人教版物理必修第二册
第五章｜抛体运动
第4节 抛体运动的规律
核心素养点击
物理观念 (1)知道抛体运动的受力特点。 (2)理解平抛运动的规律，知道平抛运动的轨迹是抛物线。
科学思维 (1)会用运动的合成与分解的方法对平抛运动进行理论分析。 (2)会计算平抛运动的速度及位移，会解决与平抛运动相关的实际问题。 (3)认识平抛运动研究中等效替代的思想和“化繁为简”的思想，并能够用来研究一般的抛体运动。
科学态度与责任 通过用平抛运动的知识解决和解释自然、生活和生产中的例子，认识到平抛运动的普遍性，有学习物理的内在动力，体会物理学的应用价值。
1．填一填
(1)水平速度：做平抛运动的物体，由于只受到竖直向下的重力作用，在x方向的分力是，根据牛顿运动定律，物体加速度为，故物体在x方向的分速度将保持v0不变，即vx＝。
(2)竖直速度：物体在y方向上受重力mg作用，由mg＝ma可知，物体在竖直方向的加速度等于自由落体加速度，物体在y方向的分速度vy与时间t的关系是vy＝gt。
(3)合速度：由图可知，物体在时刻t的速度v＝＝，
tan θ＝＝。
(4)结论：物体在下落过程中速度v越来越大，速度方向与水平方向间夹角θ越来越大。
2．判断
(1)水平抛出的物体所做的运动就是平抛运动。( )
(2)平抛运动的物体初速度越大，下落得越快。( )
(3)做平抛运动的物体下落时，速度方向与水平方向的夹角θ越来越大。( )
(4)相等时间内，做平抛运动的物体的速度变化相同。( )
3．想一想
如果下落时间足够长，做平抛运动的物体的速度方向最终将变为竖直方向吗？
提示：不会变为竖直方向，无论物体下落时间多长，物体的水平速度不变，根据速度的合成，合速度的方向不会沿竖直方向。
1．填一填
(1)水平位移：做平抛运动的物体在沿x方向的分运动是匀速直线运动，所以物体的水平位移与时间的关系是x＝v0t。
(2)竖直位移：做平抛运动的物体在y方向的分运动是从静止开始、加速度为g的匀加速直线运动，由自由落体运动的知识可知，做平抛运动的物体的竖直分位移与时间的关系是y＝gt2。
(3)运动轨迹：将t＝代入y＝gt2中可得y＝x2，由数学知识可知，平抛运动的轨迹是一条抛物线。
2．判断
(1)做平抛运动的物体的初速度越大，物体落地时间越短。( )
(2)做平抛运动的物体初速度越大，物体的水平位移越大。( )
(3)物体做平抛运动落地的时间由抛出点高度决定，与物体平抛运动的初速度大小无关。( )
3．选一选
做平抛运动的物体，在落地的过程中，其在水平方向通过的距离取决于( )
A．物体的初始高度和所受重力
B．物体的初始高度和初速度
C．物体所受的重力和初速度
D．物体所受的重力、初始高度和初速度
1.填一填
(1)斜抛运动：物体被抛出时的速度不沿水平方向，而是斜向上方或斜向下方。
(2)受力情况：做斜抛运动的物体在水平方向不受力，加速度是，物体在竖直方向只受重力，加速度是。
(3)运动分解：做斜抛运动的物体在水平方向做 直线运动，速度v0x＝ ，在竖直方向做匀变速直线运动，初速度v0y＝ (θ为v0与水平方向间的夹角)
2．判断
(1)做斜抛运动和平抛运动的物体在水平方向上都做匀速直线运动。( )
(2)做斜抛运动和平抛运动的物体在竖直方向上都做自由落体运动。( )
(3)做斜抛运动的物体，抛出后速度先减小后增大。( )
对平抛运动的理解
【重难释解】
1．平抛运动的性质：加速度为g的匀变速曲线运动。
2．平抛运动的特点
(1)受力特点：只受重力作用，不受其他力作用或其他力忽略不计。
(2)运动特点
①加速度：a＝g，平抛运动是匀变速曲线运动。
②速度：初速度v0方向水平；任意时刻的瞬时速度的水平分量都等于初速度v0，竖直分量都等于自由落体运动的速度。
③速度变化特点：任意两个相等的时间间隔内速度的变化量相同，Δv＝gΔt，方向竖直向下，如图所示。
(3)轨迹特点：运动轨迹是抛物线。
[特别提醒]
做平抛运动的物体在任意两个相等的时间间隔内速度的变化量相同，但是速率的变化不相等。
关于平抛运动，下列说法正确的是( )
A．因为平抛运动的轨迹是曲线，所以不可能是匀变速运动
B．做平抛运动的物体速度的大小与方向不断变化，因此相等时间内其速度的变化量也是变化的，加速度也不断变化
C．平抛运动可以分解为水平方向上的匀速直线运动与竖直方向上的竖直下抛运动
D．平抛运动是加速度恒为g的匀变速曲线运动
【素养训练】
1．(多选)下列关于平抛运动的说法中正确的是( )
A．平抛运动是非匀变速运动
B．平抛运动是匀变速曲线运动
C．做平抛运动的物体落地时的速度有可能是竖直向下的
D．做平抛运动的物体在水平方向的位移，由抛出点高度和物体的初速度共同决定
2.(多选)如图所示，在高空水平方向匀速飞行的轰炸机，每隔1 s投下一颗炸弹，若不计空气阻力，则( )
A．这些炸弹落地前排列在同一条竖直线上
B．这些炸弹落地前排列在同一条抛物线上
C．这些炸弹落地时速度大小和方向都相同
D．这些炸弹都落于地面上同一点
3．(多选)某次演习中，救援飞机水平匀速飞行，朝前方落水者释放救生设备，该设备越过了落水者。再次释放时，设释放点与落水者间的水平距离不变，忽略空气阻力，为了使救生设备准确落到落水者处，则飞机可采取的措施有( )
A．高度不变，适当降低飞行速度
B．高度不变，适当增加飞行速度
C．速度不变，适当降低飞行高度
D．速度不变，适当增加飞行高度
平抛运动的规律及推论
【重难释解】
1．研究方法
(1)由于平抛运动是匀变速曲线运动，速度、位移的方向时刻在发生变化，无法直接应用运动学公式，因此研究平抛运动问题时采用运动分解的方法。
(2)平抛运动一般分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动。
2．运动规律
物理量 速度 位移
水平分运动 水平速度vx＝v0 水平位移x＝v0t
竖直分运动 竖直速度vy＝gt 竖直位移y＝gt2
合运动 大小：v＝ 方向：与水平方向夹角为θ，tan θ＝＝ 大小：s＝ 方向：与水平方向夹角为α，tan α＝＝
图示
3.两个推论
(1)推论1：平抛运动的速度偏向角θ与平抛运动的位移偏向角α的关系为tan θ＝2tan α。
证明：如图所示，速度偏向角tan θ＝＝。
位移偏向角tan α＝＝＝＝tan θ。故有tan θ＝2tan α。
(2)推论2：做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过该时刻对应水平位移的中点。
证明：如图所示，从O点抛出的物体经时间t到达P点，速度的反向延长线交OB于A点。
则OB＝v0t，AB＝
＝gt2·＝gt2·＝v0t。
可见AB＝OB，所以A点为OB的中点。
即：做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过该时刻对应水平位移的中点。
当灾害发生时，有时会利用无人机运送救灾物资。如图所示，一架无人机正准备向受灾人员空投急救用品，急救用品的底面离水面高度h＝19.6 m。无人机以v＝10 m/s的速度水平匀速飞行。若空气阻力忽略不计，重力加速度g＝9.8 m/s2。
(1)为了使投下的急救用品落在指定地点，无人机应该在离指定地点水平距离多远的地方进行投放？
(2)投放的急救用品落到水面上时，速度的大小是多少？
如图所示，从某一高度水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，小球的速度方向与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A．小球水平抛出时的初速度大小为gttan θ
B．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为
C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长
D．若小球初速度增大，则θ减小
【素养训练】
4.(2024·海南高考)在跨越河流表演中，一人骑车以25 m/s的速度水平冲出平台，恰好跨越过河流落在河对岸平台上，已知河流宽度为25 m，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，则两平台的高度差h为( )
A．0.5 m B．5 m C．10 m D．20 m
5．(2025·云南高考)如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则( )
A．两颗鸟食同时抛出
B．在N点接到的鸟食后抛出
C．两颗鸟食平抛的初速度相同
D．在M点接到的鸟食平抛的初速度较大
6.如图所示，从同一位置以不同的初速度水平抛出两个小球A、B，它们先后与竖直墙壁碰撞，碰撞的瞬间小球A、B的速度方向与竖直墙壁之间的夹角分别为α、β。已知α＝53°，β＝37°，两小球与墙壁的接触点之间的距离为d，求抛出点与竖直墙壁的距离x。(取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
主题探究(三) 平抛运动与斜面结合的两类问题
【重难释解】
平抛运动与斜面结合的两类问题的比较
类型 顺着斜面平抛 对着斜面平抛
情景图例 物体从斜面上某一点水平抛出以后，又重新落在斜面上 做平抛运动的物体垂直打在斜面上
关联关系 位移方向与水平方向的夹角等于斜面的倾角 速度与竖直方向的夹角等于斜面的倾角
处理方法 抓住位移的分解 抓住速度的分解
几个重要关系 (1)水平位移和竖直位移的关系：tan θ＝＝＝ (2)速度方向与斜面夹角(α－θ)是恒定的(tan α＝2tan θ) (3)运动时间t＝ (1)速度方向与斜面垂直 (2)水平分速度与竖直分速度的关系：tan θ＝＝ (3)运动时间t＝
如图所示，跳台滑雪运动员经过一段时间的加速滑行后从A点水平飞出，落到斜坡上的B点。A、B两点间的竖直高度h＝45 m，斜坡与水平面的夹角α＝37°，不计空气阻力(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)。求：
(1)运动员水平飞出时初速度v0的大小；
(2)运动员落到B点时瞬时速度v1的大小和方向。
[迁移·发散]
运动员从A点以不同的水平速度v0飞出，落到斜坡上时速度大小为v，请通过计算确定v与v0的关系式，并在图中画出v v0的关系图像。
【素养训练】
7．跳台滑雪是冬奥会的传统项目，其运动过程可以简化成如图所示模型。跳台斜坡AC与水平面的夹角θ＝30°，滑雪运动员从斜坡的起点A以v0＝5 m/s的初速度水平飞出，最后落到斜坡上的B点。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则运动员从A点运动至B点的时间为( )
A．1 s B．1.5 s
C．2 s D．3 s
8.一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图中虚线所示。小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为( )
A．tan θ B．2tan θ
C. D.
9.(多选)如图所示，在斜面顶端a处以速度va水平抛出一小球，经过时间ta小球恰好落在斜面底端P处；在P点正上方与a等高的b处以速度vb水平抛出另一小球，经过时间tb恰好落在斜面的中点Q处。若不计空气阻力，则下列关系式正确的是( )
A．va＝vb B．va＝vb
C．ta＝tb D．ta＝tb
[问题驱动]
(1)炮弹以初速度v0斜向上方飞出炮筒，初速度方向与水平方向夹角为θ，如图所示，求炮弹在空中飞行时间、射高和射程。
(2)根据斜上抛运动射程的表达式，讨论影响射程的因素有哪些？
提示：(1)先建立直角坐标系，将初速度v0分解为v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ，
飞行时间t＝＝，
射高Y＝＝，
射程X＝v0cos θ·t＝＝，
可见，给定v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，最大射程为Xmax＝。
(2)射程X＝，由此可以看出射程的大小与初速度和抛射角有关。
【重难释解】
斜上抛运动和斜下抛运动的比较
比较 斜上抛运动 斜下抛运动
运动分解 分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动 分解为水平方向的匀速直线运动和竖直向下的匀加速直线运动
轨迹图像
速度公式 水平方向：vx＝v0cos θ 水平方向：vx＝v0cos θ
竖直方向：vy＝v0sin θ－gt 竖直方向：vy＝v0sin θ＋gt
位移公式 (位置坐标) x＝v0cos θ·t y＝v0sin θ·t－gt2 x＝v0cos θ·t y＝v0sin θ·t＋gt2
典例5 如图所示，A、B两篮球从相同高度同时抛出后直接落入篮筐，落入篮筐时的速度方向相同，下列判断正确的是( )
A．A比B先落入篮筐
B．A、B运动的最大高度相同
C．A在最高点的速度比B在最高点的速度小
D．A、B上升到某一相同高度时的速度方向相同
【素养训练】
10．(多选)关于物体做斜抛运动时的射高，下列说法中正确的是( )
A．物体的初速度越大，射高越大
B．物体的抛射角越大，射高越大
C．物体的初速度一定时，抛射角越大，射高越大
D．物体的抛射角一定时，初速度越大，射高越大
11．如图甲，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图乙所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是( )
A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
B．谷粒2在最高点的速度小于v1
C．两谷粒从O到P的运动时间相等
D．两谷粒从O到P的平均速度相等
一、培养创新意识和创新思维
1．某生态公园的人造瀑布景观如图所示，水流从高处水平流出槽道，恰好落入步道边的水池中。现制作一个为实际尺寸的模型展示效果，模型中槽道里的水流速度应为实景的( )
A. B.
C. D.
2．请思考以下两个问题 (以下情境均不计空气阻力的影响)：
(1)如图甲，水平飞行的飞机要轰炸某个目标。某同学说：当飞机飞到目标的正上方时投弹，才能命中目标。该同学的说法对吗？
(2)如图乙，一只松鼠攀在山崖的树上，看到猎人对着它水平射出子弹的火光时，立即松爪从树上掉落。松鼠能摆脱被击中的厄运吗？
二、注重学以致用和思维建模
1．(2024·湖北高考)如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到( )
A．荷叶a B．荷叶b
C．荷叶c D．荷叶d
2.(2025·广东广州模拟)小明同学在练习投篮时将篮球从同一位置斜向上抛出，其中有两次篮球垂直撞在竖直放置的篮板上，篮球运动轨迹如图所示，不计空气阻力，关于篮球从抛出到撞击篮板前，下列说法正确的是( )
A．两次在空中的时间可能相等
B．两次抛出的初速度大小可能相等
C．两次抛出的初速度水平分量可能相等
D．两次抛出的初速度竖直分量可能相等
3.(2024·北京高考)如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h远大于管口内径。求：
(1)水从管口到水面的运动时间t；
(2)水从管口排出时的速度大小v0；
(3)管口单位时间内流出水的体积Q。
[课时跟踪检测]
组—重基础·体现综合
1．(2024·江苏高考)喷泉a、b形成如图所示的形状，不计空气阻力，则喷泉a、b( )
A．加速度相同 B．初速度相同
C．在最高点的速度相同 D．在空中的时间相同
2.(多选)如图所示，节水灌溉系统中的喷嘴距地面高0.45 m，假定从喷嘴水平喷出的水做平抛运动，喷灌半径为3 m，不计空气阻力，g取10 m/s2，则( )
A．水从喷嘴喷出至落地的位移为3 m
B．水从喷嘴喷出至地面的时间为0.3 s
C．水从喷嘴喷出落地时的速度大小为10 m/s
D．水从喷嘴喷出的速度大小为10 m/s
3．(2025·浙江6月选考)如图所示，在水平桌面上放置一斜面，在桌边水平放置一块高度可调的木板。让钢球从斜面上同一位置静止滚下，越过桌边后做平抛运动。当木板离桌面的竖直距离为h时，钢球在木板上的落点离桌边的水平距离为x，重力加速度为g，则( )
A．钢球平抛初速度为x
B．钢球在空中飞行时间为
C．增大h，钢球撞击木板的速度方向不变
D．减小h，钢球落点离桌边的水平距离不变
4.“套圈”是老少皆宜的游戏，如图所示，大人和小孩在同一竖直线上的不同高度处分别以水平速度v1、v2抛出铁丝圈，都能套中地面上的同一目标。若大人和小孩的抛出点离地面的高度之比H1∶H2＝2∶1，则v1∶v2等于( )
A．2∶1 B．1∶2
C.∶1 D．1∶
5.如图，某公园有喷水装置，若水从小鱼模型口中水平喷出，忽略空气阻力及水之间的相互作用，则( )
A．喷水口高度一定，喷水速度越大，水从喷出到落入池中的时间越长
B．喷水口高度一定，喷水速度越大，水从喷出到落入池中的时间越短
C．喷水口高度一定，喷水速度越大，水喷得越远
D．喷水口高度一定，喷水速度越大，水喷得越近
6.如图所示，在斜面顶端的A点以速度v平抛一小球，经时间t1落到斜面上B点处，若在A点将此小球以速度0.5v水平抛出，则经时间t2落到斜面上的C点处，以下判断正确的是( )
A．t1∶t2＝4∶1 B．AB∶AC＝4∶1
C．AB∶AC＝2∶1 D．t1∶t2＝∶1
7.如图所示，斜面上有a、b、c、d四个点，ab＝bc＝cd。从a点正上方的O点以速度v水平抛出一个小球，它落在斜面上的b点。若小球从O点以速度2v水平抛出，不计空
气阻力，则它将落在斜面上的( )
A．b与c之间某一点 B．c点
C．c与d之间某一点 D．d点
8.(多选)如图所示，某同学对着墙壁练习打乒乓球，某一次球与球拍碰撞后，经过一段时间后球恰好垂直打在墙壁上的A点，已知球与球拍的作用点为B，A、B两点高度差为0.8 m，B点和墙面之间的距离为1.2 m，不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2。则下列说法中正确的是( )
A．球到达A点时的速度大小为5 m/s
B．球在B点离开球拍时的速度大小为5 m/s
C．球从B点运动到A点的过程中速度变化量大小为4 m/s
D．球从B点运动到A点的过程中速度变化量大小为2 m/s
9．体育课上，甲同学在距离地面高h1＝2.5 m处将排球击出，球的初速度沿水平方向，大小为v0＝8.0 m/s；乙同学在距离地面高h2＝0.7 m处将排球垫起。重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。求：
(1)排球被垫起前在水平方向飞行的距离x；
(2)排球被垫起前瞬间的速度大小v及方向。
组—重应用·体现创新
10．如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，当地重力加速度为g，则水离开出水口的速度大小为( )
A. B.
C. D．(＋1)D
11．(2024·山东高考)(多选)如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是( )
A．运动时间为2 s
B．落地速度与水平方向夹角为60°
C．重物离PQ连线的最远距离为10 m
D．轨迹最高点与落点的高度差为45 m
12.如图所示，排球场的长为18 m，球网的高度为2 m。运动员站在离网3 m远的线上，正对球网竖直跳起，把排球垂直于网所在平面水平击出。(g取10 m/s2)
(1)设击球点的高度为2.5 m，问球被水平击出时的速度在什么范围内才能使球既不触网也不出界？
(2)若击球点的高度小于某个值，那么无论球被水平击出时的速度为多大，球不是触网就是出界，试求出此高度。
7 / 7第五章｜抛体运动
第4节 抛体运动的规律
核心素养点击
物理观念 (1)知道抛体运动的受力特点。 (2)理解平抛运动的规律，知道平抛运动的轨迹是抛物线。
科学思维 (1)会用运动的合成与分解的方法对平抛运动进行理论分析。 (2)会计算平抛运动的速度及位移，会解决与平抛运动相关的实际问题。 (3)认识平抛运动研究中等效替代的思想和“化繁为简”的思想，并能够用来研究一般的抛体运动。
科学态度与责任 通过用平抛运动的知识解决和解释自然、生活和生产中的例子，认识到平抛运动的普遍性，有学习物理的内在动力，体会物理学的应用价值。
1．填一填
(1)水平速度：做平抛运动的物体，由于只受到竖直向下的重力作用，在x方向的分力是，根据牛顿运动定律，物体加速度为，故物体在x方向的分速度将保持v0不变，即vx＝。
(2)竖直速度：物体在y方向上受重力mg作用，由mg＝ma可知，物体在竖直方向的加速度等于自由落体加速度，物体在y方向的分速度vy与时间t的关系是vy＝gt。
(3)合速度：由图可知，物体在时刻t的速度v＝＝，
tan θ＝＝。
(4)结论：物体在下落过程中速度v越来越大，速度方向与水平方向间夹角θ越来越大。
2．判断
(1)水平抛出的物体所做的运动就是平抛运动。(×)
(2)平抛运动的物体初速度越大，下落得越快。(×)
(3)做平抛运动的物体下落时，速度方向与水平方向的夹角θ越来越大。(√)
(4)相等时间内，做平抛运动的物体的速度变化相同。(√)
3．想一想
如果下落时间足够长，做平抛运动的物体的速度方向最终将变为竖直方向吗？
提示：不会变为竖直方向，无论物体下落时间多长，物体的水平速度不变，根据速度的合成，合速度的方向不会沿竖直方向。
1．填一填
(1)水平位移：做平抛运动的物体在沿x方向的分运动是匀速直线运动，所以物体的水平位移与时间的关系是x＝v0t。
(2)竖直位移：做平抛运动的物体在y方向的分运动是从静止开始、加速度为g的匀加速直线运动，由自由落体运动的知识可知，做平抛运动的物体的竖直分位移与时间的关系是y＝gt2。
(3)运动轨迹：将t＝代入y＝gt2中可得y＝x2，由数学知识可知，平抛运动的轨迹是一条抛物线。
2．判断
(1)做平抛运动的物体的初速度越大，物体落地时间越短。(×)
(2)做平抛运动的物体初速度越大，物体的水平位移越大。(×)
(3)物体做平抛运动落地的时间由抛出点高度决定，与物体平抛运动的初速度大小无关。(√)
3．选一选
做平抛运动的物体，在落地的过程中，其在水平方向通过的距离取决于( )
A．物体的初始高度和所受重力
B．物体的初始高度和初速度
C．物体所受的重力和初速度
D．物体所受的重力、初始高度和初速度
解析：选B 做平抛运动的物体在水平方向通过的距离x＝v0t，由h＝gt2得t＝ ，时间t由高度h决定，
x＝v0t＝v0，故x由初始高度h和初速度v0共同决定，故B正确。
1.填一填
(1)斜抛运动：物体被抛出时的速度不沿水平方向，而是斜向上方或斜向下方。
(2)受力情况：做斜抛运动的物体在水平方向不受力，加速度是，物体在竖直方向只受重力，加速度是。
(3)运动分解：做斜抛运动的物体在水平方向做匀速直线运动，速度v0x＝v0cos_θ，在竖直方向做匀变速直线运动，初速度v0y＝v0sin_θ。(θ为v0与水平方向间的夹角)
2．判断
(1)做斜抛运动和平抛运动的物体在水平方向上都做匀速直线运动。(√)
(2)做斜抛运动和平抛运动的物体在竖直方向上都做自由落体运动。(×)
(3)做斜抛运动的物体，抛出后速度先减小后增大。(×)
对平抛运动的理解
【重难释解】
1．平抛运动的性质：加速度为g的匀变速曲线运动。
2．平抛运动的特点
(1)受力特点：只受重力作用，不受其他力作用或其他力忽略不计。
(2)运动特点
①加速度：a＝g，平抛运动是匀变速曲线运动。
②速度：初速度v0方向水平；任意时刻的瞬时速度的水平分量都等于初速度v0，竖直分量都等于自由落体运动的速度。
③速度变化特点：任意两个相等的时间间隔内速度的变化量相同，Δv＝gΔt，方向竖直向下，如图所示。
(3)轨迹特点：运动轨迹是抛物线。
[特别提醒]
做平抛运动的物体在任意两个相等的时间间隔内速度的变化量相同，但是速率的变化不相等。
关于平抛运动，下列说法正确的是( )
A．因为平抛运动的轨迹是曲线，所以不可能是匀变速运动
B．做平抛运动的物体速度的大小与方向不断变化，因此相等时间内其速度的变化量也是变化的，加速度也不断变化
C．平抛运动可以分解为水平方向上的匀速直线运动与竖直方向上的竖直下抛运动
D．平抛运动是加速度恒为g的匀变速曲线运动
[解析] 做平抛运动的物体只受重力，其加速度恒为g，为匀变速曲线运动，故A错误，D正确；相等时间内物体速度的变化量Δv＝gΔt是相同的，故B错误；平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，故C错误。
[答案] D
【素养训练】
1．(多选)下列关于平抛运动的说法中正确的是( )
A．平抛运动是非匀变速运动
B．平抛运动是匀变速曲线运动
C．做平抛运动的物体落地时的速度有可能是竖直向下的
D．做平抛运动的物体在水平方向的位移，由抛出点高度和物体的初速度共同决定
解析：选BD 平抛运动是仅受重力的匀变速曲线运动，故A错误，B正确；物体落地时的速度由水平方向与竖直方向的速度合成，一定不是竖直向下的，故C错误；平抛运动在水平方向做匀速直线运动，x＝v0，故D正确。
2.(多选)如图所示，在高空水平方向匀速飞行的轰炸机，每隔1 s投下一颗炸弹，若不计空气阻力，则( )
A．这些炸弹落地前排列在同一条竖直线上
B．这些炸弹落地前排列在同一条抛物线上
C．这些炸弹落地时速度大小和方向都相同
D．这些炸弹都落于地面上同一点
解析：选AC 这些炸弹都是做平抛运动，水平方向的速度不变，相同时间内，水平方向上位移相同，所以这些炸弹落地前排在同一条竖直线上，故A正确，B错误。由于这些炸弹下落的高度相同，初速度也相同，这些炸弹落地时速度大小和方向都相同，故C正确。这些炸弹抛出的时刻不同，落地的时刻也不一样，不可能落于地面上的同一点，故D错误。
3．(多选)某次演习中，救援飞机水平匀速飞行，朝前方落水者释放救生设备，该设备越过了落水者。再次释放时，设释放点与落水者间的水平距离不变，忽略空气阻力，为了使救生设备准确落到落水者处，则飞机可采取的措施有( )
A．高度不变，适当降低飞行速度
B．高度不变，适当增加飞行速度
C．速度不变，适当降低飞行高度
D．速度不变，适当增加飞行高度
解析：选AC 根据题意可知，设备越过了落水者，由于x＝v0t，则为了使救生设备准确落到落水者处，可以减小设备的初速度，或减小设备的飞行时间。若高度不变，由h＝gt2可知，飞行时间不变，则需减小设备的初速度，即适当降低飞行速度，故A正确，B错误；若速度不变，则应减小飞行时间，由h＝gt2可知，要减小飞行时间，需适当降低飞行高度，故C正确，D错误。
平抛运动的规律及推论
【重难释解】
1．研究方法
(1)由于平抛运动是匀变速曲线运动，速度、位移的方向时刻在发生变化，无法直接应用运动学公式，因此研究平抛运动问题时采用运动分解的方法。
(2)平抛运动一般分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动。
2．运动规律
物理量 速度 位移
水平分运动 水平速度vx＝v0 水平位移x＝v0t
竖直分运动 竖直速度vy＝gt 竖直位移y＝gt2
合运动 大小：v＝ 方向：与水平方向夹角为θ，tan θ＝＝ 大小：s＝ 方向：与水平方向夹角为α，tan α＝＝
图示
3.两个推论
(1)推论1：平抛运动的速度偏向角θ与平抛运动的位移偏向角α的关系为tan θ＝2tan α。
证明：如图所示，速度偏向角tan θ＝＝。
位移偏向角tan α＝＝＝＝tan θ。故有tan θ＝2tan α。
(2)推论2：做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过该时刻对应水平位移的中点。
证明：如图所示，从O点抛出的物体经时间t到达P点，速度的反向延长线交OB于A点。
则OB＝v0t，AB＝
＝gt2·＝gt2·＝v0t。
可见AB＝OB，所以A点为OB的中点。
即：做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过该时刻对应水平位移的中点。
当灾害发生时，有时会利用无人机运送救灾物资。如图所示，一架无人机正准备向受灾人员空投急救用品，急救用品的底面离水面高度h＝19.6 m。无人机以v＝10 m/s的速度水平匀速飞行。若空气阻力忽略不计，重力加速度g＝9.8 m/s2。
(1)为了使投下的急救用品落在指定地点，无人机应该在离指定地点水平距离多远的地方进行投放？
(2)投放的急救用品落到水面上时，速度的大小是多少？
解题指导 急救用品离开无人机时具有与无人机相同的水平速度，且只受重力作用。因此急救用品做平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，并且两个分运动经历的时间相同，末速度为两个分速度的矢量和。
[解析] (1)急救用品做平抛运动，在竖直方向上做自由落体运动，有h＝gt2，得t＝ 。
急救用品在水平方向上做匀速直线运动，在时间t内的水平位移x＝vxt＝v ＝10× m＝20 m。
即无人机应在离指定地点水平距离20 m处投放急救用品。
(2)设急救用品落到水面上时竖直方向速度的大小为vy，
根据匀变速直线运动速度与位移的关系，有vy2＝2gh，
急救用品落到水面上时，速度的大小
v＝＝
＝ m/s≈22 m/s。
[答案] (1)20 m (2)22 m/s
解决平抛运动问题的一般思路
(1)把平抛运动分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动。
(2)分别运用两个分运动的运动规律去求分速度、分位移等，再通过合成各分速度、分位移得到平抛运动的速度、位移等。
这种处理问题的方法可以变曲线运动为直线运动，变复杂运动为简单运动，使复杂问题的解决过程得到简化。
如图所示，从某一高度水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，小球的速度方向与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A．小球水平抛出时的初速度大小为gttan θ
B．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为
C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长
D．若小球初速度增大，则θ减小
解题指导
(1)通过对小球落地点的速度分解，分析A、D两个选项。
(2)通过对小球做平抛运动过程中位移的分解，分析B、C两个选项。
[解析] 如图所示，小球在竖直方向的速度为vy＝gt，则初速度为v0＝，故A错误；平抛运动的时间t＝ ，由高度决定，与初速度无关，故C错误；设位移方向与水平方向的夹角为α，tan α＝＝＝，tan θ＝＝，则tan θ＝2tan α，但α≠，故B错误；tan θ＝，若小球的初速度增大，则θ减小，故D正确。
[答案] D
(1)平抛运动中，速度偏向角是指过该点轨迹的切线与水平方向的夹角；位移偏向角是指该点与起点的连线与水平方向的夹角，不要将两者混淆。
(2)平抛运动中，某时刻速度、位移与初速度方向的夹角θ、α的关系为tan θ＝2tan α，而不要误记为θ＝2α。
【素养训练】
4.(2024·海南高考)在跨越河流表演中，一人骑车以25 m/s的速度水平冲出平台，恰好跨越过河流落在河对岸平台上，已知河流宽度为25 m，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，则两平台的高度差h为( )
A．0.5 m B．5 m C．10 m D．20 m
解析：选B 人和车做平抛运动，设运动时间为t，在竖直方向上有h＝gt2，在水平方向上有d＝v0t，其中d＝25 m、v0＝25 m/s，解得h＝5 m。故选B。
5．(2025·云南高考)如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则( )
A．两颗鸟食同时抛出
B．在N点接到的鸟食后抛出
C．两颗鸟食平抛的初速度相同
D．在M点接到的鸟食平抛的初速度较大
解析：选D 鸟食的运动视为平抛运动，则在竖直方向有h＝gt2，由于hM6.如图所示，从同一位置以不同的初速度水平抛出两个小球A、B，它们先后与竖直墙壁碰撞，碰撞的瞬间小球A、B的速度方向与竖直墙壁之间的夹角分别为α、β。已知α＝53°，β＝37°，两小球与墙壁的接触点之间的距离为d，求抛出点与竖直墙壁的距离x。(取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
解析：方法一：设小球A、B抛出时的初速度分别为vA0、vB0，抛出后它们分别运动了tA、tB时间之后与墙壁碰撞，这一过程中小球A下落的竖直位移为hA，根据平抛运动的规律有
x＝vA0tA＝vB0tB，hA＝gtA2，hA＋d＝gtB2，
tan α＝，tan β＝，联立解得x＝d。
方法二：推论1：如图所示，在平抛运动中，物体的速度与水平方向的夹角θ2的正切值tan θ2＝为位移与水平方向的夹角θ1的正切值tan θ1＝的2倍，即tan θ2＝2tan θ1或＝。
推论2：如图所示，在平抛运动中，某时刻物体的速度v的反向延长线与x轴的交点为水平位移的中点，有tan θ2＝＝。
设小球A从抛出到与墙壁碰撞的过程中下落的竖直位移为hA，利用推论1或推论2结合题意有
tan(90°－α)＝，tan(90°－β)＝
联立解得x＝d。
答案：d
主题探究(三) 平抛运动与斜面结合的两类问题
【重难释解】
平抛运动与斜面结合的两类问题的比较
类型 顺着斜面平抛 对着斜面平抛
情景图例 物体从斜面上某一点水平抛出以后，又重新落在斜面上 做平抛运动的物体垂直打在斜面上
关联关系 位移方向与水平方向的夹角等于斜面的倾角 速度与竖直方向的夹角等于斜面的倾角
处理方法 抓住位移的分解 抓住速度的分解
几个重要关系 (1)水平位移和竖直位移的关系：tan θ＝＝＝ (2)速度方向与斜面夹角(α－θ)是恒定的(tan α＝2tan θ) (3)运动时间t＝ (1)速度方向与斜面垂直 (2)水平分速度与竖直分速度的关系：tan θ＝＝ (3)运动时间t＝
如图所示，跳台滑雪运动员经过一段时间的加速滑行后从A点水平飞出，落到斜坡上的B点。A、B两点间的竖直高度h＝45 m，斜坡与水平面的夹角α＝37°，不计空气阻力(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)。求：
(1)运动员水平飞出时初速度v0的大小；
(2)运动员落到B点时瞬时速度v1的大小和方向。
[解析] (1)滑雪运动员从A到B，竖直方向有h＝gt2，解得t＝ ＝3 s；
水平方向有x＝v0t，又x＝＝60 m，
解得v0＝＝20 m/s。
(2)竖直方向，vy＝gt＝30 m/s，
运动员落到B点时瞬时速度大小v1＝＝10 m/s，
速度方向斜向右下方与水平方向夹角为θ，tan θ＝＝1.5。
[答案] (1)20 m/s (2)10 m/s，方向斜向右下方，与水平方向夹角的正切值为1.5
巧解斜面上的平抛运动
(1)物体的抛出点和落点都在斜面上时，首先考虑位移的分解。
(2)物体垂直于斜面或与斜面成某一角度落到斜面上时，首先考虑速度的分解。
[迁移·发散]
运动员从A点以不同的水平速度v0飞出，落到斜坡上时速度大小为v，请通过计算确定v与v0的关系式，并在图中画出v v0的关系图像。
解析：运动员在竖直方向的位移y＝gt2，在水平方向的位移x＝v0t，
且tan α＝＝，解得t＝；
则vy＝gt＝，
根据平行四边形定则得v＝＝v0，v v0的关系图像如图所示。
答案：见解析
【素养训练】
7．跳台滑雪是冬奥会的传统项目，其运动过程可以简化成如图所示模型。跳台斜坡AC与水平面的夹角θ＝30°，滑雪运动员从斜坡的起点A以v0＝5 m/s的初速度水平飞出，最后落到斜坡上的B点。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则运动员从A点运动至B点的时间为( )
A．1 s B．1.5 s
C．2 s D．3 s
解析：选A 滑雪运动员从斜坡的起点A运动到B点过程，根据平抛运动规律有xABcos θ＝v0t，xABsin θ＝gt2，解得t＝1 s，故选A。
8.一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图中虚线所示。小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为( )
A．tan θ B．2tan θ
C. D.
解析：选D 如图所示，设小球抛出时的初速度为v0，运动时间为t，则vx＝v0，vy＝，vy＝gt，x＝v0t，y＝，联立以上各式得＝，故D正确。
9.(多选)如图所示，在斜面顶端a处以速度va水平抛出一小球，经过时间ta小球恰好落在斜面底端P处；在P点正上方与a等高的b处以速度vb水平抛出另一小球，经过时间tb恰好落在斜面的中点Q处。若不计空气阻力，则下列关系式正确的是( )
A．va＝vb B．va＝vb
C．ta＝tb D．ta＝tb
解析：选BD 做平抛运动的小球的运动时间由竖直方向的高度决定，即t＝，从a处抛出的小球下落的高度是从b处抛出的小球的2倍，ta＝tb，故C错误，D正确；水平方向的距离由下落的高度和初速度共同决定，即x＝v0，由题意得从a处抛出的小球的水平位移是从b处抛出的小球的2倍，可知va＝vb，故A错误，B正确。
[问题驱动]
(1)炮弹以初速度v0斜向上方飞出炮筒，初速度方向与水平方向夹角为θ，如图所示，求炮弹在空中飞行时间、射高和射程。
(2)根据斜上抛运动射程的表达式，讨论影响射程的因素有哪些？
提示：(1)先建立直角坐标系，将初速度v0分解为v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ，
飞行时间t＝＝，
射高Y＝＝，
射程X＝v0cos θ·t＝＝，
可见，给定v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，最大射程为Xmax＝。
(2)射程X＝，由此可以看出射程的大小与初速度和抛射角有关。
【重难释解】
斜上抛运动和斜下抛运动的比较
比较 斜上抛运动 斜下抛运动
运动分解 分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动 分解为水平方向的匀速直线运动和竖直向下的匀加速直线运动
轨迹图像
速度公式 水平方向：vx＝v0cos θ 水平方向：vx＝v0cos θ
竖直方向：vy＝v0sin θ－gt 竖直方向：vy＝v0sin θ＋gt
位移公式 (位置坐标) x＝v0cos θ·t y＝v0sin θ·t－gt2 x＝v0cos θ·t y＝v0sin θ·t＋gt2
典例5 如图所示，A、B两篮球从相同高度同时抛出后直接落入篮筐，落入篮筐时的速度方向相同，下列判断正确的是( )
A．A比B先落入篮筐
B．A、B运动的最大高度相同
C．A在最高点的速度比B在最高点的速度小
D．A、B上升到某一相同高度时的速度方向相同
[解析] 若研究两个过程的逆过程，可看作是从篮筐处沿同方向斜向上的斜抛运动，落到同一高度上的A、B两点，则A上升的高度较大，高度决定时间，可知A运动时间较长，即B先落入篮筐中，A、B错误；因为两球抛射角相同，A的射程较远，则A球的水平速度较大，即A在最高点的速度比B在最高点的速度大，C错误；由斜抛运动的对称性可知，当A、B上升到与篮筐相同高度时的速度方向相同，D正确。
[答案] D
斜上抛运动问题的分析技巧
(1)斜上抛运动的对称性
①时间对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的上升时间等于下降时间。
②速度对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的两点速度大小相等。
③轨迹对称：斜上抛运动的轨迹相对于过最高点的竖直线对称。
(2)运动时间及射高由竖直分速度决定，射程由初速度和抛射角决定。
(3)由抛出点到最高点的过程可逆向看作平抛运动来分析。
【素养训练】
10．(多选)关于物体做斜抛运动时的射高，下列说法中正确的是( )
A．物体的初速度越大，射高越大
B．物体的抛射角越大，射高越大
C．物体的初速度一定时，抛射角越大，射高越大
D．物体的抛射角一定时，初速度越大，射高越大
解析：选CD 做斜抛运动的物体的射高，是由物体的初速度和抛射角共同决定的，初速度一定时，抛射角越大，射高越大；抛射角一定时，初速度越大，射高也越大，故C、D正确。
11．如图甲，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图乙所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是( )
A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
B．谷粒2在最高点的速度小于v1
C．两谷粒从O到P的运动时间相等
D．两谷粒从O到P的平均速度相等
解析：选B 抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用，加速度均为重力加速度，A错误；谷粒2做斜向上抛运动，谷粒1做平抛运动，均从O点运动到P点，故位移相同，在竖直方向上谷粒2做竖直上抛运动，谷粒1做自由落体运动，竖直方向上位移相同，故谷粒2运动时间较长，C错误；谷粒2做斜抛运动，水平方向上为匀速直线运动，故运动到最高点的速度即为水平方向上的分速度，相同水平位移谷粒2用时较长，故谷粒2在水平方向上的分速度较小，即最高点的速度小于v1，B正确；两谷粒从O点运动到P点的位移相同，谷粒1的运动时间小于谷粒2的运动时间，则谷粒1的平均速度大于谷粒2的平均速度，D错误。
一、培养创新意识和创新思维
1．某生态公园的人造瀑布景观如图所示，水流从高处水平流出槽道，恰好落入步道边的水池中。现制作一个为实际尺寸的模型展示效果，模型中槽道里的水流速度应为实景的( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由题意可知，水流出后做平抛运动的水平位移和下落高度均变为实景的，根据h＝gt2，得t＝，所以时间变为实景的，水流出的速度v＝，因为水平位移变为实景的，时间变为实景的，所以水流出的速度为实景的，故B正确。
2．请思考以下两个问题 (以下情境均不计空气阻力的影响)：
(1)如图甲，水平飞行的飞机要轰炸某个目标。某同学说：当飞机飞到目标的正上方时投弹，才能命中目标。该同学的说法对吗？
(2)如图乙，一只松鼠攀在山崖的树上，看到猎人对着它水平射出子弹的火光时，立即松爪从树上掉落。松鼠能摆脱被击中的厄运吗？
解析：(1)不对。水平飞行的飞机投出的炸弹做平抛运动，飞机飞到目标的正上方时投弹，炸弹将落到轰炸目标的右方，如图(a)所示；当飞机在离轰炸目标一定水平距离时提前投弹，才能命中目标。
图(a)
(2)不能。因为水平射出的子弹做平抛运动，在竖直方向子弹与松鼠同时做自由落体运动，在相同时间内下落的高度相同，所以子弹恰好击中松鼠，如图(b)所示。松鼠是“聪明反被聪明误”。
图(b)
答案：见解析
二、注重学以致用和思维建模
1．(2024·湖北高考)如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到( )
A．荷叶a B．荷叶b
C．荷叶c D．荷叶d
解析：选C 青蛙做平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，则有x＝vt，h＝gt2，可得v＝x，因此水平位移越小、竖直高度越大，初速度越小，因此青蛙应跳到荷叶c上面。故选C。
2.(2025·广东广州模拟)小明同学在练习投篮时将篮球从同一位置斜向上抛出，其中有两次篮球垂直撞在竖直放置的篮板上，篮球运动轨迹如图所示，不计空气阻力，关于篮球从抛出到撞击篮板前，下列说法正确的是( )
A．两次在空中的时间可能相等
B．两次抛出的初速度大小可能相等
C．两次抛出的初速度水平分量可能相等
D．两次抛出的初速度竖直分量可能相等
解析：选B 篮球的运动可以看成平抛运动的逆过程，由题图可知，第二次运动过程上升的高度较小，所以运动时间较短，故A错误；篮球的运动可以看成平抛运动的逆过程，在竖直方向上做自由落体运动，由题图可知，第二次抛出时速度的竖直分量较小；在水平方向做匀速直线运动，水平射程相等，但第二次用的时间较短，故第二次抛出时的水平分速度较大，根据速度的合成可知，抛出时的初速度大小关系不能确定，有可能相等，故B正确，C、D错误。
3.(2024·北京高考)如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h远大于管口内径。求：
(1)水从管口到水面的运动时间t；
(2)水从管口排出时的速度大小v0；
(3)管口单位时间内流出水的体积Q。
解析：(1)水在空中做平抛运动，由平抛运动规律得，竖直方向h＝gt2
解得水从管口到水面的运动时间t＝。
(2)由平抛运动规律得，水平方向d＝v0t
解得水从管口排出时的速度大小v0＝d。
(3)管口单位时间内流出水的体积Q＝Sv0＝Sd。
答案：(1) (2)d (3)Sd
[课时跟踪检测]
组—重基础·体现综合
1．(2024·江苏高考)喷泉a、b形成如图所示的形状，不计空气阻力，则喷泉a、b( )
A．加速度相同 B．初速度相同
C．在最高点的速度相同 D．在空中的时间相同
解析：选A 不计空气阻力，喷泉喷出的水在空中只受重力，加速度均为重力加速度，故A正确；设喷泉喷出的水竖直方向的分速度为vy，水平方向的分速度为vx，设喷泉最高的高度为h，根据对称性可知在空中运动的时间t＝2，可知tb>ta，D错误；在最高点的速度等于水平方向的分速度vx＝，由于水平方向的位移大小关系未知，无法判断最高点的速度大小关系，根据速度的合成可知无法判断初速度的大小关系，B、C错误。
2.(多选)如图所示，节水灌溉系统中的喷嘴距地面高0.45 m，假定从喷嘴水平喷出的水做平抛运动，喷灌半径为3 m，不计空气阻力，g取10 m/s2，则( )
A．水从喷嘴喷出至落地的位移为3 m
B．水从喷嘴喷出至地面的时间为0.3 s
C．水从喷嘴喷出落地时的速度大小为10 m/s
D．水从喷嘴喷出的速度大小为10 m/s
解析：选BD 喷嘴距地面高0.45 m，喷灌半径为3 m，则水的位移大于3 m，故A错误；根据h＝gt2，得t＝ ＝ s＝0.3 s ，故B正确；水从喷嘴喷出的速率为v0＝＝ m/s＝10 m/s，水从喷嘴喷出在竖直方向上做加速运动，速度增大，则落地的速度大于10 m/s，故C错误，D正确。
3．(2025·浙江6月选考)如图所示，在水平桌面上放置一斜面，在桌边水平放置一块高度可调的木板。让钢球从斜面上同一位置静止滚下，越过桌边后做平抛运动。当木板离桌面的竖直距离为h时，钢球在木板上的落点离桌边的水平距离为x，重力加速度为g，则( )
A．钢球平抛初速度为x
B．钢球在空中飞行时间为
C．增大h，钢球撞击木板的速度方向不变
D．减小h，钢球落点离桌边的水平距离不变
解析：选B 根据平抛运动的规律可知，钢球在空中飞行时间为t＝ ，钢球平抛初速度为v0＝＝x，故A错误，B正确；钢球撞击木板时速度方向与水平方向的夹角θ满足tan θ＝＝，则增大h，钢球撞击木板的速度方向与水平方向的夹角变大，故C错误；根据x＝v0可知，减小h，钢球落点离桌边的水平距离x减小，故D错误。
4.“套圈”是老少皆宜的游戏，如图所示，大人和小孩在同一竖直线上的不同高度处分别以水平速度v1、v2抛出铁丝圈，都能套中地面上的同一目标。若大人和小孩的抛出点离地面的高度之比H1∶H2＝2∶1，则v1∶v2等于( )
A．2∶1 B．1∶2
C.∶1 D．1∶
解析：选D 铁丝圈做平抛运动，因此运动时间t＝ ，水平位移为x＝v，因为两者的水平位移相同，所以有v1＝v2 ，因为H1∶H2＝2∶1，所以v1∶v2＝1∶，故D正确，A、B、C错误。
5.如图，某公园有喷水装置，若水从小鱼模型口中水平喷出，忽略空气阻力及水之间的相互作用，则( )
A．喷水口高度一定，喷水速度越大，水从喷出到落入池中的时间越长
B．喷水口高度一定，喷水速度越大，水从喷出到落入池中的时间越短
C．喷水口高度一定，喷水速度越大，水喷得越远
D．喷水口高度一定，喷水速度越大，水喷得越近
解析：选C 根据题意可将水的运动看作平抛运动，竖直方向做自由落体运动，水平方向做匀速直线运动，则有：竖直方向h＝gt2，t＝，可知水从喷出到落入池中的时间由喷水口高度决定，与喷水速度无关，所以喷水口高度一定，运动时间一定，故A、B错误；水平方向有：x＝v0t＝v0，则知喷水口高度一定，喷水速度越大，水喷得越远，故C正确，D错误。
6.如图所示，在斜面顶端的A点以速度v平抛一小球，经时间t1落到斜面上B点处，若在A点将此小球以速度0.5v水平抛出，则经时间t2落到斜面上的C点处，以下判断正确的是( )
A．t1∶t2＝4∶1 B．AB∶AC＝4∶1
C．AB∶AC＝2∶1 D．t1∶t2＝∶1
解析：选B 平抛运动竖直方向上的位移和水平方向上的位移的比值tan θ＝＝＝，t＝。因为其运动的时间与初速度成正比，所以t1∶t2＝2∶1；竖直方向上下落的高度h＝gt2，可得竖直方向上的位移之比为4∶1；斜面上的距离s＝，可得AB∶AC＝4∶1，故B正确，A、C、D错误。
7.如图所示，斜面上有a、b、c、d四个点，ab＝bc＝cd。从a点正上方的O点以速度v水平抛出一个小球，它落在斜面上的b点。若小球从O点以速度2v水平抛出，不计空
气阻力，则它将落在斜面上的( )
A．b与c之间某一点 B．c点
C．c与d之间某一点 D．d点
解析：选A 如图所示，m、b、n在同一水平面上，且mb＝bn，假设没有斜面，小球从O点以速度2v水平抛出后，将经过n点，因此它将落在斜面上的b与c之间的某一点，故A正确。
8.(多选)如图所示，某同学对着墙壁练习打乒乓球，某一次球与球拍碰撞后，经过一段时间后球恰好垂直打在墙壁上的A点，已知球与球拍的作用点为B，A、B两点高度差为0.8 m，B点和墙面之间的距离为1.2 m，不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2。则下列说法中正确的是( )
A．球到达A点时的速度大小为5 m/s
B．球在B点离开球拍时的速度大小为5 m/s
C．球从B点运动到A点的过程中速度变化量大小为4 m/s
D．球从B点运动到A点的过程中速度变化量大小为2 m/s
解析：选BC 球从A到B可看成平抛运动，根据球在竖直方向上的运动规律，由h＝gt2，解得t＝＝0.4 s，球到达A点时的速度大小为vA＝＝3 m/s，故A错误；竖直分速度vy＝gt＝4 m/s，球在B点离开球拍时的速度大小为vB＝＝5 m/s，故B正确；球从B点运动到A点的过程中速度变化量大小为Δv＝gt＝4 m/s，故C正确，D错误。
9．体育课上，甲同学在距离地面高h1＝2.5 m处将排球击出，球的初速度沿水平方向，大小为v0＝8.0 m/s；乙同学在距离地面高h2＝0.7 m处将排球垫起。重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。求：
(1)排球被垫起前在水平方向飞行的距离x；
(2)排球被垫起前瞬间的速度大小v及方向。
解析：(1)设排球在空中飞行的时间为t，则h1－h2＝gt2，解得t＝0.6 s；
则排球被垫起前在水平方向飞行的距离
x＝v0t＝4.8 m。
(2)乙同学垫起排球前瞬间排球在竖直方向速度的大小vy＝gt＝6.0 m/s；
根据v＝，得v＝10.0 m/s；
设速度方向与水平方向夹角为θ(如图所示)
则有tan θ＝＝0.75。
答案：(1)4.8 m (2)10.0 m/s 方向与水平方向夹角tan θ＝0.75
组—重应用·体现创新
10．如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，当地重力加速度为g，则水离开出水口的速度大小为( )
A. B.
C. D．(＋1)D
解析：选C 设出水孔到水桶中心的水平距离为x，则x＝v0，落到桶底A点时x＋＝v0，解得v0＝ 。故选C。
11．(2024·山东高考)(多选)如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是( )
A．运动时间为2 s
B．落地速度与水平方向夹角为60°
C．重物离PQ连线的最远距离为10 m
D．轨迹最高点与落点的高度差为45 m
解析：选BD 将初速度分解为沿PQ方向的分速度v1和垂直PQ的分速度v2，则有v1＝v0cos 60°＝10 m/s，v2＝v0sin 60°＝10 m/s，将重力加速度分解为沿PQ方向的分加速度a1和垂直PQ的分加速度a2，则有a1＝gsin 30°＝5 m/s2，a2＝gcos 30°＝5 m/s2，在垂直PQ方向，根据对称性可得重物运动时间为t＝2·＝4 s，重物离PQ连线的最远距离为dmax＝＝10 m，故A、C错误；重物落地时竖直分速度大小vy＝－v0sin 30°＋gt＝30 m/s，则落地速度与水平方向夹角的正切值为tan θ＝＝＝，可得θ＝60°，故B正确；从抛出点到最高点所用时间为t1＝＝1 s，则从最高点到落点所用时间为t2＝t－t1＝3 s，轨迹最高点与落点的高度差为h＝gt22＝45 m，故D正确。
12.如图所示，排球场的长为18 m，球网的高度为2 m。运动员站在离网3 m远的线上，正对球网竖直跳起，把排球垂直于网所在平面水平击出。(g取10 m/s2)
(1)设击球点的高度为2.5 m，问球被水平击出时的速度在什么范围内才能使球既不触网也不出界？
(2)若击球点的高度小于某个值，那么无论球被水平击出时的速度为多大，球不是触网就是出界，试求出此高度。
解析：(1)如图甲所示，排球恰不触网时其运动轨迹为Ⅰ，排球恰不出界时其运动轨迹为Ⅱ，根据平抛运动的规律，由x＝v0t和h＝gt2可得，当排球恰不触网时：
甲
x1＝3 m，x1＝v1t1 ①
h1＝2.5 m－2 m＝0.5 m，h1＝gt12 ②
由①②可得v1＝3 m/s。
当排球恰不出界时：
x2＝3 m＋9 m＝12 m，x2＝v2t2 ③
h2＝2.5 m，h2＝gt22 ④
由③④可得v2＝12 m/s，
因此排球既不触网也不出界的速度范围是
3 m/s≤v0≤12 m/s。
(2)如图乙所示为排球恰不触网也恰不出界的临界轨迹。设击球点的高度为h，根据平抛运动的规律：
乙
x1＝3 m，x1＝v0t1′ ⑤
h1′＝h－2 m，h1′＝gt1′2 ⑥
x2＝3 m＋9 m＝12 m，x2＝v0t2′ ⑦
h2′＝h＝gt2′2 ⑧
由⑤⑥⑦⑧式可得，所求高度h＝2.1 m。
答案：(1)3 m/s≤v0≤12 m/s (2)2.1 m
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