(共56张PPT)
高 三 数 学
本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。■
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
高三数学答题卡
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或
16.(15分)
演算步骤。
姓名：
15.(13分)
正面上，请贴在虚线框内》
准考证号：
1,答题前，考生务必认真核对条形码上的姓名、准考证号，无
误后将本人姓名、准考证号填写在相应位置。
填涂示范
装
事
错误填涂
山8的
项
正带。
4.缺考考生的答题卡上的姓名及准考证号由监考教师填写，并
缺考标记口
用2B铅笔将缺考标记除黑。
(由监考教师用2B铅笔填涂)
■■■■■■■■■■■■■
选择题答题区域（请用2B铅笔填涂）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1田BH D
6因B图a
2四 @
7四田四四
3 四
8④B围四四
4田田aD
5四BD
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中
有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选
错的得0分。
9 ABCD
10四 @D
11B田四
非选择题答题区域（请用黑色墨水笔或黑色签字笔书写）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
13.
4
此区域内答题无效
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高三数学·答题卡第1页（共2页）
■
■■
■■
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17.(15分)
18.(17分)
19.(17分)
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
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■■
高三数学·答题卡第2页（共2页）高三 数学
高三数学
一、选择题
1.D【解析】 B x | x2 4x 0, 4 ，故 A B 0 .
x 2
2.B 1
1
【解析】 1即为 x 3 x 3 2x 1 0 0，即 ，故 < x 3，故解集为{x∣ x 3} .2x 1 2x 1 2x 1 0 2 2
3.C 【解析】设 a OA，b OB， B x, y ，则 A 2,2 ， a b AB x 2 2 y 2 2 4，即点 B的轨
A 迹为以 （2，2）为圆心，4 为半径的圆．故 b OB 的最大值为 OA 4 2 2 4 .
4.C 【解析】设数列 a 的公比为 q q 0 ，所以 an a qn 1 qn 1 ，所以 a q,a q2 ，由n 1 2 3
2a2 a3 a 2 3
2
2 a3 ，得 2q+q =q ，即 q q 2 0，解得 q 2或 q 1（舍去），所以 a 2
n 1
n ，所以
a10 2
9 512 .
5.C【解析】法一：令 x i ，则 x2 1，所以原式左边为（1 2）4 34 81，
a a 2 4 6 8原式右边为 .0 1x a2x a3x a4x a0 a1 a2 a3 a4 81
法二：根据二项式定理，得
1 2x2 4 C0 0 2x2 C1 2 1 2 2 2 3 2 3 44 4 2x C 4 2x C 4 2x C44 2x 2
C0 14 C4 2
1 2 2 32x C 4 2x2 C 3 2 4 24 2x C4 2x
4
，所以
a0 C
0
4，a1=-2C
1
4，a2 4C
2
4，a3 -8C
3
4，a4 16C
4
4，
所以 a0 a1 a2 a3 a4 C0 14 2C4+4C
2
4 8C
3
4 16C
4
4=（1 2）
4 34 81 .
6.A π π【 解 析 】 由 题 意 得 x asin3 , y acos30 0 ， 因 为 ( , ) ， 则 sin cos 0 ，4 2
2 1
所以a cos3 a sin3 a ，即 sin cos ，
64 4
所以 sin cos 2 1 2sin cos 1 1 1 2 ，所以sin cos ，
2 2 2
x y 2 5 5所以 0 0 a sin
3 a cos3 a sin cos 1 sin cos a ，
2 4 2
解得 a 2 2 .
7.A【解析】由 PF1 PF2 2 F1F2 知，点 P的轨迹 E是以 F1， F2为焦点的双曲线，
2
设轨迹 E的方程为 x y
2
2 2 1 a 0，b 0 ，因为 c 2， 2a 2，所以b2 c2 a2 3，故轨迹 E的方程为a b
答案第 1 页 共 10 页
高三 数学
2
y2 2 y x1 x2 2，x2 1 ， 设 P x1, y1 ， Q x2 , y2 ， 由 x 1， 3 可 得 2x
2 4x 7 0 ， 则 则
3 x x
7
，
y x 2， 1 2 2
| PQ | 2 x x 2 71 2 4x1x2 2 4 4
2
6 .
8.D【解析】由 f 4x 1 f 4x ，则 f x 1 f x ，又函数 f x（ x R）是奇函数，则
f x f x ，f 0 0，因此可得 f x 1 f x ，f x 2 f x 1 f x ，即函数 f x
的周期为 2，由 f 4x 1 f 4x ，则 f 1 f 0 0，所以f (2025) f (2 1012 1) f (1) 0 ，
故 A 正确；
由函数 f x（ x R）是奇函数，则 f (x) f ( x) ，故 f (x) f ( x) f ( x)，
又 g x 是 f x 的导函数，则 g x g x ，故 B 正确；
由 f x 2 f x ，则 f x 2 f x ，即 g x 2 g x ，故C 正确；
1 1
由 f x 1 f x ，得 x 为 y f x 的对称轴，因此 y f x 在 x 左右附近的单调性发生改
2 2
变，即 x 1 为 y f x 1 1 的极值点，故 g f 0，而 g(2025) g(1012 2 1) g(1) ，由2 2 2
g x 2 g x ， g(x) g( x) ，得 g x 2 g x ，则 x 1为 y g x 的对称轴，g(1)的值不一
定为 0，故 D 不正确.
二、选择题
9.BC【解析】对于A 选项：由 z1 z2 ，则 a i 1 2ai，解得 a 1且 2a 1，无解，故不存在 a，使得 z1 z2 ，
故 A 不正确；
z 1对于 B 选项：由 1 z2 a 1 i 2ai R ，得 2a 1 0 ，得 a ，故存在 a，使得 z1 z R ，2 2
故 B 正确；
对于 C 选项：由 z z (a i)(1 2ai) a 2a2i i+2a 3a 1 2a21 2 i R ，得 1 2a2 0 ，得
a 2 ，故存在 a，使得 z1 z2 R，故 C 正确；2
2 2
对于 D 选项：由 z1 z2 a 1 i 2ai a 1 1 2a 1 2，化简得 5a 2a 1 0 ， Δ 0 ，
方程无解，故不存在 a，使得 z1 z2 1，故 D 错误.
π π π π π
10.AB【解析】因为 0 x , π ，所以当 时， x , π ，
6 3 6 3 3
π π 5π T 5π 2π 5π
因为 f x 在区间 ,π 上单调递减，所以 π - = ，则T ，即 ，
6 6 6 2 3 3
π π
6 0
所以0 6 3 2 2，所以 ，解得0 ，则 的最大值为 ， f x 的最小正周期为3π ，A5 π π π 3 3
3
答案第 2 页 共 10 页
高三 数学
正确；由 A 知 f (x) 3cos 2 x π f π= + ，则 = 3cos 2 π π + = 0 ，B 正确；3 3 4 3 4 3
f π 3cos 2 π π 3 2 π= + = - ，C 错误； f (π) = 3cos π + = -3，D 错误.2 3 2 3 2 3 3
2 111.AC 2 2【解析】由题意得抛物线C： y 2x的准线方程为 x ，被圆 M: (x 1) y 1截得的弦长为
2
2 1 1 1
2
3 ，故 A 正确；
2
2
设直线 l的方程为 x my n， A x1, y1 ，B x2 , y2
y 2x, 2
，联立 得 y 2my 2n 0 ，
x my n,
2 y2 y2 2n
2
2
所以 4m 8n 0 ， y 1 21 y2 2m， y1y2 2n，得 x1x2 n ，4 4
2 2
由OA OB x x y y
y
1
y2
1 2 1 2 y y n
2
1 2 2n 3，解得 n 或 n 3，4
所以 l方程为 x my 1或 x my 3，所以 l可能过圆 M的圆心 1,0 ，故 B 错误；
1 1
对于 C，若 l过 C的焦点 ( ,0) ，设 l的方程为 x my ，即 2x 2my 1 0，则圆心 M到直线的距
2 2
2 1 5 1
离为 d 1，得 m 5 2 5 1 得直线 l方程为 x y ，即 y (x ) ，故 C
4 4m2 2 ， 2 2 5 2
正确；
2 2
对于 D，因为 ( 1
2 1)2 2 1，得点 P在圆 M上，则2 k
2
MP 1，则直线 l的
2 2 1 ( 1)
2
斜率为 k 1，则直线 l的方程为 y
2 2
x 1
2
2 2
，即 x y 1 2 0，与 y 2x联立得
y2 2y 2 2 2 0 ， 得 y1 y2 2, y1y2 2 2 2 ， 得 AB 2 2 2 4 2 2 2
2 2 2 2 1 ，故 D 错误.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
9
12. 【解析】因为随机变量 满足 ~ N 1, 2 ， P 0 0.4 ， P a 0.4，
2
1 2
由正态分布的对称性可得 a 0 2 1 2 ，即 a=2，所以正实数 x，y满足 2，
x y
1 2
2
x y
x 2y 1 x 1 2 1 2 x 2 y 1
2 x 2 y 9 2x 2y
故 2y 5 5 2
，当且仅当 ，即2 x y 2 y x 2 y x 2
y x
x 0, y 0
答案第 3 页 共 10 页
高三 数学
x
3
2
时，等号成立，故 x 2y
9
的最小值为 .
y 3 2
2
20
13. 【解析】因为 an 1 2an 是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列，所以 a n11 n 1 2an 2 ，
a 2a 1 a a 1 a 2 an 1
所以 n 1 nn 1 n 1 ，即
n 1 n 1n 1 n ，又 1 1，所以 2n 是首项为 1，公差为 的等差数列.2 2 2 2 2 2 2 2 2
an 1 (n 1) 1 n 1得 n ，所以 an (n 1） 2
n 1
，
2 2 2
S 2 20 3 21 4 22 (n 1) 2n 1 2S 2 21 3 22 n 2n 1 (n 1) 2n所以 n ，则 n ，
1 n 1 n
两个等式作差可得 Sn 2 2 2 (n 1) 2
2 1 2n 1
2 (n 1) 2 n n 2 n S n 2n S10 10 2
10 20
，故 n .则 9 .1 2 a10 11 2 11
1
14. 【解析】根据题意建立如图所示的空间直角坐标系， AB 2, AA1 6 ，则D 0,0,0 ,B 2, 2,0 ,8
由CE EC1 ，则E 0,2,3 ，设P x, y, z ，由题意可知，0 x 2,0 y 2,0 z 6，
则DE 0,2,3 ，BP x 2, y 2, z ，由DE BP，
则DE BP 2 y 2 3z 0 ，即
2y 3z 4 0 4 4，故 P的轨迹为矩形，令 x 0, y 0, 得 z ，令 x 2, y 0, 得 z ，
3 3
4
即矩形顶点为 B,C,D 0,0, , A 2,0,
4
，如图所示，易得所形成的图形将四棱柱分
3 3
成一个三棱柱 ABA DCD 和一个四棱柱 A A1B1B D D1C1C ，三棱柱 ABA DCD 的体积为
8
V
V 1 4 2 2 8 ABCD A BC D V 2 2 6 24 1 3
1
1 ，正四棱柱 1 1 1 1 的体积为 ，则 .2 3 3 V V1 24 8 8
3
四、解答题
f x 1 ex 2 1 ex 2x
2 x 1 (x 1)(2x 1)
15. x x解：（1）由题意知 e e ， （2 分）
x2 x x2 x2
则 f 1 2e ， f 1 3e， （4 分）
所以曲线 y f x 在点 1,f 1 处的切线方程为 y 3e 2e x 1 ，即 2ex y e 0 . （6 分）
(x 1)(2x 1) x
（2） f x 的定义域为（ ∞，0)∪（0， ∞)，由（1）知 f x 2 e ，x
f x 0 1令 ，得 x 1或 x ；
2
令 f x 0，得 1 1 x 0 或0 x ， （8 分）
2
答案第 4 页 共 10 页
高三 数学
所以 f x 的单调递增区间为 , 1 1 1 和 , ，单调递减区间为 ( 1，0)和 0， . （10 分）
2 2
f x f 1 1易知 的极大值为 ，极小值为 f 1 4 e . （13 分）e 2
16.解：（1）由 b+c=5,得b2 c2 2bc 25, （1 分）
3 3
所以 （25 a2 2bc) = （b2 c2 a2)， （2 分）
4 4
1
由余弦定理b2 c2 a2 2bccos A及S△ABC bcsin A，2
3
得 2bccos A 1 bcsin A, （5 分）
4 2
因为bc 0,所以tan A 3. （7 分）
π
（2）由（1）得 tan A 3，又因为 A为锐角，所以 A .
3
B 2π 2π所以 C ，则C B.
3 3
因为△ABC为锐角三角形，所以02π B π π π ,即 B . （9 分）
3 2 6 2
b c a a
由正弦定理得 sinB sinC sin A 3 ，
2
b c a a
k,
令 sinB sinC sin A 3
2
则b k sinB, c k sinC,a 3 k，
2
因为 b+c=5,所以 k(sinB sinC) 5.
π
sinB sinC sinB sin(2π B) 3 3 sinB cosB = 3sin(B ),
3 2 2 6
π π 2π
因为 B , π 3所以 sin(B ) ( ,1 . （11 分）3 6 3 6 2
5 3
a 5 1所以 2 ， （13 分）
sinB sinC 2 sin(B π)
6
a 5 5 3
故 , . （15 分）
2 3
30 5
17.解:（1）依题意得，接受教学方法一且平时成绩是优的学生的概率为 ，
42 7
5
所以 X B 2, ， （2 分）
7
答案第 5 页 共 10 页
高三 数学
2
2 4 P X 1 C1 2 5 20
2
则 P X 0 ， ， P X 2
5 25 ， （3 分）
7 49
2 7 7 49 7 49
所以 X 的分布列为
X 0 1 2
4 20 25
P
49 49 49
（4 分）
则 E X 2 5 10 . （5 分）
7 7
（2）由题意知，2 2列联表如下：
接受教学 平时成绩
合计
方法
良 优
方法一 12 30 42
方法二 24 18 42
合计 36 48 84
零假设H0：平时成绩与教学方法无关,. （7 分）
2 84 12 18 30 24
2
经计算得 7 6.635 x ， （9 分）
42 42 36 48 0.01
所以依据 0.01的独立性检验，我们推断H0 不成立，
即可以认为平时成绩与教学方法有关，此推断犯错误的概率不超过 0.01. （10 分）
12
（3）抽取的 14 人中，接受方法一且平时成绩为良的有7 2（人），接受方法二且平时成绩为良的有
42
7 24 4（人）， （11 分）
42
记事件 A表示“第一次抽到的学生平时成绩为良”，
事件 B表示“第二次抽到的学生接受方法二且平时成绩为良”，
C1C1 C1C1 10
则 P A 2 4 3 P AB 2 4 4 3， 2 ， （13 分）14 7 A14 91
10
P AB
P B | A 91 10所以
P A 3
. （15 分）
39
7
18.（1）证明：取 AD的中点为 G，连接 EG，GF，因为 E，F分别为棱 PD，BC的中
点，则 EG∥PA，GF∥AB .因为 EG 平面 PAB，FG 平面 PAB，PA 平面 PAB，
AB 平面 PAB，所以 EG∥平面 PAB， FG ∥平面 PAB， （3 分）
因为EG，FG 平面EFG，EG FG G，所以平面 EFG∥平面 PAB，又因为 EF 平
面 EFG，所以EF∥平面 PAB. （6 分）
（2）解：取 AB的中点为 O，连接 PO，CO，因为 PA PB，所以 PO AB，
又因为 PO 平面 PAB，平面PAB 平面 ABCD，平面PAB 平面 ABCD AB，
答案第 6 页 共 10 页
高三 数学
所以 PO 平面 ABCD，即 PO为四棱锥 P-ABCD的高，得四棱锥体积为
V 1PO AB CD AD 1PO 4 2 4 16，得 PO=4. （8 分）
3 2 3 2
又因为 AB∥CD， AB 2CD 4，O为 AB中点，所以CD∥AO，CD AO，
又因为 AB AD，所以四边形 OADC为矩形，所以OB OC .
故以O为坐标原点，OB为 x轴正方向，OC为 y轴正方向，OP为 z轴正方向建立空间
直角坐标系，如图，
则 A 2,0,0 ， B(2,0,0),C 0,4,0 ，D 2,4,0 ，P 0,0,4 ，
所以 PD 2,4, 4 ，
又因为 M在棱 PD上运动，所以存在 (0,1) ，使 PM PD，所以 PM 2 , 4 , 4 ，（9 分）
又因为 P 0,0,4 ，所以M 2 , 4 , 4 4 ，所以CM 2 , 4 4, 4 4 ，又因为CB 2, 4,0 ，
m
CB 0 2x 4y 0
设平面 CMB的法向量m x, y, z ，则 ，则 ，
m CM 0 2 x 4 4 y 4 4 z 0
取 x 2，则 y 1，得 z 1 ，所以m 2,1,
1
. （12 分）1 1
因为 AP 2,0,4 ， AD 0,4,0 ，
设平面 PAD n a,b,c n AD 0 4b 0的法向量 ，则 ，得 ，
n
AP 0 2a 4c 0
所以 b 0 ，取 a 2，则 c 1，所以 n 2,0, 1 . （14 分）
设平面 CMB与平面 PAD所成角为 ，则 cos θ=
4 1 m n
cos m,n 1 2 5
m n 1 2 15
，
5 5 （15 分）
1
故124 2 176 57 0 1 57，所以 或 ，
2 62
1 57 PM 1 PM 57
又因为 0,1 ，所以 或 均符合题意，即 或 . （17 分）
2 62 PD 2 PD 62
19.解（1）由抛物线 E : y2 2 c 2 4x 的焦点为F(1,0)，可得c 1，由椭圆 C的离心率为 ，得 ，
2 a 2
2 x2
得 a 2 ，则 a 2，则 b2=a2-c2=1 2，所以椭圆 C的方程为 y 1. （2 分）
2
若直线 l的斜率为 1，设直线 l : x y 1，P x1, y1 ，Q x2 , y2 ，
x2
y2 1 2
联立 2 ，得3y 2y 1 0，则 y
1 4
1或 ，得 x 0或 ，
x y 1
3 3
则 | PQ | 1 ( 1)2 (4 0)2 4 2 ， （4 分）
3 3 3
答案第 7 页 共 10 页
高三 数学
1
由点（0,0）到直线 l : x y 1的距离为 d ，
2
S 1 1 4 2 2故△POQ的面积为 . （5 分）
2 2 3 3
（2）（i）法一:设M x1, y1 ,N x2 , y2 ,D x3, y3 ，
因为 O，M，D，N四点共圆，设该圆的方程为 x2 y2 dx ey 0，
x2 y2 dx ey 0
联立 2 ，消去 x，得 y
4 (4d 16)y2 16ey 0 ， （7 分）
y 4x
即 y y
3 (4d 16)y 16e 0，所以 y1, y2 , y3即为关于 y的方程 y
3 (4d 16) y 16e 0 的 3 个根，
y3则 (4d 16) y 16e y y1 y y2 y y3 ， （9分）
因为 y y1 y y2 y y y33 y1 y2 y3 y2 y1y2 y2 y3 y1y3 y y1y2 y3 ，
由 y2的系数对应相等得， y1 y2 y3 0，所以 MND的重心的纵坐标为 0. （11 分）
4 4 4 4
法二:设M x1, y1 ,N x2 , y2 ,D x3, y3 ，则 kOM ,kON ,kMD ,k y1 y2 y1 y
ND
3 y2 y
，
3
因为 O，M，D，N四点共圆，所以当 O，D在直线 MN 异侧时， MON MDN ，
k k 4 y y
即 tan MON tan MDN 0 tan MON OM ON 2 1， ,
1 kOM kON y1 y2 16
k k 4 y ytan MDN ND MD 1 2 ,
1 k k y 化简得 y y y 16 y1 y2 y3 0，ND MD 1 3 2 3
所以 MND的重心的纵坐标为 0. （11 分）
（ii）记 OMN , MND 的面积分别为 S1,S2，四边形 OMDN的面积为 S，由已知得直线 MN的斜率不为 0，
x my 1
设直线MN : x my 1，联立 ，消去 x，得 y22 4my 4 0y 4x ，所以
y
1
y2 4m, y1 y2 4，
1
所以 S1 OF y
1
1 y2 16m
2 16 2 m2 1， （13 分）
2 2
1 2 1 2
由（i）得， y3 y1 y2 4m，所以 x3 y3 ( 4m) 4m2 D 4m2，即 , 4m ，4 4
8m2 1
因为 MN x1 x2 2 m y1 y2 4 4m2 4，点D到直线 MN的距离 d ，
m2 1
答案第 8 页 共 10 页
高三 数学
2
S 1 1
8m 1
所以 MN d 4m22 4 2 m2 1 8m2 1 ，2 2 m2 1
所以 S S1 S 2 m
2
2 1 2 m
2 1 8m2 1 2 m2 1 1 8m2 1 ，
M 在第一象限，即 y1 0, y2 0,根据对称性，取 y3 4m 0， （15 分）
依次连接 O，M，D，N构成四边形 OMDN，所以 y3 y1 y2 y2 ，即 y1 2y2 ，
又因为 y1 y2 4,
4
2y
y 2，即 y
2
2 2 ，即 2 y2 0，
2
4m y 4所以 1 y 2 2
1
2 y2 2 2 2 2y ，即m ，即m ，2 4 8
所以 S 2 m2 1 1 8m2 1 16m2 m2 1 ， （16 分）
2 3 2设 t m 1，则 t ，
4
f (t) 16t t2 1 =16t3令 16t，则 f (t) 48t2 16，
3 2 3 2 3 2 3 2
因为 t ，所以 f (t) 48t2 16 0，所以 f (t) 在区间 , 上单调递增，所以 f (t) f4 4
，
4 2
3 2
所以 S的取值范围为 , 2
. （17 分）
答案第 9 页 共 10 页
高三 数学
高三数学细目表
题号 题型 分值 考查的主要知识内容与知识点 难度
1 选择题 5 集合的交集运算 易
2 选择题 5 分式不等式 易
3 选择题 5 平面向量的模 易
4 选择题 5 等比数列的通项公式 易
5 选择题 5 二项式定理 易
6 选择题 5 同角三角函数的基本关系 中
7 选择题 5 动点轨迹中的弦长 中
8 选择题 5 抽象函数及其导函数的性质 难
9 选择题 6 复数的运算 易
10 选择题 6 余弦型三角函数的性质 中
11 选择题 6 抛物线，圆与直线的综合 难
12 填空题 5 正态分布，基本不等式 易
13 填空题 5 等比数列与等差数列的综合 中
14 填空题 5 以正四棱柱为载体的体积的求解 难
15 解答题 13 导数的几何意义，函数的单调区间和极值 易
16 解答题 15 解三角形 易
17 解答题 15 独立性检验，分布列和数学期望 中
18 解答题 17 线面平行的证明，二面角 中
19 解答题 17 直线与椭圆、抛物线的综合 难
答案第 10 页 共 10 页高三数学试卷
满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡
规定的位置上。
2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再涂其它答案。非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应
的区域内，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1.已知集合A=(-1,0,1,2,3),B={x|x=2√x〉,则A∩B=
A.{0,4} B.(1,2} C.(1) D.{0}
2.不等式；2+2≥1的解集是
A.{x| 1}
3. 已知向量a,b,且a=(2,2),|a-b|=4,则|b|的最大值为
A.7 B. 8 C.2√2+4 D.√10+5
4. 已知数列{a}是正项等比数列，且a =1,2a +a =a ag,则a10=
A. 64 B. 256 C. 512 D.1024
5.若(1-2x2) =a +aix2+a x +asx +ax ,则ao-a +a —a3+a =
A.0 B. 1 C. 81 D.729
6.已知曲线上一点P(zo,yo)的坐标可以表示为(asin30,acos20)(a>0),θ∈(4,2),若xoyo=
2,且xo-y。-,,则a=
A.2√2 B.√3 C.√5 D.4
7.已知F (-2,0),F (2,0),点P满足||PF I-|PF ||=2,记点P的轨迹为E.直线l:y=x-
2与轨迹E交于P,Q两点，则|PQ|=
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
8.已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，g(x)是f(x)的导函数(x∈R),且f(x)满足f(4x+1)=
f(一4x),则下列结论不正确的是
A. f(2025)=0 B. g(x)=g(一x) C. g(x+2)=g(x)D.g(2025)=0
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二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知z =a+i,z2=1+2ai,其中a∈R,则
A.存在a,使得z =z2 B.存在a,使得z +z ∈R
C.存在a,使得z1·z ∈R D.存在a,使得|z +z |=1
10.已知函数f(x)=3cos(wx+3)(w>0)在区间(()上单调递减，当w取最大值时，则
A.f(x)的最小正周期为3π B.f(4)=0
C.f(x)的图象关于x=2对称 D.f(x)的图象关于点(π,0)对称
11.已知抛物线C:y2=2x,圆M:(x+1)2+y2=1,直线l交C于点A,B,O为坐标原点，则
A. C的准线被圆M截得的弦长为√3
B.若OA·OB=3,则L不过圆M的圆心
C.若l过C的焦点且与圆M相切，则直线l方程为y=±25(x一2)
D.若l过点P(-1+2.、2)且与圆M相切，则线段AB的长度为2√2-1
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量ξ满足ξ～N(1, 2),P(ξ≤0)=0.4,P(e≥a)=0.4,正实数x,y满足+2-
a,则x+2y的最小值为___.
13.已知数列{an+1-2a)是以2为首项，2为公比的等比数列，且a =2,数列{a)的前n项和为
S.,则 1=__
14.在正四棱柱ABCD-A B C D 中，AB=2,AA =6,CE=EC ,P是正四棱柱内(含表面)的
一个动点，且DE⊥BP,则点P的轨迹将四棱柱分成的两部分中，较小部分与较大部分的体积
比为____.
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)已知函数f(x)=(2+)e'.
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)的单调区间和极值.
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16.(15分)在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b+c=5,△ABC的面积为
(25-a2-2e)
(1)求tan A;
(2)求a的取值范围.
17.(15分)某学校教研处给本校全体教师制定了两种教学方法进行课程教学，为了解两种教学方
法的教学效果，教研处人员在学校全体学生中随机抽取84人进行了问卷调查并收集了他们的
平时成绩(平时成绩分优和良两个等级).其中42人接受方法一，42人接受方法二.经统计发
现，接受方法一的人中有30人平时成绩是优，接受方法二的人中有18人平时成绩是优，
(1)以频率估计概率，现随机抽取接受方法一的学生2人，设其中平时成绩为优的人数为X,求
X的分布列和数学期望；
(2)列出2×2列联表，并依据a=0.01的独立性检验，是否可以认为学生平时成绩与教学方法
有关
(3)分别在接受教学方法一、二的学生中按平时成绩的优良比例进行分层抽样，各随机抽取7
人，再从这14人中等可能依次抽取2人，求在第一次抽到的学生平时成绩为良的情况下，第
二次抽到的学生接受方法二且平时成绩为良的概率.
附：:x2=(a+b)(c+a)(a+c)6b+d),”=a+b+c+d.
α 0.05 0.01 0.005 0.001
r. 3.841 6.635 7.879 10.828
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18.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD为直角梯形，AB//DC,AB⊥AD,AB=
AD=2CD=4,平面PAB⊥平面ABCD,PA=PB.
(1)若E,F分别为棱PD,BC的中点，求证：EF//平面PAB;
(2)若四棱锥P-ABCD的体积为16,点M在棱PD(不含端点)上运动，当PD为何值时，平面
CMB与平面PAD所成二面角的余弦值为215 P E
4 D
C
下
B
19.(17分)已知椭圆C:+=1(a>0,b>0)与抛物线E:y2=4x有公共焦点F,C的离心率为
√2,过点F且斜率存在的直线l与C交于P,Q两点，与E交于M,N两点(M在第一象限),0
为坐标原点.
(1)若直线L的斜率为1,求△POQ的面积；
(2)若△OMN的外接圆与E交于点D(D,O在直线MN的异侧).
(i)证明：△MND的重心的纵坐标为定值，并求出此定值；
(ii)求四边形OMDN的面积的取值范围.
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