6.3.2 正方形的判定 同步练习 （含答案）2025--2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册
文档属性
| 名称 | 6.3.2 正方形的判定 同步练习 （含答案）2025--2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 332.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-10 00:00:00 | ||
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文档简介
6.3.2正方形的判定
基础夯实
知识点一 正方形的判定
1.(2024·淄博高青县期中)四边形 ABCD 的对角线AC 和 BD 相交于点O，设有下列条件:①AC=BD;②AC⊥BD;③AC 与 BD互相平分;④矩形 ABCD;⑤菱形 ABCD;⑥正方形 ABCD，则下列推理成立的是( )
A.①④ ⑥ B.②④ ⑥
C.①② ⑥ D.①③ ⑤
2.把一张长方形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，其理由是 .
3.(2024·菏泽成武县期中)在四边形 ABCD中,AC=BD,AC⊥BD,E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,DA 的中点,则四边形 EFGH的形状是 .
4.如图,在矩形 ABCD 中,点 E,F 分别在边AB,BC 上,DE=AF,DE⊥AF 于点 G.
(1)求证:△ABF≌△DAE;
(2)求证:四边形 ABCD 是正方形.
5.[教材P28复习题 T10变式]如图,□ABCD的对角线AC,BD 交于点O,分别以点 B,C为圆心， AC, BD 长为半径画弧，两弧交于点 P,连接BP,CP.
(1)试判断四边形 BPCO 的形状，并说明理由；
(2)请说明当 ABCD 的对角线满足什么条件时，四边形 BPCO 是正方形
知识点二 正方形的性质与判定的综合运用
6.若四边形 ABCD 是 ,则四边形ABCD 一定是 .这两个空依次可以填 ( )
A.平行四边形，矩形 B.矩形，菱形
C.菱形，正方形 D.正方形，平行四边形
7.[教材 P28 复习题 T12 变式]如图,在等腰 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=4,点 D 为 AB 的中点,DE⊥BC,DF⊥AC,则四边形DECF 的周长为 ( )
A.6 B.8 C.10 D.12
8.七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形(其中的一个平行四边形是正方形)组成.用七巧板可以拼出丰富多彩的图形，图中的正方形ABCD 就是由七巧板拼成的，那么正方形 EFGH 的面积与正方形ABCD 的面积的比值为 .
9.如图,四边形ABCD 是菱形,DE∥AC,CE∥BD.
(1)求证:四边形OCED 是矩形;
(2)若∠ABC=60°,AB=2,求矩形 OCED的周长；
(3)当∠ABC= 时,四边形OCED是正方形.
能力提升
10.如图,AD 是 的角平分线,DE,DF 分别是 和 的高，得到下列四个结论:( ③当 时,四边形 AEDF 是正方形;(④AE+DF=AF+DE.其中正确的是 ( )
A.②③
B.②④
C.①③④
D.②③④
11.如图，用四块同样大小的正方形纸片，围出一个菱形 ABCD，一个小孩顺次在这四块纸片上轮流走动，每一步都踩在一块纸片的中心，则这个小孩走的路线所围成的图形是 ( )
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.正方形
12.某同学的卧室地面形状是一个如图所示的四边形,现在量得 AB=BC,∠B=∠D=90°,若点 B 到CD 的距离为4 米,则该同学的卧室地面的面积为 平方米.
13.如图,在正方形 ABCD 中,点 E 在 AD 的延长线上，P是对角线 BD 上的一点，且点P 位于AE 的垂直平分线上,PE 交CD 于点 F，猜测 PC 和 PE 的数量及位置关系，并给出证明.
14. 如图,正方形ABCD 中,动点 E 在 AC 上, AC,垂足为 A,AF=AE.
(1)求证:BF=DE;
(2)当点 E 运动到AC 的中点时(其他条件都保持不变)，问：四边形 AFBE 是什么特殊四边形 说明理由.
素养培优
15.如图1,点 E,F,M,N 分别是正方形纸片ABCD 四条边上的点，且.AE=BF=CM=DN.
(1)求证:四边形 EFMN 是正方形;
(2)把图1中的四个直角三角形剪下来，拼成图2 所示的“赵爽弦图”(由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形).我们知道，勾股定理的证明，人们已经找到了 400 多种方法，请结合图2，利用所学知识证明勾股定理，写出推导过程；
(3)若正方形纸片 ABCD 的边长为 4, 求图2 中中间小正方形的面积.
1. B解析：A.对角线相等的矩形不能得到正方形，故错误；B.对角线垂直的矩形是正方形，正确；C.对角线相等且垂直的四边形不一定是正方形，故错误；D.对角线相等且平分的四边形是矩形，但不能得到菱形，故错误.故选B.
2.对折后，三个角是直角且一组邻边相等
3.正方形 解析：如图所示，在△ABC 中，E,F 分别是AB,BC 的中点,
∴EF 是△ABC的中位线,
同理
∵AC=BD,
∴EF=FG=GH=HE,
∴四边形 EFGH 是菱形.
设AC与BD 交于点O,AC与EH 交于点M.在△ABD 中,E,H 分别是AB,AD的中点,
∴EH∥BD,同理GH∥AC.
∵AC⊥BD,∴∠BOC=90°.
∵EH∥BD,∴∠EMC=∠BOC=90°.
∵HG∥AC,∴∠EHG=∠EMC=90°,
∴四边形 EFGH 是正方形.
4.证明:(1)∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠DAB=∠B=90°.
∵DE⊥AF,∴∠DAB=∠AGD=90°,
∴∠BAF+∠DAF=90°,∠ADE+∠DAF=90°.
∴∠BAF=∠ADE.
在△ABF 和△DAE 中, ∴△ABF≌△DAE(AAS).
(2)∵△ABF≌△DAE,∴AB=AD.
又∵四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 是正方形.
5.解:(1)四边形 BPCO 为平行四边形.
理由：∵四边形ABCD 为平行四边形，
∵以点B，C为圆心， AC, BD 长为半径画弧，两弧交于点 P,
∴OB=CP,BP=OC,
∴四边形 BPCO 为平行四边形.
(2)当AC⊥BD,AC=BD 时,四边形BPCO为正方形.
∵AC⊥BD,∴∠BOC=90°,∴平行四边形BPCO 为矩形.
∴矩形 BPCO为正方形.
6. D
7. B 解析:如图所示,连接DC.
∵△ABC 为等腰直角三角形，
∴AC=BC=4,∠A=∠B=45°.
∵点D为AB 的中点,∴CD⊥AB,
∴△ADC,△BCD 是等腰直角三角形.
∵DE⊥BC,DF⊥AC,
即 DE=EC=DF=FC,
∴四边形 DECF 是菱形.
又∵∠ACB=90°,
∴四边形DECF 为正方形，
∴正方形 DECF 的周长为4DF=8.
故选 B.
8.
9.(1)证明:∵DE∥AC,CE∥BD,即DE∥OC,CE∥OD,
∴四边形OCED 是平行四边形.
∵四边形ABCD 是菱形,
∴AC⊥BD,∴∠DOC=90°,
∴平行四边形OCED 是矩形.
(2)解:∵四边形ABCD 是菱形,∴AC⊥BD,AB=BC,
∵∠ABC=60°,∴∠ABO=30°.
∵OD=OB= ,OC=OA=1,
∴C矩形OCED=2(OD+OC)=2 +2.
(3)90°
10. D 11. D
12.16 解析:如图,过点 B 作 BE⊥CD于点 E,则 BE = 4 米,∠BEC =∠BED=90°,
过点B 作BF⊥DA,交 DA 的延长线于点F,则∠F=90°,
∴∠F=∠BEC.
∵∠F=∠D=∠BED=90°,
∴四边形 BEDF 是矩形,
∴∠EBF=90°,即∠FBA+∠ABE=90°.
∵∠CBE+∠ABE=∠ABC=90°,
∴∠FBA=∠EBC.
在△ABF 和△CBE 中,
∴△ABF≌△CBE(AAS),∴BF=BE=4米,
∴矩形 BEDF 是正方形, (平方米).
∵△ABF≌△CBE,
S正方形BEDF=16(平方米).
13.解:PC=PE,PC⊥PE.
证明：由正方形的轴对称性质，可得∠PAD=∠PCD，PA=PC.
∵点P 位于AE 的垂直平分线上,∴PA=PE,∴PC=PE.
∵PA=PE,∴∠PAD=∠E,∴∠PCD=∠E.
∵∠PFC=∠DFE,∴∠CPF=∠FDE.
∵∠ADC=90°,∴∠FDE=90°,∴∠CPF=90°,
∴PC⊥PE.
14.(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形,
∴AB=AD,∠BAD=90°.
∵AF⊥AC,
∴∠EAF=90°,
∴∠BAF=∠EAD.
在△ADE 和△ABF 中,
∴△ADE≌△ABF(SAS),
∴BF=DE.
(2)解:当点 E 运动到AC 的中点时,四边形 AFBE 是正方形.
理由:∵点 E 运动到AC的中点,AB=BC,
∵AF=AE,
∴BE=AF=AE.
又∵BE⊥AC,∴∠BEC=90°=∠FAE,
∴BE∥AF.
∵BE=AF,
∴四边形AFBE 是平行四边形.
∵∠FAE=90°,AF=AE,
∴四边形AFBE 是正方形.
15.(1)证明:如图1.
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴AB=BC=CD=DA,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AE=BF=CM=DN,
∴AN=DM=CF=BE.
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
∴△AEN≌△DNM≌△CMF≌△BFE(SAS),
∴EN=NM=MF=EF,∠ENA=∠DMN,
∴四边形 EFMN 是菱形.
∵∠ENA=∠DMN,∠DMN+∠DNM=90°,
∴∠ENA+∠DNM=90°,
∴∠ENM=90°,
∴四边形 EFMN 是正方形.
(2)解:如图2,
由(1),可知 EF=FM=MN=NE,EH =FG=MR=NQ,EQ=FH=MG=NR.
设正方形 EFMN 的边长EF=FM=MN=NE=c,EH = FG=MR = NQ=b,EQ=FH=MG=NR=a,
则小正方形QHGR 的边长QH=b-a.
∴小正方形QHGR 的面积为
∴正方形 EFMN 的面积=c ,正方形 EFMN 的面积=
(3)解:∵正方形ABCD 的边长为4,
∴a+b=4,
∴中间小正方形的面积为10-6=4.
基础夯实
知识点一 正方形的判定
1.(2024·淄博高青县期中)四边形 ABCD 的对角线AC 和 BD 相交于点O，设有下列条件:①AC=BD;②AC⊥BD;③AC 与 BD互相平分;④矩形 ABCD;⑤菱形 ABCD;⑥正方形 ABCD，则下列推理成立的是( )
A.①④ ⑥ B.②④ ⑥
C.①② ⑥ D.①③ ⑤
2.把一张长方形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，其理由是 .
3.(2024·菏泽成武县期中)在四边形 ABCD中,AC=BD,AC⊥BD,E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,DA 的中点,则四边形 EFGH的形状是 .
4.如图,在矩形 ABCD 中,点 E,F 分别在边AB,BC 上,DE=AF,DE⊥AF 于点 G.
(1)求证:△ABF≌△DAE;
(2)求证:四边形 ABCD 是正方形.
5.[教材P28复习题 T10变式]如图,□ABCD的对角线AC,BD 交于点O,分别以点 B,C为圆心， AC, BD 长为半径画弧，两弧交于点 P,连接BP,CP.
(1)试判断四边形 BPCO 的形状，并说明理由；
(2)请说明当 ABCD 的对角线满足什么条件时，四边形 BPCO 是正方形
知识点二 正方形的性质与判定的综合运用
6.若四边形 ABCD 是 ,则四边形ABCD 一定是 .这两个空依次可以填 ( )
A.平行四边形，矩形 B.矩形，菱形
C.菱形，正方形 D.正方形，平行四边形
7.[教材 P28 复习题 T12 变式]如图,在等腰 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=4,点 D 为 AB 的中点,DE⊥BC,DF⊥AC,则四边形DECF 的周长为 ( )
A.6 B.8 C.10 D.12
8.七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形(其中的一个平行四边形是正方形)组成.用七巧板可以拼出丰富多彩的图形，图中的正方形ABCD 就是由七巧板拼成的，那么正方形 EFGH 的面积与正方形ABCD 的面积的比值为 .
9.如图,四边形ABCD 是菱形,DE∥AC,CE∥BD.
(1)求证:四边形OCED 是矩形;
(2)若∠ABC=60°,AB=2,求矩形 OCED的周长；
(3)当∠ABC= 时,四边形OCED是正方形.
能力提升
10.如图,AD 是 的角平分线,DE,DF 分别是 和 的高，得到下列四个结论:( ③当 时,四边形 AEDF 是正方形;(④AE+DF=AF+DE.其中正确的是 ( )
A.②③
B.②④
C.①③④
D.②③④
11.如图，用四块同样大小的正方形纸片，围出一个菱形 ABCD，一个小孩顺次在这四块纸片上轮流走动，每一步都踩在一块纸片的中心，则这个小孩走的路线所围成的图形是 ( )
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.正方形
12.某同学的卧室地面形状是一个如图所示的四边形,现在量得 AB=BC,∠B=∠D=90°,若点 B 到CD 的距离为4 米,则该同学的卧室地面的面积为 平方米.
13.如图,在正方形 ABCD 中,点 E 在 AD 的延长线上，P是对角线 BD 上的一点，且点P 位于AE 的垂直平分线上,PE 交CD 于点 F，猜测 PC 和 PE 的数量及位置关系，并给出证明.
14. 如图,正方形ABCD 中,动点 E 在 AC 上, AC,垂足为 A,AF=AE.
(1)求证:BF=DE;
(2)当点 E 运动到AC 的中点时(其他条件都保持不变)，问：四边形 AFBE 是什么特殊四边形 说明理由.
素养培优
15.如图1,点 E,F,M,N 分别是正方形纸片ABCD 四条边上的点，且.AE=BF=CM=DN.
(1)求证:四边形 EFMN 是正方形;
(2)把图1中的四个直角三角形剪下来，拼成图2 所示的“赵爽弦图”(由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形).我们知道，勾股定理的证明，人们已经找到了 400 多种方法，请结合图2，利用所学知识证明勾股定理，写出推导过程；
(3)若正方形纸片 ABCD 的边长为 4, 求图2 中中间小正方形的面积.
1. B解析：A.对角线相等的矩形不能得到正方形，故错误；B.对角线垂直的矩形是正方形，正确；C.对角线相等且垂直的四边形不一定是正方形，故错误；D.对角线相等且平分的四边形是矩形，但不能得到菱形，故错误.故选B.
2.对折后，三个角是直角且一组邻边相等
3.正方形 解析：如图所示，在△ABC 中，E,F 分别是AB,BC 的中点,
∴EF 是△ABC的中位线,
同理
∵AC=BD,
∴EF=FG=GH=HE,
∴四边形 EFGH 是菱形.
设AC与BD 交于点O,AC与EH 交于点M.在△ABD 中,E,H 分别是AB,AD的中点,
∴EH∥BD,同理GH∥AC.
∵AC⊥BD,∴∠BOC=90°.
∵EH∥BD,∴∠EMC=∠BOC=90°.
∵HG∥AC,∴∠EHG=∠EMC=90°,
∴四边形 EFGH 是正方形.
4.证明:(1)∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠DAB=∠B=90°.
∵DE⊥AF,∴∠DAB=∠AGD=90°,
∴∠BAF+∠DAF=90°,∠ADE+∠DAF=90°.
∴∠BAF=∠ADE.
在△ABF 和△DAE 中, ∴△ABF≌△DAE(AAS).
(2)∵△ABF≌△DAE,∴AB=AD.
又∵四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 是正方形.
5.解:(1)四边形 BPCO 为平行四边形.
理由：∵四边形ABCD 为平行四边形，
∵以点B，C为圆心， AC, BD 长为半径画弧，两弧交于点 P,
∴OB=CP,BP=OC,
∴四边形 BPCO 为平行四边形.
(2)当AC⊥BD,AC=BD 时,四边形BPCO为正方形.
∵AC⊥BD,∴∠BOC=90°,∴平行四边形BPCO 为矩形.
∴矩形 BPCO为正方形.
6. D
7. B 解析:如图所示,连接DC.
∵△ABC 为等腰直角三角形，
∴AC=BC=4,∠A=∠B=45°.
∵点D为AB 的中点,∴CD⊥AB,
∴△ADC,△BCD 是等腰直角三角形.
∵DE⊥BC,DF⊥AC,
即 DE=EC=DF=FC,
∴四边形 DECF 是菱形.
又∵∠ACB=90°,
∴四边形DECF 为正方形，
∴正方形 DECF 的周长为4DF=8.
故选 B.
8.
9.(1)证明:∵DE∥AC,CE∥BD,即DE∥OC,CE∥OD,
∴四边形OCED 是平行四边形.
∵四边形ABCD 是菱形,
∴AC⊥BD,∴∠DOC=90°,
∴平行四边形OCED 是矩形.
(2)解:∵四边形ABCD 是菱形,∴AC⊥BD,AB=BC,
∵∠ABC=60°,∴∠ABO=30°.
∵OD=OB= ,OC=OA=1,
∴C矩形OCED=2(OD+OC)=2 +2.
(3)90°
10. D 11. D
12.16 解析:如图,过点 B 作 BE⊥CD于点 E,则 BE = 4 米,∠BEC =∠BED=90°,
过点B 作BF⊥DA,交 DA 的延长线于点F,则∠F=90°,
∴∠F=∠BEC.
∵∠F=∠D=∠BED=90°,
∴四边形 BEDF 是矩形,
∴∠EBF=90°,即∠FBA+∠ABE=90°.
∵∠CBE+∠ABE=∠ABC=90°,
∴∠FBA=∠EBC.
在△ABF 和△CBE 中,
∴△ABF≌△CBE(AAS),∴BF=BE=4米,
∴矩形 BEDF 是正方形, (平方米).
∵△ABF≌△CBE,
S正方形BEDF=16(平方米).
13.解:PC=PE,PC⊥PE.
证明：由正方形的轴对称性质，可得∠PAD=∠PCD，PA=PC.
∵点P 位于AE 的垂直平分线上,∴PA=PE,∴PC=PE.
∵PA=PE,∴∠PAD=∠E,∴∠PCD=∠E.
∵∠PFC=∠DFE,∴∠CPF=∠FDE.
∵∠ADC=90°,∴∠FDE=90°,∴∠CPF=90°,
∴PC⊥PE.
14.(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形,
∴AB=AD,∠BAD=90°.
∵AF⊥AC,
∴∠EAF=90°,
∴∠BAF=∠EAD.
在△ADE 和△ABF 中,
∴△ADE≌△ABF(SAS),
∴BF=DE.
(2)解:当点 E 运动到AC 的中点时,四边形 AFBE 是正方形.
理由:∵点 E 运动到AC的中点,AB=BC,
∵AF=AE,
∴BE=AF=AE.
又∵BE⊥AC,∴∠BEC=90°=∠FAE,
∴BE∥AF.
∵BE=AF,
∴四边形AFBE 是平行四边形.
∵∠FAE=90°,AF=AE,
∴四边形AFBE 是正方形.
15.(1)证明:如图1.
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴AB=BC=CD=DA,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AE=BF=CM=DN,
∴AN=DM=CF=BE.
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
∴△AEN≌△DNM≌△CMF≌△BFE(SAS),
∴EN=NM=MF=EF,∠ENA=∠DMN,
∴四边形 EFMN 是菱形.
∵∠ENA=∠DMN,∠DMN+∠DNM=90°,
∴∠ENA+∠DNM=90°,
∴∠ENM=90°,
∴四边形 EFMN 是正方形.
(2)解:如图2,
由(1),可知 EF=FM=MN=NE,EH =FG=MR=NQ,EQ=FH=MG=NR.
设正方形 EFMN 的边长EF=FM=MN=NE=c,EH = FG=MR = NQ=b,EQ=FH=MG=NR=a,
则小正方形QHGR 的边长QH=b-a.
∴小正方形QHGR 的面积为
∴正方形 EFMN 的面积=c ,正方形 EFMN 的面积=
(3)解:∵正方形ABCD 的边长为4,
∴a+b=4,
∴中间小正方形的面积为10-6=4.