第六章 特殊平行四边形 专题四 特殊平行四边形的动态图形变换问题 同步练习（含答案） 2025--2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册
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| 名称 | 第六章 特殊平行四边形 专题四 特殊平行四边形的动态图形变换问题 同步练习（含答案） 2025--2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 415.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-10 00:00:00 | ||
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文档简介
专题四 特殊平行四边形的动态图形变换问题
类型一 翻折问题
1.如图,将一个长为20cm ,宽为 16 cm的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折，沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下(如图1)，再打开，得到如图2所示的小菱形的面积为 ( )
A.20cm B.
C. D.
2.如图,菱形 OABC 的顶点 A 在 x 轴上,CD⊥AB 于点 D,将菱形沿 CD 所在直线折叠,点 B 的对应点为B′.若∠AOC=45°,点B'的横坐标为4，则点 B 的坐标为 ( )
A.
B.(8,4)
C.
D.(8,2
3.(2024·东营期末)如图，在边长为8 的正方形纸片 ABCD 中,E 是边 BC 上的一点,BE=6,连接 AE,将正方形纸片折叠，使点 D 落在线段AE 上的点G处,折痕为AF,则 DF 的长为 .
4.矩形折叠探究
在矩形纸片ABCD 中,AB=8,BC=32,点M 是边 BC 上的一点.
(1)如图1，王欢在边 CD 上取一点 N，将纸片沿直线 MN 折叠,使点 C 落在边 AD 上,记为点 P ,若 DP=4,求 CN 的长;
(2)如图2，张乐在边 AD 上取一点 N，将纸片沿直线 MN 折叠，当点 C 与点 A 重合时，求 MN 的长.
类型二 旋转问题
5.如图，以正方形ABCD 对角线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，其中 A (0，1)，OD=1,菱形 ABEF 的边 BE 在x 轴上,将菱形 ABEF 绕点 O 逆时针旋转，每次旋转45°,则第 2 024 次旋转结束时,点 F 的坐标为 ( )
A. B.
C. D.
6.[教材P27习题6.8T4 变式]如图,有两个边长为4 cm的正方形，其中一个正方形的顶点在另一个正方形的中心上，绕着中心旋转其中一个正方形，那么图中阴影部分的面积是 ( )
A.无法确定 B.
C. D.
7.如图,在矩形 ABCD 中,AC 是 对 角 线.将矩形ABCD 绕点 B 顺时针旋转 90°到矩形 GBEF 位置,H 是EG 的中点.若AB=6,BC=8,则线段 CH 的长为 .
8.在菱形 ABCD 中,∠ADC=60°,E 为平面内任意一点，连接DE，将线段 DE 绕点D 顺时针旋转 60°得到 DG,连接 EC,AG.
(1)如图1,当点 E 在菱形ABCD 内部时,判断AG 与CE 的数量关系，并写出证明；
(2)如图2,当点 B,D,G 在同一条直线上时,若AD=3,DG=2 ,求CE 的长.
9.已知,如图1,四边形 ABCD 是正方形,E,F分别在边BC,CD 上,且∠EAF=45°,我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法.
(1)在图 1 中，连接 EF，为了证明结论“EF=BE+DF”,小亮将△ADF 绕点A 顺时针旋转 90°后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；
(2)如图 2,当∠EAF 绕点 A 旋转到图 2 位置时，试探究 EF 与 DF，BE 之间有怎样的数量关系
类型三 平移问题
10.如图,在菱形 ABCD中,∠A=60°,AD=4,F 是AB 的中点.过点F 作 FE⊥AD,垂足为 E.将△AEF 沿点 A 到点 B 的方向平移,得到△A'E'F'.设 P,P'分别是 EF,E'F'的中点，当点 A'与点 B 重合时，四边形 PP'CD 的面积为 ( )
A.6 B.7 C. D.
11.如图,已知△ABC 和△DEF 是两个边长都为 8cm 的等边三角形,且点 B,E,C,F 在同一直线上，连接AE，DC.
(1)求证：四边形 AEDC 是平行四边形；
(2)若△ABC 沿着 BF 的方向匀速运动,△DEF 不动,当△ABC 运动到点 B 与点 F重合时，四边形 AEDC 是什么特殊的四边形？说明理由.
类型四 动点问题
12.如图，在菱形 ABCD 中，AB=5cm，∠ADC=120°，点E，F同时由A，C两点出发，分别沿 AB，CB方向，向点 B匀速移动(到点 B为止)，点 E的速度为 1 cm/s，点 F的速度为 2 cm/s，经过 t s△DEF 为等边三角形，则 t 的值为 ( )
A. B. C. D.
13.已知：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点 A，C的坐标分别为A(10,0)，C(0,4)，点 D是OA的中点，点 P在 BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点 P的坐标为 .
14.如图，在矩形 ABCD中，点 M是边AD的中点，点 P是边 BC上的动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足为点 E，F.
(1)当矩形 ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形 PEMF为矩形？证明你的结论；
(2)如果四边形 PEMF为矩形，那么当点P运动到什么位置时，矩形 PEMF变为正方形？证明你的猜想.
15.如图所示，在直角梯形 ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=12，BC=20，AD=16.动点 P从点B出发，沿射线 BC的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点 Q同时从点A 出发，在线段 AD上以每秒1个单位长度的速度向点 D运动，当其中一个动点到达端点时停止运动，另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为 t秒.
(1)设△DPQ的面积为S，用含 t的式子表示S；
(2)当t为何值时，四边形 PCDQ是平行四边形？
(3)当t为何值时，PQ=PD？
微专题四 特殊平行四边形的动态图形变换问题
1. B解析：由题意可得：题图1中所得矩形的长为 10 cm，宽为8cm,
∵虚线的端点为该矩形两邻边的中点，
∴AC=8cm,BD=10 cm,
∴题图2所示的菱形的面积为
故选 B.
2. A 解析:如图,令OA 与B'C 的交点为E.
∵四边形OABC 是菱形,∠AOC=45°,
∴OC=BC,BC∥OA,∠B=∠AOC=45°.
∵CD⊥AB,菱形沿 CD 所在直线折叠,点 B 的对应点为B',
即BC⊥B'C,
∴OA⊥B'C.
∵点B'的横坐标为4,∴OE=4.
∵△CEO 是等腰直角三角形，
∴OE=CE=4,
∴点B 的坐标为(
故选A.
3.4 解析:∵四边形ABCD 是边长为8的正方形纸片,BE=6,
∴AB=BC=CD=DA=8,∠B=∠D=∠C=90°,
.
由翻折可知DF=FG,AG=AD=8,∠AGF=∠D=90°,
∴EG=AE-AG=10-8=2.
∵FC=DC-DF=8-DF,
在Rt△FGE 和Rt△FCE 中,
解得DF=4.
4.解:(1)∵四边形ABCD 是矩形,
∴AB = DC =8,AD = BC = 32,∠BAD =∠ABC =∠BCD=∠CDA=90°.
设CN=x,则DN=CD-CN=8-x,
由折叠可得PN=CN=x,
在 Rt△PDN 中,
即
解得x=5,
即CN=5.
(2)当点C 与点A 重合时,
设DN=y,则AN=AD-DN=32-y,
由折叠可得
在Rt△AD'N中,
即
解得y=15,
即DN=15.
如图,过点M作MH⊥AD.
∵四边形ABCD 是矩形,MH⊥AD,
∴四边形ABMH,DCMH 是矩形,则设 HN=a.
∴AH=BM=32-15-a=17-a,HD=MC=AM=15+a.
在 Rt△ABM 中,
解得a=2.
在 Rt△HNM中,
5. B
6. D 解析:如图,∵四边形ABCD 为正方形，
∴OD=CC,∠ODA=∠OCD=45°,∠DOC=90°,
而∠POM=90°,
即∠DOF+∠COF=90°,∠DOE+∠DOF=90°,
∴∠DOE=∠COF。
在△ODE 和△OCF 中,
∴△ODE≌△OCF(ASA),
∴S△ODE=S△OCF,
故选 D.
8.解:(1)AG=CE.
证明:由题意,可得∠GDE=60°,GD=DE.
∵∠ADC=60°,∴∠ADG=∠CDE.
∵四边形ABCD 是菱形,∴AD=CD,
∴△ADG≌△CDE(SAS),∴AG=CE.
(2)如图,过点G作GH⊥AD,交AD的延长线于 H,连接BD.
∵四边形ABCD 是菱形,
∴∠GDH=∠ADB=30°.
在 Rt△DHG 中,
∴AH=AD+DH=6.
在 Rt△AHG中,
由(1)知(
9.(1)证明:由旋转可得GB=DF,AF=AG,∠BAG=∠DAF.
∵四边形ABCD 为正方形,∴∠BAD=90°.
∵∠EAF=45°,∴∠BAE+∠DAF=45°,
在△AGE 和△AFE 中,
∴△AGE≌△AFE(SAS),∴GE=EF.
∵GE=GB+BE=DF+BE,∴EF=BE+DF.
(2)解:EF=DF-BE,
理由：如图，把△ABE 绕点 A 逆时针旋转90°到△ADG,交CD于点G,
同(1)可证得△AEF≌△AGF(SAS),
∴EF=GF 且DG=BE,
∴EF=DF-DG=DF-BE.
10. B 解析:如图,连接BD,DF,DF 交PP'于H,
由题意PP'=AA'=AB=CD, PP'∥AA'∥CD,
∴四边形 PP'CD 是平行四边形。
∵四边形ABCD 是菱形,∠A=60,
∴△ABD 是等边三角形.
∵AF=FB=2,
∴ DF ⊥ AB, DF ⊥ PP', DF = √AD -AF =
∴∠AFE=∠FPH=30°,
∵P 是EF的中点,
平行四边形PP'CD 的面积为
故选B.
11.(1)证明:∵△ABC 与△DEF 是边长为8cm 的等边三角形,
∴DE=AC,∠ACE=∠DEC=60°.
∵∠ACE=∠DEC,∴DE∥AC,
∴四边形AEDC 是平行四边形.
(2)解：四边形AEDC 是矩形，理由如下：
∵点 B 与点 F 重合,此时A,D,F 在同一直线上,
∴EF=CF=8,AF=DF=8.∴AD=CE=16.
由(1)可知四边形AEDC 是平行四边形，
∴四边形AEDC 是矩形.
12. D 解析:连接BD,
∵四边形ABCD 是菱形,
∴△ABD 是等边三角形,
∴AD=BD.
又∵△DEF 是等边三角形，
∴∠EDF=∠DEF=60°,DE=DF.
又∵∠ADB=60°,
∴∠ADE=∠BDF.
在△ADE 和△BDF 中,
∴△ADE≌△BDF(SAS),
∴AE=BF.
∵AE=t,CF=2t,
∴BF=BC-CF=5-2t,
故选 D.
13.(3,4)或(2,4)或(8,4) 解析:∵D是OA 的中点。
(1)当OP=OD=5时,
∵CO=4,
∴P(3,4).
(2)如图,当OD=PD=5时,
过点 D 作 DN⊥BC 于点 N,则四边形
OCND 为矩形,
DN=OC=4,DO=NC=5.
从而CP=CN-PN=5-3=2或(CP'=CN+P'N=5+3=8,
∴P(2,4)或(8,4).
(3)当OP=PD 时,
此时腰长为 故这种情况不合题意，舍去.
故点 P 的坐标为(3.4)或(2,4)或(8,4).
14.解:(1)当AD=2AB 时,四边形 PEMF 为矩形.
证明:∵四边形ABCD 为矩形,∴∠A=∠D=90°.
∵点M 是边AD 的中点,,
∵AD=2AB=2CD,∴AB=AM=DM=CD,
∴∠ABM=∠AMB=45°,∠DCM=∠DMC=45°,
∵PE⊥MC,PF⊥BM,∴∠MEP=∠PFM=90°,
∴四边形 PEMF 为矩形,
即当AD=2AB 时,四边形 PEMF 为矩形.
(2)当 P 是BC 的中点时,矩形 PEMF 变为正方形.
证明:∵四边形 PEMF 为矩形,
∴∠PFM=∠PFB=∠PEC=90°.
由(1)知∠FBP=∠ECP=45°.
在△BFP 和△CEP 中,
∴△BFP≌△CEP(AAS),∴PF=PE.
又∵四边形 PEMF 是矩形,∴矩形 PEMF 是正方形,
即当 P 是BC 的中点时,矩形 PEMF 为正方形.
15.解:(1)由题意,得AQ=t,则DQ=16-t,
∵AD∥BC,AB=12,
∴△DPQ的面积为
(2)∵AD∥BC,
∴当DQ=PC 时,四边形 PCDQ 是平行四边形.
∵BP=2r,∴PC=20-2t,∴16-t=20-2t,解得t=4,
∴当t=4时,四边形 PCDQ 是平行四边形.
(3)如图,过点 P 作PH⊥AD 于H,则四边形ABPH 为矩形，
∴AH=BP=2t.
当PQ=PD时,∵PH⊥AD,
解得
∴当 时,PQ=PD.
类型一 翻折问题
1.如图,将一个长为20cm ,宽为 16 cm的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折，沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下(如图1)，再打开，得到如图2所示的小菱形的面积为 ( )
A.20cm B.
C. D.
2.如图,菱形 OABC 的顶点 A 在 x 轴上,CD⊥AB 于点 D,将菱形沿 CD 所在直线折叠,点 B 的对应点为B′.若∠AOC=45°,点B'的横坐标为4，则点 B 的坐标为 ( )
A.
B.(8,4)
C.
D.(8,2
3.(2024·东营期末)如图，在边长为8 的正方形纸片 ABCD 中,E 是边 BC 上的一点,BE=6,连接 AE,将正方形纸片折叠，使点 D 落在线段AE 上的点G处,折痕为AF,则 DF 的长为 .
4.矩形折叠探究
在矩形纸片ABCD 中,AB=8,BC=32,点M 是边 BC 上的一点.
(1)如图1，王欢在边 CD 上取一点 N，将纸片沿直线 MN 折叠,使点 C 落在边 AD 上,记为点 P ,若 DP=4,求 CN 的长;
(2)如图2，张乐在边 AD 上取一点 N，将纸片沿直线 MN 折叠，当点 C 与点 A 重合时，求 MN 的长.
类型二 旋转问题
5.如图，以正方形ABCD 对角线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，其中 A (0，1)，OD=1,菱形 ABEF 的边 BE 在x 轴上,将菱形 ABEF 绕点 O 逆时针旋转，每次旋转45°,则第 2 024 次旋转结束时,点 F 的坐标为 ( )
A. B.
C. D.
6.[教材P27习题6.8T4 变式]如图,有两个边长为4 cm的正方形，其中一个正方形的顶点在另一个正方形的中心上，绕着中心旋转其中一个正方形，那么图中阴影部分的面积是 ( )
A.无法确定 B.
C. D.
7.如图,在矩形 ABCD 中,AC 是 对 角 线.将矩形ABCD 绕点 B 顺时针旋转 90°到矩形 GBEF 位置,H 是EG 的中点.若AB=6,BC=8,则线段 CH 的长为 .
8.在菱形 ABCD 中,∠ADC=60°,E 为平面内任意一点，连接DE，将线段 DE 绕点D 顺时针旋转 60°得到 DG,连接 EC,AG.
(1)如图1,当点 E 在菱形ABCD 内部时,判断AG 与CE 的数量关系，并写出证明；
(2)如图2,当点 B,D,G 在同一条直线上时,若AD=3,DG=2 ,求CE 的长.
9.已知,如图1,四边形 ABCD 是正方形,E,F分别在边BC,CD 上,且∠EAF=45°,我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法.
(1)在图 1 中，连接 EF，为了证明结论“EF=BE+DF”,小亮将△ADF 绕点A 顺时针旋转 90°后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；
(2)如图 2,当∠EAF 绕点 A 旋转到图 2 位置时，试探究 EF 与 DF，BE 之间有怎样的数量关系
类型三 平移问题
10.如图,在菱形 ABCD中,∠A=60°,AD=4,F 是AB 的中点.过点F 作 FE⊥AD,垂足为 E.将△AEF 沿点 A 到点 B 的方向平移,得到△A'E'F'.设 P,P'分别是 EF,E'F'的中点，当点 A'与点 B 重合时，四边形 PP'CD 的面积为 ( )
A.6 B.7 C. D.
11.如图,已知△ABC 和△DEF 是两个边长都为 8cm 的等边三角形,且点 B,E,C,F 在同一直线上，连接AE，DC.
(1)求证：四边形 AEDC 是平行四边形；
(2)若△ABC 沿着 BF 的方向匀速运动,△DEF 不动,当△ABC 运动到点 B 与点 F重合时，四边形 AEDC 是什么特殊的四边形？说明理由.
类型四 动点问题
12.如图，在菱形 ABCD 中，AB=5cm，∠ADC=120°，点E，F同时由A，C两点出发，分别沿 AB，CB方向，向点 B匀速移动(到点 B为止)，点 E的速度为 1 cm/s，点 F的速度为 2 cm/s，经过 t s△DEF 为等边三角形，则 t 的值为 ( )
A. B. C. D.
13.已知：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点 A，C的坐标分别为A(10,0)，C(0,4)，点 D是OA的中点，点 P在 BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点 P的坐标为 .
14.如图，在矩形 ABCD中，点 M是边AD的中点，点 P是边 BC上的动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足为点 E，F.
(1)当矩形 ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形 PEMF为矩形？证明你的结论；
(2)如果四边形 PEMF为矩形，那么当点P运动到什么位置时，矩形 PEMF变为正方形？证明你的猜想.
15.如图所示，在直角梯形 ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=12，BC=20，AD=16.动点 P从点B出发，沿射线 BC的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点 Q同时从点A 出发，在线段 AD上以每秒1个单位长度的速度向点 D运动，当其中一个动点到达端点时停止运动，另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为 t秒.
(1)设△DPQ的面积为S，用含 t的式子表示S；
(2)当t为何值时，四边形 PCDQ是平行四边形？
(3)当t为何值时，PQ=PD？
微专题四 特殊平行四边形的动态图形变换问题
1. B解析：由题意可得：题图1中所得矩形的长为 10 cm，宽为8cm,
∵虚线的端点为该矩形两邻边的中点，
∴AC=8cm,BD=10 cm,
∴题图2所示的菱形的面积为
故选 B.
2. A 解析:如图,令OA 与B'C 的交点为E.
∵四边形OABC 是菱形,∠AOC=45°,
∴OC=BC,BC∥OA,∠B=∠AOC=45°.
∵CD⊥AB,菱形沿 CD 所在直线折叠,点 B 的对应点为B',
即BC⊥B'C,
∴OA⊥B'C.
∵点B'的横坐标为4,∴OE=4.
∵△CEO 是等腰直角三角形，
∴OE=CE=4,
∴点B 的坐标为(
故选A.
3.4 解析:∵四边形ABCD 是边长为8的正方形纸片,BE=6,
∴AB=BC=CD=DA=8,∠B=∠D=∠C=90°,
.
由翻折可知DF=FG,AG=AD=8,∠AGF=∠D=90°,
∴EG=AE-AG=10-8=2.
∵FC=DC-DF=8-DF,
在Rt△FGE 和Rt△FCE 中,
解得DF=4.
4.解:(1)∵四边形ABCD 是矩形,
∴AB = DC =8,AD = BC = 32,∠BAD =∠ABC =∠BCD=∠CDA=90°.
设CN=x,则DN=CD-CN=8-x,
由折叠可得PN=CN=x,
在 Rt△PDN 中,
即
解得x=5,
即CN=5.
(2)当点C 与点A 重合时,
设DN=y,则AN=AD-DN=32-y,
由折叠可得
在Rt△AD'N中,
即
解得y=15,
即DN=15.
如图,过点M作MH⊥AD.
∵四边形ABCD 是矩形,MH⊥AD,
∴四边形ABMH,DCMH 是矩形,则设 HN=a.
∴AH=BM=32-15-a=17-a,HD=MC=AM=15+a.
在 Rt△ABM 中,
解得a=2.
在 Rt△HNM中,
5. B
6. D 解析:如图,∵四边形ABCD 为正方形，
∴OD=CC,∠ODA=∠OCD=45°,∠DOC=90°,
而∠POM=90°,
即∠DOF+∠COF=90°,∠DOE+∠DOF=90°,
∴∠DOE=∠COF。
在△ODE 和△OCF 中,
∴△ODE≌△OCF(ASA),
∴S△ODE=S△OCF,
故选 D.
8.解:(1)AG=CE.
证明:由题意,可得∠GDE=60°,GD=DE.
∵∠ADC=60°,∴∠ADG=∠CDE.
∵四边形ABCD 是菱形,∴AD=CD,
∴△ADG≌△CDE(SAS),∴AG=CE.
(2)如图,过点G作GH⊥AD,交AD的延长线于 H,连接BD.
∵四边形ABCD 是菱形,
∴∠GDH=∠ADB=30°.
在 Rt△DHG 中,
∴AH=AD+DH=6.
在 Rt△AHG中,
由(1)知(
9.(1)证明:由旋转可得GB=DF,AF=AG,∠BAG=∠DAF.
∵四边形ABCD 为正方形,∴∠BAD=90°.
∵∠EAF=45°,∴∠BAE+∠DAF=45°,
在△AGE 和△AFE 中,
∴△AGE≌△AFE(SAS),∴GE=EF.
∵GE=GB+BE=DF+BE,∴EF=BE+DF.
(2)解:EF=DF-BE,
理由：如图，把△ABE 绕点 A 逆时针旋转90°到△ADG,交CD于点G,
同(1)可证得△AEF≌△AGF(SAS),
∴EF=GF 且DG=BE,
∴EF=DF-DG=DF-BE.
10. B 解析:如图,连接BD,DF,DF 交PP'于H,
由题意PP'=AA'=AB=CD, PP'∥AA'∥CD,
∴四边形 PP'CD 是平行四边形。
∵四边形ABCD 是菱形,∠A=60,
∴△ABD 是等边三角形.
∵AF=FB=2,
∴ DF ⊥ AB, DF ⊥ PP', DF = √AD -AF =
∴∠AFE=∠FPH=30°,
∵P 是EF的中点,
平行四边形PP'CD 的面积为
故选B.
11.(1)证明:∵△ABC 与△DEF 是边长为8cm 的等边三角形,
∴DE=AC,∠ACE=∠DEC=60°.
∵∠ACE=∠DEC,∴DE∥AC,
∴四边形AEDC 是平行四边形.
(2)解：四边形AEDC 是矩形，理由如下：
∵点 B 与点 F 重合,此时A,D,F 在同一直线上,
∴EF=CF=8,AF=DF=8.∴AD=CE=16.
由(1)可知四边形AEDC 是平行四边形，
∴四边形AEDC 是矩形.
12. D 解析:连接BD,
∵四边形ABCD 是菱形,
∴△ABD 是等边三角形,
∴AD=BD.
又∵△DEF 是等边三角形，
∴∠EDF=∠DEF=60°,DE=DF.
又∵∠ADB=60°,
∴∠ADE=∠BDF.
在△ADE 和△BDF 中,
∴△ADE≌△BDF(SAS),
∴AE=BF.
∵AE=t,CF=2t,
∴BF=BC-CF=5-2t,
故选 D.
13.(3,4)或(2,4)或(8,4) 解析:∵D是OA 的中点。
(1)当OP=OD=5时,
∵CO=4,
∴P(3,4).
(2)如图,当OD=PD=5时,
过点 D 作 DN⊥BC 于点 N,则四边形
OCND 为矩形,
DN=OC=4,DO=NC=5.
从而CP=CN-PN=5-3=2或(CP'=CN+P'N=5+3=8,
∴P(2,4)或(8,4).
(3)当OP=PD 时,
此时腰长为 故这种情况不合题意，舍去.
故点 P 的坐标为(3.4)或(2,4)或(8,4).
14.解:(1)当AD=2AB 时,四边形 PEMF 为矩形.
证明:∵四边形ABCD 为矩形,∴∠A=∠D=90°.
∵点M 是边AD 的中点,,
∵AD=2AB=2CD,∴AB=AM=DM=CD,
∴∠ABM=∠AMB=45°,∠DCM=∠DMC=45°,
∵PE⊥MC,PF⊥BM,∴∠MEP=∠PFM=90°,
∴四边形 PEMF 为矩形,
即当AD=2AB 时,四边形 PEMF 为矩形.
(2)当 P 是BC 的中点时,矩形 PEMF 变为正方形.
证明:∵四边形 PEMF 为矩形,
∴∠PFM=∠PFB=∠PEC=90°.
由(1)知∠FBP=∠ECP=45°.
在△BFP 和△CEP 中,
∴△BFP≌△CEP(AAS),∴PF=PE.
又∵四边形 PEMF 是矩形,∴矩形 PEMF 是正方形,
即当 P 是BC 的中点时,矩形 PEMF 为正方形.
15.解:(1)由题意,得AQ=t,则DQ=16-t,
∵AD∥BC,AB=12,
∴△DPQ的面积为
(2)∵AD∥BC,
∴当DQ=PC 时,四边形 PCDQ 是平行四边形.
∵BP=2r,∴PC=20-2t,∴16-t=20-2t,解得t=4,
∴当t=4时,四边形 PCDQ 是平行四边形.
(3)如图,过点 P 作PH⊥AD 于H,则四边形ABPH 为矩形，
∴AH=BP=2t.
当PQ=PD时,∵PH⊥AD,
解得
∴当 时,PQ=PD.