华师大版九年级下册 27.2.1 点与圆的位置关系 题型专练（参考答案）
【题型1】判断点与圆的位置关系
【典例】已知圆的面积为，设点到圆心的距离为，若点在圆外，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设圆的半径为，
圆的面积为，
，
，
点到圆心的距离为，且点在圆外，
．
故选：C．
【强化训练1】已知的半径是5，，则点P与的位置关系是（ ）
A.点P在圆上 B.点P在圆内 C.点P在圆外 D.不能确定
【答案】B
【解析】的半径是5，的长为4，，
点在圆内．
故选：B
【强化训练2】已知的直径为8，若，则点P与的位置关系是（ ）
A.点P在内
B.点P在上
C.点P在外
D.无法判断
【答案】B
【解析】∵的直径为8，即圆的半径为4，
而，
∴点P到圆心的距离等于圆的半径，
∴点P在上．
故选：B．
【强化训练3】已知的半径为4，若，则点P与的位置关系是（ ）
A.点P在内
B.点P在上
C.点P在外
D.无法判断
【答案】A
【解析】∵的半径为4，，
，
∴点P与的位置关系是点P在内部，
故选：A．
【强化训练4】已知的半径是6，点A是平面内一点且，则点A与的位置关系是（ ）
A.圆内 B.圆外 C.圆上 D.无法确定
【答案】B
【解析】∵的半径为6，，
∴点A到圆心的距离大于圆的半径，
∴点A在外．
故选：B．
【强化训练5】已知直径为，点P到圆心O的距离为，则点P在 .
【答案】外
【解析】根据题意，得圆的半径为，
因为，
故点P在圆的外部，
故答案为：外.
【强化训练6】已知直径为，点P到圆心O的距离为，则点P在 .
【答案】外
【解析】根据题意，得圆的半径为，
因为，
故点P在圆的外部，
故答案为：外.
【强化训练7】请你将下面的数学概念正确、规范、工整地书写在横线上．
点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内．
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
【答案】点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内．
【解析】点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内．
故答案为：点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内．
【题型2】利用点与圆的位置关系求长度
【典例】点P到圆O的圆心的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r可能是（ ）
A.7 B.8 C.5 D.
【答案】C
【解析】∵点P到圆O的圆心的距离为6，点P在圆O外，
∴圆O的半径小于6，
∴四个选项中只有C选项符合题意，
故选：C．
【强化训练1】已知的半径为r，点P到圆心O的距离为5，若使点P在外，则r的值可以是（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】A
【解析】的半径为，点到圆心距离．
点P在外，
，
即．
故选：A．
【强化训练2】已知点P在半径为r的内，．则满足条件的r的值为（ ）
A.5 B.4 C.3 D.2
【答案】A
【解析】∵点P在半径为r的内，
∴，
∵，
∴，
观察四个选项，只有选项A符合题意，
故选：A．
【强化训练3】已知点P在半径为r的内，且，则r的值可能为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】∵点P在半径为r的内，且，
∴．
故选D．
【强化训练4】已知点P在半径为r的内，．则满足条件的r的值为（ ）
A.5 B.4 C.3 D.2
【答案】A
【解析】∵点P在半径为r的内，
∴，
∵，
∴，
观察四个选项，只有选项A符合题意，
故选：A．
【强化训练5】在同一平面内，点不在上，若点到上的点的最大距离是，最小距离是5，则的半径是 ．
【答案】3或8
【解析】由题意知，分点在内，点在外两种情况求解；
当点在内，如图1，
∴，
∴，
∴半径为8；
当点在外，如图2，
∴，
∴，
∴半径为3；
综上所述，的半径是3或8；
故答案为：3或8．
【强化训练6】内一点到上的最近点的距离为2，最远点的距离为10，则的半径为 ．
【答案】6
【解析】当点在定圆内时，最近点的距离为2，最远点的距离为10，则直径是，因而半径是6，
故答案为：6．
【强化训练7】的圆心是原点，半径为13，点在上，那么 ．
【答案】
【解析】如图，过点作轴，
则，
根据勾股定理可得，
点或，
．
故答案为：．
【强化训练8】已知的直径为8，点在内．若的长为正整数，写出一个符合条件的的长度： ．
【答案】3（答案不唯一）
【解析】的直径为8，
∴半径为4，
∵点在内，
，
∵的长为正整数，
长可能是3．
故答案为：3（答案不唯一）．
【题型3】判断确定圆的条件
【典例】下列判断中正确的是（ ）
A.平分弦的直径垂直于弦
B.垂直于弦的直线平分弦所对的弧
C.平分弧的直径平分弧所对的弦
D.三点确定一个圆
【答案】C
【解析】A.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故选项错误；
B.垂直于弦的直径平分弦所对的弧，故选项错误；
C.平分弧的直径平分弧所对的弦，故选项正确；
D.不共线的三点确定一个圆，故选项错误；
故选C．
【强化训练1】小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ）
A.① B.② C.③ D.④
【答案】A
【解析】第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
【强化训练2】下列说法中，正确的是（ ）
A.相等的圆心角所对的弧相等
B.过任意三点可以画一个圆
C.周长相等的圆是等圆
D.平分弦的直径垂直于弦
【答案】C
【解析】A.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项说法不正确；
B.不在同一直线上的三个点确定一个圆，若这三个点在一条直线上，就不能确定圆，故本选项说法不正确；
C.周长相等半径就相等，半径相等的两个圆能重合，故本选项说法正确；
D.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项说法不正确；
故选：C．
【强化训练3】下列命题正确的是（ ）
A.两点之间，直线最短
B.正六边形的外角和大于正五边形的外角和
C.不在同一条直线上的三个点确定一个圆
D.一个图形和它经过平移所得到的图形中，对应线段平行且相等
【答案】C
【解析】A．两点之间，线段最短，故选项错误，不符合题意；
B．多边形的外角和是360°，故选项错误，不符合题意；
C．不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故选项正确，符合题意；
D．一个图形和它经过平移所得到的图形中，对应线段平行或者在同一条直线上，并且相等，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
【强化训练4】平面直角坐标系内的三个点，，， 确定一个圆，（填“能”或“不能”）．
【答案】不能
【解析】∵，，，在这条直线上，，
∴三个点，，不能确定一个圆．
故答案为：不能．
【强化训练5】不在同一直线上的三个点确定一个圆，说法是： 的．
【答案】正确
【解析】∵不在同一直线上的三个点确定一个圆，
∴这一说法正确．
故答案为正确．
【强化训练6】不在同一直线上的三个点确定一个圆，说法是： 的．
【答案】正确
【解析】∵不在同一直线上的三个点确定一个圆，
∴这一说法正确．
故答案为正确．
【强化训练7】点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系； 的三个点确定一个圆．
【答案】不在同一直线上（不共线）
【解析】不在同一直线上的三个点确定一个圆．
故答案为：不在同一直线上（不共线）
【题型4】求能确定的圆的个数
【典例】已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出( )．
A.5个圆 B.8个圆 C.10个圆 D.12个圆
【答案】C
【解析】过其中的三点作圆，最多能作出10个，即分别过点ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE的圆．
故选C．
【强化训练1】如图，点A、B、C在同一直线上，点D在直线AB之外，过这四个点中的任意三个点，能画圆的个数为（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】根据题意得出：点D、A、B；点D、A、C；点D、B、C可以确定一个圆．故过这四点中的任意3个点，能画圆的个数是3个．故选C．
【强化训练2】如图，点A，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【答案】D
【解析】依题意，；；；；，加上点可以画出一个圆，
∴共有6个，
故选：D．
【强化训练3】如图，点A，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【答案】D
【解析】依题意，；；；；，加上点可以画出一个圆，
∴共有6个，
故选：D．
【强化训练4】平面上有不在同一直线上的4个点，过其中3个点作圆，可以作出n个圆，那么n的值不可能为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，如图1，此时，
②当三点在一直线上时，如图2
分别过A、B、C或A、C、D或A、B、D作圆，共3个圆，即，
③当A、B、C、D四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，
分别过A、B、C或B、C、D或C、D、A或D、A、B作圆，共4个圆，即此时，
即n不能是2，
故选：B．
【强化训练5】如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作 个．
【答案】3
【解析】过A、B、M；A、C、M；B、C、M共能确定3个圆，
故答案为3．
【强化训练6】如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作 个．
【答案】3
【解析】过A、B、M；A、C、M；B、C、M共能确定3个圆，
故答案为3．
【强化训练7】过一点可以作 个圆；过两点可以作 个圆，这些圆的圆心在两点所连线段的 上；过不在同一条直线上的三个点可以作 个圆．
【答案】无数 无数 垂直平分线 一
【解析】利用过点作圆的个数即可求解．
过一点可以作无数个圆；过两点可以作无数个圆；这些圆的圆心在两点所连线段的垂直平分线上；过不在同一条直线上的三个点可以作一个圆，
故答案为：无数；无数；垂直平分线；一．
【题型5】尺规作图：确定圆心
【典例】如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点A，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是．
故选：A．
【强化训练1】如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为．B的坐标为．则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图以图中每个小方格的边长为单位1，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，B的坐标为，分别连结，分别作线段的垂直平分线，两条直线交于点D，则点D是所给圆弧所在圆的圆心，
由图得点D的坐标为．
故该圆弧所在圆的圆心坐标是．
故选：B．
【强化训练2】如图，平面直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，，，点A在轴上，点的坐标为，则该圆弧所在圆内的圆心坐标为 ．
【答案】
【解析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是．
故答案为：．
【强化训练3】阅读下面的材料，回答问题∶
（1）在单位长度为1的正方形网格中标出该圆弧所在圆的圆心；
（2）请在（1）的基础上，完成下面问题∶
①的半径为 ；
②判断直线与的位置关系，并说明理由．
【答案】解 （1）连结，，，作线段的垂直平分线，作线段的垂直平分线，交线段的垂直平分线于点，
O点即为的圆心，
如图所示，点O即为所求：
（2）①在中，，
，
的半径为：，
故答案为：；
②是的切线，理由如下：
连结，如图：
由①得：,
在中，，
，
，，即：，
是直角三角形，且，
，
是的切线．
【强化训练4】如图，在正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C．
请在网格图中进行下列操作：
（1）经过A、、三点的圆弧所在圆的圆心D点坐标为 ；
（2）⊙D的半径为 (结果保留根号)
（3）连结AD、CD，若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径．(结果保留根号)．
【答案】（1）解 如图，分别作AB，BC的垂直平分线交于点D，
∴点D的坐标为（2，0）；
故答案为：（2，0）
（2）解 如图，连结AD，CD，
根据题意得：OA=4，OD=2，
∴；
故答案为：
（3）解 如图，连结AC，
∵，，
∴，
∴∠ADC=90°，
∴弧AC的长为，
设该圆锥底面半径为r，则
，解得：，
即该圆锥底面半径为．
【题型6】三角形外接圆与外心的说法辨析
【典例】如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线；分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线．直线与相交于点O，若以点O为圆心，为半径作圆，则下列说法错误的是（ ）
A.点B在上
B.是的外接圆
C.是的弦
D.是的切线
【答案】D
【解析】根据题意得：直线与分别为的垂直平分线，
∴点O到的三个顶点的距离相等，
∴是的外接圆，故B选项正确，不符合题意；
∴点A、B、C在上，故A选项正确，不符合题意；
∴，是的弦，故C选项正确，不符合题意；D选项错误，符合题意；
故选：D
【强化训练1】下列事件属于必然事件的是（ ）
A.从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡
B.太阳东升西落
C.三角形外心到三边距离相等
D.足球运动员在罚球区射门一定射中
【答案】B
【解析】A.从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡，是不可能事件，故本选项不符合题意；
B.太阳东升西落是必然事件，故本选项符合题意；
C.三角形外心到三边距离相等，是不确定事件，故本选项不符合题意；
D.足球运动员在罚球区射门一次，射中是随机事件，故本选项不符合题意；
故选：B．
【强化训练2】如图，直线，为垂足，且点A在上．若在上找一点，使得，则下列作法中，正确的是（ ）
A.作线段的中垂线，交于点
B.作的外接圆，交于点
C.过点作一直线垂直于，交于点
D.作的平分线，交于点
【答案】B
【解析】如图所示，作的外接圆，交于点
∵
∴
故选：B．
【强化训练3】下列说法正确的是（ ）
A.三点确定一个圆
B.垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦
C.各边都相等的多边形是正多边形
D.三角形的外心到三角形三边的距离相等
【答案】B
【解析】不在同一条直线上的三个点确定一个圆，如果三个点在同一条直线上，则没有同时过这三个点的圆，故选项A错误，不符合题意；
垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦，故选项B正确，符合题意；
各边都相等各角都相等的多边形是正多边形，故选项C错误，不符合题意；
三角形的内心到三角形三边的距离相等，三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等，故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
【题型7】求三角形的外心坐标
【典例】如图，点A、、都是格点，外接圆的圆心坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，作线段的垂直平分线交于点，点即为的外接圆的圆心，
由图可知，点的坐标是：，
故选：B．
【强化训练1】如图，在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，AB⊥x轴，M为Rt△ABC的外心．若点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1），则点B的坐标为（ ）
A.（3，﹣1） B.（3，﹣2） C.（3，﹣3） D.（3，﹣4）
【答案】B
【解析】∵M为Rt△ABC的外心．∠ABC＝90°，
∴点M为AC中点，
∵点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1），
设点C横坐标为（x,y）,
∴，
解得x=-5，y=-2，
∴点C（-5，-2），
∵AB⊥x轴，
∴点A，B的横坐标相同都是3，
∵∠ABC＝90°，
∴BC∥x轴，
∴点B、C的纵坐标相同都是-2，
∴点B（3，-2）．
故选：B．
【强化训练2】中，、、，则外接圆圆心坐标为 ．
【答案】
【解析】如图，∵、、，
∴，
∴的外心是斜边的中点，
∴外接圆的圆心坐标为：，即；
故答案为：
【强化训练3】如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长为1，点A，，的坐标分别为、、．
（1）填空：的外接圆的圆心坐标为______．该外接圆的半径长为______；
（2）在图中格点上标出点（不与点重合），使得，并写出它的坐标．
【答案】解 （1）三角形外接圆的圆心为三角形各边垂直平分线的交点，
如图，作、的垂直平分线相交于点P，即点P为外接圆的圆心，
由图可知，，
的外接圆的圆心坐标为，
连结，
，，
，
外接圆的半径长为，
故答案为：；；
（2）作的外接圆，该外接圆与直角坐标系格点的另一个交点即为点D，
，，
，
即点D的坐标为．
【强化训练4】如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,3)，B(-4,0)，C(0,0)
（1）写出△ABC的外心坐标 ；
（2）将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到，画出
（3）在（2）的基础上，求A旋转路径的长度
【答案】解 （1）如图所示，取的垂直平分线，交于点，即△ABC的外心坐标为，
故答案为：；
（2）如图所示，即为所求；
（3）∵，
∴A点旋转到点所经过的路径长为．
【题型8】确定三角形外接圆的圆心位置
【典例】如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，由勾股定理得：，
∴P到B、C、E的距离相等，
∴P是的外心，
故选：D．
【强化训练1】事件“三角形的外心在三角形的外部”是（ ）
A.必然事件
B.不可能事件
C.确定性事件
D.随机事件
【答案】D
【解析】根据作图可以知道，锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形外心在三角形斜边上，钝角三角形外心在三角形外部，故“三角形的外心在三角形的外部”是随机事件，
故选：D．
【强化训练2】如图所示，在的网格中，A、B、D、O均在格点上，则点O是△ABD的（ ）
A.外心 B.重心 C.中心 D.内心
【答案】A
【解析】根据网格的特点，勾股定理求得，进而即可判断点O是△ABD的外心
∵
∴O是△ABD的外心
故选A
【强化训练3】在中，，，，则的外心在的 （填“内部”、“外部”或“边上”）；其外接圆的半径为 ．
【答案】边上
【解析】如图：的外心在的斜边上，
∵，
∴为直径，
∵，，
∴，
∴半径为：．
故答案为：边上，．
【强化训练4】在格点图中，已知的三个顶点A，B，C均在格点上．
（1）将向上移五格，得到；
（2）用直尺作出的外接圆圆心O．（保留作图痕迹）
【答案】解 （1）如图所示，即为所求：
（2）的外接圆圆心如图所示．
【强化训练5】如图，在三角形中，，用尺规作图，在三角形内作点，使得．（保留作图迹，不写作法）．
【答案】解 如图，点为所作．
．
【题型9】求特殊三角形外接圆的半径
【典例】如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB=3，则⊙O的半径是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】作直径AD，连结CD，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
∵AD为直径，
∴∠ACD=90°，
∵∠D=∠B=60°，则∠DAC=30°，
∴CD=AD，
∵AD2=CD2+AC2，即AD2=(AD)2+32，
∴AD=2，
∴OA=OB=AD=．
故选：C．
【强化训练1】在中，若两条直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C
【解析】如图，
在中，若两条直角边的长分别为6和8，即，，
，
，
是外接圆直径，
这个三角形的外接圆半径为，
故选：C．
【强化训练2】在中，，则它的外接圆的半径为 ．
【答案】
【解析】由勾股定理得：，
由于直角三角形外接圆圆心在斜边的中点，半径为斜边的一半，
所以外接圆的半径为，
故答案为：．
【强化训练3】如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ．
【答案】
【解析】根据正方形的性质得到的中垂线，再找到的中垂线，交于点O，点O为圆心为半径即为覆盖的最小圆面，如图，
则最小圆面的半径．
故答案为：．
【强化训练4】如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）的外接圆的半径为_________．
（2）将绕点顺时针旋转后得到，请在图中画出；
（3）在（2）的条件下，求出线段扫过的区域图形的周长．
【答案】解 （1），，
，，，
∴的外接圆圆心为的中点
在中：，
的外接圆半径为．
故答案为：
（2）如图，为所作图形；
（3） 弧长．
弧长．
线段扫过的区域图形的周长．华师大版（2024）九年级下册 27.2.1 点与圆的位置关系 题型专练
【题型1】判断点与圆的位置关系
【典例】已知圆的面积为，设点到圆心的距离为，若点在圆外，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】已知的半径是5，，则点P与的位置关系是（ ）
A.点P在圆上 B.点P在圆内 C.点P在圆外 D.不能确定
【强化训练2】已知的直径为8，若，则点P与的位置关系是（ ）
A.点P在内
B.点P在上
C.点P在外
D.无法判断
【强化训练3】已知的半径为4，若，则点P与的位置关系是（ ）
A.点P在内
B.点P在上
C.点P在外
D.无法判断
【强化训练4】已知的半径是6，点A是平面内一点且，则点A与的位置关系是（ ）
A.圆内 B.圆外 C.圆上 D.无法确定
【强化训练5】已知直径为，点P到圆心O的距离为，则点P在 .
【强化训练6】已知直径为，点P到圆心O的距离为，则点P在 .
【强化训练7】请你将下面的数学概念正确、规范、工整地书写在横线上．
点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内．
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
【题型2】利用点与圆的位置关系求长度
【典例】点P到圆O的圆心的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r可能是（ ）
A.7 B.8 C.5 D.
【强化训练1】已知的半径为r，点P到圆心O的距离为5，若使点P在外，则r的值可以是（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
【强化训练2】已知点P在半径为r的内，．则满足条件的r的值为（ ）
A.5 B.4 C.3 D.2
【强化训练3】已知点P在半径为r的内，且，则r的值可能为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【强化训练4】已知点P在半径为r的内，．则满足条件的r的值为（ ）
A.5 B.4 C.3 D.2
【强化训练5】在同一平面内，点不在上，若点到上的点的最大距离是，最小距离是5，则的半径是 ．
【强化训练6】内一点到上的最近点的距离为2，最远点的距离为10，则的半径为 ．
【强化训练7】的圆心是原点，半径为13，点在上，那么 ．
【强化训练8】已知的直径为8，点在内．若的长为正整数，写出一个符合条件的的长度： ．
【题型3】判断确定圆的条件
【典例】下列判断中正确的是（ ）
A.平分弦的直径垂直于弦
B.垂直于弦的直线平分弦所对的弧
C.平分弧的直径平分弧所对的弦
D.三点确定一个圆
【强化训练1】小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ）
A.① B.② C.③ D.④
【强化训练2】下列说法中，正确的是（ ）
A.相等的圆心角所对的弧相等
B.过任意三点可以画一个圆
C.周长相等的圆是等圆
D.平分弦的直径垂直于弦
【强化训练3】下列命题正确的是（ ）
A.两点之间，直线最短
B.正六边形的外角和大于正五边形的外角和
C.不在同一条直线上的三个点确定一个圆
D.一个图形和它经过平移所得到的图形中，对应线段平行且相等
【强化训练4】平面直角坐标系内的三个点，，， 确定一个圆，（填“能”或“不能”）．
【强化训练5】不在同一直线上的三个点确定一个圆，说法是： 的．
【强化训练6】不在同一直线上的三个点确定一个圆，说法是： 的．
【强化训练7】点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系； 的三个点确定一个圆．
【题型4】求能确定的圆的个数
【典例】已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出( )．
A.5个圆 B.8个圆 C.10个圆 D.12个圆
【强化训练1】如图，点A、B、C在同一直线上，点D在直线AB之外，过这四个点中的任意三个点，能画圆的个数为（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【强化训练2】如图，点A，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【强化训练3】如图，点A，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【强化训练4】平面上有不在同一直线上的4个点，过其中3个点作圆，可以作出n个圆，那么n的值不可能为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【强化训练5】如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作 个．
【强化训练6】如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作 个．
【强化训练7】过一点可以作 个圆；过两点可以作 个圆，这些圆的圆心在两点所连线段的 上；过不在同一条直线上的三个点可以作 个圆．
【题型5】尺规作图：确定圆心
【典例】如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点A，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为．B的坐标为．则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】如图，平面直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，，，点A在轴上，点的坐标为，则该圆弧所在圆内的圆心坐标为 ．
【强化训练3】阅读下面的材料，回答问题∶
（1）在单位长度为1的正方形网格中标出该圆弧所在圆的圆心；
（2）请在（1）的基础上，完成下面问题∶
①的半径为 ；
②判断直线与的位置关系，并说明理由．
【强化训练4】如图，在正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C．
请在网格图中进行下列操作：
（1）经过A、、三点的圆弧所在圆的圆心D点坐标为 ；
（2）⊙D的半径为 (结果保留根号)
（3）连结AD、CD，若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径．(结果保留根号)．
【题型6】三角形外接圆与外心的说法辨析
【典例】如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线；分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线．直线与相交于点O，若以点O为圆心，为半径作圆，则下列说法错误的是（ ）
A.点B在上
B.是的外接圆
C.是的弦
D.是的切线
【强化训练1】下列事件属于必然事件的是（ ）
A.从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡
B.太阳东升西落
C.三角形外心到三边距离相等
D.足球运动员在罚球区射门一定射中
【强化训练2】如图，直线，为垂足，且点A在上．若在上找一点，使得，则下列作法中，正确的是（ ）
A.作线段的中垂线，交于点
B.作的外接圆，交于点
C.过点作一直线垂直于，交于点
D.作的平分线，交于点
【强化训练3】下列说法正确的是（ ）
A.三点确定一个圆
B.垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦
C.各边都相等的多边形是正多边形
D.三角形的外心到三角形三边的距离相等
【题型7】求三角形的外心坐标
【典例】如图，点A、、都是格点，外接圆的圆心坐标是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】如图，在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，AB⊥x轴，M为Rt△ABC的外心．若点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1），则点B的坐标为（ ）
A.（3，﹣1） B.（3，﹣2） C.（3，﹣3） D.（3，﹣4）
【强化训练2】中，、、，则外接圆圆心坐标为 ．
【强化训练3】如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长为1，点A，，的坐标分别为、、．
（1）填空：的外接圆的圆心坐标为______．该外接圆的半径长为______；
（2）在图中格点上标出点（不与点重合），使得，并写出它的坐标．
【强化训练4】如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,3)，B(-4,0)，C(0,0)
（1）写出△ABC的外心坐标 ；
（2）将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到，画出
（3）在（2）的基础上，求A旋转路径的长度
【题型8】确定三角形外接圆的圆心位置
【典例】如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】事件“三角形的外心在三角形的外部”是（ ）
A.必然事件
B.不可能事件
C.确定性事件
D.随机事件
【强化训练2】如图所示，在的网格中，A、B、D、O均在格点上，则点O是△ABD的（ ）
A.外心 B.重心 C.中心 D.内心
【强化训练3】在中，，，，则的外心在的 （填“内部”、“外部”或“边上”）；其外接圆的半径为 ．
【强化训练4】在格点图中，已知的三个顶点A，B，C均在格点上．
（1）将向上移五格，得到；
（2）用直尺作出的外接圆圆心O．（保留作图痕迹）
【强化训练5】如图，在三角形中，，用尺规作图，在三角形内作点，使得．（保留作图迹，不写作法）．
【题型9】求特殊三角形外接圆的半径
【典例】如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB=3，则⊙O的半径是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】在中，若两条直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
【强化训练2】在中，，则它的外接圆的半径为 ．
【强化训练3】如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ．
【强化训练4】如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）的外接圆的半径为_________．
（2）将绕点顺时针旋转后得到，请在图中画出；
（3）在（2）的条件下，求出线段扫过的区域图形的周长．
