第01讲向量的概念辨析与线性运算
【题型1】平面向量的概念与表示
例题1．下列各量中是向量的是（ ）
A．时间 B．路程 C．加速度 D．温度
【详解】因为时间、路程、温度只有大小没有方向，故是数量，加速度既有大小，又有方向，故是向量.
【针对训练】
1．下列量中是向量的为（ ）
A．课桌的高度 B．一段路程的公里数
C．上课时老师敲击黑板的频率 D．小汽车受到路面的弹力
【详解】因为向量是既有大小，又有方向的量，而高度、公里数、频率只有大小，没有方向，
弹力既有大小，又有方向，所以弹力是向量.
故选：D．
2．下列各量中是向量的为（ ）
A．时间 B．体积 C．重力 D．密度
【详解】由题意可知，时间、体积、密度都是数量，而重力是向量.
故选：C.
3．下列关于向量的说法正确的是（ ）
A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量
C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量
【详解】对于A，摩擦力和重力都及有大小，也有方向，所以摩擦力，重力都是向量，A正确；
对于B，轴，轴有方向，但没有大小，所以它们都不是向量，B错误；
对于C，温度只有大小，没有方向，所以温度不是向量，C错误；
对于D，身高只有大小，没有方向，所以身高不是向量，D错误；
故选:A．
【题型2】向量的模、零向量与单位向量
例题1．下列说法中正确的是（ ）
A．向量的模都是正实数
B．单位向量只有一个
C．向量的大小与方向无关
D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
【详解】对于A：根据向量的概念可知，零向量的模为零，故A错误；
对于B：单位向量的定义，单位向量的模为1，方向为任意方向，故B错误；
对于C：向量的模与方向没有关系，故C正确；
对于D：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故D错误.
故选：C.
例题2．在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【详解】如图，连接AC，
由，得.
因为为半圆上的点，所以，
所以．
故选：A.
例题3．关于非零向量方向上的单位向量，下列说法正确的是（ ）
A．有无数个 B．与可能反向
C． D．
【详解】非零向量方向上的单位向量，且，故ABC错误，
故选：D．
【针对训练】
1．下列说法正确的是（ ）
A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向
C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0
【详解】对于A，零向量的模等于零，故A错误；
对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误；
对于C，根据单位向量的定义可C知正确；
对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误.
故选：C.
2．数轴上点A，B分别对应，则向量的长度是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【详解】数轴上点A，B分别对应，
则向量的长度即.
故选：C．
3．下列命题正确的个数是（ ）
（1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量；
（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0．
A．1 B．2 C．3 D．4
【详解】（1）向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，故错误；
（2）根据对零向量的规定零向量是有方向的，是任意的，故错误；
（3）根据对零向量的规定，零向量的方向是任意的，故正确；
（4）根据对零向量的规定，零向量的大小为0，所以零向量的长度为0，故正确．
故选：B
4．已知圆O的周长是，是圆O的直径，C是圆周上一点，于点D，则___________.
【详解】由题设，圆O的半径为1，又，如下图示：
在中，，，所以.
故答案为：
5．与向量方向相反的单位向量为_____．
【详解】向量方向相反的单位向量.
故答案为：.
【题型3】相等向量、平行向量（共线向量）
例题1．“”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【详解】若“”则“且”成立，即充分性成立；
反之若与反向共线时，满足“且”，但不满足“”，故必要性不成立，
故“”是“且”的充分不必要条件，
故选：A.
例题2．下列说法错误的是（ ）
A．向量与模相等 B．两个相等向量若起点相同，则终点必相同
C．只有零向量的模等于0 D．零向量没有方向
【详解】向量与互为相反向量，所以向量与的模相等，故A选项正确；
如果两个相等向量的起点相同，则它们终点必相同，故B选项正确；
根据向量模的定义，只有零向量的模等于0，故C选项正确；
零向量的方向是任意的，而不是没有方向，故D选项不正确；
例题3．如图，在四边形中，若，则图中相等的向量是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【详解】因为，所以四边形ABCD是平行四边形，所以互相平分.
对于A：与不平行，不可能相等，故A错误；
对于B：与大小相同，方向相反，故B错误；
对于C：与不平行，不可能相等，故C错误；
对于D：大小相等，方向相同．即与是相等的向量．
故选：D
【针对训练】
1．下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．，则
C．若，且，则 D．若，则与不共线
【详解】由向量相等的定义知选项A正确；
向量是有方向的量，不能比较大小，选项B错误；
当时，与不一定平行，选项C不正确；
可以是但与的模不相等，选项D不正确.
故选：A.
2．下列各选项中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】对于A：模相等，但方向有可能不相同，
不能保证向量相等，故A错误；
对于B：向量不能比较大小，故B错误；
对于C： 因为向量的模为零时，该向量必为零向量，
即，故C正确；
对于D：向量不能等于数字0，故D错误.
3．设，是共线的单位向量，则的值（ ）
A．等于2 B．等于0 C．大于2 D．等于0或等于2
【详解】与是共线的单位向量，
∴，
当两个向量同向时，，则；
当两个向量反向时，，则．
故选：D．
4．设点是正方形的中心，则向量的关系是（ ）
A．方向相同 B．模相等 C．向量相等 D．起点相同
【详解】如图，因为是正方形的中心，则，
而方向不相同，不共线，起点不相同.
4．下列说法正确的是（ ）
A．长度一样的两个向量相等 B．平行的两个向量为共线向量
C．零向量的大小为0且没有方向 D．方向相反的两个向量互为相反向量
【详解】选项A：相等向量是指它们的长度相等且方向相同，故A错误；
选项B：平行向量与共线向量是同一概念，若两个非零向量方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量. 零向量与任一向量共线，故B正确；
选项C：长度为0的向量称为零向量，任何方向都可以作为零向量的方向，故C错误；
选项D：若两个向量的长度相等、方向相反，则称这两个向量互为相反向量，故D错误.
故选：B.
5．下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量是相等向量
B．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合
C．与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系
D．向量的模是一个非负实数
【详解】对于A，向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正确；
对于B，若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合，
若两个共线向量中含有零向量时，零向量所在直线不确定，故B错误；
对于C，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此C不正确；
对于D，向量的模指的是向量的长度，是一个非负实数，因此D正确.
故选：D.
【题型4】向量的加法法则
例题1．在平行四边形中，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】画出图像如下图所示.
对于A选项，大小相等方向相反，，结论正确.
对于B选项，根据向量加法的平行四边形法则可知，，结论正确.
对于C选项，由于，故结论错误.
对于D选项，，大小相等方向相反，，结论正确.
故选：C.
【针对训练】
1．在中，（ ）
A． B． C． D．
【详解】由向量加法的三角形法则，可知，
故选：C.
2．在中，，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【详解】由可得点是的中点，根据平行四边形法则：，即.
故选：D.
3．如图，点为正六边形的中心，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】由题设有，故，
由正六边形的性质可得四边形为平行四边形，
故，故，
故选：D.
4．在梯形中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】在梯形中，，，
所以．
故选：D.
5．在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
【详解】由题意得，，又，，
，即，
故选：C.
6．化简：（ ）
A． B． C． D．
【详解】.
故选：A
【题型5】向量的减法
例题1．在平行四边形中，为的中点．记，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为四边形是平行四边形，所以，
又因为为的中点，所以，
在平行四边形中，，
.
故选：A.
例题2．如图，在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
【详解】因为，所以，所以.
故选：C.
【针对训练】
1．在中，点满足，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】．
故选：B
2．在中，D为BC中点，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】因，则，即，
则，
因D为BC中点，则，
因，则，即，
则，则，
因，D为BC中点，则，即，得.
故选：A
3．在平行四边形中，为对角线的交点，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】如图，
则，
故选：D
【题型6】向量的数乘运算
例题1．在中，点满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】由，则为的中点，
因为，所以，
则，
而，
则，即.
故选：D.
例题2．是所在平面内的一点，满足，则（ ）
A．点P在线段BC上 B．点P在线段BC的延长线上
C．点P在线段AC上 D．点P在线段AC的延长线上
【详解】因为，可得，
可知点为线段的中点，所以点P在线段AC的延长线上.
故选：D.
【针对训练】
1．在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【详解】由得,
即,
令是的中点，则,
所以
所以∥，
所以,
即
2．正六边形中，=（ ）
A． B． C． D．
【详解】由题意可作图如下：
由图可知.
故选：A.
3．在平行四边形ABCD中，，则（ ）
A． B．
C． D．
【详解】在平行四边形ABCD中，，则，
所以
故选：B.
4．在平行四边形中，点E是AD的中点，点F是CD的一个三等分点(靠近点C)，则=（ ）
A．+ B．+
C．+ D．-
【详解】点E是AD的中点，点F是CD的一个三等分点(靠近点C)，
故，
所以.
故选：A
【题型7】三角形的心
例题1．已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（ ）．
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【详解】因为，
，
，
所以点在的角平分线上.
同理可得：点在的角平分线上.
所以点为的内心.
故选：B
例题2．已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【详解】因为，，
所以，
所以（*）．
又因为，，其中分别表示，方向的单位向量，
（*）式可进一步化为，
而表示与的平分线共线的向量，
所以平分．
同理，平分，平分，
所以是的内心，
故选：B．
例题3．在中，若，，则点的轨迹必经过的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【详解】因为是与同向的单位向量，是与同向的单位向量，
如图，设，，
则可化为：，且，
以，为邻边作平行四边形，
则，且平行四边形为菱形，所以平分，
所以，
又为公共端点，所以，，三点共线，所以在的平分线上，
则点的轨迹必经过的内心，
故选：A．
【针对训练】
1．在中，设，，那么动点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心
【详解】因为，，
则
若设中的的中点为，有，
则.
所以在三角形的中线上，因此动点的轨迹必通过的重心．
【题型8】向量的混合运算
例题1．下列向量运算正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【详解】对A：，故A正确；
对B：，故B正确；
对C：，故C错误；
对D：，故D正确.
故选：ABD.
【针对训练】
1．在中，为边的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】在中，，A选项正确；
，B选项正确；
在中，为边的中点，则，C选项错误；
，所以D选项错误；
故选：AB.
2．下列计算正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，D错误.
故选：AB
3．在平行四边形中，________．
【详解】在平行四边形中，，
所以.
4．化简______．
【详解】.
故答案为：.
5．___________.
【详解】.
故答案为：.
6．化简：
（1）___________；
（2）___________.
【详解】（1）
（2）
故答案为：；
7．如图，O为正六边形的中点，化简下列向量：
(1)；
(2)；
(3)．
【详解】（1）由题图知，为平行四边形，
．
（2）由图知，
．
（3），
．
又，．
8．化简：
(1)；(2).
【详解】（1）原式
.
（2）
.
9．化简：．
【详解】解：
．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页第01讲向量的概念辨析与线性运算
【题型1】平面向量的概念与表示
例题1．下列各量中是向量的是（ ）
A．时间 B．路程 C．加速度 D．温度
【针对训练】
1．下列量中是向量的为（ ）
A．课桌的高度 B．一段路程的公里数
C．上课时老师敲击黑板的频率 D．小汽车受到路面的弹力
2．下列各量中是向量的为（ ）
A．时间 B．体积 C．重力 D．密度
3．下列关于向量的说法正确的是（ ）
A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量
C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量
【题型2】向量的模、零向量与单位向量
例题1．下列说法中正确的是（ ）
A．向量的模都是正实数
B．单位向量只有一个
C．向量的大小与方向无关
D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
例题2．在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（ ）
A．1 B． C． D．2
例题3．关于非零向量方向上的单位向量，下列说法正确的是（ ）
A．有无数个 B．与可能反向
C． D．
【针对训练】
1．下列说法正确的是（ ）
A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向
C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0
2．数轴上点A，B分别对应，则向量的长度是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．下列命题正确的个数是（ ）
（1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量；
（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知圆O的周长是，是圆O的直径，C是圆周上一点，于点D，则___________.
5．与向量方向相反的单位向量为_____．
【题型3】相等向量、平行向量（共线向量）
例题1．“”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例题2．下列说法错误的是（ ）
A．向量与模相等 B．两个相等向量若起点相同，则终点必相同
C．只有零向量的模等于0 D．零向量没有方向
例题3．如图，在四边形中，若，则图中相等的向量是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【针对训练】
1．下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．，则
C．若，且，则 D．若，则与不共线
2．下列各选项中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．设，是共线的单位向量，则的值（ ）
A．等于2 B．等于0 C．大于2 D．等于0或等于2
4．设点是正方形的中心，则向量的关系是（ ）
A．方向相同 B．模相等 C．向量相等 D．起点相同
5．下列说法正确的是（ ）
A．长度一样的两个向量相等 B．平行的两个向量为共线向量
C．零向量的大小为0且没有方向 D．方向相反的两个向量互为相反向量
6．下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量是相等向量
B．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合
C．与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系
D．向量的模是一个非负实数
【题型4】向量的加法法则
例题1．在平行四边形中，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【针对训练】
1．在中，（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，点为正六边形的中心，则（ ）
A． B． C． D．
4．在梯形中，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．化简：（ ）
A． B． C． D．
【题型5】向量的减法
例题1．在平行四边形中，为的中点．记，则（ ）
A． B． C． D．
例题2．如图，在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
【针对训练】
1．在中，点满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．在中，D为BC中点，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．在平行四边形中，为对角线的交点，则（ ）
A． B． C． D．
【题型6】向量的数乘运算
例题1．在中，点满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
例题2．是所在平面内的一点，满足，则（ ）
A．点P在线段BC上 B．点P在线段BC的延长线上
C．点P在线段AC上 D．点P在线段AC的延长线上
【针对训练】
1．在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
2．正六边形中，=（ ）
A． B． C． D．
3．在平行四边形ABCD中，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．在平行四边形中，点E是AD的中点，点F是CD的一个三等分点(靠近点C)，则=（ ）
A．+ B．+
C．+ D．-
【题型7】三角形的心
例题1．已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（ ）．
外心 B．内心 C．重心 D．垂心
例题2．已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的（ ）
外心 B．内心 C．重心 D．垂心
例题3．在中，若，，则点的轨迹必经过的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【针对训练】
1．在中，设，，那么动点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心
【题型8】向量的混合运算
例题1．下列向量运算正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【针对训练】
1．在中，为边的中点，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的有（ ）
A． B．
C． D．
3．在平行四边形中，________．
4．化简______．
5．___________.
6．化简：
（1）___________；
（2）___________.
7．如图，O为正六边形的中点，化简下列向量：
(1)； (2)； (3)．
8．化简：
(1)；(2).
9．化简：．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
