人教A版选修三模块综合检测 课件(共44张PPT)

(共44张PPT)
模块综合检测
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 4×5×6×…×（n－1）×n＝（　　）
A. B.
C. n！－4！ D.
解析： 　由题意知4×5×6×…×（n－1）×n＝n×（n－1）
×…×6×5×4＝ .
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2. （ － ）n的展开式的二项式系数之和为256，则展开式中的含x项的
系数是（　　）
A. 112 B. －112
C. 60 D. －60
解析： 由题意2n＝256，n＝8.Tr＋1＝ （ ）8－r·（－ ）r＝（－
2）r ，令4－ r＝1，r＝2，所以含x项的系数是（－2）2 ＝
112.故选A.
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3. 已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），且P（ξ＜2）＝0.6，则P
（0＜ξ＜1）＝（　　）
A. 0.4 B. 0.3
C. 0.2 D. 0.1
解析： 　由已知可得曲线关于直线x＝1对称，P（ξ＜2）＝0.6，所以P
（ξ≥2）＝P（ξ≤0）＝0.4，故P（0＜ξ＜1）＝ P（0＜ξ＜2）＝ ×
（1－0.4－0.4）＝0.1.
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4. 甲箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球，3个白球和2
个黑球.先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一
球，则从乙箱中取出的是红球的概率为（　　）
A. B.
C. D.
解析： 依题意，从乙箱中取出的是红球的概率为 × ＋ × ＝
＝ .故选D.
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5. 某公司收集了某商品销售收入y
（万元）与相应的广告支出x（万元）
共10组数据（xi，yi）（i＝1，2，3，
…，10），绘制出如下散点图，并利
用线性回归模型进行拟合.
若将图中10个点中去掉A点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确
的是（　　）
A. 决定系数R2变小
B. 残差平方和变小
C. 样本相关系数r的值变小
D. 解释变量x与预报变量y相关性变弱
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解析： 　从图中可以看出A点较其他点，偏离直线远，故去掉A点后，回
归效果更好，故决定系数R2会变大，更接近于1，残差平方和变小，相关
系数r的绝对值，即｜r｜会更接近于1，由图可得x与y正相关，故r会更
接近于1，即样本相关系数r的值变大，解释变量x与预报变量y相关性变
强，故A、C、D错误，B正确.
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6. 某离散型随机变量X的分布列如下，若E（X）＝ ，P（X≥1）＝
，则D（X）＝（　　）
X －1 0 1 2
P a b c
A. B.
C. D.
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解析： 　∵分布列的概率之和为1， ∴a＋b＋c＋ ＝1，即a＋b＋c＝
①.∵E（X）＝（－1）×a＋0×b＋1×c＋2× ＝ ，∴－a＋c＝
②.∵P（X≥1）＝c＋ ＝ ，∴c＝ ，依次代入②、①，解得a＝ ，
b＝ ，则D（X）＝（－1－ ）2× ＋（0－ ）2× ＋（1－ ）2× ＋
（2－ ）2× ＝ .故选D.
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7. 设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒
依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的，且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次
品率依次为 ， ， .现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X
光片，则取得的X光片是次品的概率为（　　）
A. 0.08 B. 0.1
C. 0.15 D. 0.2
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解析： 　以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙
厂生产的，B表示取得的X光片为次品，P（A1）＝ ，P（A2）＝ ，
P（A3）＝ ，P（B｜A1）＝ ，P（B｜A2）＝ ，P（B｜A3）＝
.则由全概率公式，所求概率为P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P
（A2）P（B｜A2）＋P（A3）P（B｜A3）＝ × ＋ × ＋ ×
＝0.08.故选A.
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8. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于同余的问题.
用m｜x表示整数x被m整除，设a，b∈Z，m∈N*且m＞1，若m｜（a
－b），则称a与b对模m同余，记为a≡b（mod m）.已知a＝ ×516－
×515＋…＋ ×52－ ×5，则（　　）
A. a≡2 030（mod 7） B. a≡2 031（mod 7）
C. a≡2 032（mod 7） D. a≡2 033（mod 7）
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解析： 　由二项式定理，得a＝ ×516×（－1）0＋ ×515×（－
1）1＋…＋ ×5×（－1）15＋ ×50×（－1）16－1＝（5－1）16－1
＝416－1＝（14＋2）8－1＝ ×148×20＋ ×147×21＋…＋
×141×27＋ ×140×28－1，因为 ×148×20＋ ×147×21＋…＋
×141×27能够被7整除， ×140×28－1＝255被7除余3，则a≡3（mod
7），又2 030除以7余0，2 031除以7余1，2 032除以7余2，2 033除以7余
3，所以a≡2 033（mod 7）.故选D.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的
四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部
分分，有选错的得0分）
9. 袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取
出两个球，设事件A＝“取出的球的数字之积为奇数”，事件B＝“取出
的球的数字之积为偶数”，事件C＝“取出的球的数字之和为偶数”，则
（　　）
A. 事件A与B是互斥事件 B. 事件A与B是对立事件
C. 事件B与C是互斥事件 D. 事件B与C相互独立
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解析： 　对于A、B：取出的球的数字之积为奇数和取出的球的数字之
积为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，故事件A与B是互斥事件，
也是对立事件，A、B正确；对于C：如果取出的球的数字为2，4，则事件
B与事件C均发生，不互斥，C错误；对于D：P（B）＝1－ ＝ ，P
（C）＝ ＝ ，P（BC）＝ ＝ ，则P（B）P（C）≠P
（BC），即事件B与C不相互独立，D错误.故选A、B.
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10. 下列结论正确的是（　　）
A. 若 ＝ ，则m＝3
B. 若 － ＝12，则n＝6
C. 在（1＋x）2＋（1＋x）3＋（1＋x）4＋…＋（1＋x）11的展开式中，
含x2的项的系数是220
D. 在（x－1）8的展开式中，第4项和第5项的二项式系数最大
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解析： 　若 ＝ ，则m＝3m－2或m＋3m－2＝10，解得m＝
1或m＝3，故A错误；若 － ＝12，则（n＋1）n－n（n－1）＝
12，解得n＝6，故B正确；在（1＋x）2＋（1＋x）3＋（1＋x）4＋…＋
（1＋x）11的展开式中，含x2的项的系数是 ＋ ＋ ＋…＋ ＝
220，故C正确；在（x－1）8的展开式中，第4项的二项式系数为 ，第5
项的二项式系数为 ，故只有第5项的二项式系数最大，故D错误.
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11. 如图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排
互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当
的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，
小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向
右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，…，6，用X表示小球落入格子的号码，则（　　）
A. P（X＝1）＝P（X＝6）＝ B. E（X）＝
C. D（X）＝ D. D（X）＝
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解析： 　设A＝“向右下落”，则 ＝“向左下落”，且P（A）＝P
（ ）＝ ，设Y＝X－1，因为小球在下落过程中共碰撞5次，所以Y～B
（5， ），于是P（Y＝k）＝P（X＝k＋1）＝ （ ）k（1－ ）5－k＝ （ ）5（k＝0，1，2，3，4，5），所以P（X＝1）＝P（X＝6）＝ （ ）5＝ ，A正确；P（X＝2）＝P（X＝5）＝ （ ）5＝ ，P（X＝3）＝P（X＝4）＝ （ ）5＝ ，所以E（X）＝（1＋6）× ＋（2＋5）× ＋（3＋4）× ＝ ，B错误；D（X）＝（1－ ）2× ＋（2－ ）2× ＋（3－ ）2× ＋（4－ ）2× ＋（5－ ）2× ＋（6－ ）
2× ＝ ，C错误，D正确.故选A、D.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横
线上）
12. 已知X～B（5， ），则P（ ≤X≤ ）＝ 　　 　　.
解析：P（ ≤X≤ ）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＝ ×（ ）2×
（ ）3＋ ×（ ）3×（ ）2＝ .

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13. 为美化校园环境，某校安排了高二某班在如图所示的
花坛中种花，现有4种不同颜色的花可供选择，要求相邻
区域颜色不同，则有 种不同方案.
解析：如图，假设5个区域分别为1，2，3，4，5，分2种情况
讨论：①当选用3种颜色的花时，2，4同色且3，5同色，共有
种植方案 · ＝24（种），②当4种不同颜色的花全选时，
即2，4或3，5用同一种颜色，共有种植方案 · ＝48
（种），则不同的种植方案共有24＋48＝72（种）.
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14. 小张的公司年会有一小游戏：箱子中有材质和大小完全相同的六个小
球，其中三个球标有号码1，两个球标有号码2，一个球标有号码3，有放
回的从箱子中取两次球，每次取一个，设第一个球的号码是x，第二个球
的号码是y，记ξ＝x＋2y，若公司规定ξ＝9，8，7时，分别为一、二、三
等奖，奖金分别为1 000元，500元，200元，其余无奖.则小张玩游戏一次
获得奖金的期望为 元.

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解析：由题可知，取一次球，取得号码是1的概率是 ，取得号码是2的概率是 ，取得号码是3的概率是 ，因为ξ＝x＋2y，ξ＝9，8，7，若ξ＝x＋2y＝7，则 或 故P（ξ＝7）＝ × ＋ × ＝ ；若ξ＝x＋2y＝8，则 所以P（ξ＝8）＝ × ＝ ；当ξ＝x＋2y＝9，则 所以P（ξ＝9）＝ × ＝ ，设奖金为X，则P（X＝0）＝1－ － － ＝ .故X的分布列为
X 1 000 500 200 0
P
所以E（X）＝1 000× ＋500× ＋200× ＋0× ＝ .
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证
明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）某中学预计在“五·四”青年节当天，为高三学生
举办成人礼活动，用以激励在备考中的高三学生.学工处共准备了五首励
志歌曲，一个往届优秀学生视频发言，一个教师代表发言，一个应届学生
代表发言.根据不同的要求，求本次活动的安排方法.
（1）三个发言不能相邻，有多少种安排方法？
解： 根据题意，分2步进行分析：
①先排列三个发言以外节目，全排列，有 种情况，排好后有6个空位.
②在6个空位中任选3个，安排三个发言节目，有 种情况，
则三个发言不能相邻的排法有 × ＝14 400种.
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（2）励志歌曲甲不排在第一个，励志歌曲乙不排在最后一个，有多少种
安排方法？
解： 励志歌曲甲不排在第一个，励志歌曲乙排在第一个，方法数有
种情况，
励志歌曲甲不排在第一个并且励志歌曲乙不排在第一个与最后一个，方法
数有 · · 种情况，共有： ＋ · · ＝30 960种情况.
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（3）往届优秀学生视频发言必须在应届学生代表发言之前，有多少种安
排方法？（结果用数字作答）
解： 根据题意，五首励志歌曲，一个往届优秀学生视频发言，一
个教师代表发言，一个应届学生代表发言，共有8个的先后位次；往届
优秀学生视频发言必须在应届学生代表发言之前，是固定顺序，8个位
置选2个，有 种方法，其他位置，任意排列，共有 · ＝20 160种
安排方法.
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16. （本小题满分15分）某“高精尖”企业通过技术创新，加大产品开
发，市场知名度与影响力不断提升，该企业今年前4个月的产品订单数量
（单位：万件）如下表：
月份t 1 2 3 4
订单数量y 5.2 5.3 5.7 5.8
（1）试根据样本相关系数r判断订单数量y与月份t的线性相关性强弱；
（若0.75≤｜r｜≤1，则y与t的线性相关性较强，若｜r｜＜0.75，则y
与t的线性相关性较弱）；
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解： 由 ＝ ＝2.5，
＝ ＝5.5，
得 （ti－ ）（yi－ ）＝1.1， （ti－ ）2＝5，
（yi－ ）2＝0.26，则样本相关系数
r＝ ＝ ≈0.96＞0.75，故y与t的线性相关性
较强.
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（2）求y与t的经验回归方程，并预测企业5月份的订单数量.（精确到
0.01）
参考公式及参考数据：
r＝ ；
＝ ， ＝ － ， ≈1.14.
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解： 因为 ＝ ＝0.22，则 ＝ － ＝5.5－
0.22×2.5＝4.95，故经验回归方程为 ＝0.22t＋4.95，由此可估计5月份
订单数量大约为0.22×5＋4.95＝6.05万件.
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17. （本小题满分15分）笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即文房
四宝.笔、墨、纸、砚之名，起源于南北朝时期，其中“纸”指的是宣
纸，“始于唐代、产于泾县”，因唐代泾县隶属宣州管辖，故因地得名宣
纸，宣纸按质量等级分类可分为正牌和副牌（优等品和合格品）.某公司
生产的宣纸为纯手工制作，年产宣纸10 000刀，该公司按照某种质量指标x
给宣纸确定质量等级，如下表所示：
x的范围 （48，52] （44，48]∪（52，56] [0，44]∪（56，100]
质量等级 正牌 副牌 废品
该公司在所生产的宣纸中随机抽取了一刀（100张）进行检验，得到的频
率分布直方图如图所示.已知每张正牌宣纸的利润为10元，副牌宣纸的利
润为5元，废品宣纸的利润为－10元.
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（1）试估计该公司生产宣纸的年利润；
解： 由频率分布直方图知：正牌、副
牌、废品的频率分别为0.4，0.4，0.2，
∴一刀宣纸中，正牌有100×0.4＝40
（张），副牌有100×0.4＝40（张），废品
有100×0.2＝20（张），
∴该公司生产宣纸的年利润为[40×（10＋5）＋20×（－10）]×104＝4×106（元）.
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（2）该公司预备购买一种售价为100万元的机器改进生产工艺，这种机器
使用寿命为一年，不影响产量，这种机器生产的宣纸的质量指标x服从正
态分布N（50，22），改进工艺后正牌和副牌宣纸的利润都将受到不同程
度的影响，观测的数据如下表所示：
x的范围 （48，52] （44，48]∪（52，56]
一张宣纸的利润 12 8 8 3
频率 0.3 0.7 0.2 0.8
将频率视为概率，请判断该公司是否应该购买这种机器，并说明理由.
附：若Z～N（μ，σ2），则P（μ－σ＜Z≤μ＋σ）＝0.682 6，P（μ－
2σ＜Z≤μ＋2σ）＝0.954 4，P（μ－3σ＜Z≤μ＋3σ）＝0.997 4.
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解： 由题意，μ＝50，σ＝2，
∴P（48＜x≤52）＝P（μ－σ＜x≤μ＋
σ）＝0.682 6，
P（44＜x≤48）＋P（52＜x≤56）＝P
（μ－3σ＜x≤μ＋3σ）－P（μ－σ＜x≤μ
＋σ）＝0.997 4－0.682 6＝0.314 8，
∴正牌年产量为6.826×105（张）；
副牌年产量为3.148×105（张）；
废品年产量为106－9.974×105＝2 600（张）；
由题设数据，年利润为6.826×105×（0.3×12＋0.7×8）＋3.148×105×
（0.2×8＋0.8×3）－26 000－106＝6.513 12×106（元），
∴购买机器后利润显然高于购买机器之前，故应该购买这种机器.
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18. （本小题满分17分）某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统
计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名
同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：
一周参加体 育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计
男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30
女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30
合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60
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（1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的称为“经常锻炼”，
其余的称为“不经常锻炼”.请列出2×2列联表，并依据小概率值α＝0.1
的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
解： 根据统计表格数据可得列联表如下：
性别 锻炼 合计
不经常 经常
男生 7 23 30
女生 14 16 30
合计 21 39 60
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零假设为H0：性别因素与学生体育锻炼的经常性无关，
根据列联表的数据计算可得
χ2＝ ＝ ≈3.590＞2.706＝x0.1，
根据小概率值α＝0.1的独立性检验，推断H0不成立，即性别因素与学生
体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1.
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（2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度
缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题.以样本频率估计概率，在全校抽
取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为X，求E（X）和D
（X）；
解：因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故X近似服从二项分布，
易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率p＝ ＝ .
即可得X～B（20， ），
故E（X）＝20× ＝ ，D（X）＝20× × ＝ .
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（3）若将一周参加体育锻炼6次及7次的同学称为“运动爱好者”，为进
一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3
人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望.
附：χ2＝ ，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
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解： 易知10名“运动爱好者”中有7名男生，3名女生，
所以Y的所有可能取值为0，1，2，3，且Y服从超几何分布，则
P（Y＝0）＝ ＝ ，
P（Y＝1）＝ ＝ ＝ ，
P（Y＝2）＝ ＝ ＝ ，
P（Y＝3）＝ ＝ ＝ .
故Y的分布列为
Y 0 1 2 3
P
可得E（Y）＝
0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ ＝2.1.
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19. （本小题满分17分）若ξ，η是样本空间Ω上的两个离散型随机变量，则
称（ξ，η）是Ω上的二维离散型随机变量或二维随机变量.设（ξ，η）的一
切可能取值为（ai，bj），i，j＝1，2，…，记pij表示（ai，bj）在Ω中
出现的概率，其中pij＝P（ξ＝ai，η＝bj）＝P[（ξ＝ai）∩（η＝bj）].
（1）将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记1
号盒子中的小球个数为ξ，2号盒子中的小球个数为η，则（ξ，η）是一个二
维随机变量.
①写出该二维离散型随机变量（ξ，η）的所有可能取值；
②若（m，n）是①中的值，求P（ξ＝m，η＝n）（结果用m，n表示）；
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解： ①该二维离散型随机变量（ξ，η）的所有可能取值为（0，0），
（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），
（2，0），（2，1），（3，0）.
②依题意，0≤m＋n≤3，P（ξ＝m，η＝n）＝P（ξ＝m｜η＝n）·P
（η＝n），
显然P（η＝n）＝ （ ）n（ ）3－n，则P（ξ＝m｜η＝n）＝
（ ）m（ ）3－n－m＝ （ ）3－n，
所以P（ξ＝m，η＝n）＝ （ ）3－n· （ ）n·（ ）3－n＝
＝ .
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（2）P（ξ＝ai）称为二维离散型随机变量（ξ，η）关于ξ的边缘分布律或
边际分布律，求证：P（ξ＝ai）＝ pij.
解： 证明：由定义及全概率公式知，
P（ξ＝ai）＝P{（ξ＝ai）∩[（η＝b1）∪（η＝b2）∪…∪（η＝bj）
∪…]}
＝P{[（ξ＝ai）∩（η＝b1）]∪[（ξ＝ai）∩（η＝b2）]∪…∪[（ξ＝
ai）∩（η＝bj）]∪…}
＝P[（ξ＝ai）∩（η＝b1）]＋P[（ξ＝ai）∩（η＝b2）]＋…＋P[（ξ＝
ai）∩（η＝bj）]＋…
＝ P[（ξ＝ai）∩（η＝bj）]＝ P（ξ＝ai，η＝bj）＝ pij.
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