四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学2025-2026学年高三上学期期末考试数学试题
1．（2026高三上·锦江期末）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由题意，可得：，
所以.
故答案为：B.
【分析】先根据已知条件和元素与集合的关系求出集合A，再根据交集的运算法则得出集合.
2．（2026高三上·锦江期末）已知复数z=2+i，则 （ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】∵ 故答案为：D.
【分析】题先求得 ，然后根据复数的乘法运算法则即得.
3．（2026高三上·锦江期末）已知，，，且，，三点共线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，，所以，
因为三点共线，所以，解得.
故答案为：D.
【分析】根据三点共线得出向量共线，结合向量共线的坐标表示可得答案.
4．（2026高三上·锦江期末）函数的图象大致是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的图象
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为，
所以，
则函数为偶函数，故排除选项B和选项D；
又因为，故排除选项A.
故答案为：C.
【分析】利用函数的定义域和偶函数的图象的对称性，则判断出选项B和选项D；再利用特殊值排除法，则判断出选项A，从而找出正确的选项，则找出函数的大致图象.
5．（2026高三上·锦江期末）已知点为圆上一动点，若直线上存在两点，，满足，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：由点在直线上且，设线段的中点，
由得点在圆上，
因为圆的圆心，半径，又因为点在圆上，
即圆与圆有公共点，则，解得，
则，当且仅当时取等号，
因此，当且仅当以线段的中点为圆心，2为半径的圆与圆外切时取等号，
所以的最小值为2.
故答案为：C.
【分析】设线段的中点，从而求出以点为圆心，2为半径的圆，再利用此圆与圆有公共点求出的取值范围，即可求出r的最小值.
6．（2026高三上·锦江期末）已知数列满足且，则的值为（ ）
A．32 B．16 C． D．
【答案】D
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的性质
【解析】【解答】解：根据题意，数列满足，，
则，
所以，数列是公比为的等比数列，
由，
得，
则.
故答案为：D.
【分析】根据题意和等比数列的定义，则判断出数列是公比为的等比数列，再利用等比数列的性质得出的值.
7．（2026高三上·锦江期末）在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ）
A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为1
C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为1
【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由函数和导函数的图象，
可知虚线表示的是的图象，实线表示的是的图象，
当时，；当时，，
对于函数，，
因为，在上恒成立，
所以在上恒成立，
则函数在上单调递增，无最值；
对于函数，，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
则函数在处取得最大值，为.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合导数的正负判断函数的单调性，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而得出函数的最值，进而得出函数在上单调递增，无最值和函数的最大值为1.
8．（2026高三上·锦江期末）某高校外语系有8名志愿者，其中有5名男生，3名女生，现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作，若要求这3人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有（ ）
A．45种 B．56种 C．90种 D．120种
【答案】A
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】 人中既有男生又有女生分成两种情况：1个男生2个女生；2个男生1个女生.“1个男生2个女生”的方法数有 . “2个男生1个女生”的方法数有 .故总的方法数有 种.
故答案为：A.
【分析】 用分类计数原理来解，符合条件的包含两种结果，一是两女一男，二是两男一女，分别写出这两种结果，再用分类加法求出总和．
9．（2026高三上·锦江期末）函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（ ）
A．的最小正周期为
B．是的最小值
C．在区间上的值域为
D．把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象
【答案】A,B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：因为函数的图像过点，
可得，则，
所以，则，
所以函数解析式为.
对于A，因为函数的周期，故A正确；
对于B，因为，故B正确；
对于C，，，
利用正弦函数的性质，知，
可得，故C错误；
对于D，将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，
可得函数的图象，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用正弦型函数的图象过点，则得出的值，从而得出函数解析式，再利用正弦型函数的最小正周期公式判断出选项A；利用换元法和正弦函数求最值的方法，从而得出正弦型函数的最小值，则可判断选项B；利用换元法和正弦函数求值域的方法，从而得出正弦型函数在区间上的值域，则可判断选项C；利用正弦型函数的图象变换，则可判断选项D，从而找出正确的选项.
10．（2026高三上·锦江期末）已知椭圆的左、右焦点为，，为椭圆上一点，且，点关于原点对称的点为，则（ ）
A．椭圆的离心率为 B．
C．点的纵坐标满足 D．
【答案】A,C,D
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；椭圆的定义；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：对于A，由题意知，，，
则，，
所以，故A正确；
对于B，在中，由椭圆的定义，
得，
由余弦定理，得：
，
则，
解得，故B错误；
对于C，由的面积，
可得，故C正确；
对于D，由选项C知，点的横坐标满足，
所以，
则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据焦点坐标得出c的值，再利用椭圆方程得出b的值，再根据椭圆中a，b，c三者的关系式得出a的值，则由椭圆的离心率公式判断出选项A；利用椭圆的定义和余弦定理，则判断出选项B；利用三角形的面积公式和已知条件，则判断出选项C；利用选项C和两点距离公式，从而得出PQ的长，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．（2026高三上·锦江期末）直线：与的图象交于、两点，在A B两点的切线交于，的中点为，则（ ）
A． B．点的横坐标大于1
C． D．的斜率大于0
【答案】B,C
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：对于A，因为直线与曲线交于、两点，
则有两个不同正根，
所以直线与曲线有两个不同的交点，
，在上单调递减，在单调递增，且，，故A错误；
对于B，由题意得，，
，又因为，
设，
则，
令，在单调递减，
，
在单调递减，，
，，
又因为，
，
则直线的方程：，直线的方程：，
联立可得，故选项B正确；
对于C，设，
则，
，且，
则
，设，，
，
，
，
是的两个根，是方程的两根，
，故C正确；
对于D，，
，
，
利用对数均值不等式证明如下：
因为对数均值不等式：，
又，，
，
又因为，
，则，
所以<1，，则，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用点A和点B为两函数图象交点，则将条件转化为直线与曲线有两个不同的交点，再研究函数的图象，则由数形结合得出a的取值范围，则可判断选项A；联立两条切线方程得出点的横坐标，再利用极值点偏移思想可得之间的关系式，从而得出点的横坐标的取值范围，则可判断选项B；构造函数求导判断是的单调性，从而得出函数的最值，进而建立之间的关系，再将问题转化为二次函数两根之间距离问题，利用放缩法可判断选项C；化简直线CD的斜率，再结合前面的条件结合对数均值不等式，则可判断选项D，从而找出正确的选项.
12．（2026高三上·锦江期末）函数的最大值为 .
【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：因为函数f（x）＝2cosx+sinx（cosxsinx）sin（x+θ），
其中tanθ＝2，可知函数的最大值为：．
故答案为．
【分析】利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用换元法和正弦函数求最值的方法，从而得出正弦型函数的最大值．
13．（2026高三上·锦江期末）如图，三棱台的上、下底边长之比为，记三棱锥体积为，三棱台的体积为，则 ．
【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：由三棱台的上、下底边长之比为，
可得上、下底面的面积比为，
设棱台的高为，
则点到的距离也为，上底面面积为，
所以下底面面积为，
则.
故答案为：.
【分析】利用相似关系确定上底面面积和下底面面积的比值，再将棱锥转换顶点结合三棱锥体积公式、三棱台的体积公式，从而得出两个几何体的体积，进而得出的值.
14．（2026高三上·锦江期末）对于实数表示不超过的最大整数，如.已知数列的通项公式，前项和为，则 .
【答案】54
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：由已知条件，可得：，
，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，；，
所以.
故答案为：54.
【分析】变形得出，再利用裂项相消法得出，再由的定义分类讨论求和得出的值.
15．（2026高三上·锦江期末）已知，）.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）解：解法一：由题意，得，
则原式.
解法二：原式.
（2）解：因为，
所以，
又因为，
所以，
则
，
所以或.
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）利用两种方法求解.
解法一：由结合同角三角函数基本关系式，从而得到，再代入得出的值.
解法二：利用同角三角函数基本关系式，则将分子、分母同除以，再利用已知条件得出的值.
（2）根据结合同角三角函数基本关系式，从而得到，再根据结合同角三角函数基本关系式，从而得到，再由结合两角差的余弦公式，从而得出的值.
（1）解：解法一：由题意，，
所以原式.
解法二：原式.
（2）因为，
所以，
又，
所以，
所以
.
所以或.
16．（2026高三上·锦江期末）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程；
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.
【答案】解：（1）因为抛物线的焦点，
准线方程为，
由题意，则该抛物线焦点到准线的距离为，
所以，该抛物线的方程为.
（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法
设，则，
所以，
由点在抛物线上，可得，
则，
整理可得，点的轨迹方程为，
所以直线的斜率，
当时，；
当时，，
当时，
因为，此时，
当且仅当时，即当时，等号成立；
当时，，
综上所述，直线的斜率的最大值为.
[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法
同方法一，得到点Q的轨迹方程为，
设直线的方程为，
则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值，
联立
得，
其判别式，
解得，
所以，直线斜率的最大值为．
[方法三]：轨迹方程+换元求最值法
同方法一，得点Q的轨迹方程为，
设直线的斜率为k，则，
令，
则的对称轴为，
所以，
则直线斜率的最大值为．
[方法四]：参数+基本不等式法
由题意，可设，
因为，
所以．
则，
所以
则直线的斜率为，
当且仅当时，即当时等号成立，
所以，直线斜率的最大值为．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由抛物线标准方程得出焦点坐标和准线方程，再利用焦点到准线的距离公式得出p的值，从而得出抛物线C的方程.
（2）利用四种方法求解.
方法一：轨迹方程+基本不等式法.
设点，由向量共线的坐标表示，从而可得，再利用点代入法得出，从而得出点Q的轨迹方程，再利用两点求斜率公式和分类讨论的方法以及基本不等式求最值的方法，从而得出直线的斜率的最大值.
方法二： 轨迹方程+数形结合法.
同方法一得到点Q的轨迹方程，再利用数形结合求最值的方法，则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值，再联立直线方程和抛物线方程结合判别式法，从而得出直线OQ的斜率的最大值，进而得出直线的斜率的最大值.
方法三：轨迹方程+换元求最值法.
同方法一得出点Q的轨迹方程，再利用两点求斜率公式得到直线的斜率k的平方关于的表达式，再利用换元法转化为二次函数求最值的方法，从而得到直线斜率的最大值.
方法四：参数+基本不等式法.
利用参数法，由题意可设，再利用向量共线的坐标表示和两点求斜率公式，从而得出x，y关于的参数表达式，进而得到直线的斜率关于的表达式，再结合基本不等式求最值的方法，从而得出直线斜率的最大值.
17．（2026高三上·锦江期末）如图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面.如图2，的中点为.
（1）求证：平面；
（2）若的中点为，在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明：因为，的中点为，
所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
根据面面垂直的性质，
可得平面.
（2）解：取的中点为，连接，
则，
由图1直角梯形可知，四边形为正方形，
则，，，
，，
由（1）平面，可知，，两两互相垂直，
分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
设，
，
，，
设平面的法向量为，
则
取，则，
所以，平面的法向量为，
由平面，
取平面的法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
解得或（舍），
所以，线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，
点位于线段靠近的三等分点处.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形三线合一得出线线垂直，再利用面面垂直的性质定理，从而证出线面垂直，即证出直线平面.
（2）分利用中位线定理得出线线平行，再利用直角梯形的结构特征得出四边形为正方形，再利用线面垂直的定义得出线线垂直，则分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，从而得出点的坐标，设，则，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和已知条件，从而得出满足要求的的值，进而得出线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，点位于线段靠近的三等分点处.
（1）因为，的中点为，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
根据面面垂直的性质可得平面；
（2）取的中点为，连接，则，
由图1直角梯形可知，为正方形，
，，，，.
由（1）平面，可知，，两两互相垂直，分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
设，
，
设平面的法向量为，
取，则.即平面的法向量为，
由平面，取平面的法向量，
设平面与平面的夹角为，则
，
解得或（舍）.
所以，线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为.点位于线段靠近的三等分点处.
18．（2026高三上·锦江期末）已知是函数的一个极值点.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围.
【答案】解：（Ⅰ）因为，
所以，
因此.
（Ⅱ）由（1）知，，
所以．
当时，；当时，，
所以的单调增区间是；的单调减区间是.
（Ⅲ）由（2）知，在内单调递增，在内单调递减，
在上单调递增，且当或时，，
所以的极大值为，极小值为，
当时，，
则在在三个单调区间直线有的图象各有一个交点，当且仅当，
因此，的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）先求导得出导函数，再由是函数的一个极值点，则，从而得出实数a的值.
（2）由（2）得出函数的解析式，再由和分类讨论，从而判断出函数的单调性，进而得出函数的单调区间.
（3）由（2）知函数的单调性且当或时，，从而可得的极大值为，极小值为，再由直线与函数的图象有3个交点，从而得出，进而求解得出实数b的取值范围．
19．（2026高三上·锦江期末）自年底开始，一种新型冠状病毒COVID-19开始肆虐全球.人感染了新型冠状病毒后初期常见发热乏力、咽痛干咳、鼻塞流涕、腹痛腹泻等症状，严重者可致呼吸困难、脏器衰竭甚至死亡.目前筛查冠状病毒的手段主要是通过鼻拭子或咽拭子采集样本，再进行核酸检验是否为阳性来判断.假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果（阳性 阴性）是相互独立的，且每份样本是阳性结果的概率均为.
（1）若，现对份样本进行核酸检测，求这份中检验结果为阳性的份数的分布列及期望；
（2）若，现有份样本等待检验，并提供“合”检验方案：将份样本混合在一起检验.若检验结果为阴性，则可认为该混合样本中的每个人都为阴性；若检验结果为阳性，则要求该组中各个样本必须再逐个检验.试比较用“合”检验方案所需的检验次数的期望与的大小.
【答案】（1）解：记阳性人数为，则，
所以，
，
，
，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，.
（2）解：记所需化验次数为，则的可能取值为、、，
，则，
所以，，
，
，
则
令，可得，
则，所以，，则，
令，
则，
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减，
，当时，恒成立；
，则当时，恒成立，
当时，恒成立，
综上所述，当且时，，则；
当时，，则；
当且时，，则.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件分析可知，再利用二项分布得出随机变量的分布列，再根据二项分布的期望公式，从而得出的值.
（2）先利用随机变量分布列求数学期望公式，从而计算出，令可得，构造函数，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而比较出与的大小关系，进而比较出与的大小.
（1）解：记阳性人数为，则，，
，，
，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，.
（2）解：记所需化验次数为，则的可能取值为、、，
，则，
所以，，，
，
，
令，可得，则，
所以，，即，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
，当时，恒成立，
，则当时，恒成立，
当时，恒成立.
综上所述，当且时，，则，
当时，，则，
当且时，，则.
1 / 1四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学2025-2026学年高三上学期期末考试数学试题
1．（2026高三上·锦江期末）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2026高三上·锦江期末）已知复数z=2+i，则 （ ）
A． B． C．3 D．5
3．（2026高三上·锦江期末）已知，，，且，，三点共线，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2026高三上·锦江期末）函数的图象大致是 （ ）
A． B．
C． D．
5．（2026高三上·锦江期末）已知点为圆上一动点，若直线上存在两点，，满足，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．（2026高三上·锦江期末）已知数列满足且，则的值为（ ）
A．32 B．16 C． D．
7．（2026高三上·锦江期末）在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ）
A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为1
C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为1
8．（2026高三上·锦江期末）某高校外语系有8名志愿者，其中有5名男生，3名女生，现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作，若要求这3人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有（ ）
A．45种 B．56种 C．90种 D．120种
9．（2026高三上·锦江期末）函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（ ）
A．的最小正周期为
B．是的最小值
C．在区间上的值域为
D．把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象
10．（2026高三上·锦江期末）已知椭圆的左、右焦点为，，为椭圆上一点，且，点关于原点对称的点为，则（ ）
A．椭圆的离心率为 B．
C．点的纵坐标满足 D．
11．（2026高三上·锦江期末）直线：与的图象交于、两点，在A B两点的切线交于，的中点为，则（ ）
A． B．点的横坐标大于1
C． D．的斜率大于0
12．（2026高三上·锦江期末）函数的最大值为 .
13．（2026高三上·锦江期末）如图，三棱台的上、下底边长之比为，记三棱锥体积为，三棱台的体积为，则 ．
14．（2026高三上·锦江期末）对于实数表示不超过的最大整数，如.已知数列的通项公式，前项和为，则 .
15．（2026高三上·锦江期末）已知，）.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
16．（2026高三上·锦江期末）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程；
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.
17．（2026高三上·锦江期末）如图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面.如图2，的中点为.
（1）求证：平面；
（2）若的中点为，在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.
18．（2026高三上·锦江期末）已知是函数的一个极值点.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围.
19．（2026高三上·锦江期末）自年底开始，一种新型冠状病毒COVID-19开始肆虐全球.人感染了新型冠状病毒后初期常见发热乏力、咽痛干咳、鼻塞流涕、腹痛腹泻等症状，严重者可致呼吸困难、脏器衰竭甚至死亡.目前筛查冠状病毒的手段主要是通过鼻拭子或咽拭子采集样本，再进行核酸检验是否为阳性来判断.假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果（阳性 阴性）是相互独立的，且每份样本是阳性结果的概率均为.
（1）若，现对份样本进行核酸检测，求这份中检验结果为阳性的份数的分布列及期望；
（2）若，现有份样本等待检验，并提供“合”检验方案：将份样本混合在一起检验.若检验结果为阴性，则可认为该混合样本中的每个人都为阴性；若检验结果为阳性，则要求该组中各个样本必须再逐个检验.试比较用“合”检验方案所需的检验次数的期望与的大小.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由题意，可得：，
所以.
故答案为：B.
【分析】先根据已知条件和元素与集合的关系求出集合A，再根据交集的运算法则得出集合.
2．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】∵ 故答案为：D.
【分析】题先求得 ，然后根据复数的乘法运算法则即得.
3．【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，，所以，
因为三点共线，所以，解得.
故答案为：D.
【分析】根据三点共线得出向量共线，结合向量共线的坐标表示可得答案.
4．【答案】C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的图象
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为，
所以，
则函数为偶函数，故排除选项B和选项D；
又因为，故排除选项A.
故答案为：C.
【分析】利用函数的定义域和偶函数的图象的对称性，则判断出选项B和选项D；再利用特殊值排除法，则判断出选项A，从而找出正确的选项，则找出函数的大致图象.
5．【答案】C
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：由点在直线上且，设线段的中点，
由得点在圆上，
因为圆的圆心，半径，又因为点在圆上，
即圆与圆有公共点，则，解得，
则，当且仅当时取等号，
因此，当且仅当以线段的中点为圆心，2为半径的圆与圆外切时取等号，
所以的最小值为2.
故答案为：C.
【分析】设线段的中点，从而求出以点为圆心，2为半径的圆，再利用此圆与圆有公共点求出的取值范围，即可求出r的最小值.
6．【答案】D
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的性质
【解析】【解答】解：根据题意，数列满足，，
则，
所以，数列是公比为的等比数列，
由，
得，
则.
故答案为：D.
【分析】根据题意和等比数列的定义，则判断出数列是公比为的等比数列，再利用等比数列的性质得出的值.
7．【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由函数和导函数的图象，
可知虚线表示的是的图象，实线表示的是的图象，
当时，；当时，，
对于函数，，
因为，在上恒成立，
所以在上恒成立，
则函数在上单调递增，无最值；
对于函数，，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
则函数在处取得最大值，为.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合导数的正负判断函数的单调性，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而得出函数的最值，进而得出函数在上单调递增，无最值和函数的最大值为1.
8．【答案】A
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】 人中既有男生又有女生分成两种情况：1个男生2个女生；2个男生1个女生.“1个男生2个女生”的方法数有 . “2个男生1个女生”的方法数有 .故总的方法数有 种.
故答案为：A.
【分析】 用分类计数原理来解，符合条件的包含两种结果，一是两女一男，二是两男一女，分别写出这两种结果，再用分类加法求出总和．
9．【答案】A,B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：因为函数的图像过点，
可得，则，
所以，则，
所以函数解析式为.
对于A，因为函数的周期，故A正确；
对于B，因为，故B正确；
对于C，，，
利用正弦函数的性质，知，
可得，故C错误；
对于D，将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，
可得函数的图象，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用正弦型函数的图象过点，则得出的值，从而得出函数解析式，再利用正弦型函数的最小正周期公式判断出选项A；利用换元法和正弦函数求最值的方法，从而得出正弦型函数的最小值，则可判断选项B；利用换元法和正弦函数求值域的方法，从而得出正弦型函数在区间上的值域，则可判断选项C；利用正弦型函数的图象变换，则可判断选项D，从而找出正确的选项.
10．【答案】A,C,D
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；椭圆的定义；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：对于A，由题意知，，，
则，，
所以，故A正确；
对于B，在中，由椭圆的定义，
得，
由余弦定理，得：
，
则，
解得，故B错误；
对于C，由的面积，
可得，故C正确；
对于D，由选项C知，点的横坐标满足，
所以，
则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据焦点坐标得出c的值，再利用椭圆方程得出b的值，再根据椭圆中a，b，c三者的关系式得出a的值，则由椭圆的离心率公式判断出选项A；利用椭圆的定义和余弦定理，则判断出选项B；利用三角形的面积公式和已知条件，则判断出选项C；利用选项C和两点距离公式，从而得出PQ的长，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】B,C
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：对于A，因为直线与曲线交于、两点，
则有两个不同正根，
所以直线与曲线有两个不同的交点，
，在上单调递减，在单调递增，且，，故A错误；
对于B，由题意得，，
，又因为，
设，
则，
令，在单调递减，
，
在单调递减，，
，，
又因为，
，
则直线的方程：，直线的方程：，
联立可得，故选项B正确；
对于C，设，
则，
，且，
则
，设，，
，
，
，
是的两个根，是方程的两根，
，故C正确；
对于D，，
，
，
利用对数均值不等式证明如下：
因为对数均值不等式：，
又，，
，
又因为，
，则，
所以<1，，则，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用点A和点B为两函数图象交点，则将条件转化为直线与曲线有两个不同的交点，再研究函数的图象，则由数形结合得出a的取值范围，则可判断选项A；联立两条切线方程得出点的横坐标，再利用极值点偏移思想可得之间的关系式，从而得出点的横坐标的取值范围，则可判断选项B；构造函数求导判断是的单调性，从而得出函数的最值，进而建立之间的关系，再将问题转化为二次函数两根之间距离问题，利用放缩法可判断选项C；化简直线CD的斜率，再结合前面的条件结合对数均值不等式，则可判断选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：因为函数f（x）＝2cosx+sinx（cosxsinx）sin（x+θ），
其中tanθ＝2，可知函数的最大值为：．
故答案为．
【分析】利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用换元法和正弦函数求最值的方法，从而得出正弦型函数的最大值．
13．【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：由三棱台的上、下底边长之比为，
可得上、下底面的面积比为，
设棱台的高为，
则点到的距离也为，上底面面积为，
所以下底面面积为，
则.
故答案为：.
【分析】利用相似关系确定上底面面积和下底面面积的比值，再将棱锥转换顶点结合三棱锥体积公式、三棱台的体积公式，从而得出两个几何体的体积，进而得出的值.
14．【答案】54
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：由已知条件，可得：，
，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，；，
所以.
故答案为：54.
【分析】变形得出，再利用裂项相消法得出，再由的定义分类讨论求和得出的值.
15．【答案】（1）解：解法一：由题意，得，
则原式.
解法二：原式.
（2）解：因为，
所以，
又因为，
所以，
则
，
所以或.
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）利用两种方法求解.
解法一：由结合同角三角函数基本关系式，从而得到，再代入得出的值.
解法二：利用同角三角函数基本关系式，则将分子、分母同除以，再利用已知条件得出的值.
（2）根据结合同角三角函数基本关系式，从而得到，再根据结合同角三角函数基本关系式，从而得到，再由结合两角差的余弦公式，从而得出的值.
（1）解：解法一：由题意，，
所以原式.
解法二：原式.
（2）因为，
所以，
又，
所以，
所以
.
所以或.
16．【答案】解：（1）因为抛物线的焦点，
准线方程为，
由题意，则该抛物线焦点到准线的距离为，
所以，该抛物线的方程为.
（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法
设，则，
所以，
由点在抛物线上，可得，
则，
整理可得，点的轨迹方程为，
所以直线的斜率，
当时，；
当时，，
当时，
因为，此时，
当且仅当时，即当时，等号成立；
当时，，
综上所述，直线的斜率的最大值为.
[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法
同方法一，得到点Q的轨迹方程为，
设直线的方程为，
则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值，
联立
得，
其判别式，
解得，
所以，直线斜率的最大值为．
[方法三]：轨迹方程+换元求最值法
同方法一，得点Q的轨迹方程为，
设直线的斜率为k，则，
令，
则的对称轴为，
所以，
则直线斜率的最大值为．
[方法四]：参数+基本不等式法
由题意，可设，
因为，
所以．
则，
所以
则直线的斜率为，
当且仅当时，即当时等号成立，
所以，直线斜率的最大值为．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由抛物线标准方程得出焦点坐标和准线方程，再利用焦点到准线的距离公式得出p的值，从而得出抛物线C的方程.
（2）利用四种方法求解.
方法一：轨迹方程+基本不等式法.
设点，由向量共线的坐标表示，从而可得，再利用点代入法得出，从而得出点Q的轨迹方程，再利用两点求斜率公式和分类讨论的方法以及基本不等式求最值的方法，从而得出直线的斜率的最大值.
方法二： 轨迹方程+数形结合法.
同方法一得到点Q的轨迹方程，再利用数形结合求最值的方法，则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值，再联立直线方程和抛物线方程结合判别式法，从而得出直线OQ的斜率的最大值，进而得出直线的斜率的最大值.
方法三：轨迹方程+换元求最值法.
同方法一得出点Q的轨迹方程，再利用两点求斜率公式得到直线的斜率k的平方关于的表达式，再利用换元法转化为二次函数求最值的方法，从而得到直线斜率的最大值.
方法四：参数+基本不等式法.
利用参数法，由题意可设，再利用向量共线的坐标表示和两点求斜率公式，从而得出x，y关于的参数表达式，进而得到直线的斜率关于的表达式，再结合基本不等式求最值的方法，从而得出直线斜率的最大值.
17．【答案】（1）证明：因为，的中点为，
所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
根据面面垂直的性质，
可得平面.
（2）解：取的中点为，连接，
则，
由图1直角梯形可知，四边形为正方形，
则，，，
，，
由（1）平面，可知，，两两互相垂直，
分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
设，
，
，，
设平面的法向量为，
则
取，则，
所以，平面的法向量为，
由平面，
取平面的法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
解得或（舍），
所以，线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，
点位于线段靠近的三等分点处.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形三线合一得出线线垂直，再利用面面垂直的性质定理，从而证出线面垂直，即证出直线平面.
（2）分利用中位线定理得出线线平行，再利用直角梯形的结构特征得出四边形为正方形，再利用线面垂直的定义得出线线垂直，则分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，从而得出点的坐标，设，则，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和已知条件，从而得出满足要求的的值，进而得出线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，点位于线段靠近的三等分点处.
（1）因为，的中点为，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
根据面面垂直的性质可得平面；
（2）取的中点为，连接，则，
由图1直角梯形可知，为正方形，
，，，，.
由（1）平面，可知，，两两互相垂直，分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
设，
，
设平面的法向量为，
取，则.即平面的法向量为，
由平面，取平面的法向量，
设平面与平面的夹角为，则
，
解得或（舍）.
所以，线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为.点位于线段靠近的三等分点处.
18．【答案】解：（Ⅰ）因为，
所以，
因此.
（Ⅱ）由（1）知，，
所以．
当时，；当时，，
所以的单调增区间是；的单调减区间是.
（Ⅲ）由（2）知，在内单调递增，在内单调递减，
在上单调递增，且当或时，，
所以的极大值为，极小值为，
当时，，
则在在三个单调区间直线有的图象各有一个交点，当且仅当，
因此，的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）先求导得出导函数，再由是函数的一个极值点，则，从而得出实数a的值.
（2）由（2）得出函数的解析式，再由和分类讨论，从而判断出函数的单调性，进而得出函数的单调区间.
（3）由（2）知函数的单调性且当或时，，从而可得的极大值为，极小值为，再由直线与函数的图象有3个交点，从而得出，进而求解得出实数b的取值范围．
19．【答案】（1）解：记阳性人数为，则，
所以，
，
，
，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，.
（2）解：记所需化验次数为，则的可能取值为、、，
，则，
所以，，
，
，
则
令，可得，
则，所以，，则，
令，
则，
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减，
，当时，恒成立；
，则当时，恒成立，
当时，恒成立，
综上所述，当且时，，则；
当时，，则；
当且时，，则.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件分析可知，再利用二项分布得出随机变量的分布列，再根据二项分布的期望公式，从而得出的值.
（2）先利用随机变量分布列求数学期望公式，从而计算出，令可得，构造函数，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而比较出与的大小关系，进而比较出与的大小.
（1）解：记阳性人数为，则，，
，，
，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，.
（2）解：记所需化验次数为，则的可能取值为、、，
，则，
所以，，，
，
，
令，可得，则，
所以，，即，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
，当时，恒成立，
，则当时，恒成立，
当时，恒成立.
综上所述，当且时，，则，
当时，，则，
当且时，，则.
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