7.3.1　离散型随机变量的均值 课件(共58张PPT)

(共58张PPT)
7.3.1　离散型随机变量的均值
1. 通过具体实例，理解离散型随机变量的均值的意义和性质（数学抽象）.
2. 会根据离散型随机变量的分布列求出均值（数学运算）.
3. 会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题（数学建模、数
据分析）.
课标要求
一家投资公司在决定是否对某创业项目进行资助时，经过评估后发现：如
果项目成功，将获利5 000万元；如果项目失败，将损失3 000万元.设这个
项目成功的概率为P，而你是投资公司的负责人，如果仅从平均收益方面
考虑，则P满足什么条件时你才会对该项目进行资助？为什么？
情境导入
知识点一 离散型随机变量的均值
01
知识点二 均值的性质
02
提能点 均值的应用
03
课时作业
04
目录
知识点一 离散型随机变量的均值
01
PART
问题1　已知有12个西瓜，其中重5 kg的有4个，
重6 kg的有3个，重7 kg的有5个.请思考：
（1）任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，
试求X的分布列；
提示：X的分布列为
X 5 6 7
P
（2）如何求西瓜的平均重量？
提示： ＝5× ＋6× ＋7× ＝ .
【知识梳理】
1. 定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示，
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
则称E（X）＝ ＝ 为随机变量X的均
值或数学期望，数学期望简称期望.
x1p1＋x2p2＋…＋xnpn　
xipi　
2. 两点分布的均值：一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E
（X）＝ .
　　提醒：（1）均值是随机变量的一个重要特征数，反映或刻画的是随
机变量取值的平均水平，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的平
均数；（2）随机变量的均值是一个确定的数，样本均值具有随机性，它
围绕随机变量的均值波动.
0×（1－p）＋1×p＝p　
【例1】　某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内
最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参
加以后的考试，否则就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考试，
设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李
明参加驾照考试次数ξ的分布列和均值.
解：ξ的所有可能取值为1，2，3，4.
ξ＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P（ξ＝1）＝0.6.
ξ＝2，表明李明第一次考试未通过，第二次通过了，故P（ξ＝2）＝（1－
0.6）×0.7＝0.28.
ξ＝3，表明李明第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P（ξ＝3）＝
（1－0.6）×（1－0.7）×0.8＝0.096.
ξ＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P（ξ＝4）＝（1－
0.6）×（1－0.7）×（1－0.8）＝0.024.
则ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4
P 0.6 0.28 0.096 0.024
所以E（ξ）＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544.
【规律方法】
求随机变量X的均值的步骤
（1）理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值；
（2）求出X取每个值的概率P（X＝k）；
（3）写出X的分布列；
（4）利用均值的定义求E（X）.
训练1　（1）若离散型随机变量X服从两点分布，其分布列为
X 0 1
P
则X的均值E（X）＝（　C　）
A. 2 B. 2或
C. D. 1
C
解析：　依题意 ＋ ＝1，得a＝1，∴E（X）＝0× ＋1× ＝ .
（2）袋中有4个红球，3个黑球，现从袋中随机取出4个球，设取到一个红
球得2分，取到一个黑球得1分，试求得分X的均值.
解：取出4个球颜色及得分分布情况是4红得8分，3红1黑得7分，2红
2黑得6分，1红3黑得5分，因此，X的可能取值为5，6，7，8，
P（X＝5）＝ ＝ ，P（X＝6）＝ ＝ ，
P（X＝7）＝ ＝ ，P（X＝8）＝ ＝ ，
故X的分布列为
X 5 6 7 8
P
∴E（X）＝5× ＋6× ＋7× ＋8× ＝ .
知识点二 均值的性质
02
PART
问题2　如果X是一个离散型随机变量，E（X＋b）和E（aX）（其中
a，b为常数）分别与E（X）有怎样的关系？
提示：设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则E（X＋b）＝（x1＋b）p1＋（x2＋b）p2＋…（xn＋b）pn
＝（x1p1＋x2p2＋…＋xnpn）＋b（p1＋p2＋…＋pn）＝E（X）＋b.
类似地，可得E（aX）＝aE（X）.
【知识梳理】
离散型随机变量的均值的性质：若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数（X是
随机变量），则Y也是随机变量，且E（aX＋b）＝ .
【例2】　已知随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2
P m
若Y＝－2X，则E（Y）＝ .
解析：由随机变量分布列的性质，得 ＋ ＋ ＋m＋ ＝1，解得m＝ ，
所以E（X）＝（－2）× ＋（－1）× ＋0× ＋1× ＋2× ＝－ .
由Y＝－2X，得E（Y）＝－2E（X）＝－2×（ － ）＝ .
aE（X）＋b　

变式　（1）本例条件不变，若Y＝2X－3，则E（Y）＝ ；
解析： 由公式E（aX＋b）＝aE（X）＋b及E（X）＝－ 得，E
（Y）＝E（2X－3）＝2E（X）－3＝2×（ － ）－3＝－ .
（2）本例条件不变，若将“Y＝－2X”改为ξ＝aX＋3，且E（ξ）＝－
，则a＝ .
解析： 因为E（ξ）＝E（aX＋3）＝aE（X）＋3＝－ a＋3＝－
，所以a＝15.
－ 　
15
【规律方法】
求随机变量Y＝aX＋b的均值
（1）先求出E（X），再利用公式E（aX＋b）＝aE（X）＋b求E
（Y）；
（2）利用X的分布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，
对应的概率相等，再由定义法求得E（Y）.
训练2　已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E（η）＝34，若ξ的分布
列如下表，则m＝（　A　）
ξ 1 2 3 4
P m n
A. B. C. D.
解析：　因为η＝12ξ＋7，则E（η）＝12E（ξ）＋7，即E（η）＝12×
（ 1× ＋2×m＋3×n＋4× ）＋7＝34.所以2m＋3n＝ ①.又 ＋m
＋n＋ ＝1，所以m＋n＝ ②.由①②可解得m＝ .
A
提能点 均值的应用
03
PART
【例3】　（链接教材P65例4）某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每
箱的定价为200元，低于100箱按原价销售，不低于100箱则有以下两种优
惠方案：
①以100箱为基准，每多50箱送5箱；
②通过双方议价，买方能以优惠8%成交的概率为0.6，以优惠6%成交的概
率为0.4.
某单位需要这种零件650箱，以购买总价的数学期望为决策依据，试问该
单位选择哪种优惠方案更划算？
解：若选择方案①，由于购买600箱能获赠50箱，所以该单位只需要购买
600箱，从而购买总价为200×600＝120 000（元）.
若选择方案②，设在折扣优惠中每箱零件的价格为X元，
则X的可能取值为184，188.
X的分布列为
X 184 188
P 0.6 0.4
则在折扣优惠中每箱零件价格的数学期望E（X）＝184×0.6＋188×0.4
＝185.6.
则购买总价的数学期望为185.6×650＝120 640（元）.
因为120 640＞120 000，所以选择方案①更划算.
【规律方法】
实际问题中的均值解题步骤
（1）审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所
用的公式有哪些；
（2）确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值；
（3）对照实际意义，回答均值所表示的结论.
训练3　某超市为了促销，规定每位顾客购物总金额超过88元可免费参加
一次抽奖活动.活动规则如下：在一个不透明的纸箱中放入9个大小相同的
小球，其中3个小球上标有数字1，3个小球上标有数字2，3个小球上标有
数字3.每位顾客从该纸箱中一次性取出3个球，若取到的3个球上标有的数
字都一样，则获得一张8元的代金券；若取到的3个球上标有的数字都不一
样，则获得一张4元的代金券；若是其他情况，则获得一张1元的代金券.
然后将取出的3个小球放回纸箱，等待下一位顾客抽奖.
（1）记随机变量X为某位顾客在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求
随机变量X的分布列和数学期望；
解： 由题意可知随机变量X的可能取值为1，4，8.
P（X＝8）＝ ＝ ，P（X＝4）＝ ＝ ，
P（X＝1）＝ ＝ .
所以随机变量X的分布列为
X 1 4 8
P
所以随机变量X的数学期望为E（X）＝1× ＋4× ＋8× ＝
（元）.
（2）该超市规定，若某位顾客购物总金额不足88元，则每抽奖一次需支
付2元，若您是该位顾客，从收益的角度考虑，您是否愿意参加一次抽奖
活动？请说明理由.
解： 由 ＞2，故从收益的角度考虑，我愿意参加一次抽奖活动.
1. 一批产品中次品率为5%，随机抽取1件，定义X＝ 则E
（X）＝（　　）
A. 0.05 B. 0.5
C. 0.95 D. 0.095
解析： 　E（X）＝1×5%＋0×（1－5%）＝0.05.故选A.
√
2. 已知离散型随机变量X的分布列为
X －1 0 1
P
则E（2X＋1）＝（　　）
A. B.
C. D.
解析： 　 ∵E（X）＝（－1）× ＋0× ＋1× ＝－ ，∴E（2X＋
1）＝2E（X）＋1＝2×（ － ）＋1＝ .故选C.
√
3. 若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题的概率为 ，
乙解出该题的概率为 ，甲、乙两人解题互不影响，设解出该题的人数为
X，则E（X）＝ .

解析：记“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B，则X的
所有可能取值为0，1，2.P（X＝0）＝P（ ）＝P（ ）P（ ）＝
（ 1－ ）×（ 1－ ）＝ ，P（X＝1）＝P（A ）＋P（ B）＝P
（A）P（ ）＋P（ ）P（B）＝ ×（ 1－ ）＋（ 1－ ）× ＝ ，
P（X＝2）＝P（AB）＝P（A）P（B）＝ × ＝ ，所以X的分布列
为
X 0 1 2
P
故E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＝ .
4. 利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是 .
自然状况 方案盈利概率 A1 A2 A3 A4
S1 0.25 50 70 －20 98
S2 0.30 65 26 52 82
S3 0.45 26 16 78 －10
解析：A1的均值为50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7；A2的均值为
70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5；A3的均值为－20×0.25＋
52×0.30＋78×0.45＝45.7；A4的均值为98×0.25＋82×0.30－10×0.45
＝44.6，因为A3的均值最大，所以应选择的方案是A3.
A3
课堂小结
1. 理清单
（1）离散型随机变量的均值；
（2）均值的性质；
（3）均值的应用.
2. 应体会
求解离散型随机变量的均值、均值的性质及均值的应用问题时，利用了函
数与方程及转化化归思想.
3. 避易错
不会应用均值对实际问题作出正确分析.
课时作业
04
PART
1. 已知随机变量X满足P（X＝1）＝0.3，P（X＝0）＝0.7，则E（X）
＝（　　）
A. 0.3 B. 0.7
C. 0.21 D. 1
解析： 　根据题意可知，随机变量X服从两点分布，所以E（X）＝0.3.
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2. 设随机变量X的概率分布如表所示，且E（X）＝1.6，则a－b＝
（　　）
X 0 1 2 3
P 0.1 a b 0.1
A. －0.4 B. －0.2
C. 0.1 D. 0.2
解析： 　由题意得0.1＋a＋b＋0.1＝1，0×0.1＋a＋2b＋3×0.1＝
1.6，解得a＝0.3，b＝0.5，故a－b＝0.3－0.5＝－0.2.故选B.
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3. 口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2
个，则取出的球的最大编号X的均值为（　　）
A. B.
C. 2 D.
解析： 　依题意X＝2，3，所以P（X＝2）＝ ＝ ，P（X＝3）＝
＝ ，所以E（X）＝2× ＋3× ＝ .
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4. 射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则继续射击，他射中目标的
概率是0.8.若枪内只有3颗子弹，则他射击次数的均值是（　　）
A. 0.8 B. 0.992
C. 1 D. 1.24
解析： 　由题意知，射击次数X的可能取值为1，2，3，P（X＝1）＝
0.8，P（X＝2）＝0.2×0.8＝0.16，P（X＝3）＝0.2×0.2×0.8＋
0.2×0.2×0.2＝0.04，∴他射击次数的均值E（X）＝1×0.8＋2×0.16
＋3×0.04＝1.24.
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5. 一台机器生产某种产品，生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品
可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产甲等品、乙等
品和次品的概率分别为0.6，0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平
均预期可获利（　　）
A. 39元 B. 37元
C. 20元 D. 元
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解析： 　设这台机器获利ξ元，易知随机变量ξ的分布列如下，
ξ 50 30 －20
P 0.6 0.3 0.1
∴E（ξ）＝50×0.6＋30×0.3＋（－20）×0.1＝37（元），故选B.
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6. 〔多选〕设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.1 q 0.3 0.4
若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结论正确的有（　　）
A. q＝0.3 B. q＝0.2
C. E（X）＝3 D. E（Y）＝5
解析： 　由题表可知q＝1－0.1－0.3－0.4＝0.2，则E（X）＝0×0.1
＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.4＝2，所以E（Y）＝E（2X＋1）＝2E（X）
＋1＝5.故选B、D.
√
√
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7. 〔多选〕设p为非负实数，随机变量X的概率分布列为
X 0 1 2
P －p p
则下列说法正确的是（　　）
A. p∈［0， ］ B. E（X）最大值为
C. p∈［0， ］ D. E（X）最大值为
√
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解析： 　由表可得 从而得p∈［0， ］，期望值E
（X）＝0×（ －p）＋1·p＋2× ＝p＋1，当且仅当p＝ 时，E（X）
最大值＝ .
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8. 随机变量X的取值为0，1，2，若P（X＝0）＝ ，E（X）＝1，则P
（X＝1）＝ .
解析：设P（X＝1）＝p，因为P（X＝0）＝ ，E（X）＝1，故0× ＋
1×p＋2×（1－ －p）＝1，所以p＋ －2p＝1，解得p＝ .

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9. 某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2
000元；若不出海也要损失1 000元.根据预测知天气好的概率为0.6，则出
海的期望效益为 元.
解析：出海的期望效益为5 000×0.6＋（1－0.6）×（－2 000）＝3 000－
800＝2 200（元）.
2 200
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解：由题意知X的所有可能取值为2，3，4，5.
当X＝2时，表示前2次取的都是红球，
∴P（X＝2）＝ ＝ ；
当X＝3时，表示前2次中取得1个红球，1个白球或黑球，第3次取红球，
∴P（X＝3）＝ ＝ ；
10. 从装有2个红球，2个白球和1个黑球的袋中随机逐一取球，已知每个球
被取到的可能性相同.若取后不放回，设取完红球所需的次数为X，求X的
分布列及均值.
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∴P（X＝5）＝ ＝ .
∴X的分布列为
X 2 3 4 5
P
∴E（X）＝2× ＋3× ＋4× ＋5× ＝4.
当X＝4时，表示前3次中取得1个红球，2个不是红球，第4次取得红球，
∴P（X＝4）＝ ＝ ；
当X＝5时，表示前4次中取得1个红球，3个不是红球，第5次取得红球，
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11. 甲、乙、丙三人各打靶一次，若甲打中的概率为 ，乙、丙打中的概率
均为 （0＜t＜4），甲、乙、丙都打中的概率是 ，设ξ表示甲、乙两人
中中靶的人数，则ξ的均值是（　　）
A. B.
C. 1 D.
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解析： 　∵ ＝ × × ，∴t＝3（t＝－3舍去）.ξ的所有可能取值为
0，1，2，其分布列如下，
ξ 0 1 2
P
∴E（ξ）＝ ＋2× ＝ .
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12. 〔多选〕已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P a b a＋b
则E（X）的可能取值有（　　）
A. 0 B.
C. D. 2
√
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解析： 　由分布列的性质可得 且a＋b＋（a＋b）＝
1，则a＋b＝ ，所以a＝ －b，则0≤ －b≤1.又0≤b≤1，所以
0≤b≤ .因为E（X）＝0×a＋1×b＋2×（a＋b）＝1＋b，所以1≤E
（X）≤ ，所以E（X）可取 和 .
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13. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，每人各局取胜的概率均为 ，现采用五局
三胜制，胜3局者赢得全部奖金800元.若前两局比赛均为甲胜，此时因某
种原因比赛中止，为使奖金分配合理，则乙应得奖金 元.
解析：设甲应得奖金为X，X的可能取值为800，0，甲赢得比赛有3种情
况：①胜第3局，甲赢的概率为 ，②输第3局，胜第4局，甲赢的概率为
× ＝ ，③输第3，4局，胜第5局，甲赢的概率为 × × ＝ ，∴甲赢
的概率为 ＋ ＋ ＝ ，∴E（X）＝800× ＋0× ＝700（元），则乙应
得奖金800－700＝100（元）.
100　
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14. 随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等
品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润
分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设生产1件产品的利
润（单位：万元）为X.
（1）求X的分布列；
解： X的所有可能取值有6，2，1，－2，
P（X＝6）＝ ＝0.63，P（X＝2）＝ ＝0.25，
P（X＝1）＝ ＝0.1，P（X＝－2）＝ ＝0.02.
故X的分布列为
X 6 2 1 －2
P 0.63 0.25 0.1 0.02
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（2）求生产1件产品的平均利润（即X的均值）.
解： E（X）＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋（－2）×0.02＝4.34
（万元）.
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15. 某校为了弘扬与传承中华传统文化，特举办了“国学经典”的知识竞
赛活动，规则如下：①单选题选对得20分，选错得0分；②多选题选对得
30分，选对但不全得10分，有选错的得0分；③每名竞赛参与者答题3道.
学校设计了两种答题方案，方案一：全部回答单选题；方案二：先回答一
道多选题，再回答单选题.现已知某学生单选题答对的概率为0.8；多选题
全对的概率为0.4，选对但不全的概率为0.3.
（1）若该学生选择方案一，求该学生得分X的分布列及数学期望；
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解： 由题意知，随机变量X的取值可能是0，20，40，60，
可得P（X＝0）＝0.2×0.2×0.2＝0.008，
P（X＝20）＝0.8×0.2×0.2＋0.2×0.8×0.2＋0.2×0.2×0.8＝
0.096，
P（X＝40）＝0.8×0.8×0.2＋0.8×0.2×0.8＋0.2×0.8×0.8＝
0.384，
P（X＝60）＝0.8×0.8×0.8＝0.512，
则变量X的分布列如表所示，
X 0 20 40 60
P 0.008 0.096 0.384 0.512
所以期望为E（X）＝0＋20×0.096＋40×0.384＋60×0.512＝48.
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（2）如何选择方案，能使得该学生的得分更高？
解： 若该学生选择方案二，记得分为变量Y，则Y的取值可能为0，
10，20，30，40，50，70，
可得P（Y＝0）＝0.3×0.2×0.2＝0.012，
P（Y＝10）＝0.3×0.2×0.2＝0.012，
P（Y＝20）＝0.3×0.8×0.2×2＝0.096，
P（Y＝30）＝0.3×0.8×0.2×2＋0.4×0.2×0.2＝0.112，
P（Y＝40）＝0.3×0.8×0.8＝0.192，
P（Y＝50）＝0.3×0.8×0.8＋0.4×0.8×0.2×2＝0.32，
P（Y＝70）＝0.4×0.8×0.8＝0.256，
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Y 0 10 20 30 40 50 70
P 0.012 0.012 0.096 0.112 0.192 0.32 0.256
所以期望为E（Y）＝0×0.012＋10×0.012＋20×0.096＋30×0.112＋
40×0.192＋50×0.32＋70×0.256＝47.
结合（1）知E（X）＞E（Y），
所以选择方案一，能使得该生的得分更高.
则变量Y的分布列为：
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THANKS
演示完毕 感谢观看