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余数与除数的关系教学设计
学科 数学 年级 二年级 课型 新授课 单元 1
课题 余数与除数的关系 课时 1
课标要求 本课时的教学对象为二年级学生，学生已初步认识有余数的除法，能说出除法算式中被除数、除数、商和余数的名称，能结合分物活动写出简单的有余数除法算式，具备一定的动手操作能力和简单的观察、交流能力。低年级学生思维以直观形象思维为主，抽象概括能力较弱，对 “余数为什么比除数小” 的本质理解存在困难，容易出现余数大于或等于除数的计算错误；同时，学生对动手操作、小组合作的学习形式兴趣较高，适合通过具，体的操作活动感知规律、理解规律。此外，学生个体差异较小，大部分学生能跟随课堂节奏完成操作和简单归纳，少数学生需要教师和同伴的针对性引导。
教材分析 本课时是冀教版二年级数学中有余数除法的核心内容，承接 “有余数除法的认识”，是对有余数除法概念的深化，也是后续学习多位数除法有余数计算的基础，起到承上启下的关键作用。教材以分小棒这一学生熟悉的操作活动为载体，通过将 17 根小棒按不同份数平均分，写出对应的除法算式，引导学生观察、比较除数和余数的大小，自主发现 “余数比除数小” 的规律；再通过变式深化、巩固练习层层递进，让学生理解规律的本质，同时结合生活情境的习题，将数学知识与实际应用相结合，降低抽象性。教材的编排遵循 “操作 — 观察 — 比较 — 归纳 — 应用” 的认知规律，符合低年级学生以直观形象思维为主的特点，注重让学生在动手实践中建构数学知识。
学情分析 本课时的教学对象为二年级学生，学生已初步认识有余数的除法，能说出除法算式中被除数、除数、商和余数的名称，能结合分物活动写出简单的有余数除法算式，具备一定的动手操作能力和简单的观察、交流能力。低年级学生思维以直观形象思维为主，抽象概括能力较弱，对 “余数为什么比除数小” 的本质理解存在困难，容易出现余数大于或等于除数的计算错误；同时，学生对动手操作、小组合作的学习形式兴趣较高，适合通过具体的操作活动感知规律、理解规律。此外，学生个体差异较小，大部分学生能跟随课堂节奏完成操作和简单归纳，少数学生需要教师和同伴的针对性引导。
核心素养目标 借助分小棒活动，巩固有余数的除法的含义。 2. 通过观察、比较探索余数和除数的关系，理解余数比除数小的道理。 3. 在探索余数与除数的关系以及余数大小范围的过程中，发展初步的数学归纳能力。
教学重点 1.探索并理解余数比除数小的规律，能准确表述余数与除数的关系。2.能运用余数与除数的关系判断有余数除法计算是否正确。
教学难点 理解 “余数为什么比除数小” 的本质，即平均分物品时，余数是不够再分而剩下的，若余数大于或等于除数，说明还可以继续分，商需要调整
教学准备 多媒体课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新课件出示算式：7÷2=3……1师：谁能说出这个算式中被除数、除数、商和余数分别是多少？它们各表示什么意义？教师随机指名回答，教师根据学生的汇报板书标注各部分名称，并强调：余数是平均分后剩下的、不够再分的数。师：根据这个算式编一个数学故事，互相说一说。教师邀请 2-3 组同桌分享数学故事，教师适时点评，鼓励学生结合生活情境表达。 同桌合作编故事。学生分享 通过复习有余数除法各部分的名称和意义，激活学生已有的知识经验，为新知探究做好铺垫；编数学故事的活动让数学知识生活化，提升学生的学习兴趣和语言表达能力，同时强化对余数含义的理解。
二、引新 创设情境，引入课题课件出示情境：师：同学们，我们今天来玩分小棒的游戏，现在每人手里有 17 根小棒，把这些小棒按要求平均分，看看能分成几份，还剩几根？师：把 17 根小棒平均分成 3 份，动手分一分，然后在学习单上写出对应的除法算式。教师巡视指导，指名汇报结果，课件出示并板书：17÷3=5（根）……2（根）师：大家分的结果和他一样吗？剩下的 2 根还能再平均分成 3 份吗？为什么？ 学生动手操作。学生分享。生：2 根不够分给 3 份，每份分不到 1 根。 以学生熟悉的分小棒活动导入，贴合低年级学生的认知特点，让学生在动手操作中初步感知余数的 “剩余” 本质；通过追问 “剩下的小棒还能再分吗”，为后续探究余数与除数的关系埋下伏笔。
三、探究 合作探究，活动领悟课件依次提出要求：（2）平均分成 4 份，每份有几根，还剩几根？ （3）平均分成 5 份呢？ （4）平均分成 6 份呢？ （5）平均分成 7 份呢？ （6）平均分成 8 份呢？ 学生以同桌为单位，一人分小棒，一人记录算式，完成后同桌互相核对。教师巡视，重点指导操作有困难的学生，确保每位学生都能参与活动。教师指名依次汇报结果，教师课件出示并逐一板书算式：17÷4=4（根）……1（根）17÷5=3（根）……2（根）17÷6=2（根）……5（根）17÷7=2（根）……3（根）17÷8=2（根）……1（根）师：请大家仔细观察这些算式中的除数和余数，用 “＞” 或 “＜” 表示它们之间的大小关系，把结果写在草稿纸上。教师巡视，指名汇报。师：观察这些大小关系，你发现了什么规律？教师根据学生的汇报小结：在有余数的除法中，余数都比除数小。师：为什么在有余数的除法中，余数一定比除数小呢？和同桌互相说一说。 教师巡视倾听，适时引导。师小结：平均分物品时，余数是不够再分而剩下的，若余数≥除数，说明还可以继续分，商需要变大，因此余数一定比除数小。课件出示一组除数为 6 的除法算式，请学生口算结果并写在草稿纸上。指名汇报，课件出示结果。师：观察这些算式的余数，你有什么发现？教师引导学生总结：除数不变时，余数始终是 1、2、3、4、5，都比除数 6 小；当被除数增加，除数和商不变时，被除数增加几，余数也增加几。 学生逐一操作并记录。学生独立完成。学生汇报。学生独立思考后，同桌互相交流想法。学生口算学生自由发言。 通过多次不同份数的平均分操作，让学生积累丰富的直观经验，为后续观察、比较余数和除数的关系提供充足的素材；同桌合作的形式培养学生的合作意识和分工能力。让学生独立完成除数和余数的大小比较，培养自主观察能力；小组讨论的形式让学生在交流中碰撞思维，自主归纳出规律，体现 “学生为主体” 的教学理念。通过核心追问，引导学生从直观操作走向抽象思考，理解 “余数比除数小” 的本质原因，突破教学难点；结合具体实例讲解，让抽象的道理变得直观易懂，符合低年级学生的思维特点。
四、变式 师生互动，变式深化师：一个数除以 6，它的余数可能是哪些数？最小的余数是几？最大的余数是几？教师指名回答。教师课件出示答案：余数可能是 1、2、3、4、5，最小的余数是 1，最大的余数是 5（比除数 6 小 1）。师：余数能不能是 0？为什么？师：学习单上写出一组 “一个数除以 7” 的有余数除法算式，写完后观察余数的特点。教师指名板演算式，集体订正，课件出示示例：7÷7=1 8÷7=1……19÷7=1……2……13÷7=1……6师：一个数除以 7，余数可能是哪些数？最大的余数是几？教师根据学生的汇报小结：一个数除以几，余数就可能是 1 到几减 1 的数，最大余数比除数小 1，最小余数是 1。 学生独立思考。生：不能，以为余数是 0 表示正好分完，没有剩余，不是有余数的除法。生：余数可能是1、2、3、4、5、6，最小的余数是1，最大的余数是6 从具体除数 6 到除数 7，让学生进行知识迁移，自主探究余数的取值范围，强化对 “余数比除数小” 规律的理解；通过追问余数能不能是 0，明确有余数除法和整除的区别，完善学生的知识储备。
五、尝试 尝试练习，巩固提高每4根小棒拼一个正方形，15 根小棒最多能拼（ ）个正方形，还剩（ ）根。15÷ = （个）…… （根） 每4个 拼成一条 ，14个 最多可以拼成（ ）条 ，还剩（ ）个 。 ÷4 = （条） …… （个）3.下面的计算对吗？为什么？19÷3=5……4 34÷7=4……6 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
六、提升 适时小结，兴趣延伸师：今天你有什么收获？教师引导学生从知识、能力两方面总结。教师板书课堂核心知识点，梳理回顾：1.有余数的除法中，余数比除数小，最小余数是 1，最大余数比除数小 1。2.除数和商不变时，被除数增加几，余数也增加几。 学生分享 让学生自主梳理本节课知识，培养归纳总结能力，形成完整的知识体系。
板书设计 余数与除数的关系在有余数的除法算式中，余数比除数小，最小的余数是1，最大的余数比除数小1。在除数和商不变的情况下，被除数增加几，余数也增加几。 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1.下面的计算对吗？对的在（ ）里面“√”。（1）46÷5 = 8……6( )（2）64÷8 = 7……8( )（3）6×4+8 = 32( ) 2.用一堆小棒摆 ，如果有剩余，可能会剩几根小棒？如果用这些小棒摆 呢？3.根据算式填一填，圈一圈。（1）14÷3=4（朵）……2（朵）一共14朵花，平均分成3份， 每份是（ ）朵， 还剩（ ）朵。（2）11÷5=2（盘）……1（个）一共11个梨，每盘放5个， 可以放（ ）盘，还剩（ ）个。能力提升：4.把一些香蕉平均分给右面的猴子， 最后可能剩几个香蕉？拓展迁移：5.在下边的算式中，余数最大是几？÷8 = ……
教学反思 教学亮点1.紧扣低年级学生认知特点，以动手操作为主线，让学生在分小棒的过程中感知规律、理解规律，将抽象的数学规律转化为直观的操作体验，有效降低了学习难度，提升了学生的参与度。2.教学环节层层递进，从 “操作 — 观察 — 归纳 — 理解 — 应用” 逐步展开，符合学生的认知规律，让学生在循序渐进中建构知识，突破了 “余数为什么比除数小” 的教学难点。教学不足1.动手操作环节，部分学生操作速度较慢，导致后续小组讨论和汇报的时间稍显紧张，对个别学困生的针对性指导不够及时。2.对 “除数和商不变时，被除数增加几，余数也增加几” 这一规律的讲解稍显仓促，部分学生理解不够透彻，未设计足够的练习进行巩固。改进措施1.课前提前准备好小棒等学具，对操作能力较弱的学生进行课前简单指导，课堂上合理分配操作时间，同时安排小组内优生帮助学困生，确保每位学生都能完成操作活动。2.增加对 “被除数、商、余数” 之间变化规律的练习，设计针对性的口算题和填空题，让学生在练习中加深理解，同时结合具体例子讲解规律的适用条件，避免学生死记硬背。
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《有余数的除法》单元整体设计
一、单元主题解读
（一）课程标准要求分析
《有余数的除法》单元是数与代数第一学段“数与代数”中的重要内容。《课程标准》在“内容要求”提出了：在解决生活情境问题的过程中，体会数和运算的意义，形成初步的符号意识、数感、运算能力和推理意识。
《课程标准》在“学业要求”中指出：
能在解决问题的过程中，体会解决问题的道理，解释计算结果的实际意义，感悟数学与现实世界的关联，形成初步的模型意识、几何直观和应用意识。
单元教材内容
本单元的主要内容有：
1.有余数除法的意义：理解 “平均分后有剩余”，能读写算式，明确各部分名称及含义。
2.余数与除数的关系：掌握 “余数都比除数小” 的规律，理解其道理。
3. 竖式计算：掌握 “一商、二乘、三减、四比” 的步骤，能正确计算表内有余数除法。
4. 实际应用：运用有余数除法解决生活问题，初步感知 “进一法” 和 “去尾法”。
（三）学生认知情况
学生已熟练掌握表内乘法口诀，能正确计算表内除法，理解 “平均分” 的含义，会用除法算式表示 “正好分完” 的平均分问题，初步认识除法竖式的书写格式。
具备初步的动手操作能力、小组合作意识，能通过观察、操作总结简单的数学规律；能根据具体情境提出简单的数学问题，并运用表内除法解决。
生活经验：在生活中多次经历 “平均分后有剩余” 的场景（如分零食、分文具、分水果），对 “剩余” 现象有直观的生活体验，为理解 “余数” 的含义奠定了感性基础。
二、单元目标拟定
1.结合具体情境，理解有余数除法的含义，能正确读写有余数的除法算式，明确算式中各部分（被除数、除数、商、余数）的名称及意义。
2.掌握有余数除法的竖式计算方法，能熟练计算表内有余数的除法，做到书写规范、计算准确。
理解并牢固掌握 “余数比除数小” 的核心规律，能快速判断计算结果的合理性。
3.能运用有余数的除法解决生活中 “平均分后有剩余” 的实际问题，初步学会根据情境选择 “进一法” 或 “去尾法”。
4.在解决实际问题的过程中，学会分析问题、梳理数量关系，提升应用意识和解决问题的能力。
5.感受有余数除法在生活中的广泛应用，体会数学与生活的密切联系，激发学习数学的兴趣。
在小组合作探究中，学会倾听、交流、合作，培养团队协作意识。
三、关键内容确定
（一）教学重点：
1.理解有余数除法的含义，能正确读写算式并掌握竖式计算方法。
2.理解并运用 “余数比除数小” 的规律。
3.运用有余数的除法解决简单的实际问题
教学难点：
4.理解 “余数比除数小” 的内在道理（而非单纯记忆规律）。
5.掌握有余数除法竖式中各部分的含义，尤其是试商的思考过程。
6.结合实际情境，正确判断 “进一” 或 “去尾”，解决 “至少”“最多” 类实际问题。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。通过操作，感知 “剩余数量” 与 “除数” 的大小关系，建立对余数的数感；理解有余数除法算式中各部分的数量意义，感知 “被除数 = 商 × 除数 + 余数” 的数量关系； 能根据除数判断余数的可能范围，提升数的感知能力。
本单元教材的具体编排结构如下：
本单元教材在建构思想和内容编排上，有以下特点：
1.直观性为主，层层抽象：课件与教材同步，以分实物、摆小棒、圈一圈等操作活动为起点，让学生直观感知 “剩余” 现象，再逐步抽象出有余数除法的算式、概念，符合低年级 “具体形象思维为主” 的认知规律。
2.情境生活化，贴近学生：选取分苹果、分巧克力、分画片、穿纸鹤、买鲜花等学生熟悉的生活场景，降低概念理解难度，激发学生学习兴趣，渗透 “数学源于生活” 的理念。
3.规律探究化，重视过程：通过 “分 17 根小棒分不同份数”“固定除数写除法算式” 等活动，引导学生自主观察、比较、归纳，发现 “余数比除数小” 的核心规律，培养探究意识。
4.知识结构化，递进衔接：内容编排遵循 “意义理解→规律探究→竖式计算→实际应用” 的逻辑，三课时内容层层递进，前一课时是后一课时的基础，后一课时是前一课时的深化，形成完整的知识体系。
5.练用结合，夯实基础：每个课时均设计变式深化、巩固练习、分层作业，兼顾基础巩固、能力提升和拓展应用，同时注重竖式书写规范、算式读法等细节训练，培养良好的数学学习习惯。
五、单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 数与代数 □图形与几何 统计与概率 □综合与实践
单元数量
单元主题 单元名称 主要内容 课时
数与代数 有余数的除法 有余数除法的意义 1
余数与除数的关系 1
余数与除数的竖式计算 1
有余数除法的应用 1
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 分类 集合 对应 演绎 归纳 类比 转化 数形结合 □极限 模型 □方程 □函数 □统计 分析 综合 比较 □假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
有余数除法的意义 目标：结合生活中平均分不能正好分完的事例，认识有余数的除法。理解余数的含义，会读写有余数的除法算式，发展数感和运算能力。 任务一：认识有余数的除法。理解余数的含义，会读写有余数的除法算式。 1.通过合作探究活动，理解余数的含义，会读写有余数的除法算式。
余数与除数的关系 目标：探索并理解余数比除数小的规律，能准确表述余数与除数的关系。能运用余数与除数的关系判断有余数除法计算是否正确。 任务一：探索并理解余数比除数小的规律，能准确表述余数与除数的关系 1.通过合作探究活动，能运用余数与除数的关系判断有余数除法计算是否正确。
余数与除数的竖式计算 目标：经历探索有余数除法的计算方法的过程，掌握试商的方法，会用竖式计算除数是一位数且商也是一位数的有余数的除法。 任务一：掌握试商的方法，会用竖式计算除数是一位数且商也是一位数的有余数的除法。 1.通过合作探究活动，掌握试商的方法，会用竖式计算。
有余数除法的应用 目标：通过解决小蛋糕装盒问题，会用有余数的除法解决问题，并能对结果的合理性作出解释。经历解决问题的全过程，能够抓住关键词理解题意，分析数量关系。 任务一：会用有余数的除法解决问题。 通过合作探究活动，经历解决问题的全过程，能够抓住关键词理解题意，分析数量关系。
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