11.2 全等三角形 同步训练（无答案）2025-2026学年鲁教版数学七年级下册

11.2 全等三角形
知识梳理
1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，重合的顶点为对应顶点，重合的边为对应边，重合的角为对应角。
2.一般三角形全等的判定定理（4种），需满足三组对应元素相等，且判定定理中至少包含一组对应边相等，具体为：
SSS（边边边）：三边分别相等的两个三角形全等；
SAS（边角边）：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（注意是夹角，非邻角）；
ASA（角边角）：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；
AAS（角角边）：两角分别相等且其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等。
关键易错点：SSA（两边及其中一边的对角） 不能判定一般三角形全等，是判定的常见误区。
3.直角三角形全等的特殊判定：HL（斜边、直角边），在两个直角三角形中，斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。HL是直角三角形独有的判定方法，也可沿用一般三角形的4种判定定理。
4.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等；延伸性质：全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线相等，周长相等，面积相等。性质的核心应用是：证明三角形全等后，可通过对应关系求未知的边或角。
5.全等三角形的证明步骤：
审题：确定要证明的两个三角形，找出已知的边、角相等条件；
找条件：结合图形隐含条件（如公共边、公共角、对顶角相等）、平行线性质、角平分线定义、垂直定义等，补充所需的相等条件；
选判定：根据已知条件选择合适的判定定理（如已知三边选SSS，已知直角三角形斜边+直角边选HL）；
写证明：按照判定定理的顺序，规范书写全等的条件，得出三角形全等的结论，再利用性质推导后续边、角关系。
6.图形中常见的相等条件挖掘：
公共边、公共角为天然的相等对应边、对应角；
对顶角相等；
垂直的定义可得到90°的直角相等；
平行线的性质可得到同位角、内错角相等；
角平分线的定义可得到两个角相等；
等式的性质：如由可得，即，用于推导对应边相等。
7.全等三角形的常见应用：
求线段的长度、角的度数：通过证明三角形全等，将未知边/角转化为已知的对应边/角；
证明线段相等、角相等：证明两条线段/两个角所在的三角形全等，利用性质直接得出结论；
实际操作：如利用SSS判定作角的平分线，利用全等三角形的性质测量不可直接测量的距离。
8.构造全等三角形的简单辅助线作法：
延长线段：如延长角平分线的垂线，构造等腰三角形与全等三角形；
作垂线：在直角三角形相关证明中，作边的垂线，得到直角相等的条件，为HL/AAS/ASA判定创造条件；
截长补短：在证明线段和差关系时，通过截长或补短构造全等三角形，转化线段关系。
9.判定三角形全等的常见思路：
已知两边：找夹角（SAS）、找第三边（SSS），若为直角三角形直接用HL；
已知一边一角：若角为夹角，找另一边（SAS）；若角为对边，找另一角（AAS）；若为直角，用HL；
已知两角：找夹边（ASA）、找任意一组等角的对边（AAS）。
同步训练
一、单选题
1．如图，已知，，再添加一个条件仍无法证明，这个条件是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，，垂足分别为，，，．若，，则的长度是（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
3．工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点重合，就可以知道射线是的角平分线．依据的数学基本事实是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
D．三边分别相等的两个三角形全等
4．如图，已知，，要使，下列条件添加不正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
5．如图，在和中，点，，在同一条直线上，，，若，，则的长为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
6．王刚同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（ ）
A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：×
C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：×
二、填空题
8．如图，点B、C、E三点在同一直线上，且，若，则的度数为____．
9．如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边（）”直接证明，则还需补充的条件是___________．（填写一个即可）
10．如图，，，，，垂足分别为D、E，若，，则______cm．
11．如图，的面积为．垂直于的平分线于点P．则的面积是______．
三、解答题
12．如图，在中，是的高，平分，，，求的度数．
13．如图，且，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
14．如图，点、在上，，，，交于点，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
15．如图，在中，，点D在边上（点D不与点B、点C重合），作，交边于点E．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
16．如图，，点，在上，且，连接，，，，．
(1)求证：；
(2)判断与的位置关系，并说明理由．