7.2第一课时　离散型随机变量 课件(共44张PPT)

(共44张PPT)
第一课时　离散型随机变量
1. 通过具体实例，了解随机变量、离散型随机变量的概念（数学抽象）.
2. 能写出离散型随机变量的可能取值，并能解释其意义（数学抽象）.
课标要求
为了督促各地做好环境保护工作，环保部门决定在31个省（自治区、直辖
市）和新疆生产建设兵团中，随机抽取6个进行突击检查，抽得的结果只
要有一个不同就认为是不同的试验结果，记样本空间为Ω.
　　（1）Ω中包含的样本点数目是多少？
　　（2）设抽得的结果中直辖市个数为X，那么对Ω中的每一个样本点，
X都有唯一确定的值吗？X的取值是固定不变的吗？如果不是，X可取的
值有哪些？
情境导入
知识点一 随机变量的概念
01
知识点二 离散型随机变量的判断
02
知识点三 用随机变量表示事件的结果
03
课时作业
04
目录
知识点一 随机变量的概念
01
PART
问题　（1）某人在射击训练中，射击一次命中的环数能否用数值表示相
应结果呢？
提示：试验结果：命中1环，命中2环，……，命中10环，可用数值1，
2，…，10表示试验结果.
（2）篮球运动员每次罚球具有一定的随机性，那么他三次罚球的得分结
果可能是什么？
提示：投进零个球——0分，投进一个球——1分，投进两个球——2分，
投进三个球——3分.
【知识梳理】
1. 随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都
有 的实数X（ω）与之对应，我们称X为随机变量.
2. 离散型随机变量：可能取值为 或可以 的随机变
量，我们称为离散型随机变量，通常用 字母表示随机变量，
用 字母表示随机变量的取值.
　　提醒：随机变量与函数的定义类似：随机试验样本空间Ω中的样本点ω
相当于函数定义中的自变量，X（ω）是与ω对应的实数.
唯一　
有限个　
一一列举　
大写英文　
小写英文　
【例1】　〔多选〕将一个骰子掷两次，能作为随机变量的是（　　）
A. 两次掷出的点数之和
B. 两次掷出的最大点数
C. 第一次与第二次掷出的点数之差
D. 两次掷出的点数
解析： 　将一个骰子掷两次，两次掷出的点数之和是一个变量，且随
试验结果的变化而变化，所以是一个随机变量，A正确；两次掷出的最大
点数，为随机变量，B正确；第一次与第二次掷出的点数之差也是随机变
量， C正确；而两次掷出的点数不是一个变量，是一个数对，D错.故选
A、B、C.
√
√
√
【规律方法】
随机变量X满足三个特征
（1）试验结果可以用数值表示；
（2）试验前可以判断其可能出现的所有值（取值是明确的）；
（3）在试验前不能确定取何值.
训练1　〔多选〕下列变量是随机变量的是（　　）
A. 在某次数学期中考试中，一个考场30名考生中做对选择题第11题的人数
B. 一台机器在一段时间内出现故障的次数
C. 某体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数
D. 方程x2－2x－3＝0的实根个数
解析： 随机变量在一个随机试验中，其结果有多种可能，选项A、
B、C都符合随机变量的定义；方程x2－2x－3＝0的实根个数是2，是确定
的，不是随机变量，故D错误.
√
√
√
知识点二 离散型随机变量的判断
02
PART
【例2】　指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由：
（1）某教学资源网站一天内的点击量；
解： 某教学资源网站一天内的点击量可以一一列出，是离散型随机
变量.
（2）某市明年下雨的次数；
解： 某市明年下雨的次数可以一一列出，是离散型随机变量.
（3）抽检一件产品的真实质量与标准质量的误差.
解： 抽检一件产品的真实质量与标准质量的误差可以在某区间内连
续取值，不能一一列出，不是离散型随机变量.
【规律方法】
确定离散型随机变量的方法
（1）明确随机试验的所有可能结果；
（2）将随机试验的试验结果数量化；
（3）确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，若能一一
列出，则是离散型随机变量；否则不是.
训练2　〔多选〕下列随机变量中，是离散型随机变量的是（　AB　）
A. 从5个已编好号码的小球（1号到5号）中任取一个，被取出的小球的号
码
B. 一个袋子中装有3个白球和4个黑球，从中任取3个球，其中所含白球的
个数
C. 某林场的树木最高可达30 m，从此林场中任选一棵树，所选树木的高度
D. 从某加工厂加工的某种铜管中任选一根，所选铜管的外径尺寸与规定
的外径尺寸之差
AB
解析：　选项A、B中的随机变量的取值都是有限个，符合离散型随机变量
的定义；C中，所选树木的高度是随机变化的，它可以取（0，30]内的任
意一个值，无法一一列出，不是离散型随机变量；对于D，实际测量值与
规定值之间的差值是随机变化的，它的可能取值充满了某个区间，无法一
一列出，不是离散型随机变量.
知识点三 用随机变量表示事件的结果
03
PART
【例3】　（链接教材P60练习2题）一个袋中装有5个白球和5个黑球，从
中任取3个球，其中所含白球的个数X.
（1）写出随机变量X的取值，并说明取值表示的试验结果；
解： X的所有可能的取值为0，1，2，3.
“X＝0”表示取出3个黑球；
“X＝1”表示取出1个白球2个黑球；
“X＝2”表示取出2个白球1个黑球；
“X＝3”表示取出3个白球.
（2）若规定取3个球，每取到一个白球加5分，取到黑球不加分，且最后
不管结果如何都加上6分，求最终得分Y的可能取值，并判定Y的随机变量
类型.
解： 由题意可得Y＝5X＋6，而X可能的取值0，1，2，3，
所以Y对应的各值是6，11，16，21，
故Y的可能取值为6，11，16，21，
显然Y为离散型随机变量.
【规律方法】
1. 解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值
对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果.
2. 注意解答过程中不要漏掉某些试验结果.
训练3　〔多选〕抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子
掷出的点数之差为ξ，则“ξ＝4”表示的试验结果是（　　）
A. 第一枚6点，第二枚2点
B. 第一枚5点，第二枚1点
C. 第一枚2点，第二枚5点
D. 第一枚6点，第二枚1点
解析： 　因为ξ表示第一枚骰子的点数和第二枚骰子的点数之差，所以
满足ξ＝4的可以是：第一枚6点，第二枚2点；第一枚5点，第二枚1点，故
选A、B.
√
√
1. 先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次，以下不能作为随机变量的是
（　　）
A. 出现7点的次数
B. 出现偶数点的次数
C. 出现2点的次数
D. 出现的点数大于2小于6的次数
解析： 　∵抛掷一枚骰子不可能出现7点，∴出现7点为不可能事件，
∴出现7点的次数不能作为随机变量.
√
2. 〔多选〕下列是离散型随机变量的是（　　）
A. 某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X
B. 某人射击2次，击中目标的环数之和记为X
C. 测量一批电阻，在950 Ω～1 200 Ω之间的阻值记为X
D. 一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X
解析： 　A、B中的随机变量的取值是整数值，是可以列举的，是离散
型随机变量.C、D中的随机变量的取值是连续的实数值，不能一一列举，
不是离散型随机变量.
√
√
3. （2025·连云港月考）某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打
完就停止射击，设射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是
.
解析：击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ＝5，说明前4次均未
击中目标.
前4次未
击中目标
课堂小结
1. 理清单
（1）随机变量的概念；
（2）离散型随机变量的判断；
（3）用随机变量表示事件的结果.
2. 应体会
用随机变量表示事件的结果时，应用了列举法.
3. 避易错
用随机变量表示事件的结果时事件列举不全.
课时作业
04
PART
1. 如果X是一个离散型随机变量，则下列结论错误的是（　　）
A. X取每一个可能值的概率都是非负数
B. X取所有可能值的概率之和是1
C. X的取值与自然数一一对应
D. X的取值是实数
解析： 　根据概率的性质可得X取每一个可能值的概率都是非负数，A正
确；X取所有可能值的概率之和是1，B正确；X的取值是实数，不一定是
自然数，C错误，D正确.
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2. 袋中有大小相同的6个黑球，5个白球，从袋中每次任意取出1个球且不
放回，直到取出的球是白球，记所需要的取球次数为随机变量X，则X的
可能取值为（　　）
A. 1，2，3，…，6 B. 1，2，3，…，7
C. 0，1，2，…，5 D. 1，2，…，5
解析： 　因为取到白球时停止，所以最少取球次数为1，即第一次就取到
了白球；最多取球次数是7次，即把所有的黑球取完之后才取到白球.所以
取球次数可以是1，2，3，…，7.
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3. 抛掷两枚质地均匀的骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰
子掷出的点数的差为X，则“X＞4”表示试验的结果为（　　）
A. 第一枚为5点，第二枚为1点
B. 第一枚大于4点，第二枚也大于4点
C. 第一枚为6点，第二枚为1点
D. 第一枚为4点，第二枚为1点
解析： 　由于X表示“第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数
的差”，因此“X＞4”只有一种情况，也就是“X＝5”，所以“X＞4”
表示第一枚为6点，第二枚为1点.
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4. 袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，有放回地
依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能值的个数
为（　　）
A. 5 B. 7
C. 9 D. 10
解析： 　由于抽球是在有放回条件下进行的，所以每次抽取的球号均可
能是1，2，3，4，5中的一个，故两次抽取球号码之和X的可能取值是2，
3，4，5，6，7，8，9，10，共9个.
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5. 一串钥匙有6把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到
找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为（　　）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
解析： 　由于是逐次试验，可能前5次都打不开锁，但是最后一把钥匙一
定能打开锁，所以试验次数X的最大可能取值为5.
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6. 〔多选〕下列给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是（　　）
A. 高速公路某收费站在未来1小时内经过的车辆数X
B. 一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y
C. 某景点7月份每天接待的游客数量
D. 某人一生中的身高X
解析： 对于A，收费站未来1小时内经过的车辆数X是有限的，且
可一一列出，是离散型随机变量；同理，C中，游客数量也是离散型随
机变量.B、D都是某一范围内的任意实数，无法一一列出，不是离散
型随机变量.
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7. 〔多选〕对一批产品逐个进行检测，第一次检测到次品前已检测的产品
个数为X，则X＝k表示的试验结果为（　　）
A. 第k次检测到正品
B. 第k＋1次检测到次品
C. 前k－1次检测到正品
D. 前k次检测到正品
解析： 　由题意，得X＝k表示第一次检测到次品前已检测的产品个数
为k，因此前k次检测到的都是正品，第k＋1次检测到的是次品.
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8. 在一次考试中，某名同学需回答三个问题，考试规则如下：每个题回答
正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得
分ξ的所有可能取值是 .
解析：当答对3道题时，X＝300；当答对2道题时， X＝100；当答对1道题
时，X＝－100；当答对0道题时，X＝－300.
300，100，－100，－300
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9. 在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取3件，记次品的件数为
X，则“X＜2”表示的试验结果是
.
解析：应分X＝0和X＝1两类：X＝0表示取到3件正品；X＝1表示取到1
件次品2件正品.
取到1件次品2件正品或取到3件正
品
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10. 某市公交公司规定：身高不超过120 cm的学生免费乘车；凡身高超过
120 cm的学生，每次乘车0.5元，若学生每次乘车应交的车费为η（单位：
元），学生的身高用ξ（单位：cm）表示，则ξ和η是不是离散型随机变
量？若是，请写出相应的取值情况.
解：因为每个学生对应唯一的一个身高，并且可以一一列举出来，
所以ξ是一个离散型随机变量，其可能取值为本市学生的身高.
因为η＝
所以η也是一个离散型随机变量，其可能取值为0，0.5.
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11. 甲、乙两人下象棋，甲赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三
局.用ξ表示甲的得分，则ξ＝3表示（　　）
A. 甲赢三局
B. 甲赢一局
C. 甲、乙平局三次
D. 甲赢一局或甲、乙平局三次
解析： 　由于甲赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故ξ＝3分成两种情
况，即3＋0＋0或者1＋1＋1，即甲赢一局或甲、乙平局三次.故选D.
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12. 一个木箱中装有6个大小相同的篮球，编号分别为1，2，3，4，5，6，
现随机抽取3个篮球，以X表示取出的篮球的最大号码，则X所有可能的取
值为 ，其中X＝4表示的试验结果有 种.
解析：根据题意可知X的可能取值为3，4，5，6，其中当X＝4时，表示取
得的一球编号为4，另两个球从1，2，3中选取，有 ＝3（种）.
3，4，5，6　
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13. 在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子
中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记ξ＝｜x－2｜＋｜
y－x｜，则ξ的所有可能取值为 .
解析：因为x，y可能取的值为1，2，3，所以0≤｜x－2｜≤1，0≤｜y
－x｜≤2，所以0≤ξ≤3，所以ξ的所有可能的取值为0，1，2，3.
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14. 某次演唱比赛，需要加试文化科学素质，每位参赛选手需回答3个问
题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目供选择，其中有5道文史类
题目，3道科技类题目，2道体育类题目，测试时，每位选手从给定的10道
题目中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题目，回答完该题后，再抽
取下一道题目作答.某选手抽到科技类题目的道数为X.
（1）试求出随机变量X的可能取值；
解： 由题意得X的可能取值为0，1，2，3.
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（2）{X＝1}表示的试验结果是什么？可能出现多少种不同的结果？
解： {X＝1}表示的事件是“恰抽到一道科技类题目”.
从科技类题目中抽取一道，从文史类和体育类题目中抽取两道，不同的结
果有 ＝378（种）.
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15. 某商场进行有奖促销活动，满500元可以参与一次掷飞镖游戏.每次游
戏可掷7只飞镖，采取积分制，掷中靶盘，得1分，不中得0分，连续掷中2
次额外加1分，连续掷中3次额外加2分，以此类推，连续掷中7次额外加6
分.小明购物满500元，参加了一次游戏，则小明在此次游戏中得分X的可
能取值有多少种.
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解：由题意得，我们知道所产生的不同得分的情况种数如下，
首先，我们把掷中记为A，不中记为B，
情况数为AAAAAAA，此时得分为7＋6＝13，
情况数为AAAAAAB，此时得分为6＋5＝11，
情况数为AAAAABA，此时得分为6＋4＝10，
情况数为AAAAABB，此时得分为5＋4＝9，
情况数为AAAABAB，此时得分为5＋3＝8，
情况数为AAAABBB，此时得分为4＋3＝7，
情况数为AAABABB，此时得分为4＋2＝6，
情况数为AAABBBB，此时得分为3＋2＝5，
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情况数为AABABBB，此时得分为3＋1＝4，
情况数为ABABABB，此时得分为3＋0＝3，
情况数为ABBABBB，此时得分为2＋0＝2，
情况数为ABBBBBB，此时得分为1＋0＝1，
情况数为BBBBBBB，此时得分为0＋0＝0，
其他情况未产生其他得分情况，故省略，
故产生的不同得分的情况种数共13种.
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演示完毕 感谢观看