11.5 线段的垂直平分线 同步训练（无答案）2025-2026学年鲁教版数学七年级下册

11.5 线段的垂直平分线
知识梳理
1.线段垂直平分线的定义：垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。注意其为直线（向两端无限延伸），而非线段或射线；过线段中点且与线段垂直的直线有且仅有一条。
2.线段垂直平分线的核心性质定理：线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等。这是线段垂直平分线最核心的性质，可直接实现线段的等量转化，无需再通过全等三角形证明，是构造等腰三角形的重要依据。
o延伸性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，该点称为三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等；外心的位置随三角形类型变化：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心为斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外部。
3.线段垂直平分线的判定定理
o基本判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；
o直线判定：若一条直线上有两个不同的点都到某条线段的两端点距离相等，那么这条直线就是该线段的垂直平分线（依据：两点确定一条直线）。
4.线段垂直平分线的尺规作图方法
o步骤：①分别以线段的两个端点为圆心，大于线段一半的长度为半径作弧，两弧在线段两侧分别交于两个点；②连接这两个交点，所得直线即为该线段的垂直平分线；
o作图原理：依据SSS全等判定，所作弧的半径相等，得到的两个交点到线段两端点的距离相等，再结合垂直平分线的判定定理确定直线。
5.线段垂直平分线的常见应用
o证明线段相等：直接连接垂直平分线上的点与线段端点，利用性质定理得到线段相等，简化证明过程；
o计算边、角的度数：结合“等角对等边”将线段相等转化为角相等，再利用三角形内角和、外角性质、直角三角形相关性质进行计算；
o解决最短路径问题：利用性质定理将线段进行等长转化，把两条线段的和转化为同一直线上的线段，依据“两点之间线段最短”求解最小值；
o判定三角形形状：通过垂直平分线得到多条线段相等，结合等腰、等边三角形的判定定理确定三角形类型。
6.与等腰/直角三角形的综合运用
o与等腰三角形互推：线段垂直平分线上的点与线段端点连接，直接构造等腰三角形；等腰三角形“三线合一”，其底边上的高、中线、顶角平分线所在直线，就是底边的垂直平分线；
o与直角三角形结合：直角三角形斜边的垂直平分线经过斜边中点（外心），且斜边中点到三个顶点的距离相等，可结合斜边中线定理（斜边中线=斜边一半）进行边的转化；
o与含30°角的直角三角形结合：利用垂直平分线得到等腰三角形后，结合30°角的直角三角形性质（30°角对的直角边=斜边一半）快速计算边长。
7.常见辅助线作法
o连接垂直平分线上的点与线段的两个端点，利用性质定理得到线段相等，构造等腰三角形，实现边、角的转化；
o作某条线段的垂直平分线：当题目需证明线段相等或构造等腰三角形时，通过尺规作图作线段垂直平分线，为解题创造条件；
o最短路径问题中，利用垂直平分线将其中一条线段进行等长转化，使两条线段的和转化为“两点之间的线段”，求解最小值。
8.核心解题思路
o遇“垂直平分线”，优先连接线上点与线段端点，利用性质得线段相等，转化为等腰三角形问题求解；
o证“某直线是线段的垂直平分线”，先找到直线上两个点，证明这两个点都到线段两端点距离相等，再利用判定定理得出结论；
o计算边、角时，结合垂直平分线的性质+等腰三角形“等角对等边”+三角形内角和/外角性质，将未知边、角转化为已知量；
o解决最短路径问题时，核心是线段的等长转化，利用垂直平分线将不在同一直线上的两条线段的和，转化为同一直线上的线段，再依据“两点之间线段最短”求解。
9.常见易错点
o混淆图形类型：误将线段的垂直平分线当作线段/射线，实际其为向两端无限延伸的直线；
o尺规作图误区：作弧时半径等于或小于线段一半的长度，导致两弧无交点，无法作出垂直平分线；
o判定定理误用：仅找到一个点到线段两端点距离相等，就判定该点所在直线为垂直平分线，需两个点才能确定直线；
o外心位置误判：认为所有三角形的外心都在三角形内部，忽略直角三角形外心为斜边中点、钝角三角形外心在外部的情况；
o最短路径转化错误：未正确利用垂直平分线进行线段的等长转化，导致无法找到最短路径。
同步训练
一、单选题
1．如图，在中，，是边上一点，且的垂直平分线经过点，是的中点．若，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．如图，中，于D，垂直平分， 交于F， 交于E，， 若，， 则的周长为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．18
3．如图，在中，，，，的垂直平分线交于点．则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，的垂直平分线交于F，交于E，若，则的长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
5．如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧交于点，连接．再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧相交于点，连接交于点，则（ ）
A． B． C． D．
6．在中，分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；作直线分别交、于点D、E．若，的周长为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，直线为线段的垂直平分线，D为的中点，M为直线上任意一点．若，面积为20，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题
8．如图，D是线段，的垂直平分线的交点．若，，则的大小是__________．
9．如图，等腰面积为21，底边，点D，F分别是，的中点，交于H，点E是上一动点，则的周长的最小值为__________．
10．如图，在中，线段的垂直平分线分别交于点D、E，连接，若，则的长度是________ ．
11．如图，在中，，D为上一点，连接，过点D作于点E．若E为的中点，，的周长为14，则的长为______．
12．如图，在中，，，边的垂直平分线，交于点，交于点，边的垂直平分线交于点．交于点，连接．则_____：
三、解答题
13．如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作，垂足为E，此时点E恰为的中点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
14．如图，在中，，．

(1)尺规作图：作边的垂直平分线，分别交，于点，．（要求：保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作的图中，连接，求的度数．
15．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，．
(1)若，求的度数；
(2)在（1）的条件下，求证：点在线段的垂直平分线上．
16．已知，如图，点A是上的一点，，．
(1)求证：；
(2)连接并延长交于，求证：．