广东省深圳市南头中学2025-2026学年高三上学期适应性考试数学试题
1．（2026高三上·南山期末）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：由题意可知，，
又因为集合
所以
故答案为：C
【分析】先求解集合B，再根据并集的定义，把集合A和B的所有元素合并，重复元素只保留一次。
2．（2026高三上·南山期末）复数z满足，则在复平面内，复数z对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，
所以复数z在复平面内对应的点为，位于第一象限.
故答案为：A.
【分析】先根据复数的乘除法运算法则，从而得出复数z，再根据复数的几何意义得出复数z对应的点，进而得出复数z对应的点所在的象限.
3．（2026高三上·南山期末）已知向量，.若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由，得，解得.
故答案为：D.
【分析】这道题的核心是利用向量垂直的坐标表示来求解参数m，两个向量垂直，它们的点积为0。
4．（2026高三上·南山期末）已知是等边三角形，设，，则向量在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题可得，，
所以向量在上的投影向量为，
故答案为：B.
【分析】这道题的核心是理解向量投影向量的计算公式，并正确找出两个向量与的夹角。
5．（2026高三上·南山期末）已知是抛物线的焦点，是上不同的两点，且都在第一象限，若轴，，，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】A
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：因为轴，所以，
又因为，所以，可得得，所以，
因为，所以，得.
故答案为：A.
【分析】这道题的核心是利用抛物线的定义和性质，结合两点间距离公式求解参数p，关键步骤是确定点A和点B的坐标，再通过距离条件列方程。
6．（2026高三上·南山期末）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E，再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：由题意，得每段圆弧的中心角都是，每段圆弧的半径依次增加1，
则第段圆弧的半径为，弧长记为，
所以，
则.
故答案为：D．
【分析】利用扇形的弧长公式和等差数列前n项和公式，从而得出“蚊香”的长度.
7．（2026高三上·南山期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：由三角函数线知识可知，当时，，
故.
令，
则
故在上单调递减，则.
故，即，故.
综上，.
故答案为：A.
【分析】这道题的核心是比较三个三角函数表达式在处的大小，我们可以分两步进行：先利用三角函数线比较和，再构造函数比较和。
8．（2026高三上·南山期末）已知是定义在上的增函数，且存在函数使得，若，分别是方程和的根，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：是的根，
，
则，①
是的根，
，
则，
存在函数使得，
，②
是定义在上的增函数，
在上单调递增，
由①②可得， ，
又因为，
所以，
，
则.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和方程根代入法，从而分别得到关于和的关系式，再利用将关系式变形得到和，再借助函数的单调性得出的值.
9．（2026高三上·南山期末）分别是等差数列的前项和，则（ ）
A．是等差数列 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A,C
【知识点】等差数列的前n项和；数列的通项公式
【解析】【解答】解：A、设等差数列的公差分别为，
则，
所以是等差数列，故A正确；
B、，故B错误；
C、设，
则，
又，所以.
可设，
所以，
所以，故C正确；
D、成等差数列，
又，
所以，所以，故D错误.
故答案为：AC
【分析】这道题的核心是利用等差数列的定义、通项公式和前n项和的性质，来逐一判断每个选项的正误。
10．（2026高三上·南山期末）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在上单调
C．若，则的最小值为
D．若，则的最小值为
【答案】A,C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：A：由题意可知，函数的最小正周期，所以，A正确.
B：当时，，所以在上不单调，B错误.
C：若，则或，所以的最小值为，C正确.
D：若，则，，所以的最小值为，D错误.
故答案为：AC.
【分析】这道题的核心是分析余弦型函数 的性质，包括周期性、单调性、最值以及满足特定函数值条件下的自变量间距。
11．（2026高三上·南山期末）已知定义在复数集C上的函数，，其中为虚数单位，记的模为，则（ ）
A．
B．
C．的实部的最大值为
D．
【答案】A,D
【知识点】数列的求和；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：A，由，
所以，故A正确；
B，由函数，
代入，可得，
可得
因为为含有的虚数，而为实数，所以不能比较大小，故B错误；
C，由的实部为，可得，
由函数在上为单调递增函数，
当时，取得最大值，故C错误；
D，由，可得，
所以，
取，可得，因为，此时满足，
即成立，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】A：对裂项放缩，求和后证得；
B：是实数，是复数，复数与实数无法直接比较大小；
C：化简求实部，分析其关于的单调性，判断最大值；
D：计算的下界，结合，证明存在满足条件。
12．（2026高三上·南山期末）若的展开式的二项式系数和为32，则其展开式的第四项系数为 .
【答案】
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，故，
故展开式的第四项为，
故系数为。
故答案为：
【分析】这道题的核心是先利用 “二项式系数和” 求出指数 n，再代入通项公式求出指定项的系数。
13．（2026高三上·南山期末）已知双曲线的右焦点为，点在的右支上，为关于轴的对称点，若直线的斜率分别为，，则的离心率为 .
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设双曲线的左焦点为，连接，
因为为关于轴的对称点，若直线的斜率分别为，
可得直线的倾斜角为，则，
又由的斜率为，可得，所以，
在中，设，，
由正弦定理得，即，可得，
又由双曲线的定义，可得，所以，.
在中，由余弦定理得，
整理得，即，解得（舍去），
所以双曲线的离心率为.
故答案为：.
【分析】这道题的核心是通过已知的直线斜率求出角度，再利用双曲线的定义和正弦、余弦定理来建立关于a和c的方程，从而求解离心率e。
14．（2026高三上·南山期末）蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示，图中7个正六边形的边长都为1，是其中一个正六边形的顶点，为图中7个正六边形内一点（包含边界），则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：设向量在向量上的投影向量为，则，如图，
过作，垂足为，过作，垂足为．
当在、处时，最小，最小值为；
当在、处时，最大，最大值为．
综上所述，的取值范围是．
故答案为：
【分析】这道题的核心是利用向量数量积的几何意义来求解范围，数量积等于乘以在方向上的投影长度。
15．（2026高三上·南山期末）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、C．已知．
（1）求角C；
（2）若，点D在边AB上，CD为的平分线，且，求边长a的值．
【答案】（1）解：因为，
由正弦定理，得，
又因为，
所以，
则，
因为，所以，
则，
所以，
又因为，
所以.
（2）解：由（1）知，，
因为CD为的平分线，
所以，其中，
由三角形面积公式，
得，
，
又因为，
所以，
则，
解得.
【知识点】两角和与差的正弦公式；运用诱导公式化简求值；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由正弦定理和三角形内角和定义以及诱导公式，从而得出，，再利用两角和的正弦公式以及三角函数值在各象限的符号，从而得到的值，再利用三角形中角C的取值范围，从而求出角的值.
（2）由（1）得出角C的值，再利用角平分线的性质，从而得出，其中，再由三角形面积公式和已知条件，从而得到方程，进而求出的值.
（1），由正弦定理得，
又，
所以，即，
因为，所以，故，即，
又，所以；
（2）由（1）知，，
又CD为的平分线，故，
其中，由三角形面积公式得，
，
又，
显然，即，
解得.
16．（2026高三上·南山期末）如图，在四棱锥中，平面.
（1）证明：平面PAC.
（2）在线段BC上是否存在一点，使点到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明：在直角梯形ABCD中，，
因为，所以，所以.
又因为平面ABCD，所以.
因为，所以平面PAC.
（2）解：假设存在一点，使点到平面PCD的距离为，设，
即，连接DE，EP，
因为，
所以.
因为平面ABCD，所以，则，
由（1）知平面PAC，则.
由，得，解得，
因此线段BC上存在一点，当时，点到平面PCD的距离为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】(1)先利用勾股定理证明 ，再结合 平面 得到 ，最后根据线面垂直的判定定理，证明 平面 。
(2)假设存在点 ，设 ，用等体积法 建立方程，求出 的值，从而判断点 是否存在。
（1）法一，
在直角梯形ABCD中，，
因为，所以，所以.
又因为平面ABCD，所以.
因为，所以平面PAC.
法二，
以为坐标原点，AD，AB，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则.
设平面PAC的法向量为，
因为，所以
取，得.
又，所以，即与共线，
所以平面PAC.
（2）法一
假设存在一点，使点到平面PCD的距离为，设，
即，连接DE，EP，
因为，
所以.
因为平面ABCD，所以，则，
由（1）知平面PAC，则.
由，得，解得，
因此线段BC上存在一点，当时，点到平面PCD的距离为.
法二，
设平面PCD的法向量为，
因为，所以
取，得.
设，点到平面PCD的距离为，
因为，所以，解得，
所以，
因此线段BC上存在一点，当时，点到平面PCD的距离为.
17．（2026高三上·南山期末）在机器学习中，精确率、召回率、卡帕系数是衡量算法性能的重要指标．科研机构为了测试某型号扫雷机器人的检测效果，将模拟战场分为100个位点，并在部分位点部署地雷．扫雷机器人依次对每个位点进行检测，表示事件“选到的位点实际有雷”，表示事件“选到的位点检测到有雷”，定义：精确率，召回率，卡帕系数，其中．
（1）若某次测试的结果如下表所示，求该扫雷机器人的精确率和召回率．
实际有雷 实际无雷 总计
检测到有雷 40 24 64
检测到无雷 10 26 36
总计 50 50 100
（2）对任意一次测试，证明：．
（3）若，则认为机器人的检测效果良好；若，则认为检测效果一般；若，则认为检测效果差．根据卡帕系数评价（1）中机器人的检测效果．
【答案】（1）解：，
．
（2）证明：，
要证明，
需证明．
等式右边：
．
等式左边：
因为，
所以
．
等式左右两边相等，因此成立．
（3）解：由（2）得，因为，
所以（1）中机器人的检测效果一般．
【知识点】互斥事件的概率加法公式；条件概率
【解析】【分析】(1)根据条件概率定义，精确率 是检测到有雷且实际有雷的概率除以检测到有雷的概率；召回率 是检测到有雷且实际有雷的概率除以实际有雷的概率，直接用表格中的频数计算即可。
(2)将卡帕系数 的表达式中的 和 用 等概率表示，再进行代数化简，即可证明等式。
(3)先计算 和 ，再代入卡帕系数公式求出 ，最后根据 的值判断检测效果。
（1），
．
（2），
要证明，
需证明．
等式右边：
．
等式左边：
因为，
所以
．
等式左右两边相等，因此成立．
（3）由（2）得，因为，
所以（1）中机器人的检测效果一般．
18．（2026高三上·南山期末）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且点在椭圆上.
（1）求的方程.
（2）过点作直线交于两点，过原点作直线的平行线交于两点，则是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：抛物线的焦点，则
又在椭圆上，将点代入椭圆方程得.
解得，
所以椭圆的方程为；
（2）解：
①若直线的斜率为，则与重合，，
又因为，即，此时；
②若直线的斜率不存在或斜率存在但不为0，则可设其方程为，则平行线的方程为
联立与椭圆方程，消去得
设，则，
由弦长公式，可得
，
联立与椭圆方程，消去得，解得，
由对称性及弦长公式，可得，
因此，此时.
综上所述，存在常数，使得恒成立，.
【知识点】椭圆的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)先根据抛物线焦点坐标得到椭圆的 值，再将已知点代入椭圆方程，结合 求解 和 ，从而得到椭圆方程。
(2)分斜率为0和斜率存在且不为0两种情况讨论。当斜率为0时直接计算弦长；当斜率存在时，联立直线与椭圆方程，用弦长公式分别求出 和 ，再验证 是否恒成立。
（1）抛物线的焦点，则
又在椭圆上，将点代入椭圆方程得.
解得，所以椭圆的方程为；
（2）①若直线的斜率为，则与重合，，
又因为，即，此时；
②若直线的斜率不存在或斜率存在但不为0，则可设其方程为，则平行线的方程为
联立与椭圆方程，消去得
设，则，
由弦长公式，可得
，
联立与椭圆方程，消去得，解得，
由对称性及弦长公式，可得，
因此，此时.
综上所述，存在常数，使得恒成立，.
19．（2026高三上·南山期末）若函数满足条件：函数的定义域为，且，，，当时，都有，则称为区间上的“型函数”.
（1）若是“型函数”，求实数的最大值；
（2）若函数不是上的“型函数”，求实数的取值范围；
（3）在数列中，，，若是“型函数”，且正整数的个数为，证明：.
【答案】（1）解：由题可得，
易知，令，得，
所以当时，，当时，，
因此在上单调递减，在上单调递增.
所以，，当时，都有，
故实数的最大值为.
（2）解：由“型函数”的定义可知，若函数是上的“型函数”，则在存在递减区间，
故在上存在解，且为解集的子集，
由题可得，
设，，
则.
当时，，为上的增函数，则，不合题意，
当时，若，，
则为上的减函数，则，合题意，
若，当时，，
则为上的增函数，则，不合题意，
故函数是上的“型函数”，则，
故函数不是上的“型函数”，则.
（3）证明：由题意可得，，，，设的值分别为，且，.
若，则当，即时，，所以，
又，故；（提示：意味着只有1个正整数，使得是“型函数”，因此根据“型函数”的定义可得，若，则的值就不会只有1个）
当时，由题意可得，，，（提示：的值只有1个，因此）
所以，
则，又，故.
若，则，，，，
当时，由题意得，
当时，由题意得，，且，又，所以.
故恒成立，
所以，，，，
所以，（累加法的应用）
所以，
又，所以，又，所以.
综上，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；数列与函数的综合
【解析】【分析】(1)根据“t型函数”定义，t是函数在定义域上的极小值点，对函数求导，找到极小值点，该点即为t的最大值。
(2)函数不是“t型函数”，等价于函数在[0，2]上没有满足条件的t，即函数在该区间内不存在极小值点，或极小值点不满足定义，通过求导分析单调性，找到参数a的取值范围。
(3)利用“t型函数”定义，数列在正整数t处取得最小值，结合递推关系 ，通过累加证明不等式。
（1）由题可得，
易知，令，得，
所以当时，，当时，，
因此在上单调递减，在上单调递增.
所以，，当时，都有，
故实数的最大值为.
（2）由“型函数”的定义可知，若函数是上的“型函数”，
则在存在递减区间，
故在上存在解，且为解集的子集，
由题可得，
设，，
则.
当时，，为上的增函数，则，不合题意，
当时，若，，
则为上的减函数，则，合题意，
若，当时，，
则为上的增函数，则，不合题意，
故函数是上的“型函数”，则，
故函数不是上的“型函数”，则.
（3）由题意可得，，，，
设的值分别为，且，.
若，则当，即时，，所以，
又，故；（提示：意味着只有1个正整数，使得是“型函数”，因此根据“型函数”的定义可得，若，则的值就不会只有1个）
当时，由题意可得，，，（提示：的值只有1个，因此）
所以，
则，又，故.
若，则，，，，
当时，由题意得，
当时，由题意得，，且，又，所以.
故恒成立，
所以，，，，
所以，（累加法的应用）
所以，
又，所以，又，所以.
综上，.
1 / 1广东省深圳市南头中学2025-2026学年高三上学期适应性考试数学试题
1．（2026高三上·南山期末）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2026高三上·南山期末）复数z满足，则在复平面内，复数z对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2026高三上·南山期末）已知向量，.若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2026高三上·南山期末）已知是等边三角形，设，，则向量在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．（2026高三上·南山期末）已知是抛物线的焦点，是上不同的两点，且都在第一象限，若轴，，，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
6．（2026高三上·南山期末）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E，再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ）
A． B． C． D．
7．（2026高三上·南山期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2026高三上·南山期末）已知是定义在上的增函数，且存在函数使得，若，分别是方程和的根，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．（2026高三上·南山期末）分别是等差数列的前项和，则（ ）
A．是等差数列 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2026高三上·南山期末）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在上单调
C．若，则的最小值为
D．若，则的最小值为
11．（2026高三上·南山期末）已知定义在复数集C上的函数，，其中为虚数单位，记的模为，则（ ）
A．
B．
C．的实部的最大值为
D．
12．（2026高三上·南山期末）若的展开式的二项式系数和为32，则其展开式的第四项系数为 .
13．（2026高三上·南山期末）已知双曲线的右焦点为，点在的右支上，为关于轴的对称点，若直线的斜率分别为，，则的离心率为 .
14．（2026高三上·南山期末）蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示，图中7个正六边形的边长都为1，是其中一个正六边形的顶点，为图中7个正六边形内一点（包含边界），则的取值范围是 ．
15．（2026高三上·南山期末）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、C．已知．
（1）求角C；
（2）若，点D在边AB上，CD为的平分线，且，求边长a的值．
16．（2026高三上·南山期末）如图，在四棱锥中，平面.
（1）证明：平面PAC.
（2）在线段BC上是否存在一点，使点到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
17．（2026高三上·南山期末）在机器学习中，精确率、召回率、卡帕系数是衡量算法性能的重要指标．科研机构为了测试某型号扫雷机器人的检测效果，将模拟战场分为100个位点，并在部分位点部署地雷．扫雷机器人依次对每个位点进行检测，表示事件“选到的位点实际有雷”，表示事件“选到的位点检测到有雷”，定义：精确率，召回率，卡帕系数，其中．
（1）若某次测试的结果如下表所示，求该扫雷机器人的精确率和召回率．
实际有雷 实际无雷 总计
检测到有雷 40 24 64
检测到无雷 10 26 36
总计 50 50 100
（2）对任意一次测试，证明：．
（3）若，则认为机器人的检测效果良好；若，则认为检测效果一般；若，则认为检测效果差．根据卡帕系数评价（1）中机器人的检测效果．
18．（2026高三上·南山期末）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且点在椭圆上.
（1）求的方程.
（2）过点作直线交于两点，过原点作直线的平行线交于两点，则是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19．（2026高三上·南山期末）若函数满足条件：函数的定义域为，且，，，当时，都有，则称为区间上的“型函数”.
（1）若是“型函数”，求实数的最大值；
（2）若函数不是上的“型函数”，求实数的取值范围；
（3）在数列中，，，若是“型函数”，且正整数的个数为，证明：.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：由题意可知，，
又因为集合
所以
故答案为：C
【分析】先求解集合B，再根据并集的定义，把集合A和B的所有元素合并，重复元素只保留一次。
2．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，
所以复数z在复平面内对应的点为，位于第一象限.
故答案为：A.
【分析】先根据复数的乘除法运算法则，从而得出复数z，再根据复数的几何意义得出复数z对应的点，进而得出复数z对应的点所在的象限.
3．【答案】D
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由，得，解得.
故答案为：D.
【分析】这道题的核心是利用向量垂直的坐标表示来求解参数m，两个向量垂直，它们的点积为0。
4．【答案】B
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题可得，，
所以向量在上的投影向量为，
故答案为：B.
【分析】这道题的核心是理解向量投影向量的计算公式，并正确找出两个向量与的夹角。
5．【答案】A
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：因为轴，所以，
又因为，所以，可得得，所以，
因为，所以，得.
故答案为：A.
【分析】这道题的核心是利用抛物线的定义和性质，结合两点间距离公式求解参数p，关键步骤是确定点A和点B的坐标，再通过距离条件列方程。
6．【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：由题意，得每段圆弧的中心角都是，每段圆弧的半径依次增加1，
则第段圆弧的半径为，弧长记为，
所以，
则.
故答案为：D．
【分析】利用扇形的弧长公式和等差数列前n项和公式，从而得出“蚊香”的长度.
7．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：由三角函数线知识可知，当时，，
故.
令，
则
故在上单调递减，则.
故，即，故.
综上，.
故答案为：A.
【分析】这道题的核心是比较三个三角函数表达式在处的大小，我们可以分两步进行：先利用三角函数线比较和，再构造函数比较和。
8．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：是的根，
，
则，①
是的根，
，
则，
存在函数使得，
，②
是定义在上的增函数，
在上单调递增，
由①②可得， ，
又因为，
所以，
，
则.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和方程根代入法，从而分别得到关于和的关系式，再利用将关系式变形得到和，再借助函数的单调性得出的值.
9．【答案】A,C
【知识点】等差数列的前n项和；数列的通项公式
【解析】【解答】解：A、设等差数列的公差分别为，
则，
所以是等差数列，故A正确；
B、，故B错误；
C、设，
则，
又，所以.
可设，
所以，
所以，故C正确；
D、成等差数列，
又，
所以，所以，故D错误.
故答案为：AC
【分析】这道题的核心是利用等差数列的定义、通项公式和前n项和的性质，来逐一判断每个选项的正误。
10．【答案】A,C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：A：由题意可知，函数的最小正周期，所以，A正确.
B：当时，，所以在上不单调，B错误.
C：若，则或，所以的最小值为，C正确.
D：若，则，，所以的最小值为，D错误.
故答案为：AC.
【分析】这道题的核心是分析余弦型函数 的性质，包括周期性、单调性、最值以及满足特定函数值条件下的自变量间距。
11．【答案】A,D
【知识点】数列的求和；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：A，由，
所以，故A正确；
B，由函数，
代入，可得，
可得
因为为含有的虚数，而为实数，所以不能比较大小，故B错误；
C，由的实部为，可得，
由函数在上为单调递增函数，
当时，取得最大值，故C错误；
D，由，可得，
所以，
取，可得，因为，此时满足，
即成立，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】A：对裂项放缩，求和后证得；
B：是实数，是复数，复数与实数无法直接比较大小；
C：化简求实部，分析其关于的单调性，判断最大值；
D：计算的下界，结合，证明存在满足条件。
12．【答案】
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，故，
故展开式的第四项为，
故系数为。
故答案为：
【分析】这道题的核心是先利用 “二项式系数和” 求出指数 n，再代入通项公式求出指定项的系数。
13．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设双曲线的左焦点为，连接，
因为为关于轴的对称点，若直线的斜率分别为，
可得直线的倾斜角为，则，
又由的斜率为，可得，所以，
在中，设，，
由正弦定理得，即，可得，
又由双曲线的定义，可得，所以，.
在中，由余弦定理得，
整理得，即，解得（舍去），
所以双曲线的离心率为.
故答案为：.
【分析】这道题的核心是通过已知的直线斜率求出角度，再利用双曲线的定义和正弦、余弦定理来建立关于a和c的方程，从而求解离心率e。
14．【答案】
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：设向量在向量上的投影向量为，则，如图，
过作，垂足为，过作，垂足为．
当在、处时，最小，最小值为；
当在、处时，最大，最大值为．
综上所述，的取值范围是．
故答案为：
【分析】这道题的核心是利用向量数量积的几何意义来求解范围，数量积等于乘以在方向上的投影长度。
15．【答案】（1）解：因为，
由正弦定理，得，
又因为，
所以，
则，
因为，所以，
则，
所以，
又因为，
所以.
（2）解：由（1）知，，
因为CD为的平分线，
所以，其中，
由三角形面积公式，
得，
，
又因为，
所以，
则，
解得.
【知识点】两角和与差的正弦公式；运用诱导公式化简求值；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由正弦定理和三角形内角和定义以及诱导公式，从而得出，，再利用两角和的正弦公式以及三角函数值在各象限的符号，从而得到的值，再利用三角形中角C的取值范围，从而求出角的值.
（2）由（1）得出角C的值，再利用角平分线的性质，从而得出，其中，再由三角形面积公式和已知条件，从而得到方程，进而求出的值.
（1），由正弦定理得，
又，
所以，即，
因为，所以，故，即，
又，所以；
（2）由（1）知，，
又CD为的平分线，故，
其中，由三角形面积公式得，
，
又，
显然，即，
解得.
16．【答案】（1）证明：在直角梯形ABCD中，，
因为，所以，所以.
又因为平面ABCD，所以.
因为，所以平面PAC.
（2）解：假设存在一点，使点到平面PCD的距离为，设，
即，连接DE，EP，
因为，
所以.
因为平面ABCD，所以，则，
由（1）知平面PAC，则.
由，得，解得，
因此线段BC上存在一点，当时，点到平面PCD的距离为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】(1)先利用勾股定理证明 ，再结合 平面 得到 ，最后根据线面垂直的判定定理，证明 平面 。
(2)假设存在点 ，设 ，用等体积法 建立方程，求出 的值，从而判断点 是否存在。
（1）法一，
在直角梯形ABCD中，，
因为，所以，所以.
又因为平面ABCD，所以.
因为，所以平面PAC.
法二，
以为坐标原点，AD，AB，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则.
设平面PAC的法向量为，
因为，所以
取，得.
又，所以，即与共线，
所以平面PAC.
（2）法一
假设存在一点，使点到平面PCD的距离为，设，
即，连接DE，EP，
因为，
所以.
因为平面ABCD，所以，则，
由（1）知平面PAC，则.
由，得，解得，
因此线段BC上存在一点，当时，点到平面PCD的距离为.
法二，
设平面PCD的法向量为，
因为，所以
取，得.
设，点到平面PCD的距离为，
因为，所以，解得，
所以，
因此线段BC上存在一点，当时，点到平面PCD的距离为.
17．【答案】（1）解：，
．
（2）证明：，
要证明，
需证明．
等式右边：
．
等式左边：
因为，
所以
．
等式左右两边相等，因此成立．
（3）解：由（2）得，因为，
所以（1）中机器人的检测效果一般．
【知识点】互斥事件的概率加法公式；条件概率
【解析】【分析】(1)根据条件概率定义，精确率 是检测到有雷且实际有雷的概率除以检测到有雷的概率；召回率 是检测到有雷且实际有雷的概率除以实际有雷的概率，直接用表格中的频数计算即可。
(2)将卡帕系数 的表达式中的 和 用 等概率表示，再进行代数化简，即可证明等式。
(3)先计算 和 ，再代入卡帕系数公式求出 ，最后根据 的值判断检测效果。
（1），
．
（2），
要证明，
需证明．
等式右边：
．
等式左边：
因为，
所以
．
等式左右两边相等，因此成立．
（3）由（2）得，因为，
所以（1）中机器人的检测效果一般．
18．【答案】（1）解：抛物线的焦点，则
又在椭圆上，将点代入椭圆方程得.
解得，
所以椭圆的方程为；
（2）解：
①若直线的斜率为，则与重合，，
又因为，即，此时；
②若直线的斜率不存在或斜率存在但不为0，则可设其方程为，则平行线的方程为
联立与椭圆方程，消去得
设，则，
由弦长公式，可得
，
联立与椭圆方程，消去得，解得，
由对称性及弦长公式，可得，
因此，此时.
综上所述，存在常数，使得恒成立，.
【知识点】椭圆的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)先根据抛物线焦点坐标得到椭圆的 值，再将已知点代入椭圆方程，结合 求解 和 ，从而得到椭圆方程。
(2)分斜率为0和斜率存在且不为0两种情况讨论。当斜率为0时直接计算弦长；当斜率存在时，联立直线与椭圆方程，用弦长公式分别求出 和 ，再验证 是否恒成立。
（1）抛物线的焦点，则
又在椭圆上，将点代入椭圆方程得.
解得，所以椭圆的方程为；
（2）①若直线的斜率为，则与重合，，
又因为，即，此时；
②若直线的斜率不存在或斜率存在但不为0，则可设其方程为，则平行线的方程为
联立与椭圆方程，消去得
设，则，
由弦长公式，可得
，
联立与椭圆方程，消去得，解得，
由对称性及弦长公式，可得，
因此，此时.
综上所述，存在常数，使得恒成立，.
19．【答案】（1）解：由题可得，
易知，令，得，
所以当时，，当时，，
因此在上单调递减，在上单调递增.
所以，，当时，都有，
故实数的最大值为.
（2）解：由“型函数”的定义可知，若函数是上的“型函数”，则在存在递减区间，
故在上存在解，且为解集的子集，
由题可得，
设，，
则.
当时，，为上的增函数，则，不合题意，
当时，若，，
则为上的减函数，则，合题意，
若，当时，，
则为上的增函数，则，不合题意，
故函数是上的“型函数”，则，
故函数不是上的“型函数”，则.
（3）证明：由题意可得，，，，设的值分别为，且，.
若，则当，即时，，所以，
又，故；（提示：意味着只有1个正整数，使得是“型函数”，因此根据“型函数”的定义可得，若，则的值就不会只有1个）
当时，由题意可得，，，（提示：的值只有1个，因此）
所以，
则，又，故.
若，则，，，，
当时，由题意得，
当时，由题意得，，且，又，所以.
故恒成立，
所以，，，，
所以，（累加法的应用）
所以，
又，所以，又，所以.
综上，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；数列与函数的综合
【解析】【分析】(1)根据“t型函数”定义，t是函数在定义域上的极小值点，对函数求导，找到极小值点，该点即为t的最大值。
(2)函数不是“t型函数”，等价于函数在[0，2]上没有满足条件的t，即函数在该区间内不存在极小值点，或极小值点不满足定义，通过求导分析单调性，找到参数a的取值范围。
(3)利用“t型函数”定义，数列在正整数t处取得最小值，结合递推关系 ，通过累加证明不等式。
（1）由题可得，
易知，令，得，
所以当时，，当时，，
因此在上单调递减，在上单调递增.
所以，，当时，都有，
故实数的最大值为.
（2）由“型函数”的定义可知，若函数是上的“型函数”，
则在存在递减区间，
故在上存在解，且为解集的子集，
由题可得，
设，，
则.
当时，，为上的增函数，则，不合题意，
当时，若，，
则为上的减函数，则，合题意，
若，当时，，
则为上的增函数，则，不合题意，
故函数是上的“型函数”，则，
故函数不是上的“型函数”，则.
（3）由题意可得，，，，
设的值分别为，且，.
若，则当，即时，，所以，
又，故；（提示：意味着只有1个正整数，使得是“型函数”，因此根据“型函数”的定义可得，若，则的值就不会只有1个）
当时，由题意可得，，，（提示：的值只有1个，因此）
所以，
则，又，故.
若，则，，，，
当时，由题意得，
当时，由题意得，，且，又，所以.
故恒成立，
所以，，，，
所以，（累加法的应用）
所以，
又，所以，又，所以.
综上，.
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