11.3 等腰三角形 同步训练（无答案）2025-2026学年鲁教版数学七年级下册

11.3 等腰三角形
知识梳理
1.等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边为腰，另一边为底；两腰的夹角为顶角，腰与底的夹角为底角。
2.等腰三角形的核心性质
等边对等角：等腰三角形的两个底角相等，这是等腰三角形角的基本性质，可用于角的等量转化与计算。
三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一），是等腰三角形最核心的性质，可将边、角、高的条件相互转化，简化证明与计算。
轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为三线合一所在的直线，仅有1条对称轴。
延伸性质：等腰三角形两腰上的中线、高相等，两底角的角平分线相等。
3.等腰三角形的判定方法
定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形。
等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形（与“等边对等角”互逆），是角转化为边的核心判定定理。
4.等边三角形的定义与性质：等边三角形是三边都相等的特殊等腰三角形，也叫正三角形，具备等腰三角形的所有性质，且有专属性质：
三个内角都相等，且均为；
每条边上的中线、高、对角的平分线都满足三线合一，有3条对称轴，内、外心重合；
边长为的等边三角形，高为，面积为。
5.等边三角形的判定方法
定义法：三边都相等的三角形是等边三角形。
三个角都相等的三角形是等边三角形。
重要判定：有一个角是的等腰三角形是等边三角形（此判定仅适用于等腰三角形，单独一个角为的三角形不一定是等边三角形）。
6.等腰直角三角形：特殊的等腰三角形+直角三角形，性质为：两直角边相等，两个底角均为；斜边上的高、中线、顶角平分线重合，且斜边上的高等于斜边的一半；斜边长度=直角边长度×。
7.与等腰三角形关联的重要定理
直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；逆定理：若一个三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形为直角三角形。
含角的直角三角形性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半；逆定理：若直角三角形中一条直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的角为。
8.等腰三角形常见辅助线作法
作底边上的高、中线或顶角平分线，利用三线合一转化条件，是最常用的辅助线作法；
遇角平分线+平行线，构造等腰三角形（角平分线得到等角，平行线得到内错角/同位角相等，进而推出等角对等边）；
求线段和的最小值（如），利用等腰三角形的轴对称性，将线段转化为同一直线上的垂线段（垂线段最短）；
结合全等证明时，作边上的垂线，构造直角三角形，利用AAS/HL证明全等。
9.等腰三角形解题的常见思路
角的计算：结合“等边对等角”、三角形内角和、外角性质，将未知角转化为已知角；
边的计算：利用三线合一得到线段中点，结合勾股定理、含角的直角三角形性质计算边长；
证明边/角相等：直接用“等边对等角/等角对等边”，或结合全等三角形证明，再利用等腰/等边三角形性质推导；
面积转化：利用全等三角形的面积相等，将不规则图形（如四边形）的面积转化为等腰/直角三角形的面积进行计算。
10.常见易错点
等腰三角形的分类讨论：已知一边长或一个角度时，需分情况讨论（如已知一边为5，需考虑是腰还是底；已知一个角为，需考虑是顶角还是底角），避免漏解；
三线合一的适用条件：仅针对等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线/高，腰上的中线、高不满足三线合一；
等边三角形判定的误区：误认为“有一个角是的三角形是等边三角形”，忽略前提是等腰三角形；
忽略等腰三角形的底角范围：等腰三角形的底角一定是锐角，顶角可为锐角、直角或钝角。
同步训练
一、单选题
1．如图，中，，点为的中点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点C在线段BD上，，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．一个含角的三角尺如图①所示，用两个完全相同的这种三角尺恰好能拼成一个如图②所示的等边三角形．若，则（ ）
A．3 B． C．12 D．9
5．如图，上午8时一艘轮船从A地以25海里/时的速度向南偏西的方向行驶，上午10时到达B地，再由B地向北偏西的方向行驶50海里到达C地，则A，C两地相距（ ）
A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里
6．如图，在中，，是的中点，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作的平行线交于点，交于点，若的周长为，则的周长是（　　）
A．14 B．19 C．21 D．23
8．如图，在中，，，是边上的高，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（　　）
A．5 B．6 C．8 D．4.8
二、填空题
9．中国图象图形大会是涵盖图象图形各专业领域的学术盛会．在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中一个等腰三角形模型的示意图如图所示，它的顶角为，腰长为12m，则腰上的高是__________．
10．如图，是的高，，，，则_____．
11．如图，，，，则的长为______．
12．已知：如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是________（填序号）
三、解答题
13．如图，与都是等边三角形，点在边上，于点，连接．
(1)求证：．
(2)求的度数．
14．已知：如图，在中，，，，、交于点．
(1)求证：；
(2)请判断与的大小关系并证明．
15．如图，在中，，，点D是的中点，点E、F分别在、上，且．
(1)求证：；
(2)若，求四边形的面积．
16．如图，在中，，D是上一点，且，且，连接、、．
(1)求的度数；
(2)证明：是等边三角形．
17．如图，在等边的，上各取一点、，使．，相交于点，过点作直线的垂线，垂足为．
(1)求证：；
(2)若，，求线段的长度．