沪科版（2024）八年级下册 18.1 勾股定理 题型专练
【题型1】利用勾股定理证明线段平方关系
【典例】如图，在中，，于H，M为AH上异于A的一点，比较与的大小，则（ ）．
A.大于 B.等于 C.小于 D.大小关系不确定
【强化训练1】设直角三角形的两条直角边长及斜边上的高分别为a，b及h，则下列关系正确的是( )
A. B. C. D.
【强化训练2】在中，若，则下列式子成立的是( )
A. B. C. D.
【强化训练3】在△ABC中，∠C=90°，若AB＝6，则= ．
【强化训练4】如图，在四边形中，，，．求证：．
【题型2】勾股定理的证明方法
【典例】课堂上，王老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出两种图形，能证明勾股定理的是（ ）
A.①行，②不行 B.①不行，②行 C.①，②都行 D.①，②都不行
【强化训练1】新方向模型思想我们在学习勾股定理的第2课时时，如图所示可以用来验证勾股定理的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【强化训练2】利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为 ，该定理的结论其数学表达式是 ．
【强化训练3】如图所示的是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别为，斜边长为和一个边长为的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.
（1）画出拼成的这个图形的示意图.
（2）证明勾股定理.
【题型3】求梯子滑落高度
【典例】如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（ ）
A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.8
【强化训练1】如图，一根长为5m的竹竿AB斜靠在竖直的墙壁上，竹竿底端B离墙壁距离3m，则该竹竿的顶端A离地竖直高度为（ ）
A.2m B.3m C.4m D.m
【强化训练2】某数学兴趣小组开展了关于笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（点D是点B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为15cm，则底部边缘A处与E之间的距离为（ ）
A.20cm B.18cm C.12cm D.10cm
【强化训练3】《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间 出现的十部古算书）中最重要的一种，共收有个数学问题，分为九章．在第九章“勾股”中有一题目：今有垣高一丈． 依木于垣，上与垣齐． 引木却行四尺，其木至地，问木长几何？意思是：一道墙高一丈（丈尺），一根木棒靠于墙上，木棒上端与墙头齐平，若木棒下端向后退，则木棒上端会随着往下滑，当木棒下端向后退了四尺时，木棒上端恰好落到地上，则木棒长 尺．
【强化训练4】如果一梯子底端离建筑物9 m远，那么15 m长的梯子可到达建筑物的高度是 m．
【强化训练5】如图，一根长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底端．如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端将向右滑动多少米？
【强化训练6】如图，滑杆在机械槽内运动，为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米（D处）时，求滑杆顶端A下滑多少米（E处）.
【题型4】求电杆或旗杆高度
【典例】如图，有一根电线杆在离地面处的A点断裂，此时电线杆顶部C点落在离电线杆底部B点远的地方，则此电线杆原来长度为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】小刚想测量教学楼的高度，他用一根绳子从楼顶垂下，发现绳子垂到地面后还多了，当他把绳子的下端拉开后，发现绳子下端刚好接触地面，则教学楼的高度是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】如图，学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了，拉直绳子，使绳子底端恰好碰到地面，此时绳子底端离旗杆底端，则旗杆的高度是（ )．
A. B. C. D.
【强化训练3】小刚想测量教学楼的高度，他用一根绳子从楼顶垂下，发现绳子垂到地面后还多了，当他把绳子的下端拉开后，发现绳子下端刚好接触地面，则教学楼的高度是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练4】数学活动课上，同学们利用升旗的绳子测量旗杆的高度．将绳子紧靠旗杆拉直，测得绳子比旗杆多0.5m（如图1）；然后拉着绳子的底端往后拉，当绳子拉直时，测得绳子的末端到地面的距离CD为0.5m，到旗杆的距离CE为3.5m（如图2），若设旗杆高为xm，则x满足的方程为 ．
【强化训练5】荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索AB的长度．如图．他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度，将踏板往前推送，使秋千绳索到达D的位置，测得推送的水平距离为6m，即．此时秋千踏板离地面的垂直高度．那么，绳索的长度为 m．
【强化训练6】荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索AB的长度．如图．他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度，将踏板往前推送，使秋千绳索到达D的位置，测得推送的水平距离为6m，即．此时秋千踏板离地面的垂直高度．那么，绳索的长度为 m．
【强化训练7】如图，小明想要测量学校旗杆AB的高度，他发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，从而测得绳子比旗杆长a米，小明将这根绳子拉直，绳子的末端落在地面的点C处，点C距离旗杆底部b米（），则旗杆AB的高度为 米（用含a，b的代数式表示）．
【题型5】求台阶上地毯长度
【典例】在高5m，长13m 的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需要（ ）
A.13m B.5m C.12m D.17m
【强化训练1】如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，米，米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（ ）
A.65 B.85 C.90 D.150
【强化训练2】如图，要将楼梯铺上地毯，则需要 米的地毯．
【强化训练3】如图，楼梯的高度为，楼梯坡面的长度为，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？（精确到）
【强化训练4】如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？
【题型6】解决航海问题
【典例】如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，甲船沿北偏西方向，以每小时12海里的速度航行；乙船沿北偏东方向，以每小时16海里的速度航行．1小时后两船分别位于点A与B处，此时两船相距（ ）
A.12海里 B.16海里 C.20海里 D.24海里
【强化训练1】如图，在我军某次海上演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿东偏南方向以9节（1节=1海里/小时）的速度航行，2号舰沿南偏西方向以节的速度航行，离开港口2小时后它们分别到达A，B两点，此时两舰的距离是（ ）
A.海里 B.海里 C.海里 D.海里
【强化训练2】如图，两艘轮船在港口补给完毕后分别沿着北偏东和北偏西的方向同时行驶，行驶速度分别为每小时海里和每小时海里，行驶两小时后分别到达和处，此时两艘轮船之间的距离是 海里．
【强化训练3】某船向东航行6海里可到达A码头，向南航行8海里可到达B码头，则A，B码头相距 海里．
【强化训练4】如图，我军巡逻艇正在处巡逻，突然发现在南偏东方向距离12海里的处有一艘走私船，以18海里/小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点处将其追上，求我军巡逻艇的航行速度是多少？
沪科版（2024）八年级下册 18.1 勾股定理 题型专练（参考答案）
【题型1】利用勾股定理证明线段平方关系
【典例】如图，在中，，于H，M为AH上异于A的一点，比较与的大小，则（ ）．
A.大于 B.等于 C.小于 D.大小关系不确定
【答案】C
【解析】∵AH⊥BC，有AB2＝AH2＋BH2，AC2＝AH2＋HC2，
∴AB2 AC2＝BH2 HC2，
又∵MH⊥BC，同理有MB2 MC2＝BH2 HC2，
∴AB2 AC2＝MB2 MC2，
即（AB＋AC）（AB AC）＝（MB＋MC）（MB MC），
又∵M点在△ABC内，∵AB＋AC＞MB＋MC，
则AB AC＜MB MC．
故选C．
【强化训练1】设直角三角形的两条直角边长及斜边上的高分别为a，b及h，则下列关系正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设斜边为c，根据勾股定理即可得出，
，
，即a2b2=a2h2+b2h2，
，
即，
故选A.
【强化训练2】在中，若，则下列式子成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在中，若，
，
为直角边，为斜边，
根据勾股定理可得，
．
故选：A．
【强化训练3】在△ABC中，∠C=90°，若AB＝6，则= ．
【答案】72
【解析】根据勾股定理可得：=，则原式=2=2×36=72．
【强化训练4】如图，在四边形中，，，．求证：．
【答案】证明：在△ABC中，∠ABC=90°，
∴．
在△ACD中，CD⊥AD，
∴，
∴．
又AD2=2AB2－CD2，
∴，
即，
∴．
【题型2】勾股定理的证明方法
【典例】课堂上，王老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出两种图形，能证明勾股定理的是（ ）
A.①行，②不行 B.①不行，②行 C.①，②都行 D.①，②都不行
【答案】A
【解析】由图①可得，
（a+b）2＝ab×4+c2，
化简，得：a2+b2＝c2，
故图①可以证明勾股定理；
根据图②中的条件，无法证明勾股定理；
故选：A．
【强化训练1】新方向模型思想我们在学习勾股定理的第2课时时，如图所示可以用来验证勾股定理的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】∵，
∴.
所以图1，3符合题意；
∵图形的面积表示为：，，
∴，
所以图2符合题意．
图4不能验证勾股定理．
所以符合题意的有3个．
故选：C．
【强化训练2】利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为 ，该定理的结论其数学表达式是 ．
【答案】勾股定理 c2=a2+b2
【解析】如图2，正方形的面积=（a+b）2，
用三角形的面积与边长为c的正方形的面积表示为4×ab+c2，
即（a+b）2=4×ab+c2化简得a2+b2=c2．
这个定理称为：勾股定理．
故答案为：勾股定理，a2+b2=c2
【强化训练3】如图所示的是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别为，斜边长为和一个边长为的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.
（1）画出拼成的这个图形的示意图.
（2）证明勾股定理.
【答案】解：如图①②所示．
（2）①大正方形的面积可表示为，大正方形的面积也可表示为，，即，，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
②大正方形的面积可表示为，又可以表示为，
，即，
，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
【题型3】求梯子滑落高度
【典例】如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（ ）
A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.8
【答案】D
【解析】∵米，米，
∴（米），
∵梯子的顶部下滑0.4米，
∴米，
∴米，
∴米．
∴梯子的底部向外滑出（米）．
故选：D．
【强化训练1】如图，一根长为5m的竹竿AB斜靠在竖直的墙壁上，竹竿底端B离墙壁距离3m，则该竹竿的顶端A离地竖直高度为（ ）
A.2m B.3m C.4m D.m
【答案】C
【解析】由题意得：，，，
则，
即该竹竿的顶端离地竖直高度为，
故选：C．
【强化训练2】某数学兴趣小组开展了关于笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（点D是点B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为15cm，则底部边缘A处与E之间的距离为（ ）
A.20cm B.18cm C.12cm D.10cm
【答案】A
【解析】依题意，，
在中，，
∵，，
在中，，
故选：A．
【强化训练3】《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间 出现的十部古算书）中最重要的一种，共收有个数学问题，分为九章．在第九章“勾股”中有一题目：今有垣高一丈． 依木于垣，上与垣齐． 引木却行四尺，其木至地，问木长几何？意思是：一道墙高一丈（丈尺），一根木棒靠于墙上，木棒上端与墙头齐平，若木棒下端向后退，则木棒上端会随着往下滑，当木棒下端向后退了四尺时，木棒上端恰好落到地上，则木棒长 尺．
【答案】
【解析】如图，设木棒AB长为x尺，则木棒底端B离墙的距离即BC的长有（x-4）尺，
在Rt△ABC中，
∵AC2+BC2=AB2，
∴102+（x-4）2=x2，
解得，x=14.5,
故答案为：14.5．
【强化训练4】如果一梯子底端离建筑物9 m远，那么15 m长的梯子可到达建筑物的高度是 m．
【答案】12
【解析】∵直角三角形的斜边长为15m，一直角边长为9m，
∴另一直角边长=，
故梯子可到达建筑物的高度是12m．
故答案是：12．
【强化训练5】如图，一根长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底端．如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端将向右滑动多少米？
【答案】解：如图，
由题意得：，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
答：梯子的底端将向右滑动米．
【强化训练6】如图，滑杆在机械槽内运动，为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米（D处）时，求滑杆顶端A下滑多少米（E处）.
【答案】解：设AE的长为x米，依题意得CE=AC-x，
∵米，米，，
∴，
∴米，
∵米，
∴在中，，
∴，，即米，
答：梯子下滑0.5米.
【题型4】求电杆或旗杆高度
【典例】如图，有一根电线杆在离地面处的A点断裂，此时电线杆顶部C点落在离电线杆底部B点远的地方，则此电线杆原来长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得：在中，，，
∴，
故这根高压电线杆断裂前高度为：．
故选：D．
【强化训练1】小刚想测量教学楼的高度，他用一根绳子从楼顶垂下，发现绳子垂到地面后还多了，当他把绳子的下端拉开后，发现绳子下端刚好接触地面，则教学楼的高度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，为教学楼的高度，为绳子的长度，则，，
∵，
∴根据勾股定理得，
∴，
解得：，
即教学楼的高度为8米．
故选：D．
【强化训练2】如图，学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了，拉直绳子，使绳子底端恰好碰到地面，此时绳子底端离旗杆底端，则旗杆的高度是（ )．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，设旗杆的长度为，则绳子的长度为：，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴旗杆的高度为．
故选：B．
【强化训练3】小刚想测量教学楼的高度，他用一根绳子从楼顶垂下，发现绳子垂到地面后还多了，当他把绳子的下端拉开后，发现绳子下端刚好接触地面，则教学楼的高度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，为教学楼的高度，为绳子的长度，则，，
∵，
∴根据勾股定理得，
∴，
解得：，
即教学楼的高度为8米．
故选：D．
【强化训练4】数学活动课上，同学们利用升旗的绳子测量旗杆的高度．将绳子紧靠旗杆拉直，测得绳子比旗杆多0.5m（如图1）；然后拉着绳子的底端往后拉，当绳子拉直时，测得绳子的末端到地面的距离CD为0.5m，到旗杆的距离CE为3.5m（如图2），若设旗杆高为xm，则x满足的方程为 ．
【答案】
【解析】设旗杆高度为x m，可得(x-0.5)2+3.52=（x+0.5）2，
故答案为：(x-0.5)2+3.52=（x+0.5）2．
【强化训练5】荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索AB的长度．如图．他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度，将踏板往前推送，使秋千绳索到达D的位置，测得推送的水平距离为6m，即．此时秋千踏板离地面的垂直高度．那么，绳索的长度为 m．
【答案】10
【解析】由题意可知：，，，，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：10．
【强化训练6】荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索AB的长度．如图．他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度，将踏板往前推送，使秋千绳索到达D的位置，测得推送的水平距离为6m，即．此时秋千踏板离地面的垂直高度．那么，绳索的长度为 m．
【答案】10
【解析】由题意可知：，，，，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：10．
【强化训练7】如图，小明想要测量学校旗杆AB的高度，他发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，从而测得绳子比旗杆长a米，小明将这根绳子拉直，绳子的末端落在地面的点C处，点C距离旗杆底部b米（），则旗杆AB的高度为 米（用含a，b的代数式表示）．
【答案】
【解析】设AB=x米，则有AC=（x+a）米，根据勾股定理得：
，
解得：
∴，
故答案为．
【题型5】求台阶上地毯长度
【典例】在高5m，长13m 的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需要（ ）
A.13m B.5m C.12m D.17m
【答案】D
【解析】由勾股定理，，
则地毯总长为12+5=17（m），
故选：D．
【强化训练1】如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，米，米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（ ）
A.65 B.85 C.90 D.150
【答案】B
【解析】 由图可知：，
∵米，米，
∴米，
由平移的性质可得：水平的防滑毯的长度（米），铅直的防滑毯的长度（米），
∴至少需防滑毯的长为：（米），
∵防滑毯宽为5米
∴至少需防滑毯的面积为：（平方米）．
故选：．
【强化训练2】如图，要将楼梯铺上地毯，则需要 米的地毯．
【答案】7
【解析】根据勾股定理，另一直角边（米），
∴（米），
则需要7米的地毯
故答案为：7
【强化训练3】如图，楼梯的高度为，楼梯坡面的长度为，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？（精确到）
【答案】解：如图，由勾股定理得，，
∴米，
∴米，
答：地毯的长度至少需要米．
【强化训练4】如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？
【答案】展开后由题意得：∠C＝90°，AC＝3×25+3×15＝120，BC＝90，
由勾股定理得：AB＝＝＝150cm，
答：最短路程是150cm．
【题型6】解决航海问题
【典例】如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，甲船沿北偏西方向，以每小时12海里的速度航行；乙船沿北偏东方向，以每小时16海里的速度航行．1小时后两船分别位于点A与B处，此时两船相距（ ）
A.12海里 B.16海里 C.20海里 D.24海里
【答案】C
【解析】由题意得，，，
∴．
∵海里，海里，
∴海里．
故选C．
【强化训练1】如图，在我军某次海上演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿东偏南方向以9节（1节=1海里/小时）的速度航行，2号舰沿南偏西方向以节的速度航行，离开港口2小时后它们分别到达A，B两点，此时两舰的距离是（ ）
A.海里 B.海里 C.海里 D.海里
【答案】D
【解析】由题意可得：，
∴，
又∵（海里），（海里），
在Rt中，（海里）
∴此时两舰的距离是海里．
故选：D．
【强化训练2】如图，两艘轮船在港口补给完毕后分别沿着北偏东和北偏西的方向同时行驶，行驶速度分别为每小时海里和每小时海里，行驶两小时后分别到达和处，此时两艘轮船之间的距离是 海里．
【答案】100
【解析】由题意可得，(海里)，(海里)，
(海里)．
此时两艘轮船之间的距离是海里．
故答案为：．
【强化训练3】某船向东航行6海里可到达A码头，向南航行8海里可到达B码头，则A，B码头相距 海里．
【答案】10
【解析】如图，由题意可得：
故答案为：10
【强化训练4】如图，我军巡逻艇正在处巡逻，突然发现在南偏东方向距离12海里的处有一艘走私船，以18海里/小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点处将其追上，求我军巡逻艇的航行速度是多少？
【答案】解：如图所示，由题意得，，
∵，
∴，
∴，
∵巡逻艇沿直线追赶，半小时后在点处追上走私船，
∴海里，
在中，海里，海里，
∴海里，
∴我军巡逻艇的航行速度是海里/小时，
答：我军巡逻艇的航行速度是海里/小时．
