第六章 特殊平行四边形 章末复习 （含答案） 2025--2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

第六章 特殊平行四边形章末复习
考点一 菱形的性质与判定
1.如图，已知点 A 的坐标为 菱形ABCD 的对角线交于坐标原点O，则点 C 的坐标是 ( )
A. B.
C. D.(-2,-2)
2.(2024·泰安泰山区模拟)如图，已知点 P 是菱形ABCD 的对角线AC 延长线上一点，过点 P 分别作AD，DC 延长线的垂线，垂足分别为点 E,F.若∠ABC=120°,AB=2,则PE-PF 的值为 .
3.如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,D 是BC 的中点,E 是 AD 的中点,过点 A 作AF∥BC 交BE 的延长线于点 F,连接CF.
(1)求证:△AEF≌△DEB;
(2)求证:四边形 ADCF 是菱形;
(3)若AB=5,菱形 ADCF 的面积为 10,求BC 的长.
考点二 矩形的性质与判定
4.如图,矩形 ABCD 中,AB=8,点 E 是 AD上的一点,且 DE=4,CE 的垂直平分线交 CB的延长线于点 F,交 CD 于点 H,连接 EF 交AB 于点G.若G 是AB 的中点,则 BC 的长是( )
A.6 B.7
C.8 D.10.5
5.(2024·枣庄峄城区期中)如图，将矩形ABCD 对折,使边 AB 与CD,BC 与AD 分别重合，展开后得到四边形 EFGH.若AB=2,BC=4,则四边形 EFGH 的面积为( )
A.2 B.4
C.5 D.6
6.如图,矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O，过点 O 的直线分别交AD 和BC 于点E,F,AB=2,BC=3,求图中阴影部分的面积.
7. 如图,AB =AC,AE =AF,且∠EAB =∠FAC,EF=BC.
(1)求证:四边形 EBCF 是矩形;
(2)设△ABE 的面积为 S ,△ACF 的面积为S ,矩形 EBCF 的面积为S ,则 S ,S ,S 的等量关系为 .
考点三 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
8.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,点 D 是斜边 AB 的中点,DE 平分∠ADC,BC=4,则 DE 的长是 ( )
A.8 B.5 C.3 D.2
9.(2024 · 滨州模拟)如图,在△ABC 和△ABD 中,∠ACB=∠ADB=90°,E,F,G分别为AB,AC,BC 的中点,若 DE= ,则 FG= .
10.如图,已知平行四边形 ABCD,∠ABC,∠BCD 的平分线 BE,CF 分别交 AD 于E,F,BE,CF 交于点G,点 H 为 BC 的中点,GH 的延长线交 GB 的平行线 CM 于点M.
(1)证明:∠BGC=90°;
(2)连接BM，判断四边形GBMC 的形状并说明理由.
考点四 正方形的性质与判定
11.(2024·重庆 B)如图,在边长为4 的正方形ABCD 中,点 E 是 BC 上一点,点 F 是 CD 延长线上一点,连接 AE,AF,AM 平分∠EAF交CD 于点 M.若 BE=DF=1,则 DM 的长度为 ( )
A.2 B.
C. D.
12.在四边形 ABCD 中,AB =BC,∠ABC =∠CDA=90°,BE⊥AD 于点 E,S四边形ABCD=9,则BE= ( )
A.9 B.3
C.±3 D.无法确定
13.(宁夏中考)如图，在边长为 2 的正方形ABCD 中,点 E 在 AD 上,连接 EB,EC,则图中阴影部分的面积是 .
14.如图,在正方形ABCD 中,点 E 在对角线 BD上，且 ,延长 AE 交 CD 于点 F,连接CE,则∠CEF 的度数为 .
15.(绍兴中考)如图,在正方形ABCD 中,G 是对角线 BD 上的一点(与点 B，D不重合)，GE⊥CD,GF⊥BC,E,F 分别为垂足,连接 EF,AG,并延长AG 交EF 于点 H.
(1)求证:∠DAG=∠EGH;
(2)判断 AG 与EF 的关系,并说明理由.
1. B
2. 解析:设AC交BD 于O,如图.在菱形ABCD 中,
∵∠ABC=120°,AB=2,
∴∠BAD=∠BCD=60°,∠DAC=∠DCA=30°,AD=AB=2,BD⊥AC.
在 Rt△AOD 中,
在Rt△APE 中,
在 Rt△CPF 中,∠PCF=∠DCA=30°,PF= CP
3.(1)证明:∵E是AD的中点,∴AE=DE.
∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE.
在△AEF 和△DEB 中, ∴△AEF≌△DEB(AAS).
(2)证明:由(1)可知△AEF≌△DEB,∴AF=DB.
∵D 是BC 的中点,∴BD=CD,∴AF=CD.
∵AF∥BC,∴四边形ADCF 是平行四边形.
∵∠BAC=90°,D是BC的中点,
∴平行四边形ADCF 是菱形.
(3)解:∵菱形ADCF 的面积为10,,
∵D是BC 的中点,∴S△ABC=2S△ACD=10,
即
∴AC=4.
∵∠BAC=90°,
4. B
5. B 解析:如图,设 EG 与 FH 交于点O,
∵四边形ABCD 为矩形,
∴ AD∥BC,AB ∥CD,∠A =∠B=∠C=∠D=90°.
根据折叠的性质,可得∠AGE=∠BGE=90°,AG=BG,∠AFH=∠DFH=90°,AF=DF,
∴AD∥GE∥BC,AB∥FH∥CD,
∴FH⊥GE,GE=BC=4,FH = AB =2,OF =OH,OG=OE,
∴四边形 EFGH 为菱形,
故选 B.
6.解:∵四边形ABCD 是矩形,
∴OA=OC,∠AEO=∠CFO.
又∵∠AOE=∠COF,
在△AOE 和△COF 中,
∴△AOE≌△COF(AAS),
∴S△AOE=S△COF,
∴图中阴影部分的面积就是△BCD 的面积。
故图中阴影部分的面积为3.
7.(1)证明:∵AB=AC,AE=AF,且∠EAB=∠FAC,
∴△ABE≌△ACF(SAS),
∴BE=CF,∠AEB=∠AFC.
又∵EF=BC,
∴四边形 EBCF 为平行四边形，
∴BE∥CF.
∵AE=AF,
∴∠AEF=∠AFE,
∴∠AEB-∠AEF=∠AFC-∠AFE,
即∠BEF=∠CFE.
∵BE∥CF,
∴∠BEF+∠CFE=180°,
∴∠BEF=∠CFE=90°,
∴平行四边形 EBCF 为矩形.
(2)解:过点 A 作AH⊥BE 交BE 的延长线于H,HA 的延长线交CF 的延长线于K，如图所示.
易证得四边形 KHEF、BCKH 均为矩形,
∴AK⊥CK. BC=KH.
S =BC·BE,BE=CF,
即
答案：
8. D
解析:∵∠ADB=90°,点E 为AB的中点,
∴AB=2DE=4
∵F,G分别为AC,BC 的中点,
10.(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴∠ABC+∠BCD=180°.
∵BE,CF 分别平分∠ABC,∠BCD,
∴∠BGC=90°.
(2)解：四边形GBMC 是矩形，理由如下：
∵点 H 为BC 的中点,∠BGC=90°,
∴BH=CH=GH,
∴∠HBG=∠HGB.
∵GB∥CM,
∴∠BGH=∠CMH,∠HBG=∠HCM,
∴∠HCM=∠HMC,
∴MH=BH=CH=GH,
∴四边形GBMC 为矩形.
11. D
12. B 解析:如图,过 B 作BF⊥DC 的延长线于点F.
∵∠ABC=∠CDA=90°,BF⊥CD,
∴∠ABE+∠EBC=∠CBF+∠EBC,
∴∠ABE=∠CBF.
又∵BE⊥AD,BF⊥DF,且AB=BC,
∴△AEB≌△CFB(AAS),
∴BE=BF,S△AEB=S△CFB.
∵BE⊥AD,∠CDA=90°,BE=BF,
∴四边形 BEDF 为正方形.
∵四边形ABCD 的面积为9,
即
则BE=3.
故选 B.
13.2 14.46°
15.(1)证明:在正方形ABCD 中,AD⊥CD,GE⊥CD,
∴∠ADE=∠GEC=90°,∴AD∥GE,
∴∠DAG=∠EGH.
(2)解:AG=EF且AG⊥EF.
理由如下：
连接GC 交EF 于点O,如图.
∵BD 为正方形ABCD 的对角线,
∴∠ADG=∠CDG=45°.
又∵DG=DG,AD=CD,
∴△ADG≌△CDG(SAS),
∴AG=CG,∠DAG=∠DCG.
在正方形ABCD 中,∠ECF=90°,
又∵GE⊥CD,GF⊥BC,
∴四边形 FCEG 为矩形,∴CG=EF,∴AG=EF.
∵OE=OC,∴∠OEC=∠OCE,∴∠DAG=∠OEC,由(1)得∠DAG=∠EGH,∴∠EGH=∠OEC.
∴∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH=∠GEC=90°.
∴∠GHE=90°,∴AH⊥EF.