11.6 角平分线 同步训练（无答案）2025-2026学年鲁教版数学七年级下册

11.6 角平分线
知识梳理
1.角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。注意角平分线是射线（仅向角的内部延伸），而非直线或线段；一个角有且仅有一条角平分线。
2.角平分线的核心性质定理：角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等。这里的“距离”指该点到角两边的垂线段长度，是实现线段等量转化的核心依据，可直接证明垂线段相等，无需通过全等三角形推导。
延伸性质：三角形三条角平分线相交于一点，该点称为三角形的内心，内心到三角形三条边的距离相等；内心是三角形内切圆的圆心，无论三角形是锐角、直角还是钝角，内心始终在三角形内部。
3.角平分线的判定定理
基本判定：到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；
补充说明：判定时需满足“点在角的内部”且“到两边的距离均为垂线段长度”，二者缺一不可；若一条射线所在直线上有两个点到角两边距离相等，则该射线为角平分线。
4.角平分线的尺规作图方法
步骤：①以角的顶点为圆心，任意长为半径作弧，交角的两边于两个点；②分别以这两个交点为圆心，大于两交点间距离一半的长度为半径作弧，两弧在角的内部相交于一点；③连接角的顶点与这个交点，所得射线即为该角的平分线；
作图原理：依据SSS全等判定，所作弧的半径相等，得到的交点到角两边的距离相等，结合判定定理确定射线为角平分线。
5.角平分线的常见应用
证明线段相等：过角平分线上的点作角两边的垂线段，利用性质定理直接得出垂线段相等；
证明角相等：通过判定定理证明某射线为角平分线，进而得到两个角相等；
计算边长与面积：利用内心到三边的距离为内切圆半径，结合三角形面积公式（面积=内切圆半径×三角形周长÷2）求解；或通过“角平分线+垂直”构造全等三角形，转化边长进行计算；
构造等腰三角形：角平分线+平行线可构造等腰三角形（角平分线得到等角，平行线得到内错角/同位角相等，进而推出等角对等边）。
6.与等腰/直角三角形的综合运用
与等腰三角形结合：等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合（三线合一），即顶角平分线同时也是底边的垂直平分线；
与直角三角形结合：直角三角形的内心到三边的距离=（直角边之和 斜边）÷2；角平分线+直角可快速构造全等直角三角形（HL判定），实现边的转化；
与含30°角的直角三角形结合：利用角平分线性质得到垂线段相等，再结合30°角所对直角边=斜边一半的性质，简化边长计算。
7.常见辅助线作法
过角平分线上的点作角两边的垂线段：这是最常用的辅助线，直接利用性质定理得到垂线段相等，为证明或计算创造条件；
作角平分线：当题目需证明角相等或线段相等时，通过尺规作图作角平分线，搭建解题桥梁；
构造平行线：结合角平分线构造等腰三角形，实现角与边的相互转化；
连接内心与三角形顶点：利用内心的性质，将三角形面积转化为三个小三角形面积之和（均以内心到边的距离为高）。
8.核心解题思路
遇“角平分线”，优先过线上点作角两边的垂线段，利用“距离相等”转化线段；
证“某射线为角平分线”，先作该射线上一点到角两边的垂线段，证明两条垂线段相等，再结合判定定理得出结论；
计算面积时，若已知内心到边的距离（内切圆半径），可直接利用面积公式求解；若未知，可通过全等三角形转化边长，再结合面积公式计算；
解决等腰三角形与角平分线综合问题时，灵活运用“三线合一”，实现角平分线与底边垂直平分线的相互转化。
9.常见易错点
混淆图形类型：误将角平分线当作直线或线段，忽略其射线的属性；
距离定义误解：将“到角两边的距离”误认为是点到角两边的任意线段长度，实际应为垂线段长度；
作图误区：作弧时半径小于两交点间距离的一半，导致两弧无交点，无法作出角平分线；
内心性质误判：认为内心到三角形三个顶点的距离相等（实际是到三条边的距离相等）；
判定条件遗漏：仅证明点到角一边的距离，或点在角的外部，就判定该点在角平分线上。
同步训练
一、单选题
1．如图，已知，用尺规作图的方法在边上确定一点，连接，能判断一定是等腰三角形的图形有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，在中，，平分，于点，若，则的长为( )
A．9 B．8 C．7 D．6
3．根据图中的尺规作图痕迹（部分），若点P的坐标为，则a的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．3或
4．若内一点O到三角形三条边的距离相等，则O为（　　）
A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点
C．三条中线的交点 D．以上都不是
5．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，按下列步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径画圆弧，分别与，交于点D，E，连接；②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点F；③作射线交于点G．若，，则的面积为（　　）
A．16 B．24 C．36 D．48
7．如图是等腰直角三角形，，平分交于点，，，则的周长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
8．如图，在中，，是上一点，连接，过点作于点，若，则的度数为__________．
9．如图，是的角平分线，点在上，，垂足为，且，则点到的距离是______cm．
10．如图，在中，，是的角平分线，于点D，，周长为12，则的长是_____．
11．如图，为内角平分线的交点，过点O作于点M．若，则的长为__________．
12．如图，四边形中，，，．下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于两点；②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧；两弧相交于点；③作射线交于点，则的长为_____．
三、解答题
13．如图，四边形中，平分，，于．
(1)求证：；
(2)若，，求和的长．
14．如图，在中，，．
(1)通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的_________，射线是的_________；（填序号）
①高线 ②角平分线 ③垂直平分线 ④中线
(2)求的度数．
15．完成下面题目：
(1)请用直尺和圆规作的平分线；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
(2)已知在中，的平分线也是边上的高，请判断是不是等腰三角形，并说明理由．
16．如图，在中，，是的平分线，于点E，点F在上，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．