广东省深圳市盐田高级中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题
1．（2025高二上·盐田月考）在等差数列中，，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为是等差数列，所以，则.
故答案为：C.
【分析】这道题的核心是利用等差数列的性质，即若 ，则 ，来求解。
2．（2025高二上·盐田月考）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，直线与抛物线另一交点为，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：因为，
由抛物线的定义，可知到准线距离为，
则，
解得：，
则抛物线方程为，
代入点的坐标，得，
所以，
不妨取，
又因为，
所以，直线的斜率为，
则直线为，
联立，
消去整理，得：，
解得：，，
则点的横坐标为，
由此可得：，
则.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和抛物线定义得出点到准线距离为，从而得出p的值，进而得出抛物线方程，再利用点代入法得出m的值，再根据两点求斜率公式得出直线AF的斜率，从而得出直线AF的方程，再将直线方程和抛物线方程联立得出点B的横坐标，再根据两点距离公式得出的值.
3．（2025高二上·盐田月考）与曲线共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为曲线为椭圆，焦点在轴上，且，
又因为所求双曲线与双曲线共渐近线，
可设所求双曲线为，化为标准方程：，
则，解得，所求双曲线为．
故选：
【分析】先根据椭圆的性质求出椭圆的焦点，即可求得所求的双曲线的方程的，然后根据双曲线和渐近线的相关性质可设所求双曲线为，即，进而求得即可确定双曲线的标准方程.
4．（2025高二上·盐田月考）设，则“”是“直线与直线平行”的( ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线平行的判定
【解析】【分析】利用充分、必要条件进行推导，结合两直线直线l1：A1x+B1y+C1=0与直线l2：A2x+B2y+C2=0平行的充要条件是A1B2=A2B1≠A2C1可得答案．
（1）充分性：
当a=1时，直线l1：x+2y-1=0与直线l2：x+2y+4=0平行；
（2）必要性：
当直线l1：ax+2y-1=0与直线l2：x+2y+4=0平行时有：
a 2=2 1，即：a=1．
∴“a=1”是“直线l1：ax+2y-1=0与直线l2：x+2y+4=0平行”充分必要条件．
故选C
【点评】解决该试题的关键是对于两条直线平行的要分为斜率存在和斜率不存在两种情况来分析。两直线平行的充要条件是A1B2=A2B1≠A2C1。
5．（2025高二上·盐田月考）如图，在三棱锥中，．若点分别在棱上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：由，
得，
所以.
故答案为：C．
【分析】利用空间向量基本定理和已知条件，从而用表示出．
6．（2025高二上·盐田月考）已知圆与圆有三条公切线，则（ ）
A．5 B．16 C．32 D．36
【答案】C
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解：由圆，可知圆心为，半径为2；
由圆，可知且圆心为，半径为，
因为两个圆有三条公切线可知两圆外切，
所以，
解得：.
故答案为：C.
【分析】根据两圆有三条公切线可判断两圆外切，再利用两圆外切的判断方法，从而列方程得出m的值.
7．（2025高二上·盐田月考）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的称为三角形数，第二行的称为正方形数.则根据以上规律，可推导出五边形数所构成的数列的第5项为（ ）
A．22 B．26 C．35 D．51
【答案】C
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】解：如图，
称为五边形数，
从第二项起，后项与前项的差依次为，
所以五边形数的第5项为.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件类比三角形数和正方形数得到五边形数，再由从第二项起，后项与前项的差依次为，则根据推导的规律推导出五边形数所构成的数列的第5项.
8．（2025高二上·盐田月考）已知双曲线的左，右焦点分别为，过点的直线交的左支于两点，若成等差数列，且，则的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设，所以，
又因为成等差数列，所以，
所以，所以，
因为，
解得，
所以，
所以为等腰三角形，
即，
化简可得，所以.
故答案为：A
【分析】这道题的核心是结合等差数列性质、双曲线定义和余弦定理，通过设未知数、列方程来求解离心率 e。
9．（2025高二上·盐田月考）已知直线l：，点P为⊙M ：上一点，则（ ）
A．直线l与⊙M相离
B．点P到直线l距离的最小值为
C．与⊙M关于直线l对称的圆的方程为
D．平行于l且与⊙M相切的两条直线方程为和
【答案】A,C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；关于点、直线对称的圆的方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：A、⊙M ：，圆心，半径，
圆心到直线l：的距离为：，
所以直线l与⊙M相离，故A正确；
B、点P到直线l距离的最小值为，故B错误；
C、设圆心关于直线l对称点为，
则，解得，
则与⊙M关于直线l对称的圆的方程为，故C正确；
D、设平行于l且与⊙M相切的直线方程为，
则，解得或，
平行于l且与⊙M相切的两条直线方程为和，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】判断直线与圆的位置关系：计算圆心到直线的距离 d，与半径 r 比较，d>r 则相离；求圆上点到直线的最小距离：最小距离为圆心到直线的距离减去半径，即 d r；求对称圆方程：先求圆心关于直线的对称点，半径不变，再写出圆的标准方程；求平行切线方程：设出平行直线的一般式，利用圆心到直线的距离等于半径求解参数。
10．（2025高二上·盐田月考）设等差数列的前项和为，公差为，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为 B．满足的最小值是14
C．满足的最大值是14 D．数列的最小项为第8项
【答案】A,B,D
【知识点】函数的最大（小）值；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：由，可知.
对于选项A：由为负，为正，可知最小，故A正确；
对于选项B：因为，
则满足的最小值为14，满足的最大值是13，故B正确、C错误；
对于选项D：由为负，为正，且为负，为正，
可知：为负，
考虑到，
则最大，
所以最小，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】根据和等差数列的通项公式，从而得出，再根据等差数列前n项和公式和函数求最值的方法以及不等式求解方法，则判断出选项A、选项B和选项C；根据为负，为正，且为负，为正，可知：为负，则，从而得出最大，进而得出最小，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．（2025高二上·盐田月考）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ）
A．当时，的周长为定值
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，有且仅有一个点，使得平面
【答案】B,D
【知识点】平面的法向量；空间向量垂直的坐标表示；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面的位置关系；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】因为点在矩形内部（含边界）．
对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误；
对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．
对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误；
对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确．
故答案为：B、D．
【分析】对于A，由于等价向量关系，进而确线段，判断A错误；对于B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定点轨迹为线段，通过线面平行得到平面的距离为定值，进而得其体积为定值，判断B正确；对于C，以点轨迹为线段，建立空间直角坐标系，求解点的个数，判断C错误；对于D，点轨迹为线段．设，利用．解出，判断D正确.
12．（2025高二上·盐田月考）已知点在平面内，点在外，且的一个法向量，则点到平面的距离为 ．
【答案】
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：易知，因为平面的一个法向量，
所以点到平面的距离为.
故答案为：.
【分析】根据向量的坐标运算求得向量，再根据点到面的距离公式求解即可.
13．（2025高二上·盐田月考）直线与双曲线的右支只有一个公共点，则的取值范围为 .
【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：因为直线过定点，
则直线与双曲线图象如图所示，
又因为双曲线的两条渐近线为，
因为直线与双曲线的右支只有一个公共点，
由图可知，.
故答案为：.
【分析】利用直线过定点，从而作出直线与双曲线的图象，再通过直线与双曲线的图象结合已知条件，从而得出实数k的取值范围.
14．（2025高二上·盐田月考）椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，、为其左、右焦点.是上的动点，点，且的最大值为，则 .动直线为椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点为，则点到直线的距离的取值范围为 .
【答案】；
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：根据椭圆定义，得，
所以，，
当且仅当为射线与椭圆的交点时，等号成立，
因为的最大值为，且，
所以，
解得，
则，
设直线与椭圆相切于点，
由椭圆的光学性质，可得、、三点共线，
则，
所以，点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
则点到直线的距离为，
由圆的几何性质可知，
点到直线的距离最小值，最大值，
则.
故答案为：；.
【分析】根据椭圆定义得出，从而得出，当且仅当为射线与椭圆的交点时等号成立，从而求出的值，进而得出的值；再根据椭圆的光学性质得出点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，再结合圆的几何性质得出的取值范围.
15．（2025高二上·盐田月考）已知等差数列满足，.
（1）求的通项公式；
（2）设数列前项和为，且，若，求正整数的最小值.
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
则，
解得，
则.
（2）解：由（1）可得，
则，
所以，
则数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
因为，
所以，
则，
所以或，
又因为，
所以，
则的最小值是．
【知识点】一元二次不等式及其解法；等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意和等差数列的通项公式，从而得到关于、的方程组，解方程组得出、的值，再利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）由（1）中数列的通项公式和等差数列的定义，则判断出数列是以为首项，为公差的等差数列，再利用等差数列前n项和公式得出，再根据已知条件解一元二次不等式得出m的取值范围，从而得出正整数的最小值.
（1）设等差数列的公差为，
则，解得，
故；
（2）由（1）可得，
则，
所以，则数列是以为首项，为公差的等差数列，
故，
因为，所以，所以，
所以或，
因为，所以，所以的最小值是．
16．（2025高二上·盐田月考）已知的圆心在直线上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，被直线l：截得的弦长为2.
（1）求的方程；
（2）设点D在上运动，且点满足，（O为原点）记点的轨迹为.
①求曲线的方程；
②过点的直线与曲线交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意，可设圆的圆心的坐标为，
圆的圆心在直线上，
，
解得：，
则圆C的圆心C为，
圆心到直线的距离为，
设圆的半径为r，
圆C的弦长为，
由，
得，
所以圆的标准方程为.
（2）解：①设，
则，
由，得：，
所以
因为点D在圆上运动，
则
整理可得，点T的轨迹方程为：.
②当直线轴时，轴平分；
当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，
联立，
化简可得，
因为方程的判别式为：，
设，，，
则
若轴平分，
则，
所以，
又因为，，
所以，
则，
所以，
则，
解得，
当时，能使轴平分.
【知识点】平面向量的共线定理；斜率的计算公式；圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）由点C在y轴右侧且到y轴的距离为1和代入法，从而求出圆心坐标，再结合弦长公式求出圆的半径，从而可得圆的标准方程.
（2）①利用向量共线的坐标表示和点D在圆上运动，再利用代点法求出点的轨迹方程.
②利用已知条件分类讨论，则在直线斜率存在条件下利用设而不求法，从而求出点的坐标，再检验直线的斜率不存在时该点是否也满足条件，从而得出当时，能使轴平分.
（1）由题意可设圆的圆心的坐标为，圆的圆心在直线上，
，解得：，即圆心为，
圆心到直线的距离为，设圆的半径为r，弦长为，
由已知
所以，所以圆的标准方程为；
（2）设，则，
由得：，所以
D在圆上运动，
整理可得点T的轨迹方程为：
当直线轴时，轴平分，
当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，
联立化简可得，
方程的判别式，
设，，，
若轴平分，则，所以，
又，，
所以，
所以，
所以
所以
解得，
当时，能使轴平分.
17．（2025高二上·盐田月考）已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，为与的一个公共点.
（1）求，的方程；
（2）过点的直线交于两点，交于两点，若，求的方程.
【答案】（1）解：将代入得，则的方程为，
其焦点坐标为，因为也是椭圆的一个焦点，所以① ；
又过点，所以② ，联立①② 得，
所以，故的方程为．
（2）解：
当直线斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不合要求，
故直线的斜率不为0，设方程为，
联立与，可得，，
设，故，
则，
故，
联立与，可得，，
设，则，
则，
所以，解得，所以直线方程为.
【知识点】椭圆的简单性质；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)先将点代入抛物线方程求出 ，得到抛物线焦点的坐标，此焦点也是椭圆的一个焦点，从而得到椭圆的值，再将点 代入椭圆方程，结合求出和，进而得到椭圆方程。
(2)设直线方程为（避免斜率不存在的情况），分别与抛物线和椭圆联立，利用弦长公式求出和，再根据 建立方程求解，从而得到直线方程。
（1）将代入得，则的方程为，
其焦点坐标为，因为也是椭圆的一个焦点，所以① ；
又过点，所以② ，联立①② 得，
所以，故的方程为．
（2）当直线斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不合要求，
故直线的斜率不为0，设方程为，
联立与，可得，，
设，故，
则，
故，
联立与，可得，，
设，则，
则，
所以，解得，所以直线方程为.
18．（2025高二上·盐田月考）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，E为PD的中点，点F在PC上，且.
（1）证明：平面平面PAD；
（2）求PC与平面AEF所成角的正弦值；
（3）若棱PB上一点G满足，且平面AEF与平面AFG的夹角的余弦值为，求
【答案】（1）证明：因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
又因为，，PA、平面PAD，所以平面PAD，
又因为平面PCD，所以平面平面；
（2）解：以A为原点，AD，AP所在直线分别为y，z轴，作为x轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
，，，
设平面AEF的法向量为，则，令，则，，可得，
设PC与平面AEF所成角为，则，
即PC与平面AEF所成角的正弦值为；
（3）解：由（2）知，，平面AEF的一个法向量为，，，
，
设平面AFG的法向量为，则，
令，则，，可得，
因为平面AEF与平面AFG的夹角的余弦值为，
所以，
整理得，即，解得或（舍），
故.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题可得，结合，根据面面垂直的判定定理证明即可；
（2） 以A为原点，AD，AP所在直线分别为y，z轴，作为x轴，建立空间直角坐标系， 利用空间向量法求线面角即可；
（3）由（2）知，，平面AEF的一个法向量为，用含的式子表示出平面AFG的法向量，再利用空间向量的面面角列关于的方程，求解即可.
（1）∵平面ABCD，平面ABCD，
∴，
∵，，PA、平面PAD，
∴平面PAD，又∵平面PCD，
∴平面平面
（2）以A为原点，AD，AP所在直线分别为y，z轴，作为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，，
设平面AEF的法向量为，则，
令，则，，故，
设PC与平面AEF所成角为，则，
∴PC与平面AEF所成角的正弦值为
（3）由（2）知，，平面AEF的一个法向量为，
∴，，
∴，
设平面AFG的法向量为，则，
令，则，，故，
∵平面AEF与平面AFG的夹角的余弦值为，
∴，
整理得，即，
解得或（舍），
∴.
19．（2025高二上·盐田月考）17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形.带槽杆长为4，点间的距离2，转动杆一周的过程中始终有.点在线段的延长线上，且.
（1）以线段中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与交于两点.记直线的斜率分别为，
（i）证明：为定值；
（ii）若直线的斜率为，点是轨迹上异于的点，且平分，求的取值范围.
【答案】（1）解：，
点的轨迹是以为焦点的椭圆，
设椭圆的方程为，
，
，
点的轨迹的方程为.
（2）（i）证明：设直线与椭圆的交点坐标为，
①当直线斜率存在时，如图所示，
设直线，
联立直线方程与椭圆的标准方程，则，
可得：，
显然恒成立，
则，
，
，
，
，
则为定值；
②当直线斜率不存在时，直线垂直于轴，如图所示，
显然，
可得：，
则0，
综上所述：为定值.
（ii）解：，
，
由（i）可知：，
设，
则，
，
可得，
又，
，
则，
又直线的斜率存在，
，
，
综上所述：.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意结合椭圆的定义知点的轨迹是以为焦点的椭圆，从而确定a，b的值，进而得出点的轨迹的方程.
（2）（i）当直线斜率存在时，设直线，，再联立直线方程和椭圆方程，再利用韦达定理表示出，再结合两点求斜率公式，从而证出为定值；当直线斜率不存在时，直线垂直于轴，显然，再利用直线的斜率与直线倾斜角的关系式可得：，从而证出为定值.
（ii）根据三角形面积公式化简可得，设，由（i）和平面向量共线的坐标表示建立的方程，解方程结合函数求值域的方法，从而得出的取值范围.
（1），
点的轨迹是以为焦点的椭圆，
设椭圆的方程为，
，
，
点的轨迹的方程为；
（2）（i）证明：设直线与椭圆的交点坐标为
①当直线斜率存在时，如图，
设，
联立直线与椭圆的标准方程，
可得：，
显然：恒成立，则，
，
，
，
，即为定值；
②当直线斜率不存在时，直线垂直于轴，如图，
显然，可得：即0，
综上所述：为定值.
（ii），
，由（i）可知：，
设，即，
，可得，
又，，则，
又直线的斜率存在，，
，
综上：.
1 / 1广东省深圳市盐田高级中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题
1．（2025高二上·盐田月考）在等差数列中，，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（2025高二上·盐田月考）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，直线与抛物线另一交点为，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2025高二上·盐田月考）与曲线共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高二上·盐田月考）设，则“”是“直线与直线平行”的( ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2025高二上·盐田月考）如图，在三棱锥中，．若点分别在棱上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025高二上·盐田月考）已知圆与圆有三条公切线，则（ ）
A．5 B．16 C．32 D．36
7．（2025高二上·盐田月考）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的称为三角形数，第二行的称为正方形数.则根据以上规律，可推导出五边形数所构成的数列的第5项为（ ）
A．22 B．26 C．35 D．51
8．（2025高二上·盐田月考）已知双曲线的左，右焦点分别为，过点的直线交的左支于两点，若成等差数列，且，则的离心率是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高二上·盐田月考）已知直线l：，点P为⊙M ：上一点，则（ ）
A．直线l与⊙M相离
B．点P到直线l距离的最小值为
C．与⊙M关于直线l对称的圆的方程为
D．平行于l且与⊙M相切的两条直线方程为和
10．（2025高二上·盐田月考）设等差数列的前项和为，公差为，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为 B．满足的最小值是14
C．满足的最大值是14 D．数列的最小项为第8项
11．（2025高二上·盐田月考）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ）
A．当时，的周长为定值
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，有且仅有一个点，使得平面
12．（2025高二上·盐田月考）已知点在平面内，点在外，且的一个法向量，则点到平面的距离为 ．
13．（2025高二上·盐田月考）直线与双曲线的右支只有一个公共点，则的取值范围为 .
14．（2025高二上·盐田月考）椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，、为其左、右焦点.是上的动点，点，且的最大值为，则 .动直线为椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点为，则点到直线的距离的取值范围为 .
15．（2025高二上·盐田月考）已知等差数列满足，.
（1）求的通项公式；
（2）设数列前项和为，且，若，求正整数的最小值.
16．（2025高二上·盐田月考）已知的圆心在直线上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，被直线l：截得的弦长为2.
（1）求的方程；
（2）设点D在上运动，且点满足，（O为原点）记点的轨迹为.
①求曲线的方程；
②过点的直线与曲线交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
17．（2025高二上·盐田月考）已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，为与的一个公共点.
（1）求，的方程；
（2）过点的直线交于两点，交于两点，若，求的方程.
18．（2025高二上·盐田月考）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，E为PD的中点，点F在PC上，且.
（1）证明：平面平面PAD；
（2）求PC与平面AEF所成角的正弦值；
（3）若棱PB上一点G满足，且平面AEF与平面AFG的夹角的余弦值为，求
19．（2025高二上·盐田月考）17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形.带槽杆长为4，点间的距离2，转动杆一周的过程中始终有.点在线段的延长线上，且.
（1）以线段中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与交于两点.记直线的斜率分别为，
（i）证明：为定值；
（ii）若直线的斜率为，点是轨迹上异于的点，且平分，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为是等差数列，所以，则.
故答案为：C.
【分析】这道题的核心是利用等差数列的性质，即若 ，则 ，来求解。
2．【答案】B
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：因为，
由抛物线的定义，可知到准线距离为，
则，
解得：，
则抛物线方程为，
代入点的坐标，得，
所以，
不妨取，
又因为，
所以，直线的斜率为，
则直线为，
联立，
消去整理，得：，
解得：，，
则点的横坐标为，
由此可得：，
则.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和抛物线定义得出点到准线距离为，从而得出p的值，进而得出抛物线方程，再利用点代入法得出m的值，再根据两点求斜率公式得出直线AF的斜率，从而得出直线AF的方程，再将直线方程和抛物线方程联立得出点B的横坐标，再根据两点距离公式得出的值.
3．【答案】A
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为曲线为椭圆，焦点在轴上，且，
又因为所求双曲线与双曲线共渐近线，
可设所求双曲线为，化为标准方程：，
则，解得，所求双曲线为．
故选：
【分析】先根据椭圆的性质求出椭圆的焦点，即可求得所求的双曲线的方程的，然后根据双曲线和渐近线的相关性质可设所求双曲线为，即，进而求得即可确定双曲线的标准方程.
4．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线平行的判定
【解析】【分析】利用充分、必要条件进行推导，结合两直线直线l1：A1x+B1y+C1=0与直线l2：A2x+B2y+C2=0平行的充要条件是A1B2=A2B1≠A2C1可得答案．
（1）充分性：
当a=1时，直线l1：x+2y-1=0与直线l2：x+2y+4=0平行；
（2）必要性：
当直线l1：ax+2y-1=0与直线l2：x+2y+4=0平行时有：
a 2=2 1，即：a=1．
∴“a=1”是“直线l1：ax+2y-1=0与直线l2：x+2y+4=0平行”充分必要条件．
故选C
【点评】解决该试题的关键是对于两条直线平行的要分为斜率存在和斜率不存在两种情况来分析。两直线平行的充要条件是A1B2=A2B1≠A2C1。
5．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：由，
得，
所以.
故答案为：C．
【分析】利用空间向量基本定理和已知条件，从而用表示出．
6．【答案】C
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解：由圆，可知圆心为，半径为2；
由圆，可知且圆心为，半径为，
因为两个圆有三条公切线可知两圆外切，
所以，
解得：.
故答案为：C.
【分析】根据两圆有三条公切线可判断两圆外切，再利用两圆外切的判断方法，从而列方程得出m的值.
7．【答案】C
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】解：如图，
称为五边形数，
从第二项起，后项与前项的差依次为，
所以五边形数的第5项为.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件类比三角形数和正方形数得到五边形数，再由从第二项起，后项与前项的差依次为，则根据推导的规律推导出五边形数所构成的数列的第5项.
8．【答案】A
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设，所以，
又因为成等差数列，所以，
所以，所以，
因为，
解得，
所以，
所以为等腰三角形，
即，
化简可得，所以.
故答案为：A
【分析】这道题的核心是结合等差数列性质、双曲线定义和余弦定理，通过设未知数、列方程来求解离心率 e。
9．【答案】A,C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；关于点、直线对称的圆的方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：A、⊙M ：，圆心，半径，
圆心到直线l：的距离为：，
所以直线l与⊙M相离，故A正确；
B、点P到直线l距离的最小值为，故B错误；
C、设圆心关于直线l对称点为，
则，解得，
则与⊙M关于直线l对称的圆的方程为，故C正确；
D、设平行于l且与⊙M相切的直线方程为，
则，解得或，
平行于l且与⊙M相切的两条直线方程为和，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】判断直线与圆的位置关系：计算圆心到直线的距离 d，与半径 r 比较，d>r 则相离；求圆上点到直线的最小距离：最小距离为圆心到直线的距离减去半径，即 d r；求对称圆方程：先求圆心关于直线的对称点，半径不变，再写出圆的标准方程；求平行切线方程：设出平行直线的一般式，利用圆心到直线的距离等于半径求解参数。
10．【答案】A,B,D
【知识点】函数的最大（小）值；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：由，可知.
对于选项A：由为负，为正，可知最小，故A正确；
对于选项B：因为，
则满足的最小值为14，满足的最大值是13，故B正确、C错误；
对于选项D：由为负，为正，且为负，为正，
可知：为负，
考虑到，
则最大，
所以最小，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】根据和等差数列的通项公式，从而得出，再根据等差数列前n项和公式和函数求最值的方法以及不等式求解方法，则判断出选项A、选项B和选项C；根据为负，为正，且为负，为正，可知：为负，则，从而得出最大，进而得出最小，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．【答案】B,D
【知识点】平面的法向量；空间向量垂直的坐标表示；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面的位置关系；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】因为点在矩形内部（含边界）．
对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误；
对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．
对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误；
对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确．
故答案为：B、D．
【分析】对于A，由于等价向量关系，进而确线段，判断A错误；对于B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定点轨迹为线段，通过线面平行得到平面的距离为定值，进而得其体积为定值，判断B正确；对于C，以点轨迹为线段，建立空间直角坐标系，求解点的个数，判断C错误；对于D，点轨迹为线段．设，利用．解出，判断D正确.
12．【答案】
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：易知，因为平面的一个法向量，
所以点到平面的距离为.
故答案为：.
【分析】根据向量的坐标运算求得向量，再根据点到面的距离公式求解即可.
13．【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：因为直线过定点，
则直线与双曲线图象如图所示，
又因为双曲线的两条渐近线为，
因为直线与双曲线的右支只有一个公共点，
由图可知，.
故答案为：.
【分析】利用直线过定点，从而作出直线与双曲线的图象，再通过直线与双曲线的图象结合已知条件，从而得出实数k的取值范围.
14．【答案】；
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：根据椭圆定义，得，
所以，，
当且仅当为射线与椭圆的交点时，等号成立，
因为的最大值为，且，
所以，
解得，
则，
设直线与椭圆相切于点，
由椭圆的光学性质，可得、、三点共线，
则，
所以，点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
则点到直线的距离为，
由圆的几何性质可知，
点到直线的距离最小值，最大值，
则.
故答案为：；.
【分析】根据椭圆定义得出，从而得出，当且仅当为射线与椭圆的交点时等号成立，从而求出的值，进而得出的值；再根据椭圆的光学性质得出点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，再结合圆的几何性质得出的取值范围.
15．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
则，
解得，
则.
（2）解：由（1）可得，
则，
所以，
则数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
因为，
所以，
则，
所以或，
又因为，
所以，
则的最小值是．
【知识点】一元二次不等式及其解法；等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意和等差数列的通项公式，从而得到关于、的方程组，解方程组得出、的值，再利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）由（1）中数列的通项公式和等差数列的定义，则判断出数列是以为首项，为公差的等差数列，再利用等差数列前n项和公式得出，再根据已知条件解一元二次不等式得出m的取值范围，从而得出正整数的最小值.
（1）设等差数列的公差为，
则，解得，
故；
（2）由（1）可得，
则，
所以，则数列是以为首项，为公差的等差数列，
故，
因为，所以，所以，
所以或，
因为，所以，所以的最小值是．
16．【答案】（1）解：由题意，可设圆的圆心的坐标为，
圆的圆心在直线上，
，
解得：，
则圆C的圆心C为，
圆心到直线的距离为，
设圆的半径为r，
圆C的弦长为，
由，
得，
所以圆的标准方程为.
（2）解：①设，
则，
由，得：，
所以
因为点D在圆上运动，
则
整理可得，点T的轨迹方程为：.
②当直线轴时，轴平分；
当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，
联立，
化简可得，
因为方程的判别式为：，
设，，，
则
若轴平分，
则，
所以，
又因为，，
所以，
则，
所以，
则，
解得，
当时，能使轴平分.
【知识点】平面向量的共线定理；斜率的计算公式；圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）由点C在y轴右侧且到y轴的距离为1和代入法，从而求出圆心坐标，再结合弦长公式求出圆的半径，从而可得圆的标准方程.
（2）①利用向量共线的坐标表示和点D在圆上运动，再利用代点法求出点的轨迹方程.
②利用已知条件分类讨论，则在直线斜率存在条件下利用设而不求法，从而求出点的坐标，再检验直线的斜率不存在时该点是否也满足条件，从而得出当时，能使轴平分.
（1）由题意可设圆的圆心的坐标为，圆的圆心在直线上，
，解得：，即圆心为，
圆心到直线的距离为，设圆的半径为r，弦长为，
由已知
所以，所以圆的标准方程为；
（2）设，则，
由得：，所以
D在圆上运动，
整理可得点T的轨迹方程为：
当直线轴时，轴平分，
当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，
联立化简可得，
方程的判别式，
设，，，
若轴平分，则，所以，
又，，
所以，
所以，
所以
所以
解得，
当时，能使轴平分.
17．【答案】（1）解：将代入得，则的方程为，
其焦点坐标为，因为也是椭圆的一个焦点，所以① ；
又过点，所以② ，联立①② 得，
所以，故的方程为．
（2）解：
当直线斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不合要求，
故直线的斜率不为0，设方程为，
联立与，可得，，
设，故，
则，
故，
联立与，可得，，
设，则，
则，
所以，解得，所以直线方程为.
【知识点】椭圆的简单性质；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)先将点代入抛物线方程求出 ，得到抛物线焦点的坐标，此焦点也是椭圆的一个焦点，从而得到椭圆的值，再将点 代入椭圆方程，结合求出和，进而得到椭圆方程。
(2)设直线方程为（避免斜率不存在的情况），分别与抛物线和椭圆联立，利用弦长公式求出和，再根据 建立方程求解，从而得到直线方程。
（1）将代入得，则的方程为，
其焦点坐标为，因为也是椭圆的一个焦点，所以① ；
又过点，所以② ，联立①② 得，
所以，故的方程为．
（2）当直线斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不合要求，
故直线的斜率不为0，设方程为，
联立与，可得，，
设，故，
则，
故，
联立与，可得，，
设，则，
则，
所以，解得，所以直线方程为.
18．【答案】（1）证明：因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
又因为，，PA、平面PAD，所以平面PAD，
又因为平面PCD，所以平面平面；
（2）解：以A为原点，AD，AP所在直线分别为y，z轴，作为x轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
，，，
设平面AEF的法向量为，则，令，则，，可得，
设PC与平面AEF所成角为，则，
即PC与平面AEF所成角的正弦值为；
（3）解：由（2）知，，平面AEF的一个法向量为，，，
，
设平面AFG的法向量为，则，
令，则，，可得，
因为平面AEF与平面AFG的夹角的余弦值为，
所以，
整理得，即，解得或（舍），
故.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题可得，结合，根据面面垂直的判定定理证明即可；
（2） 以A为原点，AD，AP所在直线分别为y，z轴，作为x轴，建立空间直角坐标系， 利用空间向量法求线面角即可；
（3）由（2）知，，平面AEF的一个法向量为，用含的式子表示出平面AFG的法向量，再利用空间向量的面面角列关于的方程，求解即可.
（1）∵平面ABCD，平面ABCD，
∴，
∵，，PA、平面PAD，
∴平面PAD，又∵平面PCD，
∴平面平面
（2）以A为原点，AD，AP所在直线分别为y，z轴，作为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，，
设平面AEF的法向量为，则，
令，则，，故，
设PC与平面AEF所成角为，则，
∴PC与平面AEF所成角的正弦值为
（3）由（2）知，，平面AEF的一个法向量为，
∴，，
∴，
设平面AFG的法向量为，则，
令，则，，故，
∵平面AEF与平面AFG的夹角的余弦值为，
∴，
整理得，即，
解得或（舍），
∴.
19．【答案】（1）解：，
点的轨迹是以为焦点的椭圆，
设椭圆的方程为，
，
，
点的轨迹的方程为.
（2）（i）证明：设直线与椭圆的交点坐标为，
①当直线斜率存在时，如图所示，
设直线，
联立直线方程与椭圆的标准方程，则，
可得：，
显然恒成立，
则，
，
，
，
，
则为定值；
②当直线斜率不存在时，直线垂直于轴，如图所示，
显然，
可得：，
则0，
综上所述：为定值.
（ii）解：，
，
由（i）可知：，
设，
则，
，
可得，
又，
，
则，
又直线的斜率存在，
，
，
综上所述：.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意结合椭圆的定义知点的轨迹是以为焦点的椭圆，从而确定a，b的值，进而得出点的轨迹的方程.
（2）（i）当直线斜率存在时，设直线，，再联立直线方程和椭圆方程，再利用韦达定理表示出，再结合两点求斜率公式，从而证出为定值；当直线斜率不存在时，直线垂直于轴，显然，再利用直线的斜率与直线倾斜角的关系式可得：，从而证出为定值.
（ii）根据三角形面积公式化简可得，设，由（i）和平面向量共线的坐标表示建立的方程，解方程结合函数求值域的方法，从而得出的取值范围.
（1），
点的轨迹是以为焦点的椭圆，
设椭圆的方程为，
，
，
点的轨迹的方程为；
（2）（i）证明：设直线与椭圆的交点坐标为
①当直线斜率存在时，如图，
设，
联立直线与椭圆的标准方程，
可得：，
显然：恒成立，则，
，
，
，
，即为定值；
②当直线斜率不存在时，直线垂直于轴，如图，
显然，可得：即0，
综上所述：为定值.
（ii），
，由（i）可知：，
设，即，
，可得，
又，，则，
又直线的斜率存在，，
，
综上：.
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