江苏省南京市2025年初中学业水平诊断数学试题
1．（2025·南京会考）近期，江苏省城市足球联赛 (“苏超”)火爆出圈，据统计，首轮比赛现场观众人数达35000人，第二轮现场观众人数增长至42000人，将第二轮现场观众人数用科学记数法表示，正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故选： B.
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
2．（2025·南京会考）已知 ，则a，b，c之间满足的等式是( )
A．c =a+b+1 B．c = ab+1 C．C =a+b D．c = ab
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：由条件可知
故选： A.
【分析】根据指数运算法则，将30分解为已知的2的幂次相乘，进而比较指数得出关系式即可.
3．（2025·南京会考）长跑因为其便捷性及有效性成为人们最喜爱的运动方式之一，普通人长跑5. km的平均速度约为 估计 的值在( )
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵
故选 B.
【分析】先估算 的范围，从而估计出 的范围即可.
4．（2025·南京会考）如图，⊙O是正五边形 ABCDE的外接圆，这个五边形的边长为a，半径为R，边行距为r，则下列关系是错误的是( )
A． B．
C． D．r=a cos=36°
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆内接正多边形；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，过点O作( 于点H.
∵五边形ABCDE是正五边形，
故选项A正确，不符合题意，
∴选项B正确，不符合题意，
故选项C正确，不符合题意，
故选项D错误，符合题意，
故选： D.
【分析】如图，过点O作于点H.利用正多边形的性质解直角三角形— —计算判断即可.
5．（2025·南京会考）已知 mn=m+n= k ≠0，下列结论不正确的是( )
A． B．
C．若m，n 同号， 则k≥4 D．若m，n 异号， 则-4≤k≤0
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： 显然成立，故该选项不符合题意；
B、展开 得 故该选项不符合题意；
又m， n同号，
∴m，n是一元二次方程； 的两个同号根，
又∵k>0，
∴k≥4，故该选项不符合题意；
D、∵mn=m+n=k≠0，又m， n异号，
∴mn=m+n=k<0，
∴m，n是一元二次方程 的两个异号根，
则k<0或k>4，
又∵k<0，
综上可得k <0，故该选项符合题意；
故选： D.
【分析】由已知条件mn=m+n=k≠0，结合代数运算和不等式性质，逐一验证各选项的正确性.
6．（2025·南京会考）记住a·b是两个实数a与b的一种运算。已知a·0=1-a， 函数y=m·(x+1) (m≠1) 为正比例函数， 则4·5=( )
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】A
【知识点】正比例函数的概念；求代数式的值-直接代入求值；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：因为函数y=m·(x+1)(m≠1)是正比例函数，正比例函数的一般形式为y=kx(k为常数)，
当x=0时，y=m·1，而正比例函数过原点(0，0)，
所以m·1=0，
当x=-1时，y=m·0=1-m，
又因为此时y=k·(-1)，
所以1-m=-k，即k=m-1，
由此可得m·(x+1)=(m-1)x，
令z=x+1，则m·z=(m-1)(z-1)，
所以该运算定义为a·b=(a-1)(b-1)，
那么4·5=(4-1)(5-1)=3×4=12，
故答案为：A.
【分析】根据函数的定义把x=0代入得到m·1=0；再把x=-1代入求出y=m·0=1-m，进而得到运算法则a·b=(a-1)(b-1)，再代入数值计算即可.
7．（2025·南京会考）计算： .
【答案】7
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解： ，
故答案为：7.
【分析】先根据算术平方根计算，然后相加解答即可.
8．（2025·南京会考）分解因式： .
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为：.
【分析】先提取公因式，然后运用平方差公式计算即可.
9．（2025·南京会考）在我国古代数学著作《孙子算经》中，有这样一道题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何 其最小正整数解记为a。又知b=23 ，则a b(填“>”“<”或“=”)。
【答案】=
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：由条件可知：三三数之剩二
3×0+2=2， 3×1+2=5， 3×2+2=8， 3×3+2=11， 3×4+2=14，
3×5+2=17， 3×6+2=20， 3×7+2=23，
∵五五数之剩三，
∴5×0+3=3， 5×1+3=8， 5×2+3=13， 5×3+3=18， 5×4+3=23，
∵七七数之剩二.
∴7×0+2=2， 7×1+2=9， 7×2+2=16， 7×3+2=23，
由条件可知a=23，
∴a=b，
故答案为： =.
【分析】分别由小到大进行分析，发现符合题意的最小正整数解为23，即a=23，再结合b=23，即可作答.
10．（2025·南京会考）分式方程的解是 ．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：，
解得：，
经检验，是原方程的解．
故答案为：.
【分析】将方程两边同时乘以，化为整式方程，解整式方程求出的值，然后检验解答即可．
11．（2025·南京会考）将平面镜AB，BC按如图所示的方式放置，从点M处射出一束光线MD经AB上的D点反射至 BC上的E点，再经E 点反射出的光线EN恰好与MD平行，若. 则∠2的度数 。
【答案】18°
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：由反射定律可得∠1=∠BDE=72°，∠2=∠DEB，
又∵DM∥EN，
∴∠MDE+∠NED=180°，
∴∠1+∠BDE+∠DEB+∠2=360°-180°=180°，
∴∠2=90°-∠1=90°-72°=18°，
故答案为：18°.
【分析】根据反射定律得到∠1=∠BDE=72°，∠2=∠DEB，然后平行线的性质得到∠MDE+∠NED=180°，进而得到∠2=90°-∠1解答即可.
12．（2025·南京会考）如图，四边形ABCD 为平行四边形，以点A 圆心，AB长半径画弧，交BC边于点E，连接 则的长l = 。(结果保留根号和兀)。
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=，AD∥BC，
∴∠ABC=180°-∠BAD=180°-120°=60°，
由作图可得AB=AE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE=60°，
∴，
故答案为：.
【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，即可得到∠ABC=60°，进而求得△ABE是等边三角形，得到∠BAE=60°，根据弧长公式计算即可.
13．（2025·南京会考）如图，在一个正方形的网格上有A、B、C、D、E五个点，任意连接其中3个点，在构成的三角形中，是直角三角形的概率为 .
【答案】
【知识点】概率公式；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：从在格点上的点A，B，C，D，E中任取三个点构成的三角形有 共9个，根据网格的特点可得 是直角三角形，即在构成的三角形中，是直角三角形的个数是7，
∴在构成的三角形中，是直角三角形的概率为
故答案为：
【分析】根据三角形的定义得到所有等可能结果，找出是直角三角形的结果数，利用概率公式计算即可.
14．（2025·南京会考）为了适应新的考试评价改革，需要对学生的原始分进行转换.一次数学测试中，全班最高分是95分，最低分是45分.现将全班学生成绩作线性转化、原始分记x ，转化后的分数记为y 。满足.y=a+bx其中b>0.装換后使得最高分100分、最低分30分，某同学原始分是80分，则转换后的分数是 。
【答案】79
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
解得
当x=80时，
故答案为：79.
【分析】根据题意可得 解方程组可得到y 再求出当x=80时，y的值即可得到答案.
15．（2025·南京会考）在平面直角系xOy 中。将抛物线向右平移2个单位得到抛物线 点 在抛物线( 上。点 在抛物线上。当 时，总有， 则a 的取值范围是 。
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：已知t=2a，则抛物线
∵点 在抛物线 上，
把 代入
可得
∵点在抛物线上，
把x=x2代入 可得
整理得
即
解不等式 可得
解不等式 可得
又 时，总有
解得
故答案为：
【分析】配方求出C1的顶点式，根据平移得到C2的解析式，然后把 代入得到y1=-3a3，再把B点坐标代入C2的解析式，求出y2，然后根据题意得到关于a的不等式组，求出a的取值范围即可.
16．（2025·南京会考）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O ，AB弧 所在圆的圆心C恰好是∠ABO的内心，若 则阴影部分面积为 。
【答案】
【知识点】扇形面积的计算；正多边形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解： 如图所示： 过点C作CE⊥AB，
由条件可知∠AOB =60°， OA =OB，
∴△AOB为等边三角形，
∵圆心C恰好是△ABO的内心，
∴∠CAO=∠CAE=∠CBE=30°，
∴∠ACB=120°，
由条件可知
∴CE=AC·sin30°= 1，
∴弓形AB的面积为：
∴阴影部分面积为：
故答案为：
【分析】过点C作CE⊥AB，根据正多边形的性质得出△AOB为等边三角形，再由内心的性质确定∠CAO=∠CAE=∠CBE=30°， 得出∠ACB=120°， 求出 再求弓形AB的面积为 即可求解.
17．（2025·南京会考）在水平面内确定一条直线为基准线，规定：对该平面内不重合两点 M，N，若以 MN 为斜边能作出直角三角形，且其中一条直角边垂直于基准线，则称两条直角边长度之和为点M，N的直角距离；若M，N两点所在的直线垂直或平行于基准线，则线段 MN 的长度为点M，N的直角距离.记点 M，N的直角距离 [MN].如图，直线CD 与基准线AB 交于点O，点P在直线CD上，PQ垂直于AB，垂足为Q，且( 则 [EF] 的值为 。
【答案】3
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解： 如图，作点E作基准线AB的平行线EG，过点F作 于点G，
依题意，
又∵
∴设FG=a，则EG=2a，
在直角三角形EFG中，由勾股定理得：EF=
∴a=1，
故答案为：3.
【分析】根据题意得出EF与基准线的较小夹角的正切为 进而可得E，F的直角距离，即可求解.
18．（2025·南京会考）解不等式x-1>-2(x-1)+3
【答案】解：去括号，得x-1>-2x+2+3
移项，得：x+2x>2+3+1
合并同类项，得3x>6
系数化为1，得x>2
所以，不等式的解集为x>2
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤来求解不等式。
19．（2025·南京会考）计算
【答案】解：原式
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】先对括号内的式子进行通分，再将除法转化成乘法进行计算即可.
20．（2025·南京会考）已知点M(m，n)与点N 关于y 轴对称，将点M 向右平移4个单位长度得到点P 。若N，P 在函数y=-3x-2的图象上，求点M 的 坐标。
【答案】解： ∵点M(m，n)与点N关于y轴对称，
∵将点M向右平移4个单位长度得到点P，
∵N， P在函数y=-3x-2的图象上，
∴把点N(-m，n)，P(m+4，n)的坐标代入一次函
数得
解得
∴点M的坐标为(-2，-8)
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；用坐标表示平移；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得N(-m，n)，根据平移方式可得P(m+4，n)，再把点N和点P的坐标代入一次函数解析式中计算求解即可.
21．（2025·南京会考）如图，在锐角 中，D，E分别是AB，BC的中点，点M，F分别为AC上的点，且.
证明：四边形DMFE 为平行四边形。
【答案】证明： ∵DM=DA，
∴∠A=∠DMA，
∵∠A=∠AFE，
∴∠DMA=∠AFE，
∴DM∥EF，
∵D， E分别是AB， BC的中点，
∴DE∥AC，
∴DE∥MF，
∴四边形DMFE为平行四边形
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】根据DM=DA得出∠A=∠DMA，结合已知可得∠DMA=∠AFE即可证明DM∥EF，根据三角形中位线的性质得出DE∥MF，即可得证.
22．（2025·南京会考）【综合与实践】南京文化纪念品的包装优化
南京作为历史文化名城，有众多特色文化纪念品。某纪念品生产厂家在20 周年厂庆前，为其经典的“南京云锦”主题纪念品设计了长方体包装盒。但在实际生产与使用中发现，装入纪念品后包装盒边角空余空间较多，造成了包装材料的浪费，于是决定开展节省材料的探究活动。
任务1 平面图形的探究
南京的传统建筑中常常能看到矩形的窗户等元素。对于面积固定的矩形，我们来探究其周长的变化规律。已知秦淮河畔某古建筑修复时用到的一种矩形装饰砖面积为 36 平方分米，通过列举不同长和宽的情况，得到以下表格：
长（分米） 36 8 12 9 6
宽（分米） 1 2 30 4 5
周长（分米） 74 40 30 26 24
根据表格，可猜测：矩形的面积一定时，时周长最小。
为了证明上述猜测，小宁同学假设矩形面积为 设两邻边长分别为n-s和n +t(s，t 均为非负数)，则 经化简可得 请表示出周长并补全后续的证明过程。
任务2 立体图形的包装改进
厂家之前设计的长方体包装盒尺寸为：长10厘米、宽8厘米、高6厘米，该包装盒用于包装以南京明城墙为原型的小型纪念品。现打算在保持底面积不变的前提下，将包装盒形状改为底面半径为4厘米的圆柱体，高保持不变，从节省材料(即表面积最小)的角度来看，你觉得这样的改进合理吗 请判断并说明理由。(取3.14，结果精确到 0.1平方厘米)
【答案】解：任务一：矩形的长和宽相等时周长最小；
任务二：合理，理由如下：长方体的表面积为=376平方厘米，圆柱的表面积为2×3.14×4×4+2×3.14×4×6=251.2平方厘米，∴这样的改进合理
【知识点】求代数式值的实际应用
【解析】【解答】解：任务1：∵矩形两邻边长分别为n-s和n-sn+t，∴矩形的周长为2(n-s+n+t)=4n+2(t-s)
∴矩形的周长为
∵n为定值，
∴当 st有最小值时，矩形的周长有最小值，
∴当s=t=0时，矩形的周长有最小值，
∴矩形的面积一定时，矩形的长和宽相等时周长最小；
故答案为：矩形的长和宽相等时周长最小；
【分析】任务1：根据矩形周长计算公式可得矩形的周长为4n 则当s=t=0时，矩形的周长有最小值，即矩形的面积一定时，矩形的长和宽相等时周长最小；
任务2：分别计算长方体和圆柱的表面积，比较即可得到结论.
23．（2025·南京会考）学校举办数学嘉年华活动，设计了一款“数字魔方大挑战”游戏道具。有两个特制的正方体魔方，魔方A 的六个面分别标有数字1、2、2、3、3、3；魔方B 的六个面分别标有数字-1、0、0、1、1、 。
（1）若同时抛掷这两个魔方，落地后朝上一面数字分别记为a和b。将a、b代入一元二次方程 中，求该方程有实数根的概率。
（2）同时抛掷这两个魔方，求魔方A朝上一面数字大于魔方B朝上一面数字的概率。
【答案】（1）解：(1)由条件可知 b≥0，
依题意，列表得：
1 2 2 3 3 3
1 1) 2) 2) 3) 3) (1，3)
0 (0，1) (0，2) (0，2) (0，3) (0，3) (0，3)
0 (0，1) (0，2) (0，2) (0，3) (0，3) (0，3)
1 (1，1) (1，2) (1，2) (1，3) (1，3) (1，3)
1 (1，1) (1，2) (1，2) (1，3) (1，3) (1，3)
1 (1，1) (1，2) (1，2) (1，3) (1，3) (1，3)
由列表可知，使得的有33种结果，∴方程有实数根的概率
（2）解：结合 (1)的列表情况，
一共有36种等可能的结果，其中魔方A朝上一面数字大于魔方B朝上一面数字的有33种结果，
∴魔方A朝上一面数字大于魔方B朝上一面数字的概率
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】(1)先整理得出 ，再依题意，列表得一共有36种等可能的结果，其中使得 的有33种结果，运用概率公式进行列式计算，即可作答.
(2)结合 (1)的列表情况，得一共有36种等可能的结果，其中魔方A朝上一面数字大于魔方B朝上一面数字的有33种结果，运用概率公式进行列式计算，即可作答.
24．（2025·南京会考）为了提升社区居民的健康水平和生活质量，市政府决定对社区内的健身师施进行全面升级计划，采购A B两种不同类型的健身器材共720台。经过市场调研，发现A种器材的价格y (百元/台)与采购数量x之间的函数关系如图所示，而B种器材的价格为固定值30百元/台。
（1）当x≤200时，求出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围。
（2）假设A种器材采购数量不低于60台，且B种器材采购数量不低于A中器材采购数量的3倍。如何分配AB两种器材的采购数量才能使采购费用w (百元)最少最少是多少
【答案】（1）解：当80设 y= kx+b(k≠0)，由条件，可得
解得
故
综上所述
（2）解：设采购A种器材m台，则采购B种器材(720-m)台，由题意，得
解得60≤m≤180.
当60≤m≤80时，则w=60m+30(720-m)=30m+21600，
∵30>0，∴w随m增大而增大，
∴当m=60时，w有最小值，最小值为30×60+21600=23400；
当80由条件可知，离对称轴越远函数值越小，
且180-100=80>100-80=20，
∴当m=180时，
∴当m=180，720-m=540时，有最小值.
答：当采购A种器材180台，B种器材540台时，采购费用 ω最少，最少为22500百元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）分为0（2）设采购A种器材m台，根据不等式组求出m的取值范围，然后分为025．（2025·南京会考）如图，这是小伟同学为准备实验考试组装的制取氧气的实验装置.已知试管.AB=24cm， 试管倾斜角 a为 实验时，导气管紧贴水槽MN，延长BM交 CN 的延长线于点F，且MN垂直CF，AC平行DE(点 C，D，N，F在同一条直线上).经测量得，1DE=27.36cm，MIN=8cm， 请求出铁架杆DE与水槽之间的水平距离DN.(结果精确到 1cm，参考数据：
【答案】解：过点B作 于点G，作于点H，
∵试管AB倾斜角α为
，
AC平行DE，
∴四边形BGDH是矩形，
，
∵MN垂直CF， MN = 8cm， ∠BFC=45°，
26(cm)，
答：铁架杆DE与水槽之间的水平距离DN约为26cm
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点B作 '于点G，作 于点H，先在 中，解直角三角形可得BH，EH的长，再根据矩形的判定与性质可得DG，BG的长，然后解直角三角形可得GF，NF的长，最后根据DN=DG+GF-NF求解即可得.
26．（2025·南京会考）(8分)如图， 四边形ABCD内接于⊙O，BD 是⊙O的直径， AC与BD 相交于点E， 点F是AC 延长线上一点，
（1） 求证： DF是⊙O的切线；
（2） 若 求⊙O的半径。
【答案】（1）证明： ∵∠BCD=90°，
∴∠BDC+∠CBD =90°，
∵∠CDF=∠CAD=∠CBD，
∴∠BDC+∠CDF =90°，
∴ DF是⊙O的切线
（2）解： ∵∠CDF =∠CAD， ∠F =∠F，
∴△CDF∽△DAF，
∴AF=9.
∴AC=8.
∴EC=3， AE=5，
∴EF=4，
∴⊙O的半径为
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)由圆周角定理以及条件可得 那么 即可求证；
(2)证明 求出AF=9，则AC=8，EC=3，AE=5，那么.EF=4，由勾股定理得 证明 求得BE 再由BD=BE+DE求出直径，即可求解半径.
27．（2025·南京会考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x 轴交于点.A(-1，0)，该抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴 的另一个交点为B，与轴的交点为C，点D为线段BC 上的一动点。
（1）求a，b 的值；
（2）如图①，连接OD ，并延长OD 交抛物线于点E ，若OE 垂直平分BC ，求点E 的坐标；
（3）如图②，过动点D 作 交抛物线第一象限部分于点P，连接PA，PB，记 与 的面积和为S，当S取 得最大值时，求P点 的坐标，并求此时S的 最大值.
【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∵二次函数 的图象与x轴交于点A(-1，0)，
即a+2a+3=0，
（2）解：二次函数 的图象与x轴交于点
A(-1，0)，抛物线与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为C，
当x=0时，得：y=3，
当y=0时，得：
解得x=3或x=-1，
∴B(3，0)， C(0，3)，
BC的中点坐标为
∵OE垂直平分BC，
∴直线OE经过的BC的中点，即直线OE经过点
设直线OE解析式为y=kx(k≠0)，将点 代入得：
解得：k=1，
∴直线OE解析式为yy=x，
联立
解得 不合题意，舍去)，
∴点E的坐标为
（3）解：设直线BC的解析式为 将点B，点C的坐标代入得：
解得：
∴直线BC的解析式为y=-x+3；
如图②，过点P作 轴交BC于F， 连接PC，
∵AC∥DP，
设 则F(m，-m+3)，
∴当 即 时，S有最大值，最大值为
∴此时
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【解答】
【分析】(1)根据对称轴计算公式可得b=-2a，再利用待定系数法求解即可；
(2)根据(1)所求可得抛物线解析式，则可求出B(3，0)， C(0，3)， 则(OB=OC=3，BC的中点坐标为 根据OE垂直平分BC，则直线OE经过的BC的中点，即直线OE经过点 据此求出直线OE解析式，再联立直线OE解析式与抛物线解析式求出点E坐标即可；
(3)求出直线BC的解析式为y=-x+3；过点P作PF∥y轴交BC于F， 连接PC， 根据AC∥DP，可得 则 设 则F(m，-m+3)，可得 则可求出 据此利用二次函数的性质求解即可.
28．（2025·南京会考） 在 中，AB=AC，D 为直线AB上一点，E 为直线BC上异于点C 的一点，连接DC，DE ， 使.DC=DE.
（1） 如图1， 若点D 在线段AB 上， .BC=DC，求证
（2） 如图2， 若点D 在线段AB 上，AD=1，求BE的长；
（3）如图3，若点D 在线段 BA 的延长线上，点E 在线段BC上，DE交CA于点F，. °， AD=CD ， 求 的值。
【答案】（1）证明：∵AB=AC， DC = DE， DC = BC，
∴∠ABC=∠ACB， ∠E=∠DCE， ∠ABC =∠CDB， 即∠ABC =∠ACB=∠CDB，
∵∠ABC=∠E+∠BDE， ∠ACB=∠DCE+∠ACD， ∠BDC =∠A+∠ACD，
∴∠E =∠A， ∠BDE =∠ACD，
∴△DBE∽△CDA
（2）解：如图过点E作AB的垂线，交AB延长线于点G，
∵AB=AC， ∠ABC = 45°，
∴∠A=90°，
由 (1) 可知∠BDE =∠ACD，
∵DE = DC， ∠EGD =∠A =90°，
∴△DGE≌△CAD(AAS)，
∴DG=CA = AB，
∴BG=DA=EG=1，
∵∠EGD =90°， ∠EBG =45°，
（3）解：如图过点D作BC的平行线，交CA延长线于点M，过点D作BC的垂线，交BC于点N，
∵AB=AC， ∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵BC∥MD， AD=CE，
∴∠MDA=∠ABC=60°， ∠M=∠ACB=60°，
∴△ADM为等边三角形， 即AD = AM = MD=CE，
又∵BC∥MD，
∴∠M =∠FCE， ∠MDF =∠CEF，
∴△MDF≌△CEF(ASA)，
∴设AF =a， AD =AM = MD =CE=x， 则MF=CF=a+x， AB=BC=AC=2a+x， BD=2a+2x，
又∵BC=BE+EC， 即2a+x= BE+x，
∴BE=2a，
∵DN⊥BC， ∠ABC = 60°，
∴CN=EN=BN-BE =a+x-2a=x-a，
∵DN⊥BC， DE=DC，
∴EC =x=2CN =2(x-a)，
∴x=2a， 即BD=6a， BN =3a， EN =a，
在Rt△DEN中， ，
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质和角的和差运算可求得∠ 即可求证；
(2)过点E作AB的垂线，交AB延长线于点G，可求得 进而求得BG=DA=1，根据解直角三角形得出BE的长；
(3)过点D作BC的平行线，交CA延长线于点M，过点D作BC的垂线，交BC于点N，根据等边三角形的性质和判定与平行线的性质可求出， CEF， 设AF=a，AD=AM=MD=CE=x，根据等腰三角形的性质和线段的关系可求得BD=6a，BN=3a，EN=a，根据解直角三角形可求得再根据勾股定理求得DE= 进而求得DF，即可求解.
29．（2025·南京会考）已知 是抛物线 上的两个不同点。
（1）若P，Q 两点都在直线 上，且 和 是于的一元二次方程 的两根，求k 的值以及线段PQ 的长；
（2）若抛物线经过点 (1，1)，直线PQ 过坐标原点O ，且. 求 的值；
（3）若点P，Q在抛物线对称轴的左侧， 为整数，且 同时满足 证明： 正值。
【答案】（1）解： 和x2是关于x的一元二次方程； k=0的两根，
把 代入
可得：
整理可得出：
此时：
9=9，
（2）解：∵抛物线 关于y轴对称，
∴抛物线
若直线PQ落在x轴上，
∴当y=0时，即
解得
若直线PQ不在x轴上，
设直线PQ的解析式为y=kx，联立方程，
得
解得
不妨设
（3）证明：
且为整数，
即
，
又
为正值
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】
【分析】(1)由一元二次方程的根与系数的关系可得出 由抛物线和直线 可得出 由根与系数的关系可得出 再根据完全平方公式可得出 进而可求出k的值以及线段PQ的长；
(2)首先求出b=0，然后分两种情况：当直线PQ落在x轴上时，可得 当直线PQ不在x轴上，然后联立 求出x=x= 设 求出 然后代入 求解即可；
(3)首先得到 根据 求出 -1，然后结合 即可证明.
1 / 1江苏省南京市2025年初中学业水平诊断数学试题
1．（2025·南京会考）近期，江苏省城市足球联赛 (“苏超”)火爆出圈，据统计，首轮比赛现场观众人数达35000人，第二轮现场观众人数增长至42000人，将第二轮现场观众人数用科学记数法表示，正确的是( )
A． B． C． D．
2．（2025·南京会考）已知 ，则a，b，c之间满足的等式是( )
A．c =a+b+1 B．c = ab+1 C．C =a+b D．c = ab
3．（2025·南京会考）长跑因为其便捷性及有效性成为人们最喜爱的运动方式之一，普通人长跑5. km的平均速度约为 估计 的值在( )
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
4．（2025·南京会考）如图，⊙O是正五边形 ABCDE的外接圆，这个五边形的边长为a，半径为R，边行距为r，则下列关系是错误的是( )
A． B．
C． D．r=a cos=36°
5．（2025·南京会考）已知 mn=m+n= k ≠0，下列结论不正确的是( )
A． B．
C．若m，n 同号， 则k≥4 D．若m，n 异号， 则-4≤k≤0
6．（2025·南京会考）记住a·b是两个实数a与b的一种运算。已知a·0=1-a， 函数y=m·(x+1) (m≠1) 为正比例函数， 则4·5=( )
A．12 B．16 C．20 D．24
7．（2025·南京会考）计算： .
8．（2025·南京会考）分解因式： .
9．（2025·南京会考）在我国古代数学著作《孙子算经》中，有这样一道题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何 其最小正整数解记为a。又知b=23 ，则a b(填“>”“<”或“=”)。
10．（2025·南京会考）分式方程的解是 ．
11．（2025·南京会考）将平面镜AB，BC按如图所示的方式放置，从点M处射出一束光线MD经AB上的D点反射至 BC上的E点，再经E 点反射出的光线EN恰好与MD平行，若. 则∠2的度数 。
12．（2025·南京会考）如图，四边形ABCD 为平行四边形，以点A 圆心，AB长半径画弧，交BC边于点E，连接 则的长l = 。(结果保留根号和兀)。
13．（2025·南京会考）如图，在一个正方形的网格上有A、B、C、D、E五个点，任意连接其中3个点，在构成的三角形中，是直角三角形的概率为 .
14．（2025·南京会考）为了适应新的考试评价改革，需要对学生的原始分进行转换.一次数学测试中，全班最高分是95分，最低分是45分.现将全班学生成绩作线性转化、原始分记x ，转化后的分数记为y 。满足.y=a+bx其中b>0.装換后使得最高分100分、最低分30分，某同学原始分是80分，则转换后的分数是 。
15．（2025·南京会考）在平面直角系xOy 中。将抛物线向右平移2个单位得到抛物线 点 在抛物线( 上。点 在抛物线上。当 时，总有， 则a 的取值范围是 。
16．（2025·南京会考）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O ，AB弧 所在圆的圆心C恰好是∠ABO的内心，若 则阴影部分面积为 。
17．（2025·南京会考）在水平面内确定一条直线为基准线，规定：对该平面内不重合两点 M，N，若以 MN 为斜边能作出直角三角形，且其中一条直角边垂直于基准线，则称两条直角边长度之和为点M，N的直角距离；若M，N两点所在的直线垂直或平行于基准线，则线段 MN 的长度为点M，N的直角距离.记点 M，N的直角距离 [MN].如图，直线CD 与基准线AB 交于点O，点P在直线CD上，PQ垂直于AB，垂足为Q，且( 则 [EF] 的值为 。
18．（2025·南京会考）解不等式x-1>-2(x-1)+3
19．（2025·南京会考）计算
20．（2025·南京会考）已知点M(m，n)与点N 关于y 轴对称，将点M 向右平移4个单位长度得到点P 。若N，P 在函数y=-3x-2的图象上，求点M 的 坐标。
21．（2025·南京会考）如图，在锐角 中，D，E分别是AB，BC的中点，点M，F分别为AC上的点，且.
证明：四边形DMFE 为平行四边形。
22．（2025·南京会考）【综合与实践】南京文化纪念品的包装优化
南京作为历史文化名城，有众多特色文化纪念品。某纪念品生产厂家在20 周年厂庆前，为其经典的“南京云锦”主题纪念品设计了长方体包装盒。但在实际生产与使用中发现，装入纪念品后包装盒边角空余空间较多，造成了包装材料的浪费，于是决定开展节省材料的探究活动。
任务1 平面图形的探究
南京的传统建筑中常常能看到矩形的窗户等元素。对于面积固定的矩形，我们来探究其周长的变化规律。已知秦淮河畔某古建筑修复时用到的一种矩形装饰砖面积为 36 平方分米，通过列举不同长和宽的情况，得到以下表格：
长（分米） 36 8 12 9 6
宽（分米） 1 2 30 4 5
周长（分米） 74 40 30 26 24
根据表格，可猜测：矩形的面积一定时，时周长最小。
为了证明上述猜测，小宁同学假设矩形面积为 设两邻边长分别为n-s和n +t(s，t 均为非负数)，则 经化简可得 请表示出周长并补全后续的证明过程。
任务2 立体图形的包装改进
厂家之前设计的长方体包装盒尺寸为：长10厘米、宽8厘米、高6厘米，该包装盒用于包装以南京明城墙为原型的小型纪念品。现打算在保持底面积不变的前提下，将包装盒形状改为底面半径为4厘米的圆柱体，高保持不变，从节省材料(即表面积最小)的角度来看，你觉得这样的改进合理吗 请判断并说明理由。(取3.14，结果精确到 0.1平方厘米)
23．（2025·南京会考）学校举办数学嘉年华活动，设计了一款“数字魔方大挑战”游戏道具。有两个特制的正方体魔方，魔方A 的六个面分别标有数字1、2、2、3、3、3；魔方B 的六个面分别标有数字-1、0、0、1、1、 。
（1）若同时抛掷这两个魔方，落地后朝上一面数字分别记为a和b。将a、b代入一元二次方程 中，求该方程有实数根的概率。
（2）同时抛掷这两个魔方，求魔方A朝上一面数字大于魔方B朝上一面数字的概率。
24．（2025·南京会考）为了提升社区居民的健康水平和生活质量，市政府决定对社区内的健身师施进行全面升级计划，采购A B两种不同类型的健身器材共720台。经过市场调研，发现A种器材的价格y (百元/台)与采购数量x之间的函数关系如图所示，而B种器材的价格为固定值30百元/台。
（1）当x≤200时，求出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围。
（2）假设A种器材采购数量不低于60台，且B种器材采购数量不低于A中器材采购数量的3倍。如何分配AB两种器材的采购数量才能使采购费用w (百元)最少最少是多少
25．（2025·南京会考）如图，这是小伟同学为准备实验考试组装的制取氧气的实验装置.已知试管.AB=24cm， 试管倾斜角 a为 实验时，导气管紧贴水槽MN，延长BM交 CN 的延长线于点F，且MN垂直CF，AC平行DE(点 C，D，N，F在同一条直线上).经测量得，1DE=27.36cm，MIN=8cm， 请求出铁架杆DE与水槽之间的水平距离DN.(结果精确到 1cm，参考数据：
26．（2025·南京会考）(8分)如图， 四边形ABCD内接于⊙O，BD 是⊙O的直径， AC与BD 相交于点E， 点F是AC 延长线上一点，
（1） 求证： DF是⊙O的切线；
（2） 若 求⊙O的半径。
27．（2025·南京会考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x 轴交于点.A(-1，0)，该抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴 的另一个交点为B，与轴的交点为C，点D为线段BC 上的一动点。
（1）求a，b 的值；
（2）如图①，连接OD ，并延长OD 交抛物线于点E ，若OE 垂直平分BC ，求点E 的坐标；
（3）如图②，过动点D 作 交抛物线第一象限部分于点P，连接PA，PB，记 与 的面积和为S，当S取 得最大值时，求P点 的坐标，并求此时S的 最大值.
28．（2025·南京会考） 在 中，AB=AC，D 为直线AB上一点，E 为直线BC上异于点C 的一点，连接DC，DE ， 使.DC=DE.
（1） 如图1， 若点D 在线段AB 上， .BC=DC，求证
（2） 如图2， 若点D 在线段AB 上，AD=1，求BE的长；
（3）如图3，若点D 在线段 BA 的延长线上，点E 在线段BC上，DE交CA于点F，. °， AD=CD ， 求 的值。
29．（2025·南京会考）已知 是抛物线 上的两个不同点。
（1）若P，Q 两点都在直线 上，且 和 是于的一元二次方程 的两根，求k 的值以及线段PQ 的长；
（2）若抛物线经过点 (1，1)，直线PQ 过坐标原点O ，且. 求 的值；
（3）若点P，Q在抛物线对称轴的左侧， 为整数，且 同时满足 证明： 正值。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故选： B.
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
2．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：由条件可知
故选： A.
【分析】根据指数运算法则，将30分解为已知的2的幂次相乘，进而比较指数得出关系式即可.
3．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵
故选 B.
【分析】先估算 的范围，从而估计出 的范围即可.
4．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆内接正多边形；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，过点O作( 于点H.
∵五边形ABCDE是正五边形，
故选项A正确，不符合题意，
∴选项B正确，不符合题意，
故选项C正确，不符合题意，
故选项D错误，符合题意，
故选： D.
【分析】如图，过点O作于点H.利用正多边形的性质解直角三角形— —计算判断即可.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： 显然成立，故该选项不符合题意；
B、展开 得 故该选项不符合题意；
又m， n同号，
∴m，n是一元二次方程； 的两个同号根，
又∵k>0，
∴k≥4，故该选项不符合题意；
D、∵mn=m+n=k≠0，又m， n异号，
∴mn=m+n=k<0，
∴m，n是一元二次方程 的两个异号根，
则k<0或k>4，
又∵k<0，
综上可得k <0，故该选项符合题意；
故选： D.
【分析】由已知条件mn=m+n=k≠0，结合代数运算和不等式性质，逐一验证各选项的正确性.
6．【答案】A
【知识点】正比例函数的概念；求代数式的值-直接代入求值；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：因为函数y=m·(x+1)(m≠1)是正比例函数，正比例函数的一般形式为y=kx(k为常数)，
当x=0时，y=m·1，而正比例函数过原点(0，0)，
所以m·1=0，
当x=-1时，y=m·0=1-m，
又因为此时y=k·(-1)，
所以1-m=-k，即k=m-1，
由此可得m·(x+1)=(m-1)x，
令z=x+1，则m·z=(m-1)(z-1)，
所以该运算定义为a·b=(a-1)(b-1)，
那么4·5=(4-1)(5-1)=3×4=12，
故答案为：A.
【分析】根据函数的定义把x=0代入得到m·1=0；再把x=-1代入求出y=m·0=1-m，进而得到运算法则a·b=(a-1)(b-1)，再代入数值计算即可.
7．【答案】7
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解： ，
故答案为：7.
【分析】先根据算术平方根计算，然后相加解答即可.
8．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为：.
【分析】先提取公因式，然后运用平方差公式计算即可.
9．【答案】=
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：由条件可知：三三数之剩二
3×0+2=2， 3×1+2=5， 3×2+2=8， 3×3+2=11， 3×4+2=14，
3×5+2=17， 3×6+2=20， 3×7+2=23，
∵五五数之剩三，
∴5×0+3=3， 5×1+3=8， 5×2+3=13， 5×3+3=18， 5×4+3=23，
∵七七数之剩二.
∴7×0+2=2， 7×1+2=9， 7×2+2=16， 7×3+2=23，
由条件可知a=23，
∴a=b，
故答案为： =.
【分析】分别由小到大进行分析，发现符合题意的最小正整数解为23，即a=23，再结合b=23，即可作答.
10．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：，
解得：，
经检验，是原方程的解．
故答案为：.
【分析】将方程两边同时乘以，化为整式方程，解整式方程求出的值，然后检验解答即可．
11．【答案】18°
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：由反射定律可得∠1=∠BDE=72°，∠2=∠DEB，
又∵DM∥EN，
∴∠MDE+∠NED=180°，
∴∠1+∠BDE+∠DEB+∠2=360°-180°=180°，
∴∠2=90°-∠1=90°-72°=18°，
故答案为：18°.
【分析】根据反射定律得到∠1=∠BDE=72°，∠2=∠DEB，然后平行线的性质得到∠MDE+∠NED=180°，进而得到∠2=90°-∠1解答即可.
12．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=，AD∥BC，
∴∠ABC=180°-∠BAD=180°-120°=60°，
由作图可得AB=AE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE=60°，
∴，
故答案为：.
【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，即可得到∠ABC=60°，进而求得△ABE是等边三角形，得到∠BAE=60°，根据弧长公式计算即可.
13．【答案】
【知识点】概率公式；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：从在格点上的点A，B，C，D，E中任取三个点构成的三角形有 共9个，根据网格的特点可得 是直角三角形，即在构成的三角形中，是直角三角形的个数是7，
∴在构成的三角形中，是直角三角形的概率为
故答案为：
【分析】根据三角形的定义得到所有等可能结果，找出是直角三角形的结果数，利用概率公式计算即可.
14．【答案】79
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
解得
当x=80时，
故答案为：79.
【分析】根据题意可得 解方程组可得到y 再求出当x=80时，y的值即可得到答案.
15．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：已知t=2a，则抛物线
∵点 在抛物线 上，
把 代入
可得
∵点在抛物线上，
把x=x2代入 可得
整理得
即
解不等式 可得
解不等式 可得
又 时，总有
解得
故答案为：
【分析】配方求出C1的顶点式，根据平移得到C2的解析式，然后把 代入得到y1=-3a3，再把B点坐标代入C2的解析式，求出y2，然后根据题意得到关于a的不等式组，求出a的取值范围即可.
16．【答案】
【知识点】扇形面积的计算；正多边形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解： 如图所示： 过点C作CE⊥AB，
由条件可知∠AOB =60°， OA =OB，
∴△AOB为等边三角形，
∵圆心C恰好是△ABO的内心，
∴∠CAO=∠CAE=∠CBE=30°，
∴∠ACB=120°，
由条件可知
∴CE=AC·sin30°= 1，
∴弓形AB的面积为：
∴阴影部分面积为：
故答案为：
【分析】过点C作CE⊥AB，根据正多边形的性质得出△AOB为等边三角形，再由内心的性质确定∠CAO=∠CAE=∠CBE=30°， 得出∠ACB=120°， 求出 再求弓形AB的面积为 即可求解.
17．【答案】3
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解： 如图，作点E作基准线AB的平行线EG，过点F作 于点G，
依题意，
又∵
∴设FG=a，则EG=2a，
在直角三角形EFG中，由勾股定理得：EF=
∴a=1，
故答案为：3.
【分析】根据题意得出EF与基准线的较小夹角的正切为 进而可得E，F的直角距离，即可求解.
18．【答案】解：去括号，得x-1>-2x+2+3
移项，得：x+2x>2+3+1
合并同类项，得3x>6
系数化为1，得x>2
所以，不等式的解集为x>2
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤来求解不等式。
19．【答案】解：原式
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】先对括号内的式子进行通分，再将除法转化成乘法进行计算即可.
20．【答案】解： ∵点M(m，n)与点N关于y轴对称，
∵将点M向右平移4个单位长度得到点P，
∵N， P在函数y=-3x-2的图象上，
∴把点N(-m，n)，P(m+4，n)的坐标代入一次函
数得
解得
∴点M的坐标为(-2，-8)
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；用坐标表示平移；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得N(-m，n)，根据平移方式可得P(m+4，n)，再把点N和点P的坐标代入一次函数解析式中计算求解即可.
21．【答案】证明： ∵DM=DA，
∴∠A=∠DMA，
∵∠A=∠AFE，
∴∠DMA=∠AFE，
∴DM∥EF，
∵D， E分别是AB， BC的中点，
∴DE∥AC，
∴DE∥MF，
∴四边形DMFE为平行四边形
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】根据DM=DA得出∠A=∠DMA，结合已知可得∠DMA=∠AFE即可证明DM∥EF，根据三角形中位线的性质得出DE∥MF，即可得证.
22．【答案】解：任务一：矩形的长和宽相等时周长最小；
任务二：合理，理由如下：长方体的表面积为=376平方厘米，圆柱的表面积为2×3.14×4×4+2×3.14×4×6=251.2平方厘米，∴这样的改进合理
【知识点】求代数式值的实际应用
【解析】【解答】解：任务1：∵矩形两邻边长分别为n-s和n-sn+t，∴矩形的周长为2(n-s+n+t)=4n+2(t-s)
∴矩形的周长为
∵n为定值，
∴当 st有最小值时，矩形的周长有最小值，
∴当s=t=0时，矩形的周长有最小值，
∴矩形的面积一定时，矩形的长和宽相等时周长最小；
故答案为：矩形的长和宽相等时周长最小；
【分析】任务1：根据矩形周长计算公式可得矩形的周长为4n 则当s=t=0时，矩形的周长有最小值，即矩形的面积一定时，矩形的长和宽相等时周长最小；
任务2：分别计算长方体和圆柱的表面积，比较即可得到结论.
23．【答案】（1）解：(1)由条件可知 b≥0，
依题意，列表得：
1 2 2 3 3 3
1 1) 2) 2) 3) 3) (1，3)
0 (0，1) (0，2) (0，2) (0，3) (0，3) (0，3)
0 (0，1) (0，2) (0，2) (0，3) (0，3) (0，3)
1 (1，1) (1，2) (1，2) (1，3) (1，3) (1，3)
1 (1，1) (1，2) (1，2) (1，3) (1，3) (1，3)
1 (1，1) (1，2) (1，2) (1，3) (1，3) (1，3)
由列表可知，使得的有33种结果，∴方程有实数根的概率
（2）解：结合 (1)的列表情况，
一共有36种等可能的结果，其中魔方A朝上一面数字大于魔方B朝上一面数字的有33种结果，
∴魔方A朝上一面数字大于魔方B朝上一面数字的概率
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】(1)先整理得出 ，再依题意，列表得一共有36种等可能的结果，其中使得 的有33种结果，运用概率公式进行列式计算，即可作答.
(2)结合 (1)的列表情况，得一共有36种等可能的结果，其中魔方A朝上一面数字大于魔方B朝上一面数字的有33种结果，运用概率公式进行列式计算，即可作答.
24．【答案】（1）解：当80设 y= kx+b(k≠0)，由条件，可得
解得
故
综上所述
（2）解：设采购A种器材m台，则采购B种器材(720-m)台，由题意，得
解得60≤m≤180.
当60≤m≤80时，则w=60m+30(720-m)=30m+21600，
∵30>0，∴w随m增大而增大，
∴当m=60时，w有最小值，最小值为30×60+21600=23400；
当80由条件可知，离对称轴越远函数值越小，
且180-100=80>100-80=20，
∴当m=180时，
∴当m=180，720-m=540时，有最小值.
答：当采购A种器材180台，B种器材540台时，采购费用 ω最少，最少为22500百元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）分为0（2）设采购A种器材m台，根据不等式组求出m的取值范围，然后分为025．【答案】解：过点B作 于点G，作于点H，
∵试管AB倾斜角α为
，
AC平行DE，
∴四边形BGDH是矩形，
，
∵MN垂直CF， MN = 8cm， ∠BFC=45°，
26(cm)，
答：铁架杆DE与水槽之间的水平距离DN约为26cm
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点B作 '于点G，作 于点H，先在 中，解直角三角形可得BH，EH的长，再根据矩形的判定与性质可得DG，BG的长，然后解直角三角形可得GF，NF的长，最后根据DN=DG+GF-NF求解即可得.
26．【答案】（1）证明： ∵∠BCD=90°，
∴∠BDC+∠CBD =90°，
∵∠CDF=∠CAD=∠CBD，
∴∠BDC+∠CDF =90°，
∴ DF是⊙O的切线
（2）解： ∵∠CDF =∠CAD， ∠F =∠F，
∴△CDF∽△DAF，
∴AF=9.
∴AC=8.
∴EC=3， AE=5，
∴EF=4，
∴⊙O的半径为
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)由圆周角定理以及条件可得 那么 即可求证；
(2)证明 求出AF=9，则AC=8，EC=3，AE=5，那么.EF=4，由勾股定理得 证明 求得BE 再由BD=BE+DE求出直径，即可求解半径.
27．【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∵二次函数 的图象与x轴交于点A(-1，0)，
即a+2a+3=0，
（2）解：二次函数 的图象与x轴交于点
A(-1，0)，抛物线与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为C，
当x=0时，得：y=3，
当y=0时，得：
解得x=3或x=-1，
∴B(3，0)， C(0，3)，
BC的中点坐标为
∵OE垂直平分BC，
∴直线OE经过的BC的中点，即直线OE经过点
设直线OE解析式为y=kx(k≠0)，将点 代入得：
解得：k=1，
∴直线OE解析式为yy=x，
联立
解得 不合题意，舍去)，
∴点E的坐标为
（3）解：设直线BC的解析式为 将点B，点C的坐标代入得：
解得：
∴直线BC的解析式为y=-x+3；
如图②，过点P作 轴交BC于F， 连接PC，
∵AC∥DP，
设 则F(m，-m+3)，
∴当 即 时，S有最大值，最大值为
∴此时
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【解答】
【分析】(1)根据对称轴计算公式可得b=-2a，再利用待定系数法求解即可；
(2)根据(1)所求可得抛物线解析式，则可求出B(3，0)， C(0，3)， 则(OB=OC=3，BC的中点坐标为 根据OE垂直平分BC，则直线OE经过的BC的中点，即直线OE经过点 据此求出直线OE解析式，再联立直线OE解析式与抛物线解析式求出点E坐标即可；
(3)求出直线BC的解析式为y=-x+3；过点P作PF∥y轴交BC于F， 连接PC， 根据AC∥DP，可得 则 设 则F(m，-m+3)，可得 则可求出 据此利用二次函数的性质求解即可.
28．【答案】（1）证明：∵AB=AC， DC = DE， DC = BC，
∴∠ABC=∠ACB， ∠E=∠DCE， ∠ABC =∠CDB， 即∠ABC =∠ACB=∠CDB，
∵∠ABC=∠E+∠BDE， ∠ACB=∠DCE+∠ACD， ∠BDC =∠A+∠ACD，
∴∠E =∠A， ∠BDE =∠ACD，
∴△DBE∽△CDA
（2）解：如图过点E作AB的垂线，交AB延长线于点G，
∵AB=AC， ∠ABC = 45°，
∴∠A=90°，
由 (1) 可知∠BDE =∠ACD，
∵DE = DC， ∠EGD =∠A =90°，
∴△DGE≌△CAD(AAS)，
∴DG=CA = AB，
∴BG=DA=EG=1，
∵∠EGD =90°， ∠EBG =45°，
（3）解：如图过点D作BC的平行线，交CA延长线于点M，过点D作BC的垂线，交BC于点N，
∵AB=AC， ∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵BC∥MD， AD=CE，
∴∠MDA=∠ABC=60°， ∠M=∠ACB=60°，
∴△ADM为等边三角形， 即AD = AM = MD=CE，
又∵BC∥MD，
∴∠M =∠FCE， ∠MDF =∠CEF，
∴△MDF≌△CEF(ASA)，
∴设AF =a， AD =AM = MD =CE=x， 则MF=CF=a+x， AB=BC=AC=2a+x， BD=2a+2x，
又∵BC=BE+EC， 即2a+x= BE+x，
∴BE=2a，
∵DN⊥BC， ∠ABC = 60°，
∴CN=EN=BN-BE =a+x-2a=x-a，
∵DN⊥BC， DE=DC，
∴EC =x=2CN =2(x-a)，
∴x=2a， 即BD=6a， BN =3a， EN =a，
在Rt△DEN中， ，
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质和角的和差运算可求得∠ 即可求证；
(2)过点E作AB的垂线，交AB延长线于点G，可求得 进而求得BG=DA=1，根据解直角三角形得出BE的长；
(3)过点D作BC的平行线，交CA延长线于点M，过点D作BC的垂线，交BC于点N，根据等边三角形的性质和判定与平行线的性质可求出， CEF， 设AF=a，AD=AM=MD=CE=x，根据等腰三角形的性质和线段的关系可求得BD=6a，BN=3a，EN=a，根据解直角三角形可求得再根据勾股定理求得DE= 进而求得DF，即可求解.
29．【答案】（1）解： 和x2是关于x的一元二次方程； k=0的两根，
把 代入
可得：
整理可得出：
此时：
9=9，
（2）解：∵抛物线 关于y轴对称，
∴抛物线
若直线PQ落在x轴上，
∴当y=0时，即
解得
若直线PQ不在x轴上，
设直线PQ的解析式为y=kx，联立方程，
得
解得
不妨设
（3）证明：
且为整数，
即
，
又
为正值
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】
【分析】(1)由一元二次方程的根与系数的关系可得出 由抛物线和直线 可得出 由根与系数的关系可得出 再根据完全平方公式可得出 进而可求出k的值以及线段PQ的长；
(2)首先求出b=0，然后分两种情况：当直线PQ落在x轴上时，可得 当直线PQ不在x轴上，然后联立 求出x=x= 设 求出 然后代入 求解即可；
(3)首先得到 根据 求出 -1，然后结合 即可证明.
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