 甲、乙和另外5位同学站成两排拍照，前排3人，后排4人.若每个人都随
机站队，且前后排不认为相邻，则在甲、乙站在同一排的条件下，两人不
相邻的概率为（　　）
解析： 　记事件A＝“甲与乙站在同一排”，事件B＝“甲与乙不相
邻”，则n（A）＝ ＋ ，n（AB）＝ ＋3 .由条件概
率公式，得P（B｜A）＝ ＝ .
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5. 春季是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里患鼻炎的概率是 ，患感冒
的概率是 ，鼻炎和感冒均未患的概率是 ，则此人在患鼻炎的条件下患
感冒的概率为（　　）
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解析： 　设“此人在春季里患鼻炎”为事件A，“此人在春季里患感
冒”为事件B，则P（A）＝ ，P（B）＝ ，P（A∪B）＝1－ ＝
，由P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB），可得P（AB）＝
P（A）＋P（B）－P（A∪B）＝ ＋ － ＝ ，则此人在患鼻炎
的条件下患感冒的概率为P（B｜A）＝ ＝ ＝ .
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6. 〔多选〕下列说法正确的是（　　）
A. P（B｜A）＜P（　AB　）
C. P（B｜A）＝P（A｜B）
D. P（A｜A）＝1
AB
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解析： 　由条件概率公式P（B｜A）＝ 及0＜P（A）≤1，
知P（B｜A）≥P（AB），故A错误；当事件A包含事件B时，有P
（AB）＝P（B），此时P（B｜A）＝ ，故B正确；因为P
（B｜A）＝ ，P（A｜B）＝ ，P（A）与P（B）不一
定相等，所以P（B｜A）＝P（A｜B）不一定成立，故C错误；显然，
P（A｜A）＝1，D正确.
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7. 〔多选〕某校高二（1）班有学生40人，其中共青团员15人.全班平均分
成4个小组，其中第一组有共青团员4人.从该班任选一人作为学生代表，
下列说法正确的是（　　）
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解析： 　设事件A表示“选到第一组学生”，事件B表示“选到共青团
员”，由题意，P（A）＝ ＝ ，故选项A错误，选项B正确；要求的是
在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P（A｜B），在事件B发
生的条件下（即已知选到的学生是共青团员为前提），有15种不同的选
择，其中属于第一组的有4种选择，因此P（A｜B）＝ ，故选项C错
误，选项D正确.
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8. 已知A，B是一个随机试验中的两个事件，且P（A）＝ ，P（B）＝
，P（A｜B）＝ ，则P（B｜A）＝ 　 　.
解析：∵P（A｜B）＝ ＝ ＝ ，∴P（AB）＝ ，∴P
（B｜A）＝ ＝ ＝ .
　
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9. 逢年过节走亲访友，成年人喝酒是经常的事，但是饮酒过度会影响健
康，某调查机构进行了针对性的调查研究.据统计，一次性饮酒4.8两，诱
发某种疾病的频率为0.04，一次性饮酒7.2两，诱发这种疾病的频率为
0.16.将频率视为概率，已知某人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，则他
还能继续饮酒2.4两不诱发这种疾病的概率为 .

解析：记事件A：这人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，事件B：这人一
次性饮酒7.2两未诱发这种疾病，则B A，P（A）＝1－0.04＝0.96，P
（AB）＝P（B）＝1－0.16＝0.84，所以P（B｜A）＝ ＝
＝ ＝ .
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10. 某校从学生文艺部7名成员（4男3女）中，挑选2人参加学校举办的文
艺汇演活动.
（1）求男生甲被选中的概率；
解： 从7名成员中挑选2名成员，共有 ＝21种情况，
记“男生甲被选中”为事件A，事件A所包含的样本点个数为 ＝6，故P
（A）＝ ＝ .
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（2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；
解： 记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，
由（1）知，P（A）＝ 且P（AB）＝ ，故P（B｜A）＝ ＝
＝ .
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（3）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的
概率.
解： 记“挑选的2人一男一女”为事件C，事件C所包含的样本点个
数为 × ＝12，
由（1），则P（C）＝ ＝ ，
“女生乙被选中”为事件B，则P（BC）＝ ＝ ，
故P（B｜C）＝ ＝ ＝ .
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11. 现有4个红色教育基地和2个劳动实践基地，甲、乙两人分别从这6个基
地中各选取1个基地研学（每个基地均可重复选取），则在甲、乙两人中
至少一人选择红色教育基地研学的条件下，甲、乙两人中一人选择红色教
育基地研学、另一人选择劳动实践基地研学的概率为（　　）
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解析： 　由题意可知：甲、乙两人从6个基地中各选一个进行研学有6×6
＝36（种）情况，至少一人选择红色教育基地研学有 ＋2 ＝32
（种）情况，设A＝“甲、乙两人中至少一人选择红色教育基地研学”，
则P（A）＝ ＝ ，甲、乙两人中一人选择红色教育基地研学、另一人
选择劳动实践基地研学，有2 ＝16（种）情况，设B＝“甲、乙两人
中一人选择红色教育基地研学、另一人选择劳动实践基地研学”，则P
（AB）＝ ＝ ，所以P（B｜A）＝ ＝ ＝ .故选C.
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12. 〔多选〕盒子中有12个乒乓球，其中8个白球4个黄球，白球中有6个正
品2个次品，黄球中有3个正品1个次品.依次不放回取出两个球，记事件Ai
＝“第i次取球，取到白球”，事件Bi＝“第i次取球，取到正品”，i＝
1，2.则下列结论正确的是（　　）
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解析： 　对A，P（B1）＝ ＝ ，P（A1B1）＝ ＝ ，所以P
（A1｜B1）＝ ＝ ，故A正确；对B，事件B2＝“第2次取球，取
到正品”，P（B2）＝ ＝ ，故B错误；对C，事件A2B1＝“第1
次取球，取到正品且第2次取球，取到白球”，包括（正白，正白），
（正白，次白），（正黄，正白），（正黄，次白），共有6×5＋6×2＋
3×6＋3×2＝66种情况，P（A2B1）＝ ＝ ，故C错误；
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对D，事件A1B2＝“第1次取球，取到白球且第2次取球，取到正品”，包
括（白正，白正），（白正，黄正），（白次，白正），（白次，黄正），
共有6×5＋6×3＋2×6＋2×3＝66种情况，P（A1B2）＝ ＝ ，又因为
P（A1）＝ ＝ ，所以P（B2｜A1）＝ ＝ ，故D正确.
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13. 如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统，当K正常工作
且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K，A1，A2正常工
作的概率依次是 ， ， ，已知在系统正常工作的前提下，只有K和A1正
常工作的概率是 .

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解析：设事件A为系统正常工作，事件B为只有K和A1正常工作，因为并
联元件A1或A2能正常工作的概率为1－（ 1－ ）×（ 1－ ）＝ ，所以P
（A）＝ × ＝ ，又因为P（AB）＝P（B）＝ × ×（ 1－ ）＝
，所以P（B｜A）＝ ＝ .
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14. 一袋中共有10个大小相同的黑球和白球.若从袋中任意摸出2个球，至
少有1个白球的概率为 .
（1）求白球的个数；
解： 设白球的个数为a，则黑球个数为10－a，
∵从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为 .
∴P＝1－ ＝ ，解得a＝5，
∴白球的个数为5.
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（2）现从中不放回地取球，每次取1球，取两次，已知第二次取得白球，
求第一次取得黑球的概率.
解： 记“第二次取到白球”为事件A，“第一次取到黑球”为事
件B，
则P（A）＝ × ＋ × ＝ ，P（AB）＝ × ＝ ，
∴第二次取得白球时第一次取得黑球的概率为
P（B｜A）＝ ＝ ＝ .
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15. 将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个社区进行义诊活
动，每个社区至少派1名医生.A表示事件“医生甲派往①社区”，C表示
事件“医生乙派往②社区”.
（1）求“医生甲派往①社区”的概率；
解： 将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个社区进行义
诊活动，
有 ＝36（个）样本点，它们等可能.
事件A发生的样本点数为 ＋ ＝12.
所以“医生甲派往①社区”的概率P（A）＝ ＝ .
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（2）在事件A已经发生的条件下，求医生乙派往②社区的概率；
解： 事件AC含有的样本点数为 ＋ ＝5，则P（AC）＝ ，
故所求事件的概率为P（C｜A）＝ ＝ .
（3）事件A与C相互独立吗？并说明理由.
解： 结合（1），同理易求P（C）＝P（A）＝ ，
又P（C｜A）＝ ，知P（C）≠P（C｜A）.
故事件A与C不独立.
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