1.1 第2课时 三角形的外角 教案（表格式） 2025-2026学年数学北师大版八年级下册
文档属性
| 名称 | 1.1 第2课时 三角形的外角 教案（表格式） 2025-2026学年数学北师大版八年级下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 379.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-10 00:00:00 | ||
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文档简介
1 三角形内角和定理
第2课时 三角形的外角
教学设计
课标摘录 1.掌握三角内角和定理推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
教学目标 1.掌握三角形外角的定义和外角的两条性质. 2.灵活运用三角形的外角和两条性质解决相关问题. 3.通过在数学活动中进行教学，使学生能自主地“做数学”，特别是培养有条理的想象和探索能力，从而做到强化基础，激发学习兴趣．
教学重难点 重点:了解并掌握三角形的外角的定义。 难点:掌握三角形的外角的性质，利用外角的性质进行简单的证明和计算。
教学策略 引导学生通过观察和动手操作，体会探索过程，学会推理的数学思想方法，培养学生主动探索、勇于发现，敢于实践及合作交流的习惯，培养学生的论证能力。在体验一题多变、一题多解得过程中发散思维拓宽学生的解题思路，提高空间想象能力，从而使他们灵活应用所学知识
教学过程
教学步骤 教学活动
情境导入 甲乙丙三名同学玩游戏，发现甲同学在O处后，乙同学打算用迂回的方式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住甲同学到终点E的去路，丙同学则直接在A处追赶甲同学，已知∠BAC=40°，∠ABC=70°.乙同学从C处要转多少度角才能直达B处？ 利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？ 思考：像∠BCD这样的角叫做三角形的什么角 它又有怎样的性质呢？ 这就是我们这节课要探究的内容。
新知初探 探究一 三角形外角的定义 活动1 如图，把△ABC的一边BC 延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.∠ACD是△ABC的一个外角. 问题1：如图，延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？ 答案提示：∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角. 问题2：如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？ 答案提示：∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE；在三角形每个顶点处都有两个外角. 画一画：画出△ABC的所有外角，共有几个呢 如图 每一个三角形都有6个外角．每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角. 总结：三角形的外角应具备的条件 ①角的顶点是三角形的顶点； ②角的一边是三角形的一边； ③另一边是三角形中一边的延长线. ∠ACD是△ABC的一个外角，每一个三角形都有6个外角． 问题3：如图,∠BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？ 答案提示：∠BEC是△AEC的外角;∠AEC是△BEC的外角;∠EFD是△BEF和△DCF的外角. 任务一 意图说明 通过设置学生熟悉的数学问题，引出三角形外角的概念，并对其进行研究，激发学生学习兴趣，让学生不知不觉中进入思考。
探究二 三角形外角的性质 活动1思考·交流 ∠1 与△ABC的三个内角之间有什么关系？ 答案提示：∠1与∠2互补 ∠1+∠2=180°(平角的定义). ∠1=∠A+∠B ∠1 ＞ ∠A ， ∠1＞ ∠B 你能证明此结论吗？ 如图，∠1+∠2=180°（平角的定义）， ∠A+∠2+∠B=180°（三角形内角和定理）， 所以∠1= ∠A+∠B（等量代换）. 所以∠1＞∠A，∠1＞∠B. 归纳总结： 定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 符号语言：∵ ∠1 是△ABC 的外角 ∴ ∠1=∠B+∠C 定理：三角形的一个外角大于任何一个与它 不相邻的内角. 符号语言：∵ ∠1 是△ABC 的外角 ∴ ∠1 ＞ ∠B， ∠1＞ ∠C 在这里，我们通过三角形的内角和定理直接推导出两个新定理. 像这样，由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论.推论可以当做定理使用. 任务二 意图说明 推理证明形成产生过程实际上就是思维发展提升的过程，会通过交流提升自己的表达能力，反思能力等等这些看似无形实则会使学生的数学能力在逐步提升。
探究三 三角形外角性质的应用 活动1如图,在△ABC中,∠B= ∠C,AD平分外角∠EAC.求证:AD∥ BC. 证明:∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),∠B=∠C (已知), ∴∠C=∠EAC (等式的性质). ∵AD平分 ∠EAC(已知). ∴∠DAC=∠EAC(角平分线的定义). ∴∠DAC=∠C(等量代换). ∴AD∥ BC(内错角相等,两直线平行). 想一想： 对于例2还有其他证明方法吗？ 证法二:推理可得:∠DAC=∠C (已证), ∵∠BAC+∠B+∠C =180°(三角形内角和定理). ∴∠BAC+∠B+∠DAC =180°(等量代换). ∴AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行). 活动2 例3.如图,P是△ABC内一点，连接PB，PC，∠B=∠C. 求证: ∠BPC＞∠A. 证明: 如图，延长BP，交AC于点D. ∵∠BPC是△PDC的一个外角(外角定义), ∴∠BPC>∠PDC(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角). ∵∠PDC是△ABD的一个外角(外角定义), ∴∠PDC>∠A(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角). ∴ ∠BPC>∠A.（不等式的性质） 还有其他证明方法吗？ 如图，点P是△ABC内的一点，连接BP和CP. 证明∠BPC﹥∠A． 证明: 如图 ∵∠BPD是△ABP的一个外角(外角定义), ∴∠BPD>∠BAP(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角). ∵∠DPC是△PAC的一个外角(外角定义), ∴∠DPC>∠PAC(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角). ∴ ∠BPD+∠DPC> ∠BAP+ ∠PAC.（不等式的性质） 即∠BPC﹥∠A 任务三 意图说明 通过学生的探索活动,使学生进一步了解辅助线的作法及重要性,理解并掌握三角形的内角和定理及推论.教师引导学生分析解题思路,师生共同完成.在解题的同时,要明确每题用到的知识点,只有明确问题考查的知识点,才能正确运用知识解决问题.本例题可以巩固多边形的内角和定理,培养学生灵活运用知识的能力,同时要规范学生解题步骤的规范性
板书设计
教学反思 本节课力图让每个同学在课堂中都有不同的收获，通过一题多解、小组讨论积分、修改“例题过程”、猜想证明等过程，使学生在证明过程中信心更足。 其中在对例题进行分析时，对其进行修改或者增加变成另外一种方法进行证明，大部分同学能认真进行阅读模仿、修改，对规范自己的证明步骤起到了很好的作用。另外，小组讨论如何验证推论“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”的时候，出现了有同学说出了在三角形的一个顶点利用作平行线的方法进行推理证明，虽然表述不清，但是引起了其他同学的思考，同三角形内角和定理的证明方法很好的联系起来了，效果不错。但在推论应用的环节，增加的一个猜想，可能是问题还不够清楚，也或者是从不等关系到数量关系过渡有些快，部分学生一开始不知道从哪些角下手，不过经过提示后思路豁然开朗。推理证明本就是一个严谨的逻辑思维的展示，需要学生不断的尝试，最终达到一个较好的结果。
第2课时 三角形的外角
教学设计
课标摘录 1.掌握三角内角和定理推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
教学目标 1.掌握三角形外角的定义和外角的两条性质. 2.灵活运用三角形的外角和两条性质解决相关问题. 3.通过在数学活动中进行教学，使学生能自主地“做数学”，特别是培养有条理的想象和探索能力，从而做到强化基础，激发学习兴趣．
教学重难点 重点:了解并掌握三角形的外角的定义。 难点:掌握三角形的外角的性质，利用外角的性质进行简单的证明和计算。
教学策略 引导学生通过观察和动手操作，体会探索过程，学会推理的数学思想方法，培养学生主动探索、勇于发现，敢于实践及合作交流的习惯，培养学生的论证能力。在体验一题多变、一题多解得过程中发散思维拓宽学生的解题思路，提高空间想象能力，从而使他们灵活应用所学知识
教学过程
教学步骤 教学活动
情境导入 甲乙丙三名同学玩游戏，发现甲同学在O处后，乙同学打算用迂回的方式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住甲同学到终点E的去路，丙同学则直接在A处追赶甲同学，已知∠BAC=40°，∠ABC=70°.乙同学从C处要转多少度角才能直达B处？ 利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？ 思考：像∠BCD这样的角叫做三角形的什么角 它又有怎样的性质呢？ 这就是我们这节课要探究的内容。
新知初探 探究一 三角形外角的定义 活动1 如图，把△ABC的一边BC 延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.∠ACD是△ABC的一个外角. 问题1：如图，延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？ 答案提示：∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角. 问题2：如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？ 答案提示：∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE；在三角形每个顶点处都有两个外角. 画一画：画出△ABC的所有外角，共有几个呢 如图 每一个三角形都有6个外角．每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角. 总结：三角形的外角应具备的条件 ①角的顶点是三角形的顶点； ②角的一边是三角形的一边； ③另一边是三角形中一边的延长线. ∠ACD是△ABC的一个外角，每一个三角形都有6个外角． 问题3：如图,∠BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？ 答案提示：∠BEC是△AEC的外角;∠AEC是△BEC的外角;∠EFD是△BEF和△DCF的外角. 任务一 意图说明 通过设置学生熟悉的数学问题，引出三角形外角的概念，并对其进行研究，激发学生学习兴趣，让学生不知不觉中进入思考。
探究二 三角形外角的性质 活动1思考·交流 ∠1 与△ABC的三个内角之间有什么关系？ 答案提示：∠1与∠2互补 ∠1+∠2=180°(平角的定义). ∠1=∠A+∠B ∠1 ＞ ∠A ， ∠1＞ ∠B 你能证明此结论吗？ 如图，∠1+∠2=180°（平角的定义）， ∠A+∠2+∠B=180°（三角形内角和定理）， 所以∠1= ∠A+∠B（等量代换）. 所以∠1＞∠A，∠1＞∠B. 归纳总结： 定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 符号语言：∵ ∠1 是△ABC 的外角 ∴ ∠1=∠B+∠C 定理：三角形的一个外角大于任何一个与它 不相邻的内角. 符号语言：∵ ∠1 是△ABC 的外角 ∴ ∠1 ＞ ∠B， ∠1＞ ∠C 在这里，我们通过三角形的内角和定理直接推导出两个新定理. 像这样，由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论.推论可以当做定理使用. 任务二 意图说明 推理证明形成产生过程实际上就是思维发展提升的过程，会通过交流提升自己的表达能力，反思能力等等这些看似无形实则会使学生的数学能力在逐步提升。
探究三 三角形外角性质的应用 活动1如图,在△ABC中,∠B= ∠C,AD平分外角∠EAC.求证:AD∥ BC. 证明:∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),∠B=∠C (已知), ∴∠C=∠EAC (等式的性质). ∵AD平分 ∠EAC(已知). ∴∠DAC=∠EAC(角平分线的定义). ∴∠DAC=∠C(等量代换). ∴AD∥ BC(内错角相等,两直线平行). 想一想： 对于例2还有其他证明方法吗？ 证法二:推理可得:∠DAC=∠C (已证), ∵∠BAC+∠B+∠C =180°(三角形内角和定理). ∴∠BAC+∠B+∠DAC =180°(等量代换). ∴AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行). 活动2 例3.如图,P是△ABC内一点，连接PB，PC，∠B=∠C. 求证: ∠BPC＞∠A. 证明: 如图，延长BP，交AC于点D. ∵∠BPC是△PDC的一个外角(外角定义), ∴∠BPC>∠PDC(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角). ∵∠PDC是△ABD的一个外角(外角定义), ∴∠PDC>∠A(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角). ∴ ∠BPC>∠A.（不等式的性质） 还有其他证明方法吗？ 如图，点P是△ABC内的一点，连接BP和CP. 证明∠BPC﹥∠A． 证明: 如图 ∵∠BPD是△ABP的一个外角(外角定义), ∴∠BPD>∠BAP(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角). ∵∠DPC是△PAC的一个外角(外角定义), ∴∠DPC>∠PAC(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角). ∴ ∠BPD+∠DPC> ∠BAP+ ∠PAC.（不等式的性质） 即∠BPC﹥∠A 任务三 意图说明 通过学生的探索活动,使学生进一步了解辅助线的作法及重要性,理解并掌握三角形的内角和定理及推论.教师引导学生分析解题思路,师生共同完成.在解题的同时,要明确每题用到的知识点,只有明确问题考查的知识点,才能正确运用知识解决问题.本例题可以巩固多边形的内角和定理,培养学生灵活运用知识的能力,同时要规范学生解题步骤的规范性
板书设计
教学反思 本节课力图让每个同学在课堂中都有不同的收获，通过一题多解、小组讨论积分、修改“例题过程”、猜想证明等过程，使学生在证明过程中信心更足。 其中在对例题进行分析时，对其进行修改或者增加变成另外一种方法进行证明，大部分同学能认真进行阅读模仿、修改，对规范自己的证明步骤起到了很好的作用。另外，小组讨论如何验证推论“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”的时候，出现了有同学说出了在三角形的一个顶点利用作平行线的方法进行推理证明，虽然表述不清，但是引起了其他同学的思考，同三角形内角和定理的证明方法很好的联系起来了，效果不错。但在推论应用的环节，增加的一个猜想，可能是问题还不够清楚，也或者是从不等关系到数量关系过渡有些快，部分学生一开始不知道从哪些角下手，不过经过提示后思路豁然开朗。推理证明本就是一个严谨的逻辑思维的展示，需要学生不断的尝试，最终达到一个较好的结果。
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