7.1.2　全概率公式 课件(共59张PPT)

(共59张PPT)
7.1.2　全概率公式
1. 结合古典概型，理解全概率公式，并会利用全概率公式计算概率（数学
抽象、数学运算）.
2. 了解贝叶斯公式，并会简单应用（数学抽象、数学运算）. 　
课标要求
学校的“我为祖国献计献策”演讲比赛共有20名同学参加，学校决定让参
赛选手通过抽签决定出场顺序.不过，张明对抽签的公平性提出了质疑，
他的理由是，如果第一个人抽的出场顺序是1号，那么其他人就抽不到1号
了，所以每个人抽到1号的概率不一样.张明的想法正确吗？特别地，第一
个抽签的人抽到1号的概率与第二个抽签的人抽到1号的概率是否相等？为
什么？抽签的公平性如果仅仅从直观上来理解的话，可能并不容易说清
楚，但这可利用本节我们要学习的全概率公式来解释.
情境导入
知识点一 全概率公式
01
知识点二 多个事件的全概率问题
02
提能点 *贝叶斯公式
03
课时作业
04
目录
知识点一 全概率公式
01
PART
问题　从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球
不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为 .那么第2次摸到红球的概率
是多大？如何计算这个概率呢？
提示：因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是 ，
但是这个结果并不显然，因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响.
下面我们给出严格的推导.
用Ri表示事件“第i次摸到红球”，Bi表
示事件“第i次摸到蓝球”，i＝1，2.如
图所示.
事件R2可按第1次可能的摸球结果（红球或蓝球）表示为两个互斥事件的
并，即R2＝R1R2∪B1R2，利用概率的加法公式和乘法公式，
得P（R2）＝P（R1R2∪B1R2）＝P（R1R2）＋P（B1R2）＝P（R1）P
（R2｜R1）＋P（B1）P（R2｜B1）
＝ × ＋ × ＝ .
【知识梳理】
全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，
A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事
件B Ω，有P（B）＝ .称为全概率公式.
　　提醒：全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式：P（B）＝P
（A1B）＋P（A2B）＋…＋P（AnB）＝P（A1）P（B｜A1）＋P
（A2）P（B｜A2）＋…＋P（An）·P（B｜An）.
P（Ai）P（B｜Ai）　
【例1】　（链接教材P50例4）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同
学共同在一个社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为
5∶3，其中甲班中女生占 ，乙班中女生占 .求该社区居民遇到一位进行
民意调查的同学恰好是女生的概率.
解：如果用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事
件，B表示是女生的事件，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B Ω，
由题意可知，P（A1）＝ ，P（A2）＝ ，
且P（B｜A1）＝ ，P（B｜A2）＝ .
由全概率公式可知P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜
A2）＝ × ＋ × ＝ .
【规律方法】
两个事件的全概率问题求解策略
（1）拆分：将样本空间拆分成对立的两部分如A1，A2（或A与 ）；
（2）计算：利用乘法公式计算每一部分的概率；
（3）求和：所求事件的概率P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）
P（B｜A2）.
训练1　某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲
厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求：
（1）任取一箱，从中任取一个为废品的概率；
解：记事件A，B分别为“甲厂、乙厂的产品”，事件C为“废品”，则Ω
＝A∪B，且A，B互斥，
（1）由题意，得P（A）＝ ＝ ，P（B）＝ ＝ ，
P（C｜A）＝0.06，P（C｜B）＝0.05，
由全概率公式，得P（C）＝P（A）P（C｜A）＋P（B）·P（C｜
B）＝ × ＋ × ＝ .
（2）若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率.
解： P（A）＝ ＝ ，P（B）＝ ＝ ，
P（C｜A）＝0.06，P（C｜B）＝0.05，
由全概率公式，得P（C）＝P（A）P（C｜A）＋P（B）·P（C｜
B）＝ × ＋ × ＝ .
知识点二 多个事件的全概率问题
02
PART
【例2】　（链接教材P50例5）在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个
地区分别有6%，5%，4%的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为
3∶5∶2，现从这三个地区中任意选取一个人.
（1）求这个人患流感的概率；
解： 设此人来自A，B，C三个地区分别为事件A，B，C，事件D
为这个人患流感，
所以P（A）＝0.3，P（B）＝0.5，P（C）＝0.2，
P（D｜A）＝0.06，P（D｜B）＝0.05，P（D｜C）＝0.04，
因此P（D）＝P（A）P（D｜A）＋P（B）P（D｜B）＋P（C）
P（D｜C）
＝0.3×0.06＋0.5×0.05＋0.2×0.04＝0.051.
（2）如果此人患流感，求此人来自A地区的概率.
解： P（A｜D）＝ ＝ ＝ ＝ .
变式　如果此人绝对不是来自地区C，求此人患流感的概率.
解：因为此人绝对不是来自地区C，所以此人来自地区A，B，所以P
（A）＝ ，P（B）＝ ，
P（D｜A）＝0.06，P（D｜B）＝0.05，
P（D）＝P（A）P（D｜A）＋P（B）P（D｜B）＝ ×0.06＋
×0.05＝ .
【规律方法】
“化整为零”求多个事件的全概率问题
（1）如图，P（B）＝ P（Ai）P（B｜Ai）；
（2）已知事件B的发生有各种可能的情形Ai（i＝1，2，…，n），事件
B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条
件下事件B发生的可能性的乘积之和.
训练2　某红茶批发地只经营甲、乙、丙三种品牌的红茶，且甲、乙、丙
三种品牌的红茶优质率分别为0.9，0.8，0.7.若该红茶批发地甲、乙、丙
三种品牌的红茶市场占有量的比例为4∶4∶2，小张到该批发地任意购买
一盒红茶，求他买到的红茶是优质品的概率.
解：设事件A，B，C分别表示小张买到的红茶品牌为甲品牌、乙品牌、
丙品牌，事件D表示他买到的红茶是优质品，
则依据已知可得P（A）＝P（B）＝ ＝0.4，P（C）＝0.2，P
（D｜A）＝0.9，P（D｜B）＝0.8，P（D｜C）＝0.7，
由全概率公式得P（D）＝P（A）P（D｜A）＋P（B）·P（D｜B）
＋P（C）P（D｜C）＝0.4×0.9＋0.4×0.8＋0.2×0.7＝0.82，
所以他买到的红茶是优质品的概率为0.82.
提能点 *贝叶斯公式
03
PART
设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P
（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，P（B）＞0，有P
（Ai｜B）＝ ＝ ，i＝1，
2，…，n.
　　提醒：条件概率、全概率公式、贝叶斯公式之间的关系
【例3】　 （链接教材P51例6）甲盒装有1个白球2个黑球，乙盒装有3个白
球2个黑球，丙盒装有4个白球1个黑球.采取掷一骰子决定选盒，出现1，2
或3点选甲盒，4，5点选乙盒，6点选丙盒，在选出的盒里随机摸出一个
球，经过秘密选盒摸球后，宣布摸得一个白球，求此球来自乙盒的概率.
解：设A1＝{摸出的球来自甲盒}，A2＝{摸出的球来自乙盒}，A3＝{摸出
的球来自丙盒}，B＝{摸得白球}，
则P（A1）＝ ，P（A2）＝ ，P（A3）＝ ，
P（B｜A1）＝ ，P（B｜A2）＝ ，P（B｜A3）＝ .
于是由贝叶斯公式可知白球来自乙盒的概率为P（A2｜B）＝
＝ ＝ .
【规律方法】
应用贝叶斯公式求概率的步骤
（1）根据题目问题，事件B是由多个原因引起，这多个原因为A1，
A2，…，An，且A1，A2，…，An是样本空间Ω的一个划分；
（2）利用全概率公式求出P（　B　）；
（3）代入贝叶斯公式求得概率.
B
训练3　8支枪中有5支已经校准过，3支未校准，一名射手用校准过的枪射
击时，中靶的概率为0.8，用未校准的枪射击时，中靶的概率为0.3，现从
8支枪中任取一支射击，结果中靶，则所选用的枪是校准过的概率为
（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　设事件A表示“射击时中靶”，事件B1表示“使用的枪校准
过”，事件B2表示“使用的枪未校准”，则P（B1）＝ ，P（B2）＝
，P（A｜B1）＝0.8，P（A｜B2）＝0.3.根据全概率公式得P（A）
＝P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）P（A｜B2）＝ ×0.8＋ ×0.3＝
，所以由贝叶斯公式得P（B1｜A）＝ ＝ ＝ .
故选B.
1. 已知P（BA）＝0.4，P（B ）＝0.2，则P（B）＝（　　）
A. 0.08 B. 0.8
C. 0.6 D. 0.5
解析： 　P（B）＝P（BA）＋P（B ）＝0.4＋0.2＝0.6.
√
2. 两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为
0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的
2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为（　　）
A. 0.21 B. 0.06
C. 0.94 D. 0.95
解析： 　令B＝取到的零件为合格品，Ai＝零件为第i台机床的产品，i
＝1，2.由全概率公式得：P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P
（B｜A2）＝ ×0.96＋ ×0.93＝0.95.故选D.
√
3. 甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取
2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为 .
解析：设A＝“从乙袋中取出的是白球”，Bi＝“从甲袋中取出的2球恰
有i个白球”，i＝0，1，2.由全概率公式得P（A）＝P（B0）P（A｜
B0）＋P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）·P（A｜B2）＝ · ＋ · ＋
· ＝ .

课堂小结
1. 理清单
（1）全概率公式；
（2）多个事件的全概率问题；
（3）贝叶斯公式.
2. 应体会
利用全概率公式解决实际问题时，要注意化整为零、转化与化归思想
的应用.
3. 避易错
事件拆分不合理或不全面.
课时作业
04
PART
1. 在3张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖的
概率为（　　）
A. B.
C. D.
解析： 　设甲中奖为事件A，乙中奖为事件B，则P（B）＝P（B｜
A）P（A）＋P（B｜ ）P（ ）＝ × ＋ × ＝ .
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2. 已知事件A，B满足P（A）＝ ，P（B｜A）＝ ，P（ ｜ ）＝
，则P（B）＝（　　）
A. B. C. D.
解析： 　由题意可得：P（ ）＝1－P（A）＝ ，P（B｜ ）＝1－P
（ ｜ ）＝ ，所以P（B）＝P（B｜A）·P（A）＋P（B｜ ）P
（ ）＝ × ＋ × ＝ .故选C.
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3. 设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生报名
表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两
份，则先取到的一份为女生报名表的概率为（　　）
A. B. C. D.
解析： 　设A＝“先取到的是女生报名表”，Bi＝“取到第i个地区的报
名表”，i＝1，2，3，∴P（A）＝ P（Bi）·P（A｜Bi）＝ × ＋
× ＋ × ＝ .
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4. 甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动.已知他
周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，则周日游泳的概率为0.7，如果
周六游泳，则周日跑步的概率为0.9.若甲某个周日游泳了，则他前一天跑
步的概率为（　　）
A. B.
C. D.
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解析： 　用事件A，B分别表示“周六跑步”，“周日跑步”，则 ，
分别表示“周六游泳”，“周日游泳”，于是P（A）＝0.6，P（ ｜
A）＝0.7，P（B｜ ）＝0.9，P（ ）＝0.4，P（ ｜ ）＝0.1，因
此P（ ）＝P（ ｜A）·P（A）＋P（ ｜ ）P（ ）＝0.7×0.6＋
0.1×0.4＝0.46，所以P（A｜ ）＝ ＝ ＝
＝ .故选D.
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5. 某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数
学书、3箱语文书.到目的地时发现丢失1箱，但不知丢失哪1箱.现从剩下9
箱中任意打开2箱，结果都是英语书，则丢失的1箱也是英语书的概率为
（　　）
A. B.
C. D.
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解析： 　用A表示“丢失1箱后任取2箱是英语书”，用Bk表示“丢失的1
箱为k，k＝1，2，3分别表示英语书、数学书、语文书”.由全概率公式
得P（A）＝ P（Bk）P（A｜Bk）＝ × ＋ × ＋ × ＝ .P
（B1｜A）＝ ＝ ＝ .故选B.
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6. 〔多选〕若0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，则下列等式中成立的有
（　　）
A. P（A｜B）＝
B. P（AB）＝P（A）P（B｜A）
C. P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（ ）P（B｜ ）
D. P（A｜B）＝
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解析： 　由条件概率的计算公式知A错误；由乘法公式知B正确；由全
概率公式知C正确；P（B）·P（A｜B）＝P（AB），P（B）＝P
（A）P（B｜A）＋P（ ）P（B｜ ），故D正确.故选B、C、D.
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7. 〔多选〕现有编号依次为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子装有1个红
球和3个白球，2号盒子装有2个红球和2个白球，3号盒子装有4个红球，这
些球除颜色外完全相同.某人先从三个盒子中任取一盒，再从中任意摸出
一球，记事件A表示“取得红球”，事件B表示“取得白球”，事件Ci表
示“球取自i号盒子”，则（　　）
A. P（A）＝ B. P（B）＝
C. P（C1｜A）＝ D. P（C2｜B）＝
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解析： 　由题意可得：P（C1）＝P（C2）＝P（C3）＝ ，P
（A｜C1）＝ ，P（A｜C2）＝ ，P（A｜C3）＝1，对于A：由全概率
公式可得P（A）＝P（C1）P（A｜C1）＋P（C2）P（A｜C2）＋P
（C3）P（A｜C3）＝ × ＋ × ＋ ×1＝ ，故A错误；对于B：P
（B）＝1－P（A）＝ ，故B正确；对于C、D：P（C1｜A）＝
＝ ＝ ＝ ，故C正确；P（C2｜B）＝
＝ ＝ ＝ ，故D正确.故选B、C、D.
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8. 已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题，学生小王能完整做对其
中5道题，在剩下的3道题中，有2道题有思路，还有1道题完全没有思路，
有思路的题做对的概率为 ，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答
案.小王从这8道题中任选1题，则他做对的概率为 .

解析：设“小王从这8道题中任选1题且做对”为事件A，“选到能完整做
对的5道题”为事件B，“选到有思路的2道题”为事件C，“选到完全没
有思路的1道题”为事件D，则P（B）＝ ，P（C）＝ ＝ ，P（D）
＝ ，由全概率公式可得P（A）＝P（B）P（A｜B）＋P（C）P
（A｜C）＋P（D）P（A｜D）＝ ×1＋ × ＋ × ＝ .
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9. 某车企为了更好地设计开发新车型，统计了近期购车的车主性别与购车
种类（新能源车或者燃油车）的情况，其中新能源车占销售量的74%，男
性占近期购车车主总数的60%，女性购车车主有80%购买了新能源车，根
据以上信息，则男性购车时，选择购买新能源车的概率是 .
解析：设男性中有x%购买了新能源车，则x%×60%＋40%×80%＝74%，
解得x＝70，所以男性购车时，选择购买新能源车的概率是70%.
70%
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解：用B表示李老师迟到，用A表示自行车有故障，则P（B｜A）是乘出
租车迟到的概率，P（B｜ ）是骑自行车迟到的概率.
根据题意P（A）＝0.01，P（B｜ ）＝0.05，P（B｜A）＝0.50.
因为A， 互斥，所以AB， B互斥.
所以P（B）＝P（AB∪ B）＝P（AB）＋P（ 　B　）.
因为P（A）＞0，P（ ）＞0，由概率的乘法公式可知，李老师迟到的
概率是P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（ ）P（B｜ ）＝
0.01×0.50＋（1－0.01）×0.05＝0.054 5.
10. 李老师7：00出发去参加8：00开始的教学会.根据以往的经验，他骑自
行车迟到的概率是0.05，乘出租车迟到的概率是0.50.他出发时首选自行
车，发现自行车有故障时再选择出租车.设自行车有故障的概率是0.01，
试计算李老师迟到的概率.
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11. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，
发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0
和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95
和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，已知接收的信号为0，则发送的信
号是1的概率为（　　）
A. B.
C. D.
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解析： 　设A＝“发送的信号为0”， B＝“接收到的信号为0”，则 ＝
“发送的信号为1”， ＝ “接收到的信号为1”.由题意得P（A）＝P
（ ）＝0.5，P（B｜A）＝0.9，P（ ｜A）＝0.1，P（B｜ ）＝
0.05，P（ ｜ ）＝0.95，P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P
（ ）·P（B｜ ）＝0.5×0.9＋0.5×0.05＝0.475，P（ ｜B）＝
＝ ＝ .故选B.
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12. “狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来
了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又
信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊
狼来了就没人信了.从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则
他出于某种特殊的原因说谎的概率为0.1；小孩是不诚实的，则他说谎的
概率是0.5.最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小
孩是诚实的概率是0.9.已知某个小孩说谎了，那么他是诚实的小孩的概率
是（　　）
A. B.
C. D.
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解析： 　设事件A表示“小孩诚实”，事件B表示“小孩说谎”，则P
（B｜A）＝0.1，P（B｜ ）＝0.5，P（A）＝0.9，P（ ）＝0.1，
则P（AB）＝P（A）P（B｜A）＝0.9×0.1＝0.09，P（ B）＝P
（ ）P（B｜ ）＝0.1×0.5＝0.05，故P（B）＝P（AB）＋P（
B）＝0.14，故P（A｜B）＝ ＝ ＝ .故选D.
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13. 人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响
股票价格的基本因素，比如利率的变化.现假设人们经分析估计利率下调
的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计，在利率下调
的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其
价格上涨的概率为40%，则该支股票价格将上涨的概率为 .
解析：设A＝“利率下调”， ＝“利率不变”，B＝“股票价格上涨”.
依题意知P（A）＝60%，P（ ）＝40%，P（B｜A）＝80%，P
（B｜ ）＝40%，则P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（ ）P
（B｜ ）＝60%×80%＋40%×40%＝64%.
64%
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14. 甲、乙、丙三人同时对飞碟进行射击，三人击中的概率分别为0.4，
0.5，0.7.飞碟被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率
为0.6，若三人都击中，飞碟必定被击落，求飞碟被击落的概率.
解：设B＝“飞碟被击落”，Ai＝“飞碟被i人击中”，i＝1，2，3，则B
＝A1B＋A2B＋A3B，
依题意，得P（B｜A1）＝0.2，P（B｜A2）＝0.6，P（B｜A3）＝1.
由全概率公式P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）·P（B｜A2）
＋P（A3）P（B｜A3），
设Hi＝“飞碟被第i人击中”，i＝1，2，3，
则P（A1）＝P（H1 ＋ H2 ＋ H3），
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P（A2）＝P（H1H2 ＋H1 H3＋ H2H3），P（A3）＝P
（H1H2H3），
又P（H1）＝0.4，P（H2）＝0.5，P（H3）＝0.7，
所以P（A1）＝0.36，P（A2）＝0.41，P（A3）＝0.14，
则P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）＋P（A3）P
（B｜A3）
＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458.
故飞蝶被击落的概率为0.458.
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15. 某种仪器由三个部件组装而成，假设各部件质量互不影响，且它们的
优质品率分别为0.8，0.7与0.9.已知若三个部件都是优质品，则组装后的
仪器一定合格；若有一个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为
0.2；若有两个部件不是优质品，则组装后的仪器的不合格率为0.6；若三
个部件都不是优质品，则组装后的仪器的不合格率为0.9.
（1）求仪器的不合格率；
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解：记事件B＝“仪器不合格”，Ai＝“仪器上有i个部件不是优质
品”，i＝0，1，2，3，显然A0，A1，A2，A3构成一个完备事件组，
P（B｜A0）＝0，P（B｜A1）＝0.2，P（B｜A2）＝0.6，P（B｜
A3）＝0.9，
P（A0）＝0.8×0.7×0.9＝0.504，
P（A1）＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398，
P（A3）＝0.2×0.3×0.1＝0.006，
P（A2）＝1－P（A0）－P（A1）－P（A3）＝0.092.
（1）应用全概率公式，有：P（B）＝ P（Ai）P（B｜Ai）＝
0.504×0＋0.398×0.2＋0.092×0.6＋0.006×0.9＝0.140 2.
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（2）若已发现一台仪器不合格，则它有几个部件不是优质品的概率最大.
解：应用贝叶斯公式，有：P（A0｜B）＝0，
P（A1｜B）＝ ＝ ，
P（A2｜B）＝ ＝ ，
P（A3｜B）＝ ＝ .
从计算结果可知，一台不合格的仪器中有一个部件不是优质品的概率
最大.
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