中考二轮复习专题：二次函数 综合题专项训练（无答案）2025-2026学年鲁教版数学九年级

中考二轮复习专题：二次函数综合题专项训练
二次函数综合题核心解题方法总结
1.解析式求解：待定系数法
根据已知条件（顶点、与坐标轴交点、过定点等），灵活选择一般式、顶点式或交点式，代入数据列方程（组）求解，快速确定函数表达式。
2.函数与方程/不等式关联
求函数与坐标轴、两函数图象的交点，联立解析式转化为一元二次方程求解；
用判别式判断直线与抛物线的位置关系（有交点、无交点）；
由函数图象的上下位置关系，转化为不等式求解自变量取值范围。
3.最值问题：配方法+几何转化
二次函数自身最值：通过配方法或顶点公式，结合自变量取值范围求解；
几何最值（线段和最小、面积最大）：利用轴对称（将军饮马）、图形性质转化，将问题转化为二次函数最值求解。
4.存在性问题：分类讨论+数形结合
针对平行四边形、相似三角形、面积相等点等存在性问题，按图形性质分类（如平行四边形的不同对角线情况），结合坐标特征（中点公式、距离公式）和几何定理（相似比、全等条件）列方程，画图辅助避免漏解。
5.几何与函数结合：坐标化线段
用坐标表示线段长度，将三角形、矩形等图形的面积、周长转化为代数表达式，结合函数性质简化计算，必要时借助全等、相似性质减少运算量。
6.利用对称轴简化计算
借助二次函数的对称性，求对称点、分析对称轴上点的特征，简化线段和、交点等问题的求解，避免重复计算。
1．如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标；
(3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，C两点，交y轴于点B，．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)已知抛物线的对称轴上存在一点M，使得周长最小，请求出点M的坐标；
(3)连接，点P是线段上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四边形为平行四边形时点P的坐标．
3．二次函数的图像经过点，顶点为P．
(1)________；
(2)当时，
①若顶点P到x轴的距离为10，则________；
②直线m过点且垂直于y轴，顶点P到直线m的距离为h，随着b的增大，h的值如何变化？请描述变化过程，并说明理由；
(3)若二次函数图像交x轴于B，C两点，点B坐标为，且的面积不小于20，求a的取值范围．
4．如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围；
(3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由．
5．如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
(3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为．
①求旋转角度的正切值；
②当时，求原抛物线平移的距离．
6．已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点．
(1)当时，求抛物线的解析式；
(2)如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式；
(3)要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）；
(4)如图2，，当为何值时，的长度等于1？
7．已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，对称轴与轴交于点．
(1)若该函数图象经过点，求点的横坐标；
(2)若，点和在该函数图象上，证明：；
(3)若是等腰三角形，求的值．
8．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，点在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)①求点A的坐标；
②当时，根据图象直接写出x的取值范围________；
(3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为．
(1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标；
(2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标；
(3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点．
(1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴；
(2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式；
(3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点．
(1)求二次函数的解析式及点的坐标；
(2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．
①为何值时线段的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
12．已知抛物线（m，n为常数）过点．
(1)若该抛物线与y轴交于点．
①求该抛物线的解析式；
②已知在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围；
(2)若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于两点，求的长．
13．如图，抛物线经过、两点．点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点．
(1)若．
①求抛物线的解析式；
②求线段长度的最大值；
③若，求取何值时线段的长度最大（可用含的代数式表示）．
(2)若，，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），顶点为，连接．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图1，若是轴正半轴上一点，连接．当点的坐标为时，求证：；
(3)如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由．