7.2第二课时 离散型随机变量的分布列 课件(共61张PPT)
文档属性
| 名称 | 7.2第二课时 离散型随机变量的分布列 课件(共61张PPT) |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 3.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-12 00:00:00 | ||
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文档简介
(共61张PPT)
第二课时 离散型随机变量的分布列
1. 通过具体实例，理解离散型随机变量的分布列（数学抽象）.
2. 掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质（数学抽象、数学运算）.
3. 了解两点分布（数学抽象）.
课标要求
在迎奥运会射击比赛训练中，统计某运动员的射击结果可知，该运动员射击所中环数均在7环（含7环）以上，已知该运动员射击一次命中7环的概率为0.1，射击一次命中7环、8环、9环、10环的概率依次成等差数列.
你能知道该运动员射击命中环数的概率分布情况吗？
情境导入
知识点一 离散型随机变量的分布列
01
知识点二 两点分布
02
提能点 分布列的性质及应用
03
课时作业
04
目录
知识点一 离散型随机变量的分布列
01
PART
问题1 掷一枚质地均匀的骰子的随机试验中，X表示向上的点数，X的取
值有哪些？X取每个值的概率分别是多少？
提示：X的取值为1，2，3，4，5，6.
X 1 2 3 4 5 6
P
【知识梳理】
1. 离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为
x1，x2，…，xn，我们称X取每一个xi的概率P（X＝xi）＝ ，i＝
1，2，3，…，n为X的概率分布列，简称分布列.
离散型随机变量的分布列可以用表格表示：
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
pi
2. 离散型随机变量分布列的性质
（1）pi≥ ，i＝1，2，…，n；
（2）p1＋p2＋…＋pn＝ .
提醒：（1）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个
范围内各值的概率之和；（2）离散型随机变量的分布列的性质可以检查
所写分布列是否正确.
0
1
【例1】 （链接教材P59例2、P60例3）某单位为丰富员工的业余生活，
利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分A，B，C三大类，其中A类
有3个项目，每项需花费2小时，B类有3个项目，每项需花费3小时，C类
有2个项目，每项需花费1小时.要求每位员工从中随机选择3个项目，每个
项目的选择机会均等.
（1）求小张在三类中各选1个项目的概率；
解：记事件M为“在三类中各选1个项目”，则P（M）＝ ＝ ，
所以小张在三类中各选1个项目的概率为 .
（2）设小张所选3个项目花费的总时间为X小时，求X的分布列.
解： 由题知X的所有可能取值为4，5，6，7，8，9，
则P（X＝4）＝ ＝ ，P（X＝5）＝ ＝ ，
P（X＝6）＝ ＝ ，P（X＝7）＝ ＝ ，
P（X＝8）＝ ＝ ，P（X＝9）＝ ＝ .
所以X的分布列为
X 4 5 6 7 8 9
P
【规律方法】
求离散型随机变量的分布列的关键
（1）列出随机变量的所有可能的取值，不重不漏；
（2）计算出每一个取值所对应的概率；
（3）用所有概率之和是否为1来检验.
训练1 某电视台举行选拔大奖赛，在选手综合素质测试中，有一道把我
国四大文学名著《水浒传》《三国演义》《西游记》《红楼梦》与他们的
作者连线的题目，每连对一个得3分，连错不得分，记一位选手该题得分
为X.
（1）求该选手得分不少于6分的概率；
解：由题意，该选手的得分不少于6分，则该选手的得分为6分或12分，
可得P（X＝6）＝ ＝ ，P（X＝12）＝ ＝ ，
所以该选手得分不少于6分的概率为P＝P（X＝6）＋P（X＝12）＝
＋ ＝ .
（2）求X的分布列.
解： 根据题意，可得随机变量X的可能取值为0，3，6，12，
则P（X＝3）＝ ＝ ，P（X＝0）＝1－ － ＝ ，
所以随机变量X的分布列为
X 0 3 6 12
P
知识点二 两点分布
02
PART
问题2 购买的彩票是否中奖、新生儿的性别、投篮是否命中这三个试
验，其试验结果有什么共同特点？
提示：都只有两个结果.
【知识梳理】
对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”， 表示“失
败”，定义X＝ 如果P（A）＝p，则P（ ）＝ ，
那么X的分布列如表所示：
X 0 1
P 1－p p
我们称X服从两点分布或0－1分布.
提醒：两点分布的特点：（1）两点分布中只有两个对应结果，且两
个结果是对立的；（2）由对立事件的概率可知P（X＝0）＋P（X＝1）
＝1.
1－p
【例2】 （链接教材P59例1）一个袋中有质地、大小完全相同的3个白球
和4个红球.
（1）从中任意摸出1个球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，设X＝
求X的分布列；
解： 依题意，X服从两点分布，P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）
＝ ＝ ，
所以X的分布列为
X 0 1
P
（2）从中任意摸出2个球，设η＝ 求η的分布列.
解： 由题意知，P（η＝0）＝ ＝ ，P（η＝1）＝ ＝ ，
所以η的分布列为
η 0 1
P
【规律方法】
1. 判断一个随机变量是否服从两点分布，只要看试验结果是否只有两个对
应结果.
2. 由对立事件的概率，P（X＝0）＋P（X＝1）＝1.
3. 在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，
就可以利用两点分布来研究它.
训练2 已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽
取2件进行检查，若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数，求X的
分布列.
解：由题意知，X服从两点分布，
P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝1－ ＝ .
所以随机变量X的分布列为
X 0 1
P
提能点 分布列的性质及应用
03
PART
【例3】 设随机变量X的分布列为P（X＝i）＝ （i＝1，2，3，
4），求：
（1）P（X＝1或X＝2）；
解： ∵ ＋ ＋ ＋ ＝1，∴a＝10，
则P（X＝1或X＝2）＝P（X＝1）＋P（X＝2）＝ ＋ ＝ .
（2）P（ ＜X＜ ）.
解： 由a＝10，
得P（ ＜X＜ ）＝P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＝ ＋ ＋
＝ .
【规律方法】
分布列的性质及其应用
（1）利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保
证每个概率值均为非负数；
（2）求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各
随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.
训练3 设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求：（1）2X＋1的分布列；
解：由分布列的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.
首先列表为
X 0 1 2 3 4
2X＋1 1 3 5 7 9
｜X－1｜ 1 0 1 2 3
从而由上表得：
（1）2X＋1的分布列为
2X＋1 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
（2）｜X－1｜的分布列.
解： ｜X－1｜的分布列为
｜X－1｜ 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
1. 某一随机变量ξ的概率分布如表所示，且m＋2n＝1.2，则m－ ＝
（ ）
ξ 0 1 2 3
P 0.1 m n 0.1
A. －0.2 B. 0.2
C. 0.1 D. －0.1
解析： 由离散型随机变量分布列的性质可得m＋n＋0.2＝1，又m＋
2n＝1.2，解得m＝n＝0.4，可得m－ ＝0.2.
√
2. 某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述1次试验的成功次
数，则P（X＝1）＝（ ）
A. 0 B.
C. D.
解析： 设失败率为p，则成功率为2p，分布列如下，
X 0 1
P p 2p
由p＋2p＝1，得p＝ ，所以P（X＝1）＝2p＝ .
√
3. 〔多选〕下列问题中的随机变量服从两点分布的是（ ）
A. 抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X
B. 某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X
C. 从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X＝
D. 抛掷一枚硬币，出现正面向上的次数为随机变量X
解析： 选项A中随机变量X的可能取值有6个，不服从两点分布.
√
√
√
4. 一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二
级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量X，则
P（ ≤X≤ ）＝ .
解析：设二级品有k个，则一级品有2k个，三级品有 个，总数为 个，
∴X的分布列如下，
X 1 2 3
P
∴P（ ≤X≤ ）＝P（X＝1）＝ .
课堂小结
1. 理清单
（1）离散型随机变量的分布列；
（2）两点分布；
（3）离散型随机变量分布列的性质.
2. 应体会
解决离散型随机变量的分布列及其性质问题要注意列举法及转化与化归思
想的应用.
3. 避易错
随机变量的取值不明确导致分布列求解错误.
课时作业
04
PART
1. 下列表格可以作为ξ的分布列的是（ ）
A.
ξ 0 1 3
P a 1－a
B.
ξ 1 2 3
P － 1
C.
ξ 4 5
P 0 1
D.
ξ －1 1 2
P 2a a2＋2
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解析： 在A中，各概率之和为 ＞1，故A错误；在B中，P（ξ＝2）＝
－ ＜0，故B错误；在C中，满足0≤P≤1以及各概率之和等于1，故C正
确；在D中， ＋2a＋a2＋2＝（a＋1）2＋ ＞1，故D错误.故选C.
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2. 设随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，如果P（X＜4）＝0.3，则
n＝（ ）
A. 3 B. 4
C. 10 D. 9
解析： 由题意知P（X＜4）＝3P（X＝1）＝0.3，∴P（X＝1）＝
0.1，又nP（X＝1）＝1，∴n＝10.
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3. 设离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4 5
P 0.3 0.2 0.2 0.1 n
若随机变量Y＝X－2，则P（Y＝3）＝（ ）
A. 0.2 B. 0.4
C. 0.6 D. 0.7
解析： 由0.3＋0.2＋0.2＋0.1＋n＝1，得n＝0.2.P（Y＝3）＝P
（X＝5）＝0.2.
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4. 已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且P（X＝0）＝3－4P
（X＝1）＝a，则a＝（ ）
A. B.
C. D.
解析： 因为X的分布列服从两点分布，所以P（X＝0）＋P（X＝1）
＝1.因为P（X＝0）＝3－4P（X＝1）＝a，所以P（X＝0）＝3－4[1
－P（X＝0）]，所以P（X＝0）＝ ，所以a＝ .
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5. 如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁
隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3
颗，记上珠的个数为X，则P（X≤1）＝（ ）
A. B.
解析： 由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2.则P（X≤1）＝P
（X＝0）＋P（X＝1）＝ ＋ ＝ .
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C. D.
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6. 〔多选〕已知随机变量X的分布列如表所示，其中a，b，c成等差数
列，则（ ）
X －1 0 1
P a b c
A. a＝ B. b＝
C. c＝ D. P（｜X｜＝1）＝
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解析： ∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.由分布列的性质得a
＋b＋c＝3b＝1，∴b＝ .∴P（｜X｜＝1）＝P（X＝1）＋P（X＝
－1）＝1－P（X＝0）＝1－ ＝ .
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7. 〔多选〕已知随机变量ξ的分布列，若P（ξ2＜x）＝ ，则实数x的值
可能是（ ）
ξ －2 －1 0 1 2 3
P
A. 4 B. 5
C. 9 D. 10
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解析： 由随机变量ξ的分布列，知：ξ2的可能取值为0，1，4，9，且P
（ξ2＝0）＝ ，P（ξ2＝1）＝ ＋ ＝ ，P（ξ2＝4）＝ ＋ ＝
，P（ξ2＝9）＝ ，则P（ξ2≤4）＝ ＋ ＋ ＝ ，P（ξ2≤9）＝
1.若P（ξ2＜x）＝ ，则实数x的取值范围是4＜x≤9.故选B、C.
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8. 若随机变量X的分布列为P（X＝i）＝ （i＝1，2，3），则P（X＝
2）＝ .
解析：∵随机变量X的分布列为P（X＝i）＝ （i＝1，2，3），∴
＋ ＋ ＝1，解得a＝3，∴P（X＝2）＝ ＝ .
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9. （2025·菏泽月考）2025菏泽牡丹节会于4月8日开幕，节会分为2025世
界牡丹大会和第34届菏泽国际牡丹文化旅游节两大活动，“百花园”在门
口位置摆放了10盆牡丹花，编号分别为0，1，2，3，…，9，若从中任取1
盆，则编号“大于5”的概率为 .
解析：设任取1盆的编号为随机变量X，∴X的可能取值为0，1，2，…，
9，且P（X＝0）＝P（X＝1）＝P（X＝2）＝…＝P（X＝9）＝ ，
∴P（X＞5）＝P（X＝6）＋P（X＝7）＋P（X＝8）＋P（X＝9）＝
＝ .
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10. 在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价
值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没
有奖.某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：
（1）该顾客中奖的概率；
解： 该顾客中奖的概率P＝1－ ＝1－ ＝ .
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（2）该顾客获得的奖品总价值X的分布列，并求出P（5≤X≤25）的值.
解： X的可能取值为0，10，20，50，60.
P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝10）＝ ＝ ，P（X＝20）＝ ＝ ，
P（X＝50）＝ ＝ ，P（X＝60）＝ ＝ .
故随机变量X的分布列为
X 0 10 20 50 60
P
所以P（5≤X≤25）＝P（X＝10）＋P（X＝20）＝ ＋ ＝ .
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11. 〔多选〕已知随机变量X的分布列为P（X＝n）＝ （n
＝0，1，2），其中a是常数，则（ ）
A. P（X＝0）＋P（X＝1）＋P（X＝2）＝1
B. a＝
C. P（0≤X＜2）＝
D. P（X＝1）＝
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解析： 根据题意，随机变量X的分布列为P（X＝n）＝
（n＝0，1，2），则有P（X＝0）＋P（X＝1）＋P（X＝
2）＝ ＋ ＋ ＝1，解得a＝ ，则P（X＝1）＝ ，P（0≤X＜2）＝
P（X＝0）＋P（X＝1）＝ ＋ ＝ .故选A、B、C.
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12. 〔多选〕口袋中有大小、形状都相同的4个红球和n个白球，每次从中
摸1个球，然后放回口袋中.摸到红球记2分，摸到白球记1分.共摸球3次，
设所得分数为随机变量ξ.若P（ξ＝3）＝ ，则摸球3次，随机变量ξ的取
值可能为（ ）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
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解析： 由题意知，摸到红球的概率是P1＝ ，摸到白球的概率是
P2＝ ，而ξ＝3表示得3分，即表示3次摸到的都是白球，所以（ ）3
＝ ，解得n＝3，所以ξ的可能取值为3，4，5，6，故选B、C、D.
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13. 如图是某市10月份1日至14日的空气污染指数折线图，空气污染指数为
0～50，空气质量级别为一级；空气污染指数为51～100，空气质量级别为
二级；空气污染指数为101～150，空气质量级别为三级.某人随机选择10
月份的1日至13日中的某一天到达该市，并停留2天.设X是此人停留期间空
气质量级别不超过二级的天数，则P（X＞1）＝ .
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解析：由题意知，X的取值范围为{0，1，2}，空气质量级别不超过二级的
为10月份的1日、2日、3日、7日、12日、13日、14日，P（X＞1）＝P
（X＝2），即要连续两天的空气质量级别不超过二级，所以此人应在10月
份的1日、2日、12日、13日中的某一天到达该市，所以P（X＞1）＝P
（X＝2）＝ .
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14. 某市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进
行了考核，记考核成绩不小于80分的为优秀.为了了解本次培训活动的效
果，在参加培训的学生中随机抽取了60名学生的考核成绩，如下表：
成绩 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]
人数 5 5 15 25 10
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（1）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据表中数据，估计这名学生
考核优秀的概率；
解： 设“该名学生考核成绩优秀”为事件A，
由已知60名同学的成绩中，优秀的有35名同学，所以P（A）＝ ＝ ，
可以估计这名学生考核优秀的概率为 .
（2）用分层抽样的方法，在考核成绩为[70，90）的学生中任取8人，再
从这8人中随机选取4人，记取到考核成绩在[80，90）的学生数为X，求X
的分布列.
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解： 由已知，用分层抽样方法，在考核成绩为[70，90）的学生中任
取8人，
则考核成绩在[70，80）的学生应抽取8× ＝3人，考核成绩在[80，
90）的学生应抽取5人，
由题意可得X的所有可能取值为1，2，3，4，
所以P（X＝1）＝ ＝ ＝ ，P（X＝2）＝ ＝ ＝ ，
P（X＝3）＝ ＝ ＝ ，P（X＝4）＝ ＝ ＝ ，
所以随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
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15. 学生甲想加入校篮球队，篮球教练对其进行投篮测试.测试规则如下：
①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分
线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没投
进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不予录取；③若他在三
分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没投进可以进行第二次投篮，
投进则录取，否则不予录取.已知学生甲在罚球线处投篮命中率为 ，在三
分线处投篮命中率为 .假设学生甲每次投进与否互不影响.
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解： 记事件A，表示“甲在罚球线处投篮，第i次投进”，事件B1表
示“甲在三分线处投篮，第i次投进”.
则P（A1）＝P（A2）＝ ，P（B1）＝P（B2）＝ ，
设事件C表示“学生甲被录取”，则C＝A1B1＋A1 B2＋ A2B1＋
A2 B2，
所以P（C）＝ × ＋ × × ＋ × × ＋ × × × ＝ ，
所以学生甲被录取的概率为 .
（1）求学生甲被录取的概率；
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（2）在这次测试中，记学生甲投篮的次数为X，求X的分布列.
P（X＝2）＝P（ ＋A1B1）＝ ＋ × ＝ ，
P（X＝3）＝P（ A2B1＋A1 ）＝ × × ＋ × ＝ ，
P（X＝4）＝P（ A2 ）＝ × × ＝ ，
所以X的分布列为
X 2 3 4
P
解： 由题分析知，X的可能取值为2，3，4.
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第二课时 离散型随机变量的分布列
1. 通过具体实例，理解离散型随机变量的分布列（数学抽象）.
2. 掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质（数学抽象、数学运算）.
3. 了解两点分布（数学抽象）.
课标要求
在迎奥运会射击比赛训练中，统计某运动员的射击结果可知，该运动员射击所中环数均在7环（含7环）以上，已知该运动员射击一次命中7环的概率为0.1，射击一次命中7环、8环、9环、10环的概率依次成等差数列.
你能知道该运动员射击命中环数的概率分布情况吗？
情境导入
知识点一 离散型随机变量的分布列
01
知识点二 两点分布
02
提能点 分布列的性质及应用
03
课时作业
04
目录
知识点一 离散型随机变量的分布列
01
PART
问题1 掷一枚质地均匀的骰子的随机试验中，X表示向上的点数，X的取
值有哪些？X取每个值的概率分别是多少？
提示：X的取值为1，2，3，4，5，6.
X 1 2 3 4 5 6
P
【知识梳理】
1. 离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为
x1，x2，…，xn，我们称X取每一个xi的概率P（X＝xi）＝ ，i＝
1，2，3，…，n为X的概率分布列，简称分布列.
离散型随机变量的分布列可以用表格表示：
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
pi
2. 离散型随机变量分布列的性质
（1）pi≥ ，i＝1，2，…，n；
（2）p1＋p2＋…＋pn＝ .
提醒：（1）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个
范围内各值的概率之和；（2）离散型随机变量的分布列的性质可以检查
所写分布列是否正确.
0
1
【例1】 （链接教材P59例2、P60例3）某单位为丰富员工的业余生活，
利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分A，B，C三大类，其中A类
有3个项目，每项需花费2小时，B类有3个项目，每项需花费3小时，C类
有2个项目，每项需花费1小时.要求每位员工从中随机选择3个项目，每个
项目的选择机会均等.
（1）求小张在三类中各选1个项目的概率；
解：记事件M为“在三类中各选1个项目”，则P（M）＝ ＝ ，
所以小张在三类中各选1个项目的概率为 .
（2）设小张所选3个项目花费的总时间为X小时，求X的分布列.
解： 由题知X的所有可能取值为4，5，6，7，8，9，
则P（X＝4）＝ ＝ ，P（X＝5）＝ ＝ ，
P（X＝6）＝ ＝ ，P（X＝7）＝ ＝ ，
P（X＝8）＝ ＝ ，P（X＝9）＝ ＝ .
所以X的分布列为
X 4 5 6 7 8 9
P
【规律方法】
求离散型随机变量的分布列的关键
（1）列出随机变量的所有可能的取值，不重不漏；
（2）计算出每一个取值所对应的概率；
（3）用所有概率之和是否为1来检验.
训练1 某电视台举行选拔大奖赛，在选手综合素质测试中，有一道把我
国四大文学名著《水浒传》《三国演义》《西游记》《红楼梦》与他们的
作者连线的题目，每连对一个得3分，连错不得分，记一位选手该题得分
为X.
（1）求该选手得分不少于6分的概率；
解：由题意，该选手的得分不少于6分，则该选手的得分为6分或12分，
可得P（X＝6）＝ ＝ ，P（X＝12）＝ ＝ ，
所以该选手得分不少于6分的概率为P＝P（X＝6）＋P（X＝12）＝
＋ ＝ .
（2）求X的分布列.
解： 根据题意，可得随机变量X的可能取值为0，3，6，12，
则P（X＝3）＝ ＝ ，P（X＝0）＝1－ － ＝ ，
所以随机变量X的分布列为
X 0 3 6 12
P
知识点二 两点分布
02
PART
问题2 购买的彩票是否中奖、新生儿的性别、投篮是否命中这三个试
验，其试验结果有什么共同特点？
提示：都只有两个结果.
【知识梳理】
对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”， 表示“失
败”，定义X＝ 如果P（A）＝p，则P（ ）＝ ，
那么X的分布列如表所示：
X 0 1
P 1－p p
我们称X服从两点分布或0－1分布.
提醒：两点分布的特点：（1）两点分布中只有两个对应结果，且两
个结果是对立的；（2）由对立事件的概率可知P（X＝0）＋P（X＝1）
＝1.
1－p
【例2】 （链接教材P59例1）一个袋中有质地、大小完全相同的3个白球
和4个红球.
（1）从中任意摸出1个球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，设X＝
求X的分布列；
解： 依题意，X服从两点分布，P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）
＝ ＝ ，
所以X的分布列为
X 0 1
P
（2）从中任意摸出2个球，设η＝ 求η的分布列.
解： 由题意知，P（η＝0）＝ ＝ ，P（η＝1）＝ ＝ ，
所以η的分布列为
η 0 1
P
【规律方法】
1. 判断一个随机变量是否服从两点分布，只要看试验结果是否只有两个对
应结果.
2. 由对立事件的概率，P（X＝0）＋P（X＝1）＝1.
3. 在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，
就可以利用两点分布来研究它.
训练2 已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽
取2件进行检查，若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数，求X的
分布列.
解：由题意知，X服从两点分布，
P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝1－ ＝ .
所以随机变量X的分布列为
X 0 1
P
提能点 分布列的性质及应用
03
PART
【例3】 设随机变量X的分布列为P（X＝i）＝ （i＝1，2，3，
4），求：
（1）P（X＝1或X＝2）；
解： ∵ ＋ ＋ ＋ ＝1，∴a＝10，
则P（X＝1或X＝2）＝P（X＝1）＋P（X＝2）＝ ＋ ＝ .
（2）P（ ＜X＜ ）.
解： 由a＝10，
得P（ ＜X＜ ）＝P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＝ ＋ ＋
＝ .
【规律方法】
分布列的性质及其应用
（1）利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保
证每个概率值均为非负数；
（2）求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各
随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.
训练3 设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求：（1）2X＋1的分布列；
解：由分布列的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.
首先列表为
X 0 1 2 3 4
2X＋1 1 3 5 7 9
｜X－1｜ 1 0 1 2 3
从而由上表得：
（1）2X＋1的分布列为
2X＋1 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
（2）｜X－1｜的分布列.
解： ｜X－1｜的分布列为
｜X－1｜ 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
1. 某一随机变量ξ的概率分布如表所示，且m＋2n＝1.2，则m－ ＝
（ ）
ξ 0 1 2 3
P 0.1 m n 0.1
A. －0.2 B. 0.2
C. 0.1 D. －0.1
解析： 由离散型随机变量分布列的性质可得m＋n＋0.2＝1，又m＋
2n＝1.2，解得m＝n＝0.4，可得m－ ＝0.2.
√
2. 某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述1次试验的成功次
数，则P（X＝1）＝（ ）
A. 0 B.
C. D.
解析： 设失败率为p，则成功率为2p，分布列如下，
X 0 1
P p 2p
由p＋2p＝1，得p＝ ，所以P（X＝1）＝2p＝ .
√
3. 〔多选〕下列问题中的随机变量服从两点分布的是（ ）
A. 抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X
B. 某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X
C. 从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X＝
D. 抛掷一枚硬币，出现正面向上的次数为随机变量X
解析： 选项A中随机变量X的可能取值有6个，不服从两点分布.
√
√
√
4. 一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二
级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量X，则
P（ ≤X≤ ）＝ .
解析：设二级品有k个，则一级品有2k个，三级品有 个，总数为 个，
∴X的分布列如下，
X 1 2 3
P
∴P（ ≤X≤ ）＝P（X＝1）＝ .
课堂小结
1. 理清单
（1）离散型随机变量的分布列；
（2）两点分布；
（3）离散型随机变量分布列的性质.
2. 应体会
解决离散型随机变量的分布列及其性质问题要注意列举法及转化与化归思
想的应用.
3. 避易错
随机变量的取值不明确导致分布列求解错误.
课时作业
04
PART
1. 下列表格可以作为ξ的分布列的是（ ）
A.
ξ 0 1 3
P a 1－a
B.
ξ 1 2 3
P － 1
C.
ξ 4 5
P 0 1
D.
ξ －1 1 2
P 2a a2＋2
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解析： 在A中，各概率之和为 ＞1，故A错误；在B中，P（ξ＝2）＝
－ ＜0，故B错误；在C中，满足0≤P≤1以及各概率之和等于1，故C正
确；在D中， ＋2a＋a2＋2＝（a＋1）2＋ ＞1，故D错误.故选C.
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2. 设随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，如果P（X＜4）＝0.3，则
n＝（ ）
A. 3 B. 4
C. 10 D. 9
解析： 由题意知P（X＜4）＝3P（X＝1）＝0.3，∴P（X＝1）＝
0.1，又nP（X＝1）＝1，∴n＝10.
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3. 设离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4 5
P 0.3 0.2 0.2 0.1 n
若随机变量Y＝X－2，则P（Y＝3）＝（ ）
A. 0.2 B. 0.4
C. 0.6 D. 0.7
解析： 由0.3＋0.2＋0.2＋0.1＋n＝1，得n＝0.2.P（Y＝3）＝P
（X＝5）＝0.2.
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4. 已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且P（X＝0）＝3－4P
（X＝1）＝a，则a＝（ ）
A. B.
C. D.
解析： 因为X的分布列服从两点分布，所以P（X＝0）＋P（X＝1）
＝1.因为P（X＝0）＝3－4P（X＝1）＝a，所以P（X＝0）＝3－4[1
－P（X＝0）]，所以P（X＝0）＝ ，所以a＝ .
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5. 如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁
隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3
颗，记上珠的个数为X，则P（X≤1）＝（ ）
A. B.
解析： 由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2.则P（X≤1）＝P
（X＝0）＋P（X＝1）＝ ＋ ＝ .
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C. D.
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6. 〔多选〕已知随机变量X的分布列如表所示，其中a，b，c成等差数
列，则（ ）
X －1 0 1
P a b c
A. a＝ B. b＝
C. c＝ D. P（｜X｜＝1）＝
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解析： ∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.由分布列的性质得a
＋b＋c＝3b＝1，∴b＝ .∴P（｜X｜＝1）＝P（X＝1）＋P（X＝
－1）＝1－P（X＝0）＝1－ ＝ .
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7. 〔多选〕已知随机变量ξ的分布列，若P（ξ2＜x）＝ ，则实数x的值
可能是（ ）
ξ －2 －1 0 1 2 3
P
A. 4 B. 5
C. 9 D. 10
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解析： 由随机变量ξ的分布列，知：ξ2的可能取值为0，1，4，9，且P
（ξ2＝0）＝ ，P（ξ2＝1）＝ ＋ ＝ ，P（ξ2＝4）＝ ＋ ＝
，P（ξ2＝9）＝ ，则P（ξ2≤4）＝ ＋ ＋ ＝ ，P（ξ2≤9）＝
1.若P（ξ2＜x）＝ ，则实数x的取值范围是4＜x≤9.故选B、C.
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8. 若随机变量X的分布列为P（X＝i）＝ （i＝1，2，3），则P（X＝
2）＝ .
解析：∵随机变量X的分布列为P（X＝i）＝ （i＝1，2，3），∴
＋ ＋ ＝1，解得a＝3，∴P（X＝2）＝ ＝ .
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9. （2025·菏泽月考）2025菏泽牡丹节会于4月8日开幕，节会分为2025世
界牡丹大会和第34届菏泽国际牡丹文化旅游节两大活动，“百花园”在门
口位置摆放了10盆牡丹花，编号分别为0，1，2，3，…，9，若从中任取1
盆，则编号“大于5”的概率为 .
解析：设任取1盆的编号为随机变量X，∴X的可能取值为0，1，2，…，
9，且P（X＝0）＝P（X＝1）＝P（X＝2）＝…＝P（X＝9）＝ ，
∴P（X＞5）＝P（X＝6）＋P（X＝7）＋P（X＝8）＋P（X＝9）＝
＝ .
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10. 在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价
值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没
有奖.某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：
（1）该顾客中奖的概率；
解： 该顾客中奖的概率P＝1－ ＝1－ ＝ .
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（2）该顾客获得的奖品总价值X的分布列，并求出P（5≤X≤25）的值.
解： X的可能取值为0，10，20，50，60.
P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝10）＝ ＝ ，P（X＝20）＝ ＝ ，
P（X＝50）＝ ＝ ，P（X＝60）＝ ＝ .
故随机变量X的分布列为
X 0 10 20 50 60
P
所以P（5≤X≤25）＝P（X＝10）＋P（X＝20）＝ ＋ ＝ .
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11. 〔多选〕已知随机变量X的分布列为P（X＝n）＝ （n
＝0，1，2），其中a是常数，则（ ）
A. P（X＝0）＋P（X＝1）＋P（X＝2）＝1
B. a＝
C. P（0≤X＜2）＝
D. P（X＝1）＝
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解析： 根据题意，随机变量X的分布列为P（X＝n）＝
（n＝0，1，2），则有P（X＝0）＋P（X＝1）＋P（X＝
2）＝ ＋ ＋ ＝1，解得a＝ ，则P（X＝1）＝ ，P（0≤X＜2）＝
P（X＝0）＋P（X＝1）＝ ＋ ＝ .故选A、B、C.
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12. 〔多选〕口袋中有大小、形状都相同的4个红球和n个白球，每次从中
摸1个球，然后放回口袋中.摸到红球记2分，摸到白球记1分.共摸球3次，
设所得分数为随机变量ξ.若P（ξ＝3）＝ ，则摸球3次，随机变量ξ的取
值可能为（ ）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
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解析： 由题意知，摸到红球的概率是P1＝ ，摸到白球的概率是
P2＝ ，而ξ＝3表示得3分，即表示3次摸到的都是白球，所以（ ）3
＝ ，解得n＝3，所以ξ的可能取值为3，4，5，6，故选B、C、D.
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13. 如图是某市10月份1日至14日的空气污染指数折线图，空气污染指数为
0～50，空气质量级别为一级；空气污染指数为51～100，空气质量级别为
二级；空气污染指数为101～150，空气质量级别为三级.某人随机选择10
月份的1日至13日中的某一天到达该市，并停留2天.设X是此人停留期间空
气质量级别不超过二级的天数，则P（X＞1）＝ .
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解析：由题意知，X的取值范围为{0，1，2}，空气质量级别不超过二级的
为10月份的1日、2日、3日、7日、12日、13日、14日，P（X＞1）＝P
（X＝2），即要连续两天的空气质量级别不超过二级，所以此人应在10月
份的1日、2日、12日、13日中的某一天到达该市，所以P（X＞1）＝P
（X＝2）＝ .
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14. 某市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进
行了考核，记考核成绩不小于80分的为优秀.为了了解本次培训活动的效
果，在参加培训的学生中随机抽取了60名学生的考核成绩，如下表：
成绩 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]
人数 5 5 15 25 10
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（1）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据表中数据，估计这名学生
考核优秀的概率；
解： 设“该名学生考核成绩优秀”为事件A，
由已知60名同学的成绩中，优秀的有35名同学，所以P（A）＝ ＝ ，
可以估计这名学生考核优秀的概率为 .
（2）用分层抽样的方法，在考核成绩为[70，90）的学生中任取8人，再
从这8人中随机选取4人，记取到考核成绩在[80，90）的学生数为X，求X
的分布列.
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解： 由已知，用分层抽样方法，在考核成绩为[70，90）的学生中任
取8人，
则考核成绩在[70，80）的学生应抽取8× ＝3人，考核成绩在[80，
90）的学生应抽取5人，
由题意可得X的所有可能取值为1，2，3，4，
所以P（X＝1）＝ ＝ ＝ ，P（X＝2）＝ ＝ ＝ ，
P（X＝3）＝ ＝ ＝ ，P（X＝4）＝ ＝ ＝ ，
所以随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
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15. 学生甲想加入校篮球队，篮球教练对其进行投篮测试.测试规则如下：
①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分
线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没投
进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不予录取；③若他在三
分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没投进可以进行第二次投篮，
投进则录取，否则不予录取.已知学生甲在罚球线处投篮命中率为 ，在三
分线处投篮命中率为 .假设学生甲每次投进与否互不影响.
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解： 记事件A，表示“甲在罚球线处投篮，第i次投进”，事件B1表
示“甲在三分线处投篮，第i次投进”.
则P（A1）＝P（A2）＝ ，P（B1）＝P（B2）＝ ，
设事件C表示“学生甲被录取”，则C＝A1B1＋A1 B2＋ A2B1＋
A2 B2，
所以P（C）＝ × ＋ × × ＋ × × ＋ × × × ＝ ，
所以学生甲被录取的概率为 .
（1）求学生甲被录取的概率；
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（2）在这次测试中，记学生甲投篮的次数为X，求X的分布列.
P（X＝2）＝P（ ＋A1B1）＝ ＋ × ＝ ，
P（X＝3）＝P（ A2B1＋A1 ）＝ × × ＋ × ＝ ，
P（X＝4）＝P（ A2 ）＝ × × ＝ ，
所以X的分布列为
X 2 3 4
P
解： 由题分析知，X的可能取值为2，3，4.
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THANKS
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